2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：統(tǒng)計(jì)（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：統(tǒng)計(jì)（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?回憶版）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p＝0.5．設(shè)p為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果p＞p+1.65p(1-p)n，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（150附：K2=n(ad-bcP（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282．（2024?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)三模）“一帶一路”是促進(jìn)各國(guó)共同發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同繁榮的合作共贏之路．為了了解我國(guó)與某國(guó)在“一帶一路”合作中兩國(guó)的貿(mào)易量情況，隨機(jī)抽查了100天進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量（單位：億人民幣/天）得下表：進(jìn)口出口[0，50]（50，100]（100，150][0，50]32184（50，100]6812（100，150]3710（1）估計(jì)事件“我國(guó)與該國(guó)貿(mào)易中，一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過(guò)100億人民幣”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：進(jìn)口出口[0，100]（100，150][0，100]（100，150]（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“我國(guó)與該國(guó)貿(mào)易中一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量”有關(guān)？附：K2p（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283．（2024?青海二模）某企業(yè)近年來(lái)的廣告費(fèi)用x（百萬(wàn)元）與所獲得的利潤(rùn)y（千萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表所示，已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．年份20182019202020212022廣告費(fèi)用x/百萬(wàn)元1.51.61.71.81.9利潤(rùn)y/千萬(wàn)元1.622.42.53（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程：（2）若該企業(yè)從2018年開始，廣告費(fèi)用連續(xù)每一年都比上一年增加10萬(wàn)元，根據(jù)（1）中所得的線性回歸方程，預(yù)測(cè)2025年該企業(yè)可獲得的利潤(rùn)．參考公式：b?=i=14．（2024?故城縣校級(jí)模擬）某高中高一500名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；（2）估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；（3）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生．從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個(gè)事件是否獨(dú)立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．5．（2024?順義區(qū)校級(jí)模擬）習(xí)近平總書記高度重視體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，將體育與國(guó)家發(fā)展、民族振興緊密聯(lián)系在一起，多次強(qiáng)調(diào)體育“是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要內(nèi)容”“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”，為了響應(yīng)總書記的號(hào)召，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展了豐富多彩的體育實(shí)踐活動(dòng)．為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：時(shí)間人數(shù)類別[0，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中41312754（Ⅰ）從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在[60，70）的概率；（Ⅱ）從該校參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在[80，90）學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，在[90，100）的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求供中至少有1名初中學(xué)生的概率；（Ⅲ）假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為μ0，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為μ1，μ2，試比較μ0與μ16．（2024?大武口區(qū)校級(jí)三模）為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高中在全校三個(gè)年級(jí)開展了一次“不負(fù)時(shí)代，不負(fù)韶華，做好社會(huì)主義接班人”演講比賽．共1500名學(xué)生參與比賽，現(xiàn)從各年級(jí)參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，并按成績(jī)分為五組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學(xué)生占37（1）求抽取的200名學(xué)生的平均成績(jī)x（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）若在第五組中，按照各年級(jí)人數(shù)比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再?gòu)闹羞x取2人組成宣講組，在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，求這2人都是高三學(xué)生的概率；（3）若比賽成績(jī)x＞x+s（s為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差），則認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀，試估計(jì)參考公式：s=i=1n(xi-x7．（2024?衡水一模）《中國(guó)制造2025》提出“節(jié)能與新能源汽車”作為重點(diǎn)發(fā)展領(lǐng)域，明確了“繼續(xù)支持電動(dòng)汽車、燃料電池汽車發(fā)展，掌握汽車低碳化、信息化、智能化核心技術(shù)，提升動(dòng)力電池、驅(qū)動(dòng)電機(jī)、高效內(nèi)燃機(jī)、先進(jìn)變速器、輕量化材料、智能控制等核心技術(shù)的工程化和產(chǎn)業(yè)化能力，形成從關(guān)鍵零部件到整車的完成工業(yè)體系和創(chuàng)新體系，推動(dòng)自主品牌節(jié)能與新能源汽車與國(guó)際先進(jìn)水平接軌的發(fā)展戰(zhàn)略，為我國(guó)節(jié)能與新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展指明了方向．