壓軸題秘籍06 規(guī)律探索

規(guī)律探索規(guī)律探索問題在中考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，規(guī)律性較強(qiáng)，重點(diǎn)考查數(shù)式、坐標(biāo)和圖形的規(guī)律探索問題，涉及整式的計(jì)算、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、圓、特殊三角形、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識(shí)，以及類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①探究數(shù)式規(guī)律問題；②證明數(shù)式成立問題；③探究圖形周長、面積問題；④利用函數(shù)求坐標(biāo)問題等.右圖為規(guī)律探索問題中各題型的考查熱度.題型1：數(shù)式的規(guī)律探索解題模板：類型一：周期型1.觀察下列算式：，，，，，，，……觀察后，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出的末位數(shù)字是______．【變式1-1】如圖是一個(gè)電子青蛙游戲盤，已知．電子青蛙在邊上的處，第一步跳到處，使，第二步跳到處，使，第三步跳到處，使，……，按上述的規(guī)則跳下去，第2023步落點(diǎn)為，則與之間的距離為_____________．【變式1-2】將從1開始的自然數(shù)，按如圖的規(guī)律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…處分別拐第1，2，3，4，5，6，7，…次彎，則第101次拐彎處的那個(gè)數(shù)是___________．類型二：遞推型2.按一定規(guī)律排列的式子：，……第n個(gè)式子是___________．【變式2-1】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……根據(jù)以上規(guī)律解答以下問題：(1)寫出第5個(gè)等式：______；寫出第n個(gè)等式：______﹔(2)由分式性質(zhì)可知：，試求的值．【變式2-2】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：____________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：____________（用含n的等式表示），并證明．類型三：固定累加型3.觀察下列由連續(xù)的正整數(shù)組成的等式：第1層第2層第3層第4層……則第7層等號(hào)右側(cè)的第一個(gè)數(shù)是___________．則第層等號(hào)右側(cè)的第一個(gè)數(shù)是__________．【變式3-1】觀查下列等式，探究其中的規(guī)律并回答問題：，，，，…（1）第4個(gè)等式中正整數(shù)k的值是________；（2）根據(jù)已知等式可歸納出第n個(gè)等式為__________________（n是正整數(shù)）．【變式3-2】若干個(gè)有規(guī)律的數(shù)，排列如下：試探究：(1)第2012個(gè)數(shù)在第幾行？這個(gè)數(shù)是多少？（每行的數(shù)都是從左往右數(shù)）(2)寫出第n行第k個(gè)數(shù)的代數(shù)式；（用含n，k的式子表示）(3)求第2012個(gè)數(shù)所在行的所有數(shù)之和S．類型四：漸變累加型4.如圖，有一個(gè)起點(diǎn)為的數(shù)軸，現(xiàn)有同學(xué)將它彎折，虛線上從下往上第一個(gè)數(shù)為，第二個(gè)數(shù)為，第三個(gè)數(shù)為，，則第十個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式4-1】按一定規(guī)律排列的等式：……，按此規(guī)律（）A． B． C． D．【變式4-2】請觀察下列等式，找出規(guī)律并回答以下問題．，，，，……（1）按照這個(gè)規(guī)律寫下去，第5個(gè)等式是：______；第n個(gè)等式是：______．（2）①計(jì)算：．②若a為最小的正整數(shù)，，求：．題型2坐標(biāo)的規(guī)律探索解題模板：類型一：周期型5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)，得到正六邊形，當(dāng)時(shí)，正六邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式5-1】如圖所示，已知點(diǎn)，將長方形ABOC沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2022次，點(diǎn)A依次落在點(diǎn)，，，……，的位置，則的坐標(biāo)是______．【變式5-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則經(jīng)過第2022次變換后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．類型二：遞推型6.正方形，，，按如圖所示的方式放置，點(diǎn)，，，和點(diǎn)，，，分別在直線和軸上，已知點(diǎn)（1，1），（3，2），則的坐標(biāo)是(

)A． B．C． D．【變式6-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中方向排列，如，，，，，...根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第2021個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)__．【變式6-2】已知：如圖，，，，，(1)繼續(xù)填寫：，，，，，(2)試寫出點(diǎn)，類型三：固定累加型7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，…和，，，…分別在直線和x軸上．，，，…都是等腰直角三角形．如果點(diǎn)，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式7-1】在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，延長交軸于點(diǎn)，作正方形；延長交軸于點(diǎn)，作正方形，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2021個(gè)正方形的面積為（

