二次根式二次根式的乘除法

學習必備歡迎下載學習必備歡迎下載學習必備歡迎下載二次根式二次根式的乘除法一、知識概述1、二次根式的定義形如的式子，叫做二次根式．注意：二次根式有意義的條件是a≥0．2、二次根式的基本性質(zhì)(1)是一個非負數(shù)；(2)；(3)．3、二次根式的乘法法則即兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變．4、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)即兩個非負數(shù)的積的算術(shù)平方根，等于這兩個因數(shù)的算術(shù)平方根的乘積．5、二次根式的除法法則即兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變．6、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)7、最簡二次根式滿足下列條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式稱為最簡二次根式．二、重難點知識歸納1、從二次根式的定義看出，二次根式的被開方數(shù)可以是一個數(shù)，也可以是一個式子，且被開方數(shù)必須是非負數(shù)．2、二次根式的性質(zhì)具有雙重非負性，即二次根式中被開方數(shù)非負（a≥0）,算術(shù)平方根非負(≥0).3、利用得到成立，可以把任意一個非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的乘除法則，即，，利用這兩個性質(zhì)可以對二次根式進行化簡．5、二次根式的運算中，最后結(jié)果中的二次根式要化為最簡二次根式或整式．最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．化簡方法有多樣，但都要化簡．如化簡．方法1：．方法2：．方法3：．方法4：6、二次根式的分母有理化當被開方式中含有分母時，要把分母中的根號化去，這個運算過程叫分母有理化．如分母含時，分子分母同乘以；分母為形式，分子分母同乘以，以便運用平方差公式，化去分母中的根號．三、典型例題講解例1、已知，化簡.解析：因為，由二次根式的被平方數(shù)為非負性知：x－2≥0且x-2≤0，從而x=2。所以。故有。例2、已知等式在實數(shù)范圍內(nèi)成立，其中x、y、a是兩兩不同的實數(shù)，試求代數(shù)式的值．解：由題意得∴由①③得a≥0，由②④得a≤0．∴a=0．故：原等式可化為，∴x=－y．∴例3、計算下列各題．解：例4、已知求二次根式的值.分析：將作為一個整體，逐步平方得到的值.例5、已知x、y為實數(shù)，且實數(shù)m適合關(guān)系式，試確定m的值．分析：∵x－199＋y與199－x－y互為相反數(shù)，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同時成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算術(shù)平方根是非負數(shù)，可得到關(guān)于x、y、m的方程組，從而求出m的值．解：由二次根式有意義的條件知，∴x＋y=199將其代入已知等式得．又根據(jù)算術(shù)平方根為非負實數(shù)有②×2－①得x＋y－m＋2=0，結(jié)合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．總結(jié)：當兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時，可用“夾逼”的方法推出，兩個被開方數(shù)同時為零．例6、把下列各式化成最簡二次根式：分析：（1）～（4）題均不含分母，因此要將其化為最簡二次根式，即是將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式運用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將其移至根號外，（5）～（8）題都含有分母，應首先根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分母化為能開得盡方的，然后再運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)將其化簡，但不要忽視分子中含有能開得盡方的因式或因數(shù)也要化簡．總結(jié)：（1）當被開方數(shù)中不含有分母，則用積的算術(shù)平方根性質(zhì)進行化簡；（2）當被開方數(shù)中含有分母，化簡時既要用到商的算術(shù)平方根，也要用到積的算術(shù)平方根．中考解析：例1、（2006年.廣州）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）．A．x>0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1分析：代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則被開方數(shù)x≥0,又分母不能為零，即x－1≠0,所以x≥0且x≠1．答案：D例2、（2005年，紹興）化簡得（）A．2B．－4x＋4C．－2D．4x－4分析：要注意題目中的隱含條件：2x－3≥0，∴2x－1>0.由二次根式的雙重非負性化簡，所以．答案：A課外拓展：例1、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式如何才能確定未知量的值呢？由二次根式的基本性質(zhì)考慮配方．解：原等式變形為，配方得則得a=2，b=6，c=12，故a＋b＋c=20．例2、若a=－1，求(a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17)99的值．思路：本題若將a=－1代入，確實繁雜，聯(lián)想到以前學過的整體求值，因此應在a=－1上做文章．解：∵a=－1，∴(a＋1)2=()2即a2＋2a＋1=17．又∵a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17=a5＋2a4－(a2＋2a＋1)·a3－a2＋(a2＋2a＋1＋1)a－(a2＋2a＋1)=a5＋2a4－a5－2a4－a3－a2＋a3＋2a2＋2a－a2－2a－1=－1．∴原式=－1．總結(jié)：本題是構(gòu)造出值為17的代數(shù)式，然后依據(jù)待求式中多次出現(xiàn)17的特點，采用賓主置換的方法，得到簡捷的解法，也可以用降次的方法，即將a2=16－2a代入降次求解A卷一、選擇題1、若=x－1，則x的取值范圍是（）A．x≥1B．x≤1C．x>1D．x<12、二次根式中，最簡二次根式的個數(shù)為（）A．5個B．4個C．3個D．2個3、設(shè)a為實數(shù)，則的最小值是（）A．1B．0C．D．4、若1≤a≤3，化簡|a－1|＋的結(jié)果為（）A．2B．－2C．2a＋2D．2a－45、當x≤2時，下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．6、化簡的結(jié)果為（）A．B．C．D．7、計算=（）A．1B．－1C．D．－8、已知，則的值為（）A．3B．－3C．±3D．9B卷二、解答題9、已知實數(shù)a滿足，求a－20052的值．10、設(shè)a、b、c都是實數(shù)，且滿足，求x2＋x＋1的值．11、化簡：．12、計算下列各題；；；．13、化簡下列各式．14、若實數(shù)x，y滿足，試求x＋y的值．選擇題A2.D3.D4.A5.C6.C7.D8.A解答題9.解：由知a≥2006，∴原式可化為即a－2006=20052，∴a－20052=200610.解：∵(2－a)2≥0，，|c＋6|≥0.