某新能源汽車制造企業(yè)為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)現(xiàn)有的一條新能源零部件產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的新能源零部件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測(cè)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù)整理得到頻率直方圖（如圖）：（1）從質(zhì)量指標(biāo)值在[55，75）的兩組檢測(cè)產(chǎn)品中，采用分層抽樣的方法再抽取5件．現(xiàn)從這5件中隨機(jī)抽取2件作為樣品展示，求抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率．（2）經(jīng)估計(jì)知這組樣本的平均數(shù)為x=61，方差為s2＝241．檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中an=5×{x-ns5}，bn=5×[x+ns5]，n∈N*，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，{x}表示不小于x的最小整數(shù)，s值四舍五入精確到個(gè)位．根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級(jí)改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在[a1，b8．（2024?上海）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）．（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？9．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)四模）某工廠的工人生產(chǎn)內(nèi)徑為28.50mm的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，在某次抽檢中，從該廠的1000個(gè)零件中抽出60個(gè)，測(cè)得其內(nèi)徑尺寸（單位：mm）如下：28.51×1328.52×628.50×428.48×1128.49×p28.54×128.53×728.47×q這里用x×n表示有n個(gè)尺寸為xmm的零件，p，q均為正整數(shù)．若從這60個(gè)零件中隨機(jī)抽取1個(gè)，則這個(gè)零件的內(nèi)徑尺寸小于28.49mm的概率為415（1）求p，q的值．（2）已知這60個(gè)零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)為xmm，標(biāo)準(zhǔn)差為smm，且s＝0.02，在某次抽檢中，若抽取的零件中至少有80%的零件內(nèi)徑尺寸在[10．（2024?長(zhǎng)沙模擬）2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾?。疄榱藦氐讚魯〔《荆藗兏又v究衛(wèi)生講究環(huán)保．某學(xué)校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）若從成績(jī)低于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)低于50分的人數(shù)；（2）以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；（3）首輪競(jìng)賽成績(jī)位列前10%的學(xué)生人圍第二輪的復(fù)賽，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(jī)（記為k）．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：統(tǒng)計(jì)（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?回憶版）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p＝0.5．設(shè)p為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果p＞p+1.65p(1-p)n，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（150附：K2=n(ad-bcP（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，計(jì)算K2，對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論；（2）由題意求得p，比較p和p+1.65p(1-p)n【解答】解：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030零假設(shè)H0：根據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，X2=150×(70×24-26×30)296×54×50×100有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異；零假設(shè)H0：根據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，4.6875＜6.635，沒有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異．（2）由題意得p=96150=0.64，p+1.65p(1-p)所以p＞p+1.65p(1-p)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2．（2024?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)三模）“一帶一路”是促進(jìn)各國(guó)共同發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同繁榮的合作共贏之路．為了了解我國(guó)與某國(guó)在“一帶一路”合作中兩國(guó)的貿(mào)易量情況，隨機(jī)抽查了100天進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量（單位：億人民幣/天）得下表：進(jìn)口出口[0，50]（50，100]（100，150][0，50]32184（50，100]6812（100，150]3710（1）估計(jì)事件“我國(guó)與該國(guó)貿(mào)易中，一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過(guò)100億人民幣”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：進(jìn)口出口[0，100]（100，150][0，100]（100，150]（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“我國(guó)與該國(guó)貿(mào)易中一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量”有關(guān)？附：K2p（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）進(jìn)口貿(mào)易與出口貿(mào)易均不超過(guò)100的天數(shù)為64，利用古典概型概率公式即可求解；（2）根據(jù)100天進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量，計(jì)算各段的頻數(shù)即可；（3）把表中數(shù)據(jù)代入公式K2【解答】解：（1）由表中的信息可知，在100天中，進(jìn)口貿(mào)易與出口貿(mào)易均不超過(guò)100的天數(shù)為32+18+6+8＝64，用頻率估計(jì)概率，可得所求概率為p=64（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表如下：進(jìn)口出口[0，100]（100，150][0，100]6416（100，150]1010（3）把（2）中數(shù)據(jù)代入K2=n所以有99%的把握認(rèn)為我國(guó)與該國(guó)貿(mào)易中一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量有關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題．3．（2024?青海二模）某企業(yè)近年來(lái)的廣告費(fèi)用x（百萬(wàn)元）與所獲得的利潤(rùn)y（千萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表所示，已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．