小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解14課試題附答案 （知識(shí)點(diǎn)超全）

小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解14課

試題附答案（知識(shí)點(diǎn)超全）

小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第1課《工程問(wèn)題》試題附答案

第一講工程問(wèn)題

工程問(wèn)題是應(yīng)用題中的一種類型.在工程問(wèn)題中，一般要出現(xiàn)三個(gè)量：工

作總量、工作時(shí)間（完成工作總量所需的時(shí)間）和工作效率（單位時(shí)間內(nèi)完成

的工作量）.

這三個(gè)量之間有下述一些關(guān)系式：

工作效率X工作時(shí)間=工作總量，

工作總量+工作時(shí)間=工作效率，

工作總量-工作效率=工作時(shí)間.

為敘述方便，把這三個(gè)量簡(jiǎn)稱工量、工時(shí)和工效.

例1一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15天完成，甲

丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？

例2師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù).師傅先做5天

后，因事外出，由徒弟接著做3天.共完成任務(wù)的需.如果每人單獨(dú)做這批零

件各需幾天？

例3一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天.若甲先做若干天

后乙接著做，共用10天完成，問(wèn)甲做了幾天？

例4一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成.甲先做8小時(shí)，乙

接著做6小時(shí)也可以完成.如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完

成？

-1-

例5筑路隊(duì)預(yù)計(jì)30天修一條公路.先由18人修12天只完成全部工程

的最如果想提前6天完工，還需增加多少人？

例6蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管.要灌滿一池水，單開進(jìn)水管需5

小時(shí).排光一池水，單開排水管需3小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，

排水，進(jìn)水，排水…的順序輪流各開1小時(shí).問(wèn)：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排

完？（精確到分鐘）

例7一件工作，甲5小時(shí)先完成了：，乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一

4

半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少時(shí)間才能完成？

例8甲、乙二人植樹.單獨(dú)植完這批樹甲比乙所需要的時(shí)間多熱如果

二人一起干，完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植樹36棵，這批樹一共多少棵？

例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成.現(xiàn)在由甲先做16天，

然后乙再做12天，還剩下這批零件的!沒(méi)有完成.已知甲每天比乙多加工3個(gè)

零件，求這批零件共多少個(gè)？

-2-

答案

笫一講工程問(wèn)題

工程問(wèn)題是應(yīng)用題中的一種類型.在工程問(wèn)題中，一般要出現(xiàn)三個(gè)量：工

作總量、工作時(shí)間（完成工作總量所需的時(shí)間）和工作效率（單位時(shí)間內(nèi)完成

的工作量）.

這三個(gè)量之間有下述一些關(guān)系式：

工作效率X工作時(shí)間=工作總量，

工作總量+工作時(shí)間=工作效率，

工作總量+工作效率=工作時(shí)間.

為敘述方便，把這三個(gè)量簡(jiǎn)稱工量、工時(shí)和工效.

例1一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15天完成，甲

丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？

分析設(shè)這項(xiàng)工程為1個(gè)單位，則甲、乙合作的工效為《，乙、丙合

作的工效為白，甲、丙合作的工效為。.因此甲、乙、丙三隊(duì)合作的工

效的兩倍為2+2+2所以甲、乙、丙三隊(duì)合作的工效為

+2=/因此三隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程的時(shí)間為1+奈=10（天）.

解:L?9力行

=1+[$+2]=1+—=10（天）

答：甲、乙、丙三隊(duì)合作需10天完成.

-3-

說(shuō)明：我們通常把工量“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位.這樣，工效就用工

時(shí)的倒數(shù)來(lái)表示.如例1中甲乙兩隊(duì)合作的工時(shí)為12天，那么工效就為得，

它表示甲乙兩隊(duì)一天完成全部工程的焉.

例2師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù).師傅先做5天

后，因事外出，由徒弟接著做3天.共完成任務(wù)的需.如果每人單獨(dú)做這批零

件各需幾天？

分析設(shè)一批零件為單位“1”.其中6天完成任務(wù)，用!表示師徒的工效

O

和.要求每人單獨(dú)做各需幾天，首先要求出各自的工效，關(guān)鍵在于把師傅先做

5天，接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作3天，師傅再做2天.

解：師傅工效：

1UO1U

徒弟工效：9ag

師傅單獨(dú)做需幾天：1+5=10（天）；

徒弟單獨(dú)做需幾天：1+1=15（天）.

答：如果單獨(dú)做，師傅需10天，徒弟需15天.

例3一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天,若甲先做若干天

后乙接著做，共用10天完成，問(wèn)甲做了幾天？

分析解答工程問(wèn)題時(shí)，除了用一般的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目

的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。

解：設(shè)甲做了x天.那么，

甲完成工作量Jx,乙做的天數(shù)10-x,

-4-

乙完成工作量（10-x）x-,

因止匕—x+(10-x)X-=l,

110-x

兩邊同乘36,得到：3x+40-4x=36,

答：甲做了4天.

例4一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成.甲先做8小時(shí)，乙

接著做6小時(shí)也可以完成.如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完

成？

分析設(shè)一件工作為單位“1”.甲做6小時(shí)，乙再做12小時(shí)完成或者甲先

做8小時(shí)，乙再做6小時(shí)都可完成，用圖表示它們的關(guān)系如下：

甲做6小時(shí)乙做12小時(shí)

甲做8小時(shí)乙做6小時(shí)

由圖不難看出甲2小時(shí)工作量=乙6小時(shí)工作量，，甲1小時(shí)工作量=乙3小

時(shí)工作量.可用代換方法求解問(wèn)題.

