專題21 幾何問題（一次函數(shù)的實際應(yīng)用） 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題21幾何問題（一次函數(shù)的實際應(yīng)用）考試時間：120分鐘試卷滿分：100分評卷人得分一、選擇題(共10題，每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在中，，點D是的中點，動點P從點C出發(fā)沿運動到點B，設(shè)點P的運動路程為x，的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為（

）A．12 B． C． D．10【答案】B【思路點撥】設(shè)，則，先根據(jù)函數(shù)圖象、三角形的面積公式可得，從而可得，再結(jié)合函數(shù)圖象可得，然后利用勾股定理求解即可得．【規(guī)范解答】解：設(shè)，則，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，解得，，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)點運動到點時，，，故選：B．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、勾股定理，讀懂函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．2．(本題2分)（2023春·重慶涪陵·八年級西南大學(xué)附中校考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，點、的坐標分別為、，將沿軸向左平移，當(dāng)點落在直線上時，線段掃過的區(qū)域所形成圖形的周長為（

）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【思路點撥】先根據(jù)勾股定理求出的長，再求出點落在直線時的橫坐標，求出平移的距離即可解決問題．【規(guī)范解答】解：如圖，在中，，，，，當(dāng)時，，，，點向左平移3個單位落在直線上，點平移的距離為3個單位，線段掃過的面積為，故選：A．【考點評析】本題考查作圖平移變換、一次函數(shù)圖象上的點的特征等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．3．(本題2分)（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，的斜邊，點A，的坐標分別是，，將沿第一象限的角平分線方向平移，當(dāng)點落在直線上時記作點，則的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】根據(jù)題意點C在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移，求出此直線的解析式與組成方程組，解之即可【規(guī)范解答】解：∵點A，的坐標分別是，，∴∴在中，，則∴∵沿第一象限的角平分線方向平移，∴點C在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移，∴設(shè)該直線的解析式為∴∴∴∵點落在直線上時記作點，∴解得：∴故選：A【考點評析】本題考查了一次函數(shù)與幾何變換—平移，涉及到求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系等知識，得出點C的在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移是解題的關(guān)鍵4．(本題2分)（2021秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，點Q從點P出發(fā)，先沿直線移動到y(tǒng)軸上的點M處，再沿垂直于y軸的方向向左移動1個單位至點N處，最后沿直線移動到點B處停止．當(dāng)點Q移動的路徑最短時（即三條線段長度之和最小），點M的坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】將沿方向平移長的距離得到，連接，可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)當(dāng)，，在同一直線上時，有最小值，最小值等于線段的長，即的最小值等于長，可得、、長度之和最小，再根據(jù)待定系數(shù)法求得的解析式，即可得到點的坐標．【規(guī)范解答】解：如圖，將沿方向平移長的距離得到，連接，則，四邊形是平行四邊形，，當(dāng)，，在同一直線上時，有最小值，最小值等于線段的長，即的最小值等于長，此時、、長度之和最小，，，，，設(shè)的解析式為，則，解得，，令，則，即，故選：B．【考點評析】本題主要考查了最短路線問題以及待定系數(shù)法的運用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理．5．(本題2分)（2023秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)校考期末）如圖，直線交軸，軸于點，點在第一象限內(nèi)，且縱坐標為4．若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在軸的正半軸上，則點的橫坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】由直線，可得，易知；連接，交直線與點，連接，由軸對稱的性質(zhì)可得垂直平分，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，再證明，由全等三角形的性質(zhì)可得；設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，即可確定點的橫坐標．【規(guī)范解答】解：對于直線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，連接，交直線與點，連接，如下圖，∵點與點關(guān)于直線對稱，∴，且，∴，∵點在第一象限內(nèi)，且縱坐標為4，∴軸，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴在中，，即，解得，∴，∴點的橫坐標為．