山東專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列5.2等差數(shù)列學(xué)案含解析

PAGE其次節(jié)等差數(shù)列課標(biāo)要求考情分析1.理解等差數(shù)列的概念．2．駕馭等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．3．能在詳細(xì)的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)學(xué)問(wèn)解決相應(yīng)的問(wèn)題．4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.1.本節(jié)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，涉及等差數(shù)列的定義、等差中項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)等內(nèi)容．2．命題形式多種多樣，一般以選擇題或填空題的形式考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算與簡(jiǎn)潔性質(zhì)，解答題往往與等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問(wèn)題綜合考查.學(xué)問(wèn)點(diǎn)一等差數(shù)列與等差中項(xiàng)1．定義(1)文字語(yǔ)言：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；(2)符號(hào)語(yǔ)言：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．2．等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式1．通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.2．前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.學(xué)問(wèn)點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)1．在等差數(shù)列{an}中，an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．已知等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則an＋am＝ap＋aq.3．若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md4．若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m1．思索辨析推斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d確定的．(√)(2)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則數(shù)列{a3n}也是等差數(shù)列．(√)(3)若{an}，{bn}都是等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(√)(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，若一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為二次函數(shù)，則該數(shù)列為等差數(shù)列．(×)解析：(1)因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，當(dāng)公差d>0時(shí)，該數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)公差d<0時(shí)，該數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)公差d＝0時(shí)，該數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以命題正確．(2)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，公差為d，所以a3(n＋1)－a3n＝3d(與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))，所以數(shù)列{a3n}也是等差數(shù)列．(3)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則pan＋1＋qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))，即數(shù)列{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(4)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知，當(dāng)公差d≠0時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，若一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為二次函數(shù)，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)等于零時(shí)，該數(shù)列為等差數(shù)列，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)不等于零時(shí)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，所以命題錯(cuò)誤．2．小題熱身(1)在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝18.(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－5，S9＝27，則公差d＝2.(3)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝180.(4)在等差數(shù)列{an}中，S6＝4，S18＝24，則S12＝12.(5)已知等差數(shù)列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，則使數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取最大值的正整數(shù)n的值是5或6.解析：(1)等差數(shù)列{an}的公差d＝a3－a2＝4－2＝2，∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.(2)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得27＝9×(－5)＋eq\f(9×8,2)·d，解得d＝2.(3)由等差數(shù)列的性質(zhì)得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a(4)由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S6，S12－S6，S18－S12成等差數(shù)列，所以2×(S12－4)＝4＋24－S12，解得S12＝12.(5)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由|a3|＝|a9|，得|a1＋2d|＝|a1＋8d|，解得a1＝－5d或d＝0(舍去)，則a1＋5d＝a6＝0，a5>0，故使前n項(xiàng)和Sn取最大值的正整數(shù)n是5或6.考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算【例1】(1)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則()A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq\f(1,2)n2－2n(2)(2024·全國(guó)卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1≠0，a2＝3a1，則eq\f(S10,S5)＝________.【解析】(1)解法1：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n2－4n.故選A.解法2：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))選項(xiàng)A，a1＝2×1－5＝－3；選項(xiàng)B，a1＝3×1－10＝－7，解除B；選項(xiàng)C，S1＝2－8＝－6，解除C；選項(xiàng)D，S1＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，解除D.故選A.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3a1即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以eq\f(S10,S5)＝eq\f(10a1＋\f(10×9,2)d,5a1＋\f(5×4,2)d)＝eq\f(10a1＋\f(10×9,2)×2a1,5a1＋\f(5×4,2)×2a1)＝eq\f(100,25)＝4.【答案】(1)A(2)4方法技巧等差數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量a1，d，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程組所求問(wèn)題可以迎刃而解.1．在等差數(shù)列{an}中，若Sn為前n項(xiàng)和，2a7＝a8＋5，則S11A．55B．11C．50D．60解析：解法1：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，則S11＝11a1＋eq\f(11×10,2)d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，故選A.解法2：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a2．