解：若由乙單獨(dú)做共需幾小時(shí)：

6X3+12=30（小時(shí)）.

若由甲單獨(dú)做需幾小時(shí)：

8+6+3=10（小時(shí)）?

一5一

甲先做3小時(shí)后乙接著做還需幾小時(shí)：

（10-3）X3=21（小時(shí)）.

答：乙還需21小時(shí)完成.

例5筑路隊(duì)預(yù)計(jì)30天修一條公路.先由18人修12天只完成全部工程

的;.如果想提前6天完工，還需增加多少人？

分析由18人修12天完成了全部工程的;，可通過(guò)18X12求出用一天

完成g工作量共需要的總?cè)藬?shù)，也可通過(guò)18X12求出用一人完成g工作量

共需要的總天數(shù).所以由;一（18X12）求出1人1天完成全部工程的幾分

之幾（即一人的工效）.

解二①1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）：

:（18X12）=急

②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：

（】-》可焉、（30-12-6）］

—_2_12

"T648

=36（人）.

③需增加幾人：

36-18=18（人）.

答：還要增加18人.

-6-

例6蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管.要灌滿一池水，單開進(jìn)水管需5

小時(shí).排光一池水，單開排水管需3小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，

排水，進(jìn)水，排水…的順序輪流各開1小時(shí).問(wèn)：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排

完？（精確到分鐘）

分析與解答①在解答“水管注水”問(wèn)題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)進(jìn)水管，一個(gè)出

水管的情況.若進(jìn)水管、出水管同時(shí)開放，則積滿水的時(shí)間=1+（進(jìn)水管工

效-出水管工效），

排空水的時(shí)間=1+（出水管工效-進(jìn)水管工效）.

②這道應(yīng)用題是分析推理與計(jì)算相結(jié)合的題目.根據(jù)己知條件推出水池

中的水每2小時(shí)減少1水1池0中有半池水即右1經(jīng)過(guò)6小時(shí)后還剩

121

5-商乂（6+2）=—.如果按進(jìn)水，排水的順序進(jìn)行，則又應(yīng)進(jìn)水1小時(shí)，

乙BJ1V

這時(shí)水池內(nèi)共有水需+如果按每小時(shí);的流速排出需要經(jīng)過(guò)Q

199

]=元（小時(shí)），共用的時(shí)間為6+1+元=79（小時(shí)）=7小時(shí)54分剛

好排完.

例7一件工作，甲5小時(shí)先完成了9,乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一

半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少時(shí)間才能完成？

分析這道題是工程問(wèn)題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的復(fù)合題.解題時(shí)先要分別求出

甲、乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)化為占單位“1”（總工作量）的幾分

之幾？

解：甲工作效率：J+5=。，

乙工作效率：Q-J）XJ+6=L

4N1Q

余下部分甲、乙合作需要幾小時(shí)：

Q-.X（1一1）+（1+焉）=3：（小時(shí)）

-7-

答：還需要3；小時(shí)才能完成任務(wù).

例8甲、乙二人植樹.單獨(dú)植完這批樹甲比乙所需要的時(shí)間多;，如果

二人一起干，完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植樹36棵，這批樹一共多少棵？

分析求這批樹一共多少棵，必須找出與36棵所對(duì)應(yīng)的甲、乙工效

差.已知甲比乙所用的時(shí)間多,可以求出甲與乙所用的時(shí)間比為4：3.

當(dāng)工作總量一定的情況下，工效與工時(shí)成反比例，甲與乙的工時(shí)比為g：1

=4：3,所以甲與乙的工效比是3：4.這個(gè)間接條件一旦揭示出來(lái)，問(wèn)題就得

到解決了.

解：設(shè)乙所用時(shí)間為“1”，甲的時(shí)間是乙的1+；=,（倍），則甲與

乙的時(shí)間比是4:3.

工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例，所以甲與乙的工效比是時(shí)

間比的反比,為3：4.

4Z

共植樹多少棵：36+（y-y）=252（棵）.

答：這批樹一共252棵.

例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成.現(xiàn)在由甲先做16天，

然后乙再做12天，還剩下這批零件的!沒(méi)有完成.已知甲每天比乙多加工3個(gè)

零件，求這批零件共多少個(gè)？

分析欲求這批零件共多少個(gè)，由題中條件只需知道甲、乙二人每天共做

多少個(gè)即可，然后這就轉(zhuǎn)化為求甲、乙兩人單獨(dú)做各需多少天，有了這個(gè)結(jié)論

后，只需算出3個(gè)零件相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾即可.由條件知甲做16

-8-

天，乙做12天共完成工程的，也即相當(dāng)于甲乙二人合做12天，另外加上

甲又做4天共完成這枇零件的親又知道甲乙二人合做24天可以完成，因此

甲單獨(dú)做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨(dú)做所用天數(shù)也就迎刃而解.

解：甲、乙合作12天，完成了總工程的幾分之幾?

—x12=-

242

甲1天能完成全工程的幾分之幾?

號(hào)-f6T2）$+4*

乙1天可完成全工程的幾分之幾?

11_1

24-40=60

這批零件共多少個(gè)?

3+（4060）=3--120=360（k個(gè)1）J-

答：這批零件共360個(gè).

