等差數(shù)列的概念第1課時(shí)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

4.2.1等差數(shù)列的概念第4章

數(shù)列

1.數(shù)列的定義

一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng).2.

數(shù)列的通項(xiàng)公式

3.

數(shù)列的遞推公式

如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.導(dǎo)入實(shí)例1

北京天壇圜丘壇的地面是由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外的石板數(shù)依次為

9，18，27，36，45，54，63，72，81

①

圜丘壇是我國(guó)明朝嘉慶年間建立的一個(gè)三層露天圓臺(tái)，別名祭天臺(tái)，有圜丘，皇穹宇、神廚、三庫及宰牲亭等組成。其位于天壇南部，為皇帝冬至日祭天大典的場(chǎng)所。導(dǎo)入實(shí)例2

XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上對(duì)應(yīng)的意大利尺碼分別是：

34，36，38，40，42，44，46，48②導(dǎo)入實(shí)例3

測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為：25，24.4，23.8，23.2，22.6

③導(dǎo)入

ar,

ar－br,

ar－2br,

ar－3br,

...

④等額本金還款方式是將本金每月等額償還，然后根據(jù)剩余本金計(jì)算利息。好處：總利息較少(在貸款期限、金額和利率相同的情況下，等額本金還款方式所需利息較少),并且貸款年限越長(zhǎng)，優(yōu)勢(shì)越明顯。缺點(diǎn)：前期還款壓力較大，每月還款額不同，不便于規(guī)劃收支。比較適合有一定經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)，能承擔(dān)前期較大還款壓力的人群。導(dǎo)入問題1

我們常通過運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，你能通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？對(duì)于數(shù)列①：9，18，27，36，45，54，63，72，81

我們發(fā)現(xiàn)

18=9+9，27=18+9....81=72+9，換一種寫法，就是

18-9=9，27-18=9....81-72=9.如果用{an}表示數(shù)列

①

，

那么有

a2-a1=9，a3-a2

=9，...，a9-a8=9.這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).數(shù)列②~④，也有這樣的取值規(guī)律.①9，18，27，36，45，54，63，72，81②34，36，38，40，42，44，46，48③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6④ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，...探究新知

一

般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.1、等差數(shù)列

等差數(shù)列的符號(hào)語言注意：①公差d必須為“同一個(gè)常數(shù)”

②公差d可正、可負(fù)、也可為0，它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)探究新知請(qǐng)寫出下式的公差①9，18，27，36，45，54，63，72，81②34，36，38，40，42，44，46，48③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6④ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，...公差d=9公差d=2公差d=﹣0.6公差d=﹣br探究新知練習(xí)1

判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，求出首項(xiàng)和公差（1）1，3，5，7，9，2，4，6，8，10（2）3，3，3，3，3，3（3）95，82，69，56，43，30（4）1，1.1，1.11，1.111，1.1111（5）1，－2，3，－4，5，－6（6）a1=3，公差d=0常數(shù)列×a1=95公差

d=－13××a1=1公差

d=練習(xí)問題2：在如下的兩個(gè)數(shù)之間插入一個(gè)什么數(shù)之后這三個(gè)數(shù)會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列。

（1）2，___,8

（2）－6，____,0

（3）a,___,b

5－3x由等差數(shù)列的定義得：

探究新知如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的

.由等差數(shù)列的概念可知：等差中項(xiàng)2.等差中項(xiàng)的定義問題3

在等差數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…中，an、an?1、an+1之間有什么關(guān)系？

2an=an-1

+an+1探究新知

問題3

你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d

…an-an-1=d（n≥2）累加以上n-1個(gè)式子得an-a1=（n-1）d解：∵由等差數(shù)列的定義可得累加法又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立

∴an=a1+（n-1）dan+1-an=d∴

an=a1+（n-1）d探究新知首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的變式：an＝am＋(n－m)d3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a1,an,n,d知三求一探究新知 ①公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)(n，an)組成的集合，

這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)＝dx＋(a1－d)上.（k＋b）k

an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）②任給一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)），則f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{nk＋b}，其首項(xiàng)為________，公差為__.思考：我們知道數(shù)列是自變量為n的函數(shù)，你認(rèn)為等差數(shù)列與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？4.

等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)③d＞0,等差數(shù)列單調(diào)增；

d＜0,等差數(shù)列單調(diào)減；d＝0,等差數(shù)列為常函數(shù).探究新知在數(shù)列{an}中,

an=pn+q(p、q是常數(shù))，證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.證明:an+1-an=[p(n+1)+q]-(pn+q)

=

p(n∈N*),故該數(shù)列為等差數(shù)列.結(jié)論：數(shù)列{an}是等差數(shù)列?an=pn+q(p、q是常數(shù)).探究新知

方法符號(hào)語言結(jié)論定義法{an}是等差數(shù)列等差中項(xiàng)法通項(xiàng)公式為

n

的一次函數(shù)5、判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法：總結(jié)an=pn+q(p、q是常數(shù)).例1

(1)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求{an}公差和首項(xiàng);

(2)求等差數(shù)列8，5，2，···的第20項(xiàng).解:(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，可得

an－1＝5－2(n－1)

＝7－2n.

于是d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2，

a1＝5－2＝3.∴{an}公差為－2，首項(xiàng)為3.(2)由已知條件，得d＝5－8＝－3，a1＝8.∴an＝a1＋

(n－1)d＝8－3(n－1)＝－3n＋11.

∴a20＝－3×20＋11＝－49.例題鞏固練習(xí)

在下列等差數(shù)列{an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10。解：a10=a1+9d=2+9×3=29.（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n。解：∵21=3+（n-1）×2，∴n=10.（3）已知a1=12，a6=27，求d。解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d，

∴d=3.（4）已知d=-2，a7=8，求a1。解：∵a7=a1+6d8=a1+6×(-2)，∴a1=20.（5）已知a6=13，a12=31，求a18.練習(xí)解：由題意可知解得：

(5)已知a6=13,a12=31,求a18.歸納：在等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中a1、d、an、n，知三求一.練習(xí)例2－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，···的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解:由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an＝a1＋(n－1)d

＝－5－4(n－1)＝－4n－1.

設(shè)

－4n－1＝－401，解得

n＝100.

∴－401是這個(gè)數(shù)列第100項(xiàng).例題鞏固例3.在7和21中插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.例題鞏固例4、已知數(shù)列{an}滿足

，

.(1)求證：

是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.例題鞏固解：(1)因?yàn)?/p>

，

則

，所以

，又

，∴是以

為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)可知

，所以.構(gòu)造等差數(shù)列法練習(xí)迭代歸納法；累加法通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系概念方程思想、抽象、運(yùn)算素養(yǎng)

等差中項(xiàng)等差數(shù)列的概念小結(jié)1.已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n(n∈N*)，則它的公差d為A.2 B.3 C.－2 D.－3√2.若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值為A.26 B.29 C.39 D.52√3.在等差數(shù)列{an}中，若a1＝84，a2＝80，則使