年份20182019202020212022廣告費(fèi)用x/百萬(wàn)元1.51.61.71.81.9利潤(rùn)y/千萬(wàn)元1.622.42.53（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程：（2）若該企業(yè)從2018年開始，廣告費(fèi)用連續(xù)每一年都比上一年增加10萬(wàn)元，根據(jù)（1）中所得的線性回歸方程，預(yù)測(cè)2025年該企業(yè)可獲得的利潤(rùn)．參考公式：b?=i=1【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）y?（2）3.95千萬(wàn)元．【分析】（1）根據(jù)題意求出x，y，i=15xi2，i=15xi（2）利用（1）得到的線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)即可．【解答】解：（1）由題意可知，x=1.5+1.6+1.7+1.8+1.95=1.7，y=所以b?所以a?故所求的線性回歸方程為y?（2）由題可知，到2025年時(shí)廣告費(fèi)用為2.2百萬(wàn)元，故可預(yù)測(cè)該公司所獲得的利潤(rùn)約為3.3×2.2﹣3.31＝3.95（千萬(wàn)元）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線性回歸方程的求解和應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024?故城縣校級(jí)模擬）某高中高一500名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；（2）估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；（3）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生．從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個(gè)事件是否獨(dú)立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）0.2；（2）78.75；（3）不獨(dú)立．【分析】（1）由對(duì)立事件結(jié)合頻率分布直方圖，即可求出分?jǐn)?shù)小于60的頻率，則可得出總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)值．（2）先得出從前到后的頻率之和為0.75是在哪個(gè)區(qū)間，再通過(guò)頻率求出測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)．（3）驗(yàn)證獨(dú)立性公式是否成立．【解答】（1）解：由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：（0.02+0.04+0.02）×10＝0.8，則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為1﹣0.8＝0.2，∴從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率為0.2；（2）解：由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80）的頻率最高，則隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的眾數(shù)的估計(jì)值為75，由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為0.4，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為0.8，則測(cè)試成績(jī)的75%分位數(shù)落在區(qū)間[70，80）上，估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為：70+10×0.350.4（3）“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個(gè)事件不獨(dú)立．證明：由已知可得分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生，1名女生，30分到40分的學(xué)生有3人，其中2名男生，1名女生，設(shè)“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”為事件A，“抽到的學(xué)生是男生”為事件B，則從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”的概率為25從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生是男生”的概率為35則從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”且“抽到的學(xué)生是男生”的概率為15則有P（AB）≠P（A）P（B），則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個(gè)事件不獨(dú)立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率、頻數(shù)、眾數(shù)、分位數(shù)、頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?順義區(qū)校級(jí)模擬）習(xí)近平總書記高度重視體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，將體育與國(guó)家發(fā)展、民族振興緊密聯(lián)系在一起，多次強(qiáng)調(diào)體育“是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要內(nèi)容”“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”，為了響應(yīng)總書記的號(hào)召，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展了豐富多彩的體育實(shí)踐活動(dòng)．為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：時(shí)間人數(shù)類別[0，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中41312754（Ⅰ）從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在[60，70）的概率；（Ⅱ）從該校參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在[80，90）學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，在[90，100）的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求供中至少有1名初中學(xué)生的概率；（Ⅲ）假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為μ0，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為μ1，μ2，試比較μ0與μ1【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)．【專題】整體思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）29（2）263（3）μ0【分析】（1）根據(jù)條件概率公式求解即可；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解即可；（3）補(bǔ)全初中段的人數(shù)表格，再分別計(jì)算μ0，μ1，μ2，即可得解．【解答】解：（1）女生共有6+9+10+10+6+4＝45人，記事件A為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，參加體育活動(dòng)時(shí)間在[60，70）”，由題意可知，P(A)=45100=因此P(B|A)=P(AB)所以從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育活動(dòng)時(shí)間在[60，70）的概率為29（2）時(shí)間在[80，90）的學(xué)生有10+5＝15人，活動(dòng)時(shí)間在[90，100]的初中學(xué)生有8+4﹣4＝8人，記事件C為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在[80，90）的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到初中學(xué)生”，事件D為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在[90，100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，由題意知，事件C，D相互獨(dú)立，且P(C)=C所以至少有1名初中學(xué)生的概率P=1-P(CD（3）根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù)：時(shí)間人數(shù)類別[0，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]性別男51213898女69101064學(xué)段初中781111108高中41312754初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝25×7+8×55+11×65+11×75+10×85+8×95＝3765．