故選：C．【考點評析】本題主要考查了坐標與圖形、一次函數(shù)與坐標軸交點、軸對稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵．6．(本題2分)（2023秋·廣東深圳·八年級深圳外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，點A，B，C在一次函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標依次為，，，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】設(shè)直線與y軸交于點D，軸于點E，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點A，D的坐標，進而可得出、的長，利用三角形的面積計算公式可求出的面積，同理可得出另外兩個小三角形的面積均為，再將三個小三角形的面積相加即可求出結(jié)論．【規(guī)范解答】設(shè)直線與y軸交于點D，軸于點E，如圖所示．當(dāng)時，，∴點D的坐標為；當(dāng)時，，∴點A的坐標為，∴點E的坐標為，，∴，∴．同理，可求出另兩個三角形的面積均為（陰影部分組成的小三角形），∴陰影部分面積之和為：．故選：A．【考點評析】本題考查了幾何問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)及三角形的面積，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及三角形的面積公式，求出每個小三角形的面積是解題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖所示，直線分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段為邊，在第二象限內(nèi)作等腰直角，，則過B、C兩點直線的解析式為（）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】過C作垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及，證明與全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到，由求出的長，即可確定出C坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得過B、C兩點的直線對應(yīng)的函數(shù)表達式．【規(guī)范解答】解：對于直線，令，得到，即B（0，2），，令，得到，即，過C作軸，可得，∴，∵是等腰直角三角形，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，即，∴，設(shè)直線BC的解析式為，∵B（0，2），∴b=2?5k+b=3，解得．∴過B、C兩點的直線對應(yīng)的函數(shù)表達式是．故選：B．【考點評析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，以及全等三角形的判定和性質(zhì)．正確的求出一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2022春·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標系中，直線與坐標軸交于兩點，于點是線段上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】A【思路點撥】由點的運動確定的運動軌跡是在與軸垂直的一段線段，當(dāng)線段與垂直時，線段的值最?。疽?guī)范解答】解：由已知可得，∴三角形是等腰直角三角形，∵，∴，又∵P是線段上動點，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，∴P在線段上運動，所以P'的運動軌跡也是線段，∴當(dāng)P在O點時對應(yīng)的在N點，此時AO=AN，當(dāng)P在C點時對應(yīng)的在M點,此時AM=AC∴P'的運動軌跡是在與x軸垂直的一段線段，∴當(dāng)線段與垂直時，線段的值最小，在中，，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，∴．故選：A．【考點評析】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，動點運動軌跡的判斷，垂線段最短，熟練掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2023秋·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線相交于點，．下列四個說法：；為線段中點；；點的坐標為．其中正確說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【思路點撥】先用待定系數(shù)法分別求出直線的解析式，再根據(jù)兩條直線的斜率相乘是否等于即可判斷；求出點的坐標，即可判斷；用兩點間的坐標公式求出的長，從而可以得出兩個三角形的邊的關(guān)系，從而可以判斷；點為直線與軸的交點，根據(jù)解析式即可求出坐標，從而可以判斷．【規(guī)范解答】解：，點坐標為，點坐標為，設(shè)直線的解析式為：，直線經(jīng)過兩點，，解得，直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，直線經(jīng)過兩點，，解得，直線的解析式為：，，，，故正確，符合題意；點為直線與軸的交點，當(dāng)時，，點坐標為，，為線段中點，故正確，符合題意；由圖象得，，，（SSS），故說法正確，符合題意；點為直線與軸的交點，當(dāng)時，，點的坐標為，故說法正確，符合題意；故選：D．【考點評析】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、判斷兩條直線垂直、判斷點是線段的中點、三角形全等的判定、求點的坐標等知識點，解題的關(guān)鍵是先用待定系數(shù)法求出兩條直線的解析式．