-9-

習(xí)題一

1.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做12天可以完成.如果甲單獨(dú)做3天，余下工作由乙

去做，乙再用6天可以做完.問(wèn)若甲單獨(dú)做6天，余下工作乙要做幾天？

2.一條水渠，甲乙兩隊(duì)合挖30天完工.現(xiàn)在合挖12天后，剩下的由乙隊(duì)

挖，又用24天挖完.這條水渠由乙單獨(dú)挖，需要多少天？

3.客車與貨車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開出，經(jīng)2小時(shí)24分鐘相遇，相遇時(shí)

客車比貨車多行9.6千米.己知客車從甲站到乙站行4小時(shí)33分鐘，求客車與貨

車的速度各是多少？

4.水箱上裝有甲、乙兩個(gè)注水管.單開甲管20分鐘可以注滿全箱.現(xiàn)

在兩管同時(shí)注水2.5分鐘，注滿水箱的卷.如果單開乙管需要多少分鐘注滿水

箱？

5.一項(xiàng)工程，甲、乙單獨(dú)做分別需要18天和27天.如果甲做若干天后，

乙接著做，共用20天完成.求甲乙完成工作量之比.

6.一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作6天能完成聯(lián)己知單獨(dú)做，甲完成：

o3

與乙完成?所需時(shí)間相等.問(wèn)單獨(dú)做甲、乙各需多少天？

7.做一批兒童玩具.甲組單獨(dú)做10天完成，乙組單獨(dú)做12天完成，丙組

每天可生產(chǎn)64件.如果讓甲、乙兩組合作4天，則還有256件沒(méi)完成.現(xiàn)在決定

三個(gè)組合做這批玩具，需要多少天完成？

-10-

習(xí)題一解答

L①乙工效：（1一上乂3）+6=葭

12o

②余下工作乙?guī)滋焱瓿桑?/p>

（1一上乂6）+<=4（天）?

INo

答：余下工作乙要4天完成.

2.①乙工效：（1-表X12）+24=

②乙隊(duì)單獨(dú)挖需幾天：1-^=40（天）.

答：乙隊(duì)單獨(dú)挖需40天完成.

2

3.2小時(shí)24分=25小時(shí)，

4小時(shí)30分=4；小時(shí)，

乙

———212

①客車速度：9.6-[2--（4--2-）]

D乙J

=32（千米/小時(shí)）?

②貨車速度：32X41-2^?-32=28（千米/小時(shí)）.

答：客車與貨車的速度分別為每小時(shí)32千米和28千米.

4.①工效和：總+2.5=5（合開每分鐘注全箱的卷）

②乙工她

-11-

③單開乙管需要時(shí)間：L專=30（分鐘）.

答：?jiǎn)伍_乙管需30分鐘注滿水箱.

5.解：設(shè)甲先做x天，乙做（20-x）天.

—x+—（20-x）=1,

1827，

x=14

20-x=20-14=6.

甲做工程的幾分之幾：1X14=（，

ioy

72

乙做工程的幾分之幾：

甲、乙完成工作量的比：W=7：2.

答：甲乙完成工作量之比是7：2.

6.①甲乙工效和：（-6=^.

636

②甲乙工作時(shí)間比：3：2,工效比為2：3.

521

③甲工效：36X5=18-

531

④乙工效：—X-=-.

16j12

⑤各自需要時(shí)間：甲卜士=18（天），

lo

乙1+—=12（天）.

1乙

答：?jiǎn)为?dú)做甲需18天，乙需12天.

-12-

7.解法1：

①要加工兒童玩具多少件?

256*[1-（白+=）X4]=960（件）

②丙組單獨(dú)做需要幾天？

960+64=15（天）.

③甲乙丙三組合作，共需幾天？

1+1C—10+—12+—15J=4（天八）

答：三組合作做這批兒童玩具要4天完成.

解法2：

甲、乙兩組合作4天后，所剩沒(méi)有完成的256件，由丙組完成,

需：256+64=4（天）.

答：甲、乙、丙三組合作這批兒童玩具要4天完成.

-13-

小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第2課《比和比例》試題附答案

第二講比和比例

在應(yīng)用題的各種類型中，有一類與數(shù)量之間的（正、反）比例關(guān)系有關(guān).

在解答這類應(yīng)用題時(shí)，我們需要對(duì)題中各個(gè)量之間的關(guān)系作出正確的判斷.

成正比或反比的量中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量.一種量（記作x）變化時(shí)另一

種量（記作y）也隨著變化.與這兩個(gè)量聯(lián)系著，有一個(gè)不變的量（記為k）.

在判斷變量x與溪否成正、反比例時(shí)，我們要緊緊抓住這個(gè)不變量k.如

果不變量k是變量y與x的商，即在x變化時(shí)y與x的商不變：-=k,那么y與x成

正比例；如果k是y與x的積，即在x變化時(shí)，y與x的積不變：xy=k,那么y與x

成反比例.如果這兩個(gè)關(guān)系式都不成立，那么y與x不成（正和反）比例.

下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開始.

例1下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？

①速度一定，路程與時(shí)間.

②路程一定，速度與時(shí)間.

③路程一定，己走的路程與未走的路程.

④總時(shí)間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個(gè)零件所用的時(shí)間.

⑤總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積.

⑥整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商.

⑦同時(shí)同地，竿高和影長(zhǎng).

⑧半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積.

⑨兩個(gè)齒輪嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)速和齒數(shù).

?圓的半徑和面積.

（11）長(zhǎng)方體體積一定，底面積和高.

（12）正方形的邊長(zhǎng)和它的面積.