高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝4×25+13×55+12×65+7×75+5×85+4×95＝2925，又μ0=1100(3765+2925)=66.9可得由μ0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的相關(guān)的知識(shí)，應(yīng)注意古典概型概率計(jì)算相關(guān)的知識(shí)，屬于中檔題．6．（2024?大武口區(qū)校級(jí)三模）為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高中在全校三個(gè)年級(jí)開展了一次“不負(fù)時(shí)代，不負(fù)韶華，做好社會(huì)主義接班人”演講比賽．共1500名學(xué)生參與比賽，現(xiàn)從各年級(jí)參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，并按成績(jī)分為五組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學(xué)生占37（1）求抽取的200名學(xué)生的平均成績(jī)x（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）若在第五組中，按照各年級(jí)人數(shù)比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再?gòu)闹羞x取2人組成宣講組，在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，求這2人都是高三學(xué)生的概率；（3）若比賽成績(jī)x＞x+s（s為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差），則認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀，試估計(jì)參考公式：s=i=1n(xi-x【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）75；（2）17；（3）273【分析】（1）利用頻率分布直方圖中的平均數(shù)計(jì)算方法計(jì)算即可；（2）先由題意求得抽到的高三學(xué)生人數(shù)，再利用古典概型與組合數(shù)即可求得所求概率；（3）先利用題目所求標(biāo)準(zhǔn)差公式求得s，再求得優(yōu)秀成績(jī)所在區(qū)間的頻率，從而可估算得成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得x=(55×0.011+65×0.02+75×0.034+85×0.028+95×0.007)×10=75所以抽取的200名學(xué)生的平均成績(jī)x=75（2）由于第五組總共要抽取7人，高三學(xué)生占37，所以抽到的高三學(xué)生應(yīng)該有7所以由古典概型可得這2人都是高三學(xué)生的概率為C3（3）根據(jù)題意可得s==44+20+0+28+28所以優(yōu)秀的比賽成績(jī)應(yīng)該x＞而比賽成績(jī)?cè)赱86，100]的頻率為：（90﹣86）×0.028+0.007×10＝0.182，而1500×0.182＝273，故參賽的1500名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為273人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，平均數(shù)的概念，分層抽樣的概念，標(biāo)準(zhǔn)差的概念，屬中檔題．7．（2024?衡水一模）《中國(guó)制造2025》提出“節(jié)能與新能源汽車”作為重點(diǎn)發(fā)展領(lǐng)域，明確了“繼續(xù)支持電動(dòng)汽車、燃料電池汽車發(fā)展，掌握汽車低碳化、信息化、智能化核心技術(shù)，提升動(dòng)力電池、驅(qū)動(dòng)電機(jī)、高效內(nèi)燃機(jī)、先進(jìn)變速器、輕量化材料、智能控制等核心技術(shù)的工程化和產(chǎn)業(yè)化能力，形成從關(guān)鍵零部件到整車的完成工業(yè)體系和創(chuàng)新體系，推動(dòng)自主品牌節(jié)能與新能源汽車與國(guó)際先進(jìn)水平接軌的發(fā)展戰(zhàn)略，為我國(guó)節(jié)能與新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展指明了方向．某新能源汽車制造企業(yè)為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)現(xiàn)有的一條新能源零部件產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的新能源零部件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測(cè)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù)整理得到頻率直方圖（如圖）：（1）從質(zhì)量指標(biāo)值在[55，75）的兩組檢測(cè)產(chǎn)品中，采用分層抽樣的方法再抽取5件．現(xiàn)從這5件中隨機(jī)抽取2件作為樣品展示，求抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率．（2）經(jīng)估計(jì)知這組樣本的平均數(shù)為x=61，方差為s2＝241．檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中an=5×{x-ns5}，bn=5×[x+ns5]，n∈N*，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)，{x}表示不小于x的最小整數(shù)，s值四舍五入精確到個(gè)位．根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級(jí)改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在[a1，b【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）25（2）詳見解析．【分析】（1）根據(jù)分層抽樣確定抽取比例，然后運(yùn)用組合求解即可；（2）根據(jù)題中公式，計(jì)算出區(qū)間并判斷數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，然后與題中條件比較即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可知P[55所以抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率為：P=C（2）因?yàn)閟2＝241，知s≈16，則a1該抽樣數(shù)據(jù)落在[45，75]內(nèi)的頻率約為0.16+0.3+0.2＝66%＞65%，又a2該抽樣數(shù)據(jù)落在[30，90]內(nèi)的頻率約為1﹣0.03﹣0.04＝0.93＝93%＜95%，所以可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率直方圖的運(yùn)用，古典概率和離散型隨機(jī)變量的期望和方差，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（2024?上海）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）．（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）12500人；（2）0.9h；（3）學(xué)業(yè)成績(jī)與鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2兩小時(shí)有關(guān)【分析】（1）由已知結(jié)合頻率與概率關(guān)系即可求解；（2）先求出樣本平均數(shù)，然后用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)即可；（3）結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)即可判斷．