10．(本題2分)（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點O在坐標原點，點E是對角線AC上一動點（不包含端點），過點E作EF//BC，交AB于F，點P在線段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P點的橫坐標為m，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】先求確定A、C、B三個點坐標，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的長，進而表示出點P的橫坐標，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：由題意可得，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b則解得：∴直線AB的解析式為：y=x-4，∴x=y+4，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n則解得：∴直線AC的解析式為：，∴，∴點F的橫坐標為：y+4，點E的坐標為：，∴，∵EP=3PF，∴，∴點P的橫坐標為：，∵，∴．∴故答案為：A．【考點評析】本題主要考查了等腰直角三角形性質(zhì)、求一次函數(shù)的解析式、不等式性質(zhì)等知識，根據(jù)題意表示出點P的橫坐標是解答本題的關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題(共10題，每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，線段所在直線的解析式為，點E是的中點，點P是上一動點，則的最小值是____________．【答案】【思路點撥】作點B關(guān)于的對稱點，連接交于點，的最小值為，分別求出點A，C的坐標，證明四邊形是正方形即可求出點的坐標，即可求出的長度．【規(guī)范解答】解：如下圖所示，作點B關(guān)于的對稱點，連接交于點，∵線段所在直線的解析式為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴相互垂直平分，∴四邊形是正方形，∴點，∵點∴的最小值為，故答案為：．【考點評析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用一次函數(shù)的解析式求出點A，C的坐標．12．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級校考期末）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，C兩點，點B與點A關(guān)于y軸對稱，連接，，點M，N分別是線段上的動點（M不與A，B重合），且滿足．當(dāng)為等腰三角形時，M的坐標為______．【答案】或【思路點撥】根據(jù)，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得，再由點B與點A關(guān)于y軸對稱，可得，從而得到，然后分三種情況討論，即可求解．【規(guī)范解答】解：令，，∴點C的坐標為，即，∵，，∴，∵點B與點A關(guān)于y軸對稱，∴，∴，，當(dāng)時，在和中，∵，，，∴，∴，∴，∴M的坐標為；如圖，當(dāng)時，此時，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴M的坐標為；當(dāng)時，，此時點M與點B重合，不符合題意，舍去；綜上所述，M的坐標為或．故答案為：或【考點評析】本題主要考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．13．(本題2分)（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，直線：分別交x軸和y軸于點A、B兩點，點在直線上，點D在直線：上，且點D在直線下方，連接和，若的面積為3，則點D的坐標是___________．【答案】##【思路點撥】過點C作軸，交于點E，求出A點坐標，C點坐標，設(shè)點，的解析式為，求出直線的解析式為，求出點E坐標，用m表示出，根據(jù)三角形面積公式列出m的方程，解方程即可得出答案．【規(guī)范解答】解：過點C作軸，交于點E，如圖所示：把代入得：，∴，把代入得：，∴，設(shè)點，的解析式為，把，代入得：，解得：，所以直線的解析式為，把代入得：，∴點，∵點D在直線下方，∴點一定在點C的下方，∴，∴，解得：，∴點D坐標為：．故答案為：．【考點評析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點D的坐標，用點D的坐標表示出的面積，列出方程．14．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點、交軸于點，點與點關(guān)于軸對稱，動點、分別在線段、上（點不與點、重合），滿足．當(dāng)為等腰三角形時，點的坐標是___________．【答案】或．【思路點撥】分三種情況考慮：當(dāng)時，可得，確定出此時的坐標；當(dāng)時，利用外角性質(zhì)判斷不可能；當(dāng)時，設(shè)，則，，進而求出此時的坐標即可．【規(guī)范解答】解：對于直線，令，得到；令，得到，，，即，與關(guān)于軸對稱，，，即，則根據(jù)勾股定理得：；點與點關(guān)于軸對稱，，，，又，，①當(dāng)時，則，，，此時點；②當(dāng)時，，是的外角，，又，這種情況不可能；③當(dāng)時，，又，，，設(shè)，則，，，解得：．此時點的坐標為：．綜上，的坐標為，，．故答案是：，．【考點評析】此題屬于一次函數(shù)綜合題，一次函數(shù)與坐標軸的交點，坐標與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解本題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2022秋·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖長方形的邊長．