-14-

(13)乘公共汽車的站數(shù)和票價(jià).

(14)房間面積一定，每塊地板磚的面積與用殄的塊數(shù).

(15)汽車行駛時(shí)每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量.

例2一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長(zhǎng)的比依

次是1：2：3,某人走各段路程所用時(shí)間之比依次是4：5：6,已知他上坡的速

度是每小時(shí)3千米，問(wèn)此人走完全程用了多少時(shí)間？

例3一塊合金內(nèi)銅和鋅的比是2：3,現(xiàn)在再加入6克鋅，共得新合金36

克，求新合金內(nèi)銅和鋅的比？

例4師徒兩人共加工零件168個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，徒弟加工一

個(gè)零件用9分鐘，完成任務(wù)時(shí)，兩人各加工零件多少個(gè)？

例5洗衣機(jī)廠計(jì)劃20天生產(chǎn)洗衣機(jī)1600臺(tái)，生產(chǎn)5天后由于改進(jìn)技術(shù)，效

率提高25毋，完成計(jì)劃還要多少天？

例6一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的比是14：5,如果長(zhǎng)減少13厘米，寬增加13厘

米，則面積增加182平方厘米，那么原長(zhǎng)方形面積是多少平方厘米？

畫出圖便于解題：

14---------------H

13厘米

答案

-15-

第二講比和比例

在應(yīng)用題的各種類型中，有一類與數(shù)量之間的（正、反）比例關(guān)系有關(guān).

在解答這類應(yīng)用題時(shí)，我們需要對(duì)題中各個(gè)量之間的關(guān)系作出正確的判斷.

成正比或反比的量中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量.一種量（記作X）變化時(shí)另一

種量（記作V）也隨著變化.與這兩個(gè)量聯(lián)系著，有一個(gè)不變的量（記為k）.

在判斷變量x與謠否成正、反比例時(shí)，我們要緊緊抓住這個(gè)不變量k.如

果不變量k是變量y與x的商，即在x變化時(shí)y與x的商不變：?=k,那么y與x成

正比例；如果k是y與x的積，即在x變化時(shí)，y與x的積不變：xy=k,那么y與x

成反比例.如果這兩個(gè)關(guān)系式都不成立，那么y與x不成（正和反）比例.

下面我們從最基本的判斷兩種量是否成比例的例題開始.

例1下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？

①速度一定，路程與時(shí)間.

②路程一定，速度與時(shí)間.

③路程一定，己走的路程與未走的路程.

④總時(shí)間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個(gè)零件所用的時(shí)間.

⑤總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積.

⑥整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商.

⑦同時(shí)同地，竿高和影長(zhǎng).

⑧半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積.

⑨兩個(gè)齒輪嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)速和齒數(shù).

?圓的半徑和面積.

（11）長(zhǎng)方體體積一定，底面積和高.

（12）正方形的邊長(zhǎng)和它的面積.

-16-

（13）乘公共汽車的站數(shù)和票價(jià).

（14）房間面枳一定，每I夬地板游的面積與用磚的塊數(shù).

（15）汽車行駛時(shí)每公里的耗油量一定，所行驗(yàn)的距離和耗油總量.

分析以上每題都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變

化，那么怎樣來(lái)確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關(guān)鍵是能否把兩個(gè)

相關(guān)的變量x、y用5=k或用村=竦表示，其中k是定量.如果不能寫出這兩

種形式，或只能寫1加減法關(guān)系，那么這兩種量就不成比例.例如①

需=速度，速度一定，路程與時(shí)間成正比例.④制造每個(gè)零件用的時(shí)間X

零件數(shù)=總時(shí)間，總時(shí)間一定，制造每個(gè)零件用的時(shí)間與要制造的零件總數(shù)成

反比例.③路程一定，己走的路程和未走的路程是加減法關(guān)系，不成比例.

解：成正比例的有：①、⑦、⑧、（15）

成反比例的有：②、⑤、⑥、⑨、（11）、（14）

不成比例的有：③、?、（12）、（13）.

例2一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長(zhǎng)的比依

次是1：2：3,某人走各段路程所用時(shí)間之比依次是4：5：6,己知他上坡的速

度是每小時(shí)3千米，問(wèn)此人走完全程用了多少時(shí)間？

分析要求此人走完全程用了多少時(shí)間，必須根據(jù)已知條件先求出此人走

上坡路用了多少時(shí)間，必須知道走上坡路的速度（題中每小時(shí)行3千米）和上

坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1：2：

3,就可以求出上坡路的路程.

解：上坡路的路程：

60XTT^=10（千米）.

走上坡路用的時(shí)間：

10+3=3；（小時(shí)）,

-17-

上坡路所用時(shí)間與全程所用時(shí)間比:

44

4+5+615

走完全程所用時(shí)間:

4101525s1,?虹、

——=——X——=——=12—（小時(shí)）.

4153422J”

答：此人走完全程共用12：小時(shí).

例3一塊合金內(nèi)銅和鋅的比是2：3,現(xiàn)在再加入6克鋅，共得新合金36

克，錄新合金內(nèi)銅和洋的比？

分析要求新合金內(nèi)銅和鋅的比，必須分別求出新合金內(nèi)銅和鋅各自的重

量.應(yīng)該注意到銅和鋅的比是2：3時(shí)，合金的重量不是36克，而是（36-6）

克.銅的重量始終沒(méi)有變.