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問(wèn)五人各得多少錢？”(“錢”是古代一種質(zhì)量單位)，在這個(gè)問(wèn)題中，甲得________錢．(C)A.eq\f(5,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,4)解析：設(shè)甲、乙、丙、丁、戊分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由題意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，,a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，))聯(lián)立解得a＝1，d＝－eq\f(1,6).∴這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為1－2×(－eq\f(1,6))＝eq\f(4,3)(錢)．故選C.考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝eq\f(1,2)，Sn＝n2an－n(n－1)，n∈N*.(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)·Sn))是等差數(shù)列；(2)求Sn.【解】(1)證明：∵a1＝eq\f(1,2)，Sn＝n2an－n(n－1)，n∈N*，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，∴Sn＝n2(Sn－Sn－1)－n(n－1)，∴(n2－1)Sn＝n2Sn－1＋n(n－1)，∴eq\f(n2－1,nn－1)Sn＝eq\f(n2,nn－1)Sn－1＋1，∴eq\f(n＋1,n)Sn＝eq\f(n,n－1)Sn－1＋1.又eq\f(1＋1,1)S1＝2a1＝1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)Sn))是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\f(n＋1,n)Sn＝1＋(n－1)×1＝n，∴Sn＝n·eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n2,n＋1).方法技巧推斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，通常有兩種方法：①定義法，證明an－an－1＝dn≥2，d為常數(shù)，用定義法證明等差數(shù)列時(shí)，常選用兩個(gè)式子an＋1－an＝d或an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必需加上“n≥2”；②等差中項(xiàng)法，證明2an＝an－1＋an＋1n≥2.設(shè)數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝eq\f(4,4－an)(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝eq\f(a2n,a2n－1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)證明：∵an＋1＝eq\f(4,4－an)，∴eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\f(4,4－an)－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(4－an,2an－4)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(2－an,2an－4)＝－eq\f(1,2).又a1＝1，∴eq\f(1,a1－2)＝－1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是以－1為首項(xiàng)，－eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\f(1,an－2)＝－1＋(n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(n＋1,2)，∴an＝2－eq\f(2,n＋1)＝eq\f(2n,n＋1)，∴bn＝eq\f(a2n,a2n－1)＝eq\f(\f(4n,2n＋1),\f(22n－1,2n))＝eq\f(4n2,2n－12n＋1)＝1＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝n＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝n＋eq\f(n,2n＋1).∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝n＋eq\f(n,2n＋1).考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用命題方向1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)【例3】(1)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A．1B．2C．4D．8(2)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7A．10B．18C．20D．28【解析】(1)設(shè)公差為d，則a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝48，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋7d＝24①，,6a1＋15d＝48②，))①×3－②得(21－15)d＝24,6d＝24，所以d＝4.(2)因?yàn)閍3＋a8＝10，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋2【答案】(1)C(2)C命題方向2等差數(shù)列和的性質(zhì)【例4】(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S6＝－5S3≠0，則eq\f(S9,S3)＝()A．18 B．13C．－13 D．－18(2)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，則()A．a(chǎn)7＝0 B．|a7|＝|a8|C．|a7|>|a8| D．|a7|<|a8|(3)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝9，eq\f(S9,9)－eq\f(S5,5)＝－4，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.【解析】(1)設(shè)S3＝a，則S6＝－5a∵{an}為等差數(shù)列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，即a，－6a，S9－S6成等差數(shù)列，∴S9－S6＝－13即S9＝－18a，∴eq\f(S9,S3)＝－18，故選D.(2)∵公差d>0，又∵(S8－S5)(S9－S5)<0，∴S9>S8，∴S8<S5<S9，∴a6＋a7＋a8<0，a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7<0，a7＋a8>0，|a7|<|a8|，故選D.(3)由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)知，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為eq\f(S1,1)＝9，公差d′滿意eq\f(S9,9)－eq\f(S5,5)＝4d′＝－4，解得d′＝－1，所以eq\f(Sn,n)＝9＋(n－1)×(－1)＝－n＋10，所以Sn＝－n2＋10n.【答案】(1)D(2)D(3)－n2＋10n方法技巧等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an；③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差數(shù)列．1．(方向1)已知數(shù)列{an}滿意2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a1＋a6＝(B)A．6B．7C．8D．9解析：由題意知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，將a2＋a4＋a6＝12與a1＋a3＋a5＝9相加可得3(a1＋a6)＝12＋9＝21，所以a1＋a6＝7，故選B.2．(方向1)在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a9＝8，則(a2＋a8)2－a5＝(A)A．60B．56C．12D．4解析：在等差數(shù)列中a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，所以(a2＋a8)2－a53．(方向2)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)于隨意的自然數(shù)n，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a3＋a15,2b3＋b9)＋eq\f(a3,b2＋b10)＝(A)A.eq\f(19,41)B.eq\f(17,37)C.eq\f(7,15)D.eq\f(20,41)解析：eq\f(a3＋a15,2b3＋b9)＋eq\f(a3,b2＋b10)＝eq\f(2a9,2b1＋b11)＋eq\f(a3,b1＋b11)＝eq\f(a9＋a3,b1＋b11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(\f(11a1＋a11,2),\f(11b1＋b11,2))＝eq\f(S11,T11)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，故選A.考點(diǎn)四等差數(shù)列的最值【例5】已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值．【解】(1)依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d變形有an＝am＋(n－m)d，則公差d＝eq\f(an－am,n－m)，所以d＝eq\f(a5－a2