2024-2025學年福建省漳州市平和廣兆中學高三（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省漳州市平和廣兆中學高三（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={x|?2<x<2}，N={?1,0,1,2,3}，則M∩N=(

)A.{?1,0,1} B.{?1,0,1,2} C.{?1,0} D.{0,1}2.在復平面中，若復數(shù)z滿足1z?1=i，則|z|=(

)A.2 B.1 C.3 D.3.若a，b∈R，則|a|=|b|是2a=2bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)=?x2?3x+2,x<02x?3,x≥0，若A.(?∞,?3]∪[4,+∞) B.{0}∪[4,+∞)

C.[?3,0]∪[4,+∞) D.[?3,0)∪[4，+∞)5.已知tan(α+π6)=A.14 B.34 C.?16.已知函數(shù)f(x)=x3+axA.a=2，b=1

B.a=?1，b=2

C.a=?2，b=1

D.a=2，b=?17.已知數(shù)列{an}滿足a1=3，aA.2025 B.2024 C.20234050 D.8.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)=a?cosπ2x，若函數(shù)y=f(x+1)A.a=1 B.f(x)的最小正周期T=4

C.y=f(x)?|log6x|有4個零點二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(3,4)，b=(4,m)，則(

)A.|a|=5 B.|a?b|min=1

C.若a10.設函數(shù)f(x)=sin5xsinx?cosx，則(

)A.f(x)的圖象有對稱軸 B.f(x)是周期函數(shù)

C.f(x)在區(qū)間(0,π2)上單調遞增 D.f(x)11.若點A(x1,y1)，B(A.對任意點A，存在無數(shù)點B，使曲線y=f(x)在點A，B處的切線的傾斜角相等

B.當函數(shù)y=f(x)存在極值點時，實數(shù)a的取值范圍為[?2,2]

C.當x1x2≠0且y=f(x)在點A，B處的切線都過原點時，tan2x1?tan2x2x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1=1，a213.若曲線y=ln(x?2)+4在x=3處的切線也是曲線y=x2?x+a的切線，則14.設數(shù)列{an}滿足a1=23，且對任意的n∈N?四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

記△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(2c?3a)cosB=3bcosA．

(1)求B；

(2)若△ABC為等腰三角形且腰長為16.(本小題12分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，AB，BC，CD兩兩互相垂直，M，N分別是AD，BC的中點．

(1)證明：MN⊥BC；

(2)設BC=2，AD=25，MN和平面BCD所成的角為π6，求點D到平面17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=12x2?alnx+(1?a)x，(a>0)．

(1)若a=1，求f(x)的單調區(qū)間；

(2)若f(x)≥?18.(本小題12分)

已知A(2,0)和B(1,32)為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上兩點．

(1)求橢圓C的離心率；

(2)過點(?1,0)的直線l與橢圓C交于D，E兩點(D,E不在x軸上)．

(i)若△ADE的面積為5，求直線l的方程；

(ii)直線AD和19.(本小題12分)

已知正n邊形的每個頂點上有一個數(shù).定義一個變換T，其將正n邊形每個頂點上的數(shù)變換成相鄰兩個頂點上的數(shù)的平均數(shù)，比如：

記n個頂點上的n個數(shù)順時針排列依次為a1，a2，…，an，則T(ai)=ai?1+ai+12，i為整數(shù)，2≤i≤n?1，T(a1)=an+a22，T(an)=an?1+a12.設Tn(ai)=T(T(…T(ai)))(共n個T，表示n次變換)

(1)若n=4，a參考答案1.A

2.D

3.B

4.D

5.B

6.C

7.D

8.D

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.11

13.2

14.2201715.(1)解：△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

∵(2c?3a)cosB=3bcosA，

由正弦定理化簡得：(2sinC?3sinA)cosB=3sinBcosA，

∴3sinC=2sinCcosB，∵sinC≠0，

∴cosB=32，

∵B∈(0,π)，∴B=π6．

(2)解：當B為頂角，則底邊AC2=4+4?2×2×2×cosπ16.解：(1)證明：取BD的中點P，連接MP，NP．

因為M，N分別是AD，BC的中點，

所以MP/?/AB，NP//CD．

又因為AB⊥BC，BC⊥CD，

所以BC⊥MP，BC⊥NP．

又MP∩NP=P，且MP，NP?平面MNP，

從而BC⊥平面MNP．

又MN?平面MNP，所以MN⊥BC．

(2)因為AB⊥BC，AB⊥CD，所以AB⊥平面BCD.過點B在平面BCD內作BE/?/CD，因為CD⊥BC，所以BE⊥BC．

故可以B為原點，分別以直線BE，BC，BA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖)．

設AB=a，CD=b，BC=c，則A(0,0,a)，C(0,c,0)，D(?b,c,0),M(?b2,c2,a2),N(0,c2,0).從而MN=(b2,0,?a2),BC=(0,c,0)．

因為AB⊥CD，BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，

即CD的長為點D到平面ABC的距離．

又因為AB⊥BC，AB⊥CD，所以AB⊥平面BCD，故n=(0,0,1)是平面BCD的一個法向量．

因為MN和平面BCD所成的角為π6，所以sinπ6=|MN?n|17.解：(1)當a=1時，導函數(shù)f′(x)=x?1x=x2?1x=(x?1)(x+1)x，

所以x∈(0,1)時，導函數(shù)f′(x)<0，

x∈(1,+∞)時，導函數(shù)f′(x)>0．

所以f(x)的單調減區(qū)間為(0,1)，單調增區(qū)間為(1,+∞)．

(2)導函數(shù)f′(x)=(x?a)(x+1)x，

所以x∈(0,a)時，導函數(shù)f′(x)<0；

x∈(a,+∞)時，導函數(shù)f′(x)>0．

所以f(x)min=f(a)=?a22?alna+a．

又因為f(x)≥?e22，所以?a22?alna+a≥?e22．

令?(a)=?a22?alna+a．

所以導函數(shù)?′(a)=?a?lna，顯然?′(a)單調遞減，且?′(12)>0，?′(1)<0．

因此必然存在唯一a0∈(12,1)使得18.解：(1)由題可得：a=21a2+34b2=1c2=a2?b2，解得：a=2b=1c=3，

所以橢圓C的離心率為e=ca=32；

(2)(i)由(1)可知橢圓C的方程為x24+y2=1，

顯然，直線l的斜率不等于0，

設過點(?1,0)的直線l為x=my?1，D(x1,y1)，E(x2,y2)，

聯(lián)立x24+y2=1x=my?1，化簡得：(m2+4)y2?2my?3=0，則Δ=4m2+12(m2+4)>0恒成立，

所以y1+y2=2mm2+4，y1?y2=?3m2+4，

所以S19.解：(1)當n=4時，T2(ai)的變換如下：

因此T2(a1)=2，T2(a2)=3，T2(a3)=2，T2(a4)=3．

(2)證明：因為T(ai)=ai，所以ai?1+ai+12=ai(2≤i≤n?1)，

所以數(shù)列{an}成等差數(shù)列，設公差為d，

又因為T(a1)=a1=an+a22，

那么2a1=a1+(n?1)d+a1+d，因此d=0，

那么a1=a2=?=an?1=an．

(3)證明：利用反證法，假設對任意m∈N?，Tm(ai)(i=1,2,?,n)均為整數(shù)，

因為T(ai)=ai?1+ai+12，T(ai)為整數(shù)，所以ai?