解：銅和鋅的比是2：3時(shí)，合金重量：

36-6=30（克）.

銅的重量：

2

30X-=12（克）.

新合金中鋅的重量：

36-12=24（克）.

新合金內(nèi)銅和鋅的比：

12:24=1:2.

答：新合金內(nèi)銅和鋅的比是1：2.

例4師徒兩人共加工零件168個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，徒弟加工一

個(gè)零件用9分鐘，完成任務(wù)時(shí)，兩人各加工零件多少個(gè)？

-18-

分析師傅加工一個(gè)零件用5分鐘，每分鐘可加工1個(gè)零件，徒弟加工

一個(gè)零件用9分鐘，每分鐘可加工零件3個(gè)，師徒兩人效率的比是1

由于兩人的工作時(shí)間是一定的，根據(jù)春嘉=工作時(shí)間（一定），

工作量與工作效率成正比例.

解法1：設(shè)師傅加工x個(gè)，徒弟加工（168-x）個(gè).

1

x_5

168-x1

9

x9

168-x=5

5X=168X9-9X,

14X=168X9,

x=108.

168-x=168-108=60（個(gè)）.

答：師傅加工108個(gè)，彼弟加工60個(gè).

解法2：由于師、徒兩人工作效率的比是，那么他們工作量的

比也是?因此師傅工作量是徒弟工作量的;+：=彳（倍），徒弟

的工作量為1倍量.

168+（g+:+D

4

=168+2-

-19-

=60（個(gè)），（徒弟）.

60乂（3+3=108（個(gè)），（師傅）.

解法3：師傅每分鐘加工J個(gè)，徒弟每分鐘加工9個(gè)，用相遇問(wèn)題思考方

法可求出兩人各用了多少分鐘.然后用師、徒每分鐘各自的效率，分別乘以

540就是各自加工零件的個(gè)數(shù).

1114

168+（+-）=168+京=540（分鐘）.

75945

gx540=108（個(gè)），（師傅）

540=60（個(gè)），（徒弟）.

例5洗衣機(jī)廠計(jì)劃20天生產(chǎn)洗衣機(jī)1600臺(tái)，生產(chǎn)5天后由于改進(jìn)技術(shù)，效

率提高25%,完成計(jì)劃還要多少天？

分析這是一道比例應(yīng)用題，工效和工時(shí)是變量，不變量是計(jì)劃生產(chǎn)5天后

剩下的臺(tái)數(shù).從工效看，有原來(lái)的效率1600+20=80臺(tái)/天，又有提高后的效

率80X（1+25%）=100臺(tái)/天.從時(shí)間看，有原來(lái)計(jì)劃的天數(shù)，要求效率提

高后還需要的天數(shù).

根據(jù)工效和工時(shí)成反比例的關(guān)系，得：

提高后的效率X所需天數(shù)=剩下的臺(tái)數(shù).

解法L設(shè)完成計(jì)劃還需x天.

1600+20X（1+25%）XX=1600-1600*20X5

80X1.25XX=1600-400

100x=1200

x=12.

-20-

例6一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的比是1%5,如果長(zhǎng)減少13厘米，寬增加13座

米，則面積增加182平方厘米，那么原長(zhǎng)方形面積是多少平方厘米？

畫出圖便于解題:

解法1：BC的長(zhǎng):182-13=14（厘米）,

BD的長(zhǎng),14+13=27（厘米），

從圖中看出AB長(zhǎng)就是原長(zhǎng)方形的寬，AD與AB的比是14：5,

AB與BD的比是5：（14-5）=5：9,

Q

AB的長(zhǎng)是27+5=15（厘米），

AD的長(zhǎng)是15+2=42（厘米），

14

原長(zhǎng)方形面積是42X15=630（平方厘米）.

答：原長(zhǎng)方形面積是630平方厘米.

解法2：設(shè)原長(zhǎng)方形長(zhǎng)為14x,寬為5x.由圖分析得方程

（1以一13）X13-5XX13=182,

9x=*13,

9x=27,

-21-

x=3.

則原長(zhǎng)方形面積

（14X3）X（5X3）=630（平方厘米）.

例4、例5、例6是綜合性較強(qiáng)的題，介紹了幾種不同解法.要求大家從不

同角度、綜合、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，多角度去思考解答應(yīng)用題，從而提高自己

思維判斷能力.

習(xí)題二

1.一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比是3：2,長(zhǎng)比寬多24米，這塊地的面積

是多少平方米？

2.一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比是3：2,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是120米，求這塊

地的面積？

3.水果店運(yùn)來(lái)橘子、蘋果共96筐，橘子和蘋果筐數(shù)的比是5：3,求橘

子、蘋果各是多少筐？

4.化肥廠計(jì)劃生產(chǎn)化肥1400噸，由于改進(jìn)技術(shù)5天就完成了計(jì)劃的25%,

照這樣計(jì)算，剩下的任務(wù)還需多少天完成？

5.小強(qiáng)買了一件上衣和兩條褲子，小明買了同樣價(jià)錢的上衣和褲子各一

件，他們用去錢數(shù)的比是4：3,已知一件上衣7元，求一條褲子多少元？

6.小剛讀一本書，第一天讀了全書的看，笫二天比第一天多讀了6頁(yè)，

這時(shí)已讀的頁(yè)數(shù)與剩下頁(yè)數(shù)的比是3：7,小剛再讀多少頁(yè)就能讀完這本書？

7.甲、乙兩車由A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲乙兩車速度比是2：

3,己知甲走完全程用59小時(shí)，求兩車幾小時(shí)后在中途相遇？

8.“長(zhǎng)江”號(hào)輪船第一次順流航行21公里又逆流航行4公里，笫二次在同

一河流中順流航行12公里，逆流航行7公里，結(jié)果兩次所用的時(shí)間相等.求順

水船速與逆水船速的比.