剛開始時與y軸重合．將長方形沿x軸以每秒1個單位長度向右平移，在平移過程中，邊與直線交于點M，與直線交于點N，邊與直線交于點P，與直線交于點Q，設(shè)運動時間為t（秒），當(dāng)為定值時，時間t的取值范圍為______．【答案】或【思路點撥】判斷出在兩直線交的左側(cè)，求出點，的坐標，證明當(dāng)線段，在兩直線的交點的同側(cè)時，為定值，求出直線，直線經(jīng)過兩直線交點時，點與重合時的值，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】由，解得，兩直線的交點坐標為，當(dāng)時，線段在交點的左側(cè)，，，，如圖，過點作交于點．，，四邊形是平行四邊形，，定值，觀察圖像可知，當(dāng)線段，在兩直線的交點的同側(cè)時，為定值，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，，當(dāng)直線經(jīng)過點時，，繼續(xù)運動當(dāng)點與重合時，，觀察圖形可知，滿足條件的的值為或．故答案為：或．【考點評析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊位置解決問題．16．(本題2分)（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖像與軸相交于點，與軸相交于點，點D，E分別在線段、上，連接將沿折疊，點的對應(yīng)點恰好在軸上，且平分，則點的坐標是______．【答案】【思路點撥】過點作軸于點，軸于點，交于點，利用角平分線的性質(zhì)可得，，利用折疊，得到，進而得到，即點的橫縱坐標相等，設(shè)，代入一次函數(shù)解析式，求出值，即可得解．【規(guī)范解答】解：如圖，過點作軸于點，軸于點，交于點，∵平分，∴，∵將沿折疊，∴，∴，∴，即：點的橫縱坐標相等，設(shè)，∵點D線段上，∴，解得：，∴；故答案為：．【考點評析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，以及折疊后的兩個三角形全等，是解題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2023秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖．直線：與軸，軸分別交于點，，直線經(jīng)過點，與軸負半軸交于點，且，則直線的函數(shù)表達式為______．【答案】【思路點撥】過點作于點，由的解析式求出點，的坐標，由得，設(shè)，，根據(jù)勾股定理和等積法求出，，得出點坐標，最后設(shè)出解析式代入求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過點作于點，∵：與軸，軸分別交于點，，∴，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，，由勾股定理得，即，由等積法得，∴，聯(lián)立，解得或（舍去），∴，設(shè)：，將點代入并解得，∴的函數(shù)表達式為．故答案為：．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)的幾何綜合，正確畫出輔助線，熟練運用勾股定理和等積法是解題的關(guān)鍵．18．(本題2分)（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知，，點P為x軸上一動點，以QP為腰作等腰，當(dāng)最小時，點H的坐標為___________．【答案】【思路點撥】作、垂直于軸于、，證明≌，推出，，設(shè)，得，求出點的運動軌跡，找到最小值的情況，求出的解析式，再和聯(lián)立，即可求出點H坐標．【規(guī)范解答】解：作、垂直于軸于、，則，則，為等腰直角三角形，，即，，在和中，，≌，，，設(shè)，得，點在直線上運動，作點關(guān)于直線的對稱點，連交于點，當(dāng)點與點重合時最小，此時F，設(shè)直線的解析式為，將F代入，得：，解得：，，聯(lián)立：，解得：，即，故答案為：．【考點評析】本題考查軸對稱最短問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．19．(本題2分)（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知直線，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；過點作軸的垂線交直線于，過點作直線的垂線交軸于點，；按此作法繼續(xù)下去，則點的坐標為__．【答案】【思路點撥】先求解，設(shè)再利用勾股定理求解求出，同理可得，然后表示出與OM的關(guān)系，再根據(jù)點在x軸上寫出坐標即可．【規(guī)范解答】解：點的坐標是，軸，點在直線上，，，．又，即設(shè)則解得：即同理，，，．點的坐標是，．故答案是：．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理的應(yīng)用，坐標規(guī)律的探究，熟記性質(zhì)并總結(jié)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．20．(本題2分)（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在直角坐標系中，直線分別交軸，軸于A，B兩點，C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個動點，過點P作PH⊥OA于H，Q是點B關(guān)于點A的對稱點，則BP＋PH＋HQ的最小值為________．【答案】【思路點撥】根據(jù)解析式求出點，，的坐標，結(jié)合矩形性質(zhì)得出，兩點對稱公式得出點；利用所給函數(shù)圖象、平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系，則，由三點之間直線最短可知的值最小時，即，可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】，為的中點，點，點，點．PH⊥OA于H，Q是點B關(guān)于點A的對稱點，，點．