）A． B． C． D．【變式7-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，點(diǎn)在軸上，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在軸上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在軸上，依次進(jìn)行下去……若點(diǎn)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．類型四：漸變累加型8.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第2022個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．（2022，8）B．（63，5）C．（64，5）D．（64，4）【變式8-1】如圖所示，直線與y軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)A1在直線上，點(diǎn)B1在x軸，且?OA1B1是等邊三角形，記作第一個(gè)等邊三角形；然后過B1作B1A2∥OA1與直線相交于點(diǎn)A2，點(diǎn)B2在x軸上，再以B1A2為邊作等邊三角形A2B2B1，記作第二個(gè)等邊三角形；同樣過B2作B2A3∥OA1與直線相交于點(diǎn)A3，點(diǎn)B3在x軸上，再以B2A3為邊作等邊三角形A3B3B2，記作第三個(gè)等邊三角形；?依此類推，則第n個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)A縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式8-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．點(diǎn)第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)，緊接著第2次向左跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)，第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)，第4次向右跳動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)，第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)，第6次向左跳動(dòng)4個(gè)單位至點(diǎn)，…照此規(guī)律，點(diǎn)第2022次跳動(dòng)至點(diǎn)的坐標(biāo)是________．題型3：圖形的規(guī)律探索解題模板：類型一：周期型9.桌面上有一個(gè)正方體，每個(gè)面均有一個(gè)不同的編號(hào)（1，2，3，…，6），且每組相對面上的編號(hào)和為7．將其按順時(shí)針方向滾動(dòng)（如圖），每滾動(dòng)算一次，則滾動(dòng)第2022次后，正方體朝下一面的數(shù)字是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【變式9-1】如圖是按一定規(guī)律擺放的圖案，按此規(guī)律，第2021個(gè)圖案與第1～4個(gè)圖案中相同的是第___個(gè)．（只填數(shù)字）【變式9-2】如圖，周長為6個(gè)單位長度的圓上的六等分點(diǎn)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，點(diǎn)A落在2的位置，將圓在數(shù)軸上沿負(fù)方向滾動(dòng)，那么落在數(shù)軸上-2025的點(diǎn)是______．類型二：遞推型10.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成．第（1）個(gè)圖案有4個(gè)三角形，第（2）個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第（3）個(gè)圖形有10個(gè)正三角形，…依此規(guī)律，若第n個(gè)圖案有2023個(gè)三角形，則（

）A．670 B．672 C．673 D．674【變式10-1】用火柴棒按上圖的方式擺出一系列圖案，按這種方式擺下去，第n個(gè)圖案所用的火柴棒的根數(shù)為_____．【變式10-2】觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第n個(gè)大三角形中白色三角形有（用含n代數(shù)式表示）________個(gè)．類型三：固定累加型11.將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)，，，…，分別是正方形的中心，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為______．【變式11-1】如圖，從左至右，第1個(gè)圖案中有6個(gè)等邊三角形和6個(gè)正方形，第2個(gè)圖案中有10個(gè)等邊三角形和11個(gè)正方形，第3個(gè)圖案中有14個(gè)等邊三角形和16個(gè)正方形，……即從第2個(gè)圖案開始，每個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多4個(gè)等邊三角形和5個(gè)正方形，則第n個(gè)圖案中等邊三角形和正方形的個(gè)數(shù)之和為______個(gè)．【變式11-2】如圖，是由一些小圓點(diǎn)組成的圖形，第1個(gè)圖形是由7個(gè)小圓點(diǎn)組成，第2個(gè)圖形是由13個(gè)小圓點(diǎn)組成，第3個(gè)圖形是由19個(gè)小圓點(diǎn)組成，…，按照這樣的規(guī)律，由181個(gè)小圓點(diǎn)組成的是第_____個(gè)圖形．類型四：漸變累加型12.下列圖形都是由同樣大小的⊙按一定規(guī)律所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有5個(gè)⊙，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)⊙，第3個(gè)圖形中一共有11個(gè)⊙，第4個(gè)圖形中一共有14個(gè)⊙，…，按此規(guī)律排列，第100個(gè)圖形中⊙的個(gè)數(shù)為（）A．298 B．302 C．304 D．305【變式12-1】為慶祝國慶節(jié)，七年級(jí)小高同學(xué)用五角星按一定規(guī)律擺出如下圖案，則第9個(gè)圖案需五角星的顆數(shù)為______．【變式12-2】如圖，△A1B1C1的面積為a,分別延長△A1B1C1的三條邊B1C1、C1A1、A1B1到點(diǎn)B2、C2、A2，使得C1B2=B1C1，A1C2=A1C1，B1A2=A1B1，得到△A2B2C2；再分別延長△A2B2C2的三條邊B2C2、C2A2、A2B2到點(diǎn)B3、C3、A3，使得C2B3=B2C2，A2C3=A2C2，B2A3=A2B2，得到△A3B3C3；…．按照此規(guī)律作圖得到△AnBnCn，則△AnBnCn的面積為1．在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位，其行走路線如下圖所示．那么點(diǎn)A2020的坐標(biāo)是（