六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第二講比和比例習(xí)題解答

-22-

習(xí)題二解答

32

1.24+（擊-京）=120（米），

3

120X-=72（米），

o

120X-=48（米），

72X48=3456（平方米）?

2.120*2=60（米）,

3

60X而=36（米），

60X齊^=24（米），

36X24=864（平方米）?

3.5+3=8,

96x￡=60筐（橘子），

O

96X|=36筐（蘋果）.

O

4.設(shè)剩下的任務(wù)還需x天完成.

25%1-25%

~1-=~x-，

25%x=75%X5,

x=15.

5.設(shè)一件上衣與一條褲子的價(jià)錢之比是1：x,則小強(qiáng)和小明用去錢數(shù)的

比是：

-23-

l+2x_4

1+x=3f

3（1+2x）=4（1+x）,

3+6x=4+4x,

2x=1,

1

X=2'

7x1=3.5（元）（一條褲子）.

乙

327

6?6+（5萬(wàn)一行'2）乂罰亍=126（頁(yè)）?

7.設(shè)乙車行完全程用x小時(shí).

1

3x=2X5-,

乙

2

x=3",

1+（~2+-r）=2—（小時(shí)）.

3-5-'

32

8.順?biāo)伲耗嫠?（21-12）:（7-4）=3：1.

-24-

小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第3課《分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題1》試題附答案

笫三講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是小學(xué)數(shù)學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)之

一.一方面它是在整數(shù)應(yīng)用題基礎(chǔ)上的繼續(xù)和深化；另一方面，它有其本身的

特點(diǎn)和解題規(guī)律.因此，在這類問(wèn)題中，數(shù)量之間以及“量”、“率”之間的

相依關(guān)系與整數(shù)應(yīng)用題比較，就顯得較為復(fù)雜，這就給正確地選擇解題方法，

正確解答帶來(lái)一定困難.

為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法必須做好以下幾方面工作.

①具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力.解答整數(shù)應(yīng)用題的基砒知識(shí)，如概念、性

質(zhì)、法則、公式等仍廣泛用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.

②在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用.

③學(xué)會(huì)畫線段示意圖.線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件.它可以幫助我們?cè)趶?fù)雜的條件

與問(wèn)題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推理.

④學(xué)會(huì)多角度、多側(cè)面思考問(wèn)題的方法.分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問(wèn)題

之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法.因

此，在解題過(guò)程中，要善于掌握對(duì)應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，在尋找正

確的解題方法同時(shí)，不斷地開拓解題思路.

例1（1）本月用水量比上月節(jié)約7%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

（2）藍(lán)墨水比紅墨水多20%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

（3）己看的頁(yè)數(shù)比未看的頁(yè)數(shù)多15%,可以聯(lián)想哪些關(guān)系?

例2小華看一本書，每天看15反，4天后還剩全書的1沒(méi)看，這本故事書

是多少頁(yè)？

例3小華看一本故事書，第一天看了全書的:還多21頁(yè)，第二天看

O

了全書的!少6頁(yè)，還剩下172頁(yè)，這本故事書一共有多少頁(yè)？

6

-25-

例4惠華百貨商場(chǎng)運(yùn)到一批春秋西服，按原（出廠）價(jià)加上運(yùn)費(fèi)、營(yíng)

業(yè)費(fèi)和利潤(rùn)出售.運(yùn)費(fèi)是原價(jià)的《，營(yíng)業(yè)費(fèi)和利潤(rùn)一共是原價(jià)的《，已知售

價(jià)是123元，求出廠價(jià)多少元？

例5菜園里西紅柿獲得豐收，收下全部的京時(shí)，裝滿3筐還多24千克，收

完其余部分時(shí)，又剛好裝滿6筐，求共收西紅柿多少千克？

例6建筑工地需要一批水泥，從倉(cāng)庫(kù)第一次運(yùn)走全部的?，第二次

運(yùn)走余下的;，第三次運(yùn)走（前二次運(yùn)后）又余下的?這時(shí)還剩下15噸水泥

沒(méi)運(yùn)走.這批水泥共是多少噸？

例7某人在公共汽車上發(fā)現(xiàn)一個(gè)小偷向相反方向步行，10秒鐘后他

下車去追小偷，如其速度比小偷快一倍，比汽車慢;，則追上小偷要多少秒？

例8A有若干本書，B借走一半加一本，剩下的書，C借走一半加兩本，再

剩下的書，D借走一半加3本，最后皿有2本書，問(wèn)嫄有多少本書.

-26-

答案

例1（1）本月用水量比上月節(jié)約7%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

①上月用水量與單位“1”的關(guān)系.

②本月節(jié)約用水量與上月用水量的7%的關(guān)系.

③本月用水量與上月用水量的（1-7%）的關(guān)系.

（2）藍(lán)墨水比紅墨水多20%,可以聯(lián)想到哪些關(guān)系？

①紅墨水與單位“1”的關(guān)系.

②藍(lán)墨水比紅墨水多出的量與紅墨水的20%的關(guān)系.

③藍(lán)墨水與紅墨水的C1+20%）的關(guān)系.