【解答】解：（1）580人中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)人數(shù)占比P=42+3+1+137+40+27該地區(qū)29000名初中學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)的人數(shù)約為29000×（2）該地區(qū)初中學(xué)生鍛煉平均時(shí)長(zhǎng)約為1580×[12×0.5×（5+134）+1+0.52×（4+147）+1+1.52×（42+137）+1.5+22（3）由題意可得2×2列聯(lián)表，[1，2）其他總數(shù)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485①提出零假設(shè)H0：成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)無(wú)關(guān)，②確定顯著性水平α＝0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，③χ2④否定零假設(shè)，即學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用樣本估計(jì)總體，由頻率分布表求平均數(shù)及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)四模）某工廠的工人生產(chǎn)內(nèi)徑為28.50mm的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，在某次抽檢中，從該廠的1000個(gè)零件中抽出60個(gè)，測(cè)得其內(nèi)徑尺寸（單位：mm）如下：28.51×1328.52×628.50×428.48×1128.49×p28.54×128.53×728.47×q這里用x×n表示有n個(gè)尺寸為xmm的零件，p，q均為正整數(shù)．若從這60個(gè)零件中隨機(jī)抽取1個(gè)，則這個(gè)零件的內(nèi)徑尺寸小于28.49mm的概率為415（1）求p，q的值．（2）已知這60個(gè)零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)為xmm，標(biāo)準(zhǔn)差為smm，且s＝0.02，在某次抽檢中，若抽取的零件中至少有80%的零件內(nèi)徑尺寸在[【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)零件個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的概率，建立方程組，解之可得答案；（2）求出平均數(shù)，然后求出零件內(nèi)徑尺寸在[x-S，【解答】解：（1）依題意可得13+6+4+11+p+1+7+q=6011+q60=415，解得p＝13（2）將每個(gè)數(shù)據(jù)都減去28.50后所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為160×[0.01×13+0.02×6+0×4+（﹣0.02）×11+（﹣0.01）×13+0.04×1+0.03×7+（﹣0.03）×5]＝可得x=0+28.50＝28.50，所以x-s=28.48，x+s=28.52，這60個(gè)零件內(nèi)徑尺寸在[x-S，x+s]內(nèi)的個(gè)數(shù)為60﹣因?yàn)?760【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)公式、隨機(jī)事件的概率公式等知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?長(zhǎng)沙模擬）2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾?。疄榱藦氐讚魯〔《?，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保．某學(xué)校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）若從成績(jī)低于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)低于50分的人數(shù)；（2）以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；（3）首輪競(jìng)賽成績(jī)位列前10%的學(xué)生人圍第二輪的復(fù)賽，請(qǐng)根據(jù)圖中信息，估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(jī)（記為k）．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）2人；（2）71分；（3）88分．【分析】（1）先根據(jù)各矩形的面積之和為1，求得a，再根據(jù)各層的人數(shù)比例抽??；（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)公式求解；（3）根據(jù)百分位數(shù)的定義求解．【解答】解：（1）由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10＝1，得a＝0.03，因?yàn)?.01×10×200＝20（人），0.015×10×200＝30（人），所以不高于50分的抽5×（2）平均數(shù)x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71（3）因?yàn)槌煽?jī)位于[90，100]的頻率為0.005×10＝0.05，成績(jī)位于[80，90）的頻率為0.025×10＝0.25，所以k∈[80，90），則0.05+（90﹣k）×0.025＝0.1，解得k＝88，即入圍復(fù)賽的成績(jī)?yōu)?8分．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)的估計(jì)，考查了百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．頻率分布直方圖【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．頻率分布直方圖：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分布表中的各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來(lái)表示，由此畫成的統(tǒng)計(jì)圖叫做頻率分布直方圖．2．頻率分布直方圖的特征①圖中各個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率的數(shù)值，所有小矩形面積和為1．②從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)．③從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉．3．頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)①眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．②平均數(shù)：頻率分布直方圖各個(gè)小矩形的面積乘底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．③中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo)．【解題方法點(diǎn)撥】繪制頻率分布直方圖的步驟：2．頻率分布直方圖的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣應(yīng)用：用于數(shù)據(jù)的分布可視化，幫助分析數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)、離散程度等．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析：通過(guò)直方圖觀察數(shù)據(jù)的分布特征，識(shí)別數(shù)據(jù)的集中區(qū)域和離散程度．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察如何解讀頻率分布直方圖及其對(duì)數(shù)據(jù)分析的貢獻(xiàn)．3．用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x=2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)【解題方法點(diǎn)撥】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選?。海?）