A．1010，0 B．1010，1 C．2．在-44，-43，-42，…，2021，2022這一串連續(xù)的整數(shù)中，前100個(gè)連續(xù)整數(shù)的和為（

）A．465 B．550 C．560 D．6063．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P1,0．點(diǎn)P第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)P1次向左跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)P2-1,1，第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)P3，第4次向右跳動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)P4，第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)P5，第6次向左跳動(dòng)4個(gè)單位至點(diǎn)P6，…．照此規(guī)律，點(diǎn)P第2022A．506,1011 B．505,1011 C．-506,1011 D．-505,10114．有一個(gè)數(shù)字游戲，第一步：取一個(gè)自然數(shù)n1=4，計(jì)算n1?3n1+1得a1，第二步：算出a1的各位數(shù)字之和得n2，計(jì)算n2?3nA．7 B．52 C．154 D．3105．觀察下列圖形，圖①中有7個(gè)空心點(diǎn)，圖②中有11個(gè)空心點(diǎn)，圖③中有15個(gè)空心點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，第50個(gè)圖形中有（）個(gè)空心點(diǎn)．A．196 B．199 C．203 D．2076．一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：a+b,a2-b3,a3+A．n B．2n-1 C．3n-1 D7．下列圖形都是由大小相同的小圓按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中有2個(gè)小圓，第②個(gè)圖形中有8個(gè)小圓，第③個(gè)圖形中有16個(gè)小圓…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中的小圓個(gè)數(shù)為（

）A．38 B．52 C．68 D．868．如圖，頂角為36°的等腰三角形，其底邊與腰之比等k，這樣的三角形稱為黃金三角形，已知腰AB=1，△ABC為第一個(gè)黃金三角形，△BCD為第二個(gè)黃金三角形，△CDE為第三個(gè)黃金三角形以此類推，第3個(gè)黃金三角形的周長（）A．k2 B．k3 C．k29．用同樣大小的黑色棋子按如圖表示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第100個(gè)圖形需棋子___________枚．10．觀察下列等式：第1個(gè)等式：x1=11×3第2個(gè)等式：x2=13×5第3個(gè)等式：x3=15×7第4個(gè)等式：x4=17×9則xl+x2+x3+…+x10=_______________．11．如圖，動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系xOy中，按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,2)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,0)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3,1)，第4次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(4,0)，…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過第2022次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．12．觀察下列單項(xiàng)式：-ab2，a2b3，-a3b4，13．如圖，正方形ABCD的邊長為4，它的兩條對角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作邊BC的垂線，垂足為M1，ΔOBM1的面積為S1，過點(diǎn)M1作OC的垂線，垂足為M2，△OM1M2的面積為S2，過點(diǎn)M2作BC的垂線，垂足為M3，△M114．觀察下列算式：①1×3-2②2×4-3③3×5-4……（1）請按照以上規(guī)律寫出第10個(gè)等式．（2）請按照以上規(guī)律寫出第n個(gè)等式（n為自然數(shù)，且n≥1）．（3）（2）中的式子一定成立嗎？若不一定成立，請舉出反例；若一定成立，請說出理由．15．從2開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如下表：加數(shù)m的個(gè)數(shù)和S12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6(1)按這個(gè)