（3）己看的頁(yè)數(shù)比未看的頁(yè)數(shù)多15%,可以聯(lián)想哪些關(guān)系？

①未看的頁(yè)數(shù)與單位“1”的關(guān)系.

②己看的與未看的頁(yè)數(shù)的差與未看頁(yè)數(shù)的15%的關(guān)系.

③己看的頁(yè)數(shù)與未看的頁(yè)數(shù)的（1+15%）的關(guān)系.

例2小華看一本書，每天看15頁(yè)，4天后還剩全書的|沒(méi)看，這本故事書

是多少頁(yè)？

分析每天看15頁(yè)，4天看了15*4=60頁(yè).解題的關(guān)鍵是要找出

這60頁(yè)相當(dāng)于全書頁(yè)數(shù)的幾分之幾，還剩下全書的玄殳看，己經(jīng)看了的是

322——

全書的1-5=亍60頁(yè)與全書的行直接對(duì)應(yīng)，全書的頁(yè)數(shù)就可以順利求出.

-27-

解：①看了多少頁(yè)？

15X4—60（頁(yè)）.

②看了全書的幾分之幾？

-32

55,

③這本書有多少頁(yè)？

2

60+5=150（頁(yè)）.

綜合算式：15X4+（1-13）

2

=60+y=150（頁(yè)）

答：這本故事書是150頁(yè).

例3小華看一本故事書，第一天看了全書的（還多21頁(yè)，第二天看

O

了全書的!少6頁(yè)，還剩下172頁(yè)，這本故事書一共有多少頁(yè)？

分析要想求這本書共有多少頁(yè)，需要找條件里的多21頁(yè)，少6頁(yè)，剩下

172頁(yè)所對(duì)應(yīng)的百分率.也就是說(shuō)，要從這三個(gè)量里找出一個(gè)能明確占全書的

幾分之幾的量.

畫線段圖：

1/821頁(yè)1/6

/----A------V-/----^―

I[III

6頁(yè)

、____/

172頁(yè)

解：(172-6+21)+

o0

-28-

=264（頁(yè)）.

答：這本故事書共有264頁(yè).

例4惠華百貨商場(chǎng)運(yùn)到一批春秋西服，按原（出廠）價(jià)加上運(yùn)費(fèi)、營(yíng)

業(yè)費(fèi)和利潤(rùn)出售.運(yùn)費(fèi)是原價(jià)的需，營(yíng)業(yè)費(fèi)和利潤(rùn)一共是原價(jià)的《，已知售

價(jià)是123元，求出廠價(jià)多少元？

分析設(shè)出廠價(jià)（原價(jià)）是“1”，那么售價(jià)是原價(jià)的1+2+1,它相當(dāng)

lo14

于123元,

出廠價(jià)?______________________?

1/181/12

售價(jià)?______________________

、一/

123元

如上圖可以得出解答:

5

36

3萬(wàn)

=108（元）.

答：春秋西服每套出廠價(jià)是108元.

-29-

例5菜園里西紅柿獲得豐收，收下全部的（時(shí)，裝滿3筐還多24千克，收

完其余部分時(shí)，又剛好裝滿6筐，求共收西紅柿多少千克？

解法1：分析可以從“收下全部的高”著手，其余部分必然是一J

oo

總千克數(shù)的《是6筐，依據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，總筐數(shù)就是6+■|=9：筐.

oooJ

收下全部的《就是9：X==3：筐.

OJO□

根據(jù)題目中的條件，筐比3筐多楙筐，這個(gè)1筐正好是24千克，“量與百

分率”的關(guān)系己經(jīng)直接對(duì)應(yīng)，求每筐的千克數(shù)的條件完全具備.

解：其余部分是總千克數(shù)的幾分之幾：

135

1一家“

西紅柿總數(shù)共裝了多少筐：

6+得=4（筐）.

oD

收下全部的焉應(yīng)裝多少筐：

O

9（3xf3=313（筐）.

JO□

3|筐比3筐多多少筐：

33

3|-3=|（筐）.

-30-

每筐是多少千克：

3

24--=40（千克）.

共收西紅柿多少千克：

3

40X9-=384（千克）.

綜合算式：

333

24+[6+（1--）X--3]X[6-（1--）]

OOO

35

=24-[3--3]X[6--]

Jo

53

=24X—X9—=384（千克）.

答：共收西紅柿384千克.

解法2：（以下列式由學(xué)生自己理解）

33

24--（1--）+（6+3）]

OO

35

=24^[----2]

OO

=24+—=384（千克）.

10

答：共收西紅柿384千克.

例6建筑工地需要一批水泥，從倉(cāng)庫(kù)第一次運(yùn)走全部的|,第二次

運(yùn)走余下的;，第三次運(yùn)走（前二次運(yùn)后）又余下的堤這時(shí)還剩下15噸水泥

沒(méi)運(yùn)走.這批水泥共是多少噸？

-31-

1

第一次/5

/入\

IIII1]

—_/

全部？噸

a?，，

1/3*'

、f~?/I

余下？噸

“j”

人

/\

3/4

，-------------------------

1111I

'""*Z—

刺下15噸

又余下？噸

分析上圖中有3個(gè)相對(duì)各自討論范圍內(nèi)的單位“1”（"全部”、”余

下”、“又余下”）.依據(jù)逆向思路可以得出，最后剩下的15噸對(duì)應(yīng)的是

“又余下”的9,因此求出“又余下”的噸數(shù)60噸（即“又余下”含義中

的1個(gè)單位是60噸）.這60噸對(duì)應(yīng)的恰是“余下”的這樣可以求“余下”

的噸數(shù)90噸（即“余下”含義中的1個(gè)單位是90噸）.這90噸恰是“全

部”的，至此這批水泥的全部噸數(shù)可以求出。

312

列式：15+（1_/+（1_百）+（1_,）

“123

=15十T---T-

435

=150（噸）.