連接，四邊形是平行四邊形，，．當(dāng)點，，三點共線，的值最小，，．故答案為：．【考點評析】本題考查動點問題中的函數(shù)圖象的理解與運用能力．?dāng)?shù)形結(jié)合，恰當(dāng)利用四邊形（平行四邊形）的性質(zhì)定性構(gòu)造等量關(guān)系，理解并掌握三角形三邊關(guān)系定理（三點共線時取得最值）是解本題的關(guān)鍵．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與的圖像相交于點A，且分別與x軸交于點B、C.(1)求A點坐標；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)若點D在y軸上，當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出點D坐標.【答案】(1)A的坐標為；(2)是等腰三角形，理由見解析；(3)，，，，【思路點撥】（1）聯(lián)立方程組，求出方程組的解即可；（2）分別求出點B和點C的坐標，過點A作BC的垂線，垂足為D，可得，再判斷形狀即可；（3）由與y軸不垂直，故可知只能是等腰三角形的腰，設(shè)點D的坐標為，根據(jù)兩點間距離公式求出的長，再分，三種情況討論求解即可.【規(guī)范解答】（1）∵一次函數(shù)與的圖像相交于點A，∴解得∴A的坐標為；（2）是等腰三角形.證明：∵，∴當(dāng)時，，∴.∵，∴當(dāng)時，，∴.過點A作BC的垂線，垂足為D，則點D的坐標為，∴，又∵，∴直線AD是線段BC的垂直平分線，∴，∴是等腰三角形；（3）由與y軸不垂直，故可知只能是等腰三角形的腰，設(shè)點D的坐標為，∵,∴①當(dāng)時，，解得，∴點D的坐標為；②當(dāng)時，解得，∴點D的坐標為；③當(dāng)時，同理可得：,∵,,∴此時為中點，不構(gòu)成三角形，舍去；綜上，點D的坐標為，，，【考點評析】本題主要考查了兩條直線相交的問題以及等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解答本題的關(guān)鍵22．(本題6分)（2023秋·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線交于點C．(1)求點C的坐標．(2)若P是x軸上的一個動點，直接寫出當(dāng)是以為腰的等腰三角形時點P的坐標．(3)在直線上是否存在點M，使得的面積是面積的2倍？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點C的坐標是(2)或或(3)存在，M的坐標為或【思路點撥】（1）聯(lián)立兩直線解析式求出x、y的值即可得到答案；（2）設(shè)點P的坐標為，利用勾股定理求出，再分當(dāng)時，則當(dāng)時，兩種情況建立方程求解即可；（3）先求出點A的坐標，進而求出，再分①當(dāng)M在x軸下方時，②當(dāng)M在x軸上方時，兩種情況分別求出和的關(guān)系，由此建立方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：聯(lián)立解得，∴點C的坐標是；（2）解：設(shè)點P的坐標為，∴，當(dāng)時，則，解得，∴點P的坐標為或；當(dāng)時，則，解得或（舍去），∴點P的坐標為；綜上所述，點P的坐標為或或；（3）解：當(dāng)時，，解得：，∴點A坐標為∴，∴①當(dāng)M在x軸下方時，∵，∴∴，解得當(dāng)時，，解得：，∴點M為②當(dāng)M在x軸上方時，∵，∴，∴，解得，當(dāng)時，，解得：，∴點M為；綜上所述，占M的坐標為或．【考點評析】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰三角形的定義，求兩直線的交點等等，靈活運用所學(xué)的知識是解題的關(guān)鍵．23．(本題6分)（2023春·江蘇常州·八年級常州市清潭中學(xué)校考開學(xué)考試）模型建立：如圖1，在等腰直角中，，，直線經(jīng)過點，，．模型應(yīng)用：(1)求證：；(2)已知直線：與、軸分別交于點、，直線過點，且與的夾角等于，如圖，求直線的函數(shù)表達式.；(3)如圖3，在長方形中，點，點是線段上一動點，，已知點在第一象限，是直線上的一點，若是等腰三角形，且，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)見解析(2)(3)或【思路點撥】（1）由，得，進而得證；（2）作，交于，作于，可得是等腰直角三角形，進而求得；（3）作于，于，構(gòu)造模型，設(shè)點，，，得進而得出點．【規(guī)范解答】（1）證明：，，，，，，，又，；（2）如圖2，由得，，，作，交于，作于，，可得是等腰直角三角形，由上知：，，，，，設(shè)的解析式是：，∴，∴，；（3）如圖3，作于，于，設(shè)點，，，由上知，，，當(dāng)時，當(dāng)時，，，，點和重合，．綜上所述，或．【考點評析】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形綜合，三角形全等等知識，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造模型，利用模型．24．(本題8分)（2023秋·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將邊長為正方形置于平面直角坐標系中，頂點的坐標為、頂點的坐標為，與軸交于點，一次函數(shù)的圖象交于點，連接并延長交軸于點．(1)求點的坐標．(2)連接，求證：是直角三角形．(3)有一動點以的速度從點出發(fā)，沿著方向運動，設(shè)運動時間為，當(dāng)為何值時，是等腰三角形．