例7某人在公共汽車上發(fā)現(xiàn)一個(gè)小偷向相反方向步行，10秒鐘后他

下車去追小偷，如其速度比小偷快一倍，比汽車慢*,則追上小偷要多少秒?

-32-

分析與解答這是一個(gè)追及問(wèn)題，因此求追上所花時(shí)間必須求出相距距離

及它們速度差.相距距離是因?yàn)檐嚿现伺c小偷反向走了1C秒鐘產(chǎn)生的?而速

度差是易求的.

設(shè)小偷速度為％,某人追趕速度為2%,由于人比汽車慢;所以汽車

速度為即是10%,所以相距距離是

1OX(10%+%)=110Vo,

所以追上所花時(shí)間是

110%+(2V0-V0)=110(秒).

答：追上小偷要110秒.

例8A有若干本書，B借走一半加一本，剩下的書，C借走一半加兩本，再

剩下的書，D借走一半加3米，最后斑有2本書，問(wèn)A原有多少本書.

解法1：列方程求解，設(shè)A原有x本書，

分析B借走了，!x+l,

C借走了：y[x-(yx+l)]+2,

即L-1)+2,

D借走了：![(|x-D(l-1)-2]+3,

最后嫌J下了：3gx-1)(1-')-2]-3,

由條件知：^[(|x-l)(l-^)-2]-3-2,

-33-

答：既有50本書.

解法2：用倒推法解.

分析下的2本應(yīng)是C借走后剩下的一半差3本，所以，借走后還

剩下（2+3）即10本，這10本又是B借走后剩下的一半差2本，所以

B借走后剩下（10+2）即是24本，這24本是A原有書的一半差1本，這

樣A原有書為（24+1）即A原有書50本.

綜合算式：

{[2+3）+[+2]+]+1[+<=50.

乙乙乙

答：既有50本書.

-34-

習(xí)題三

1?水果店運(yùn)來(lái)一批橘子和蘋果，其中橘子重量占總重量的，，橘子比蘋

果少1曲0千克，運(yùn)來(lái)橘子多少千克？

2.有兩袋米，甲袋比乙袋少18千克.如果再?gòu)募状谷胍掖?千克，

這時(shí)甲袋的米相當(dāng)于乙袋的"兩袋米原來(lái)各有多少千克？

O

3.一本書，己看了130頁(yè)，剩下的準(zhǔn)備8天看完.如果每天看的頁(yè)數(shù)

相等，3天看的頁(yè)數(shù)恰好是全書的會(huì).這本書共有多少頁(yè)？

4.媽媽買了一些蘋果，第一天吃去;又1個(gè)，第二天吃去剩下的"又

J個(gè)，第三天吃去再剩下的;又;個(gè)，這時(shí)剩下3個(gè)蘋果.向媽媽買了多少

蘋果？每天各吃了幾個(gè)蘋果？

5.古希臘杰出的數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上有一段話：“他生命的六分之一

是幸福的童年.再活十二分之一臉上長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的胡須，他結(jié)了婚還沒(méi)有孩

子，又度過(guò)了七分之一.再過(guò)了五年，他幸福地得到了一個(gè)兒子.可這孩子光

輝燦爛的壽命只有他父親的一半.兒子死后，老人在悲痛中活了四年，也結(jié)束

了塵世的生涯你能根據(jù)這段話推算出丟番圖活了多少歲？多少歲結(jié)的婚

嗎？

6.一瓶酒精，當(dāng)用去酒精的一半后，連瓶共重700克；如只用去酒精

的;后，連瓶共重800克.求瓶子的重量.

7.電視機(jī)廠五月份生產(chǎn)一批電視機(jī)，上旬生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)占總數(shù)的得，

下旬比中旬多生產(chǎn)中旬產(chǎn)量的，正好是40臺(tái)，這個(gè)廠五月份生產(chǎn)電視機(jī)多少

臺(tái)？

六年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第三講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）習(xí)題解答

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習(xí)題三解答

1.①蘋果重量占總重量的幾分之幾？

,713

2020,

②橘子比蘋果少總重量的幾分之幾?

137_3

20"20=W'

③總重量是多少千克？

3

1440*—=4800（千克）.

@運(yùn)來(lái)橘子多少千克？

7

4800X—=1680（千克）.

2.①倒米后甲袋比乙袋少多少千克？

18+6X2=30（千克）.

②倒米后甲袋比乙袋少幾分之幾？

“I——5=—3

88,

③倒米后乙袋有米多少千克？

3

30+m=80（千克）.

O

④原來(lái)乙袋有米多少千克？

80-6=74（千克）.

-36-

⑤原來(lái)甲袋有米多少千克？

74-18=56（千克）.

3.130+（1一焉+3X8）=330（頁(yè)）.

4.共買蘋果：

（[（3+：）++；｝?

=11（個(gè)）.

第一天吃：11Xg+g=4（個(gè)），

第二天吃：Q1—4）x:+；=2（個(gè)），

第三天吃：（11一4-2）X：+；=2（個(gè)）.