【答案】(1)(2)見解析(3)或或4或或或【思路點撥】（1）直接將代入求值即可；（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到、、、、、的坐標，再用勾股定理判斷即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況列方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）是邊長為的正方形的頂點，當(dāng)時，，故點；（2）四方形是正方形，點、、、、、的坐標分別為：、、、、，則，，，故，故：是直角三角形；（3）點的坐標分別為：①當(dāng)點在上時，此時，點，則，，，當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，同理可得：（不合題意，舍去）；當(dāng)時，同理可得：，（不合題意，舍去）②當(dāng)點在上時，點，由點、的坐標得，直線的表達式為：，令，則，即點，則；，，；當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，同理可得：；當(dāng)時，同理可得：綜上所述：或或4或或或．【考點評析】本題考查了求一次函數(shù)值，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解一元一次方程和解一元二次方程，注意第三問情況較多，不要漏落．25．(本題8分)（2023秋·江蘇揚州·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，的圖象與x軸，y軸分別交于點D，E，且兩個函數(shù)圖象相交于點．(1)填空：m＝______，b＝______；(2)求的面積；(3)在線段上是否存在一點M，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．(4)點P在線段上，連接，若是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P坐標．【答案】(1)3，6(2)的面積為50(3)存在，點M的坐標為(4)所有符合條件的點P坐標為或【思路點撥】（1）由是一次函數(shù)與的圖象的交點，即可解出；（2）由兩個一次函數(shù)解析式分別求出它們與x軸的交點坐標，得到的長，從而算出的面積；（3）由已知條件可得的面積，進而得出的長，即可得點M的坐標；（4）由是直角三角形、是銳角，分和兩種情況討論，利用勾股定理即可求解．【規(guī)范解答】（1）∵是一次函數(shù)與的圖象的交點，∴，解得，∴，解得，故答案為：3，6；（2）一次函數(shù)中，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，一次函數(shù)中，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∴的面積為50；（3）如圖：在線段上存在一點M，使得的面積與四邊形的面積比為，∵的面積與四邊形的面積比為，∴，∴，即，∴，∵點M在線段上，∴點M的坐標為；（4）點P在線段上，是銳角，若是直角三角形，則或，設(shè)點，∵，∴，，，當(dāng)時，，∴，整理得，，解得或（舍去），∴點P坐標為；當(dāng)時，，∴，解得，∴點P坐標為；綜上所述，所有符合條件的點P坐標為或．【考點評析】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．26．(本題8分)（2023春·四川達州·八年級四川省渠縣中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．(1)求點A，B的坐標；(2)在直線上是否存在點P，使是以為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若將折疊，使邊落在AB上，點O與點D重合，折痕為BC，求折痕所在直線的表達式．【答案】(1)，；(2)存在，點坐標為；(3)折痕的解析式為．【思路點撥】（1）利用直線解析式，容易求得、的坐標；（2）作線段的垂直平分線，交軸于點，交于點，則點即為所求，可求得點坐標，則容易求得點坐標；（3）可設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得到，，在中，由勾股定理可得到關(guān)于的方程，可求得的值，則可求得點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式．【規(guī)范解答】（1））在中，令可得，令可求得，，；（2）如圖1，作線段的垂直平分線，交軸于點，交于點，則，即點即為滿足條件的點，，，在中，當(dāng)時，可得，點坐標為；（3）如圖2，設(shè)，則，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，，，設(shè)直線解析式為，，解得，折痕的解析式為．【考點評析】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標軸的交點、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、方程思想等知識．在（1）中注意求函數(shù)圖象與坐標軸的交點的求法，在（2）中確定出點的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得點的坐標是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．27．(本題8分)（2023春·浙江金華·八年級浙江省義烏市后宅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形中，點O為坐標原點，點B的坐標為，點A，C在坐標軸上，直線與交于點D，與y軸交于點E．(1)直接寫出點D的坐標為；點E的坐標為．(2)求的面積．(3)若動點M在邊上，點N是坐標平面內(nèi)的點．①當(dāng)點N在第一象限，又在直線上時，若是等腰直角三角形，求點N的坐標；②若是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，直接寫出整個運動過程中點N縱坐標n的取值范圍．【答案】(1)；(2)30(3)①點N的坐標為，，；②或【思路點撥】（1）由題意可得：點D的縱坐標是6，點E在y軸上，橫坐標是0，代入直線解析式求解即可；（2）先求出點F的坐標，再根據(jù)的面積=求解即可；（3）①分三種情況若點A為直角頂點時，點N在第一象限；點M為直角頂點時，點N在第一象限；若點N為直角頂點，點N在第一象限；結(jié)合圖形，利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可；②考慮特殊情況：當(dāng)點