浙教版（2024新版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)各章節(jié)必會(huì)考點(diǎn)知識(shí)梳理匯編

第第頁(yè)浙教版（2024新版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)各章節(jié)必會(huì)考點(diǎn)知識(shí)梳理匯編第一章有理數(shù)1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)知識(shí)1正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念1、正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義定義示例補(bǔ)充正數(shù)大于的數(shù)叫作正數(shù).有時(shí)為了明確表達(dá)意義，在正數(shù)的前面也加上符號(hào)“+”(讀作“正”)3，1.5%，3.5，34正數(shù)前的“+”可以省略不寫(xiě)負(fù)數(shù)在正數(shù)前加上符號(hào)“—”的數(shù)叫作負(fù)數(shù)-3，-1.5%，-3.5，-34負(fù)數(shù)前的“-”不可以省略不寫(xiě)注意：1）、“+”“-”號(hào)的雙重意義：①作為運(yùn)算符號(hào)是加、減號(hào);②作為數(shù)的性質(zhì)符號(hào)是正、負(fù)號(hào)。2）、帶“+”號(hào)的數(shù)不一定是正數(shù),帶“-”號(hào)的數(shù)也不一定是負(fù)數(shù).3）、一個(gè)數(shù)前面的“+”“-”號(hào)叫作它的符號(hào).正數(shù)前面的“+”號(hào)可以省略不寫(xiě).2、0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。3、0的意義(1)0是正負(fù)數(shù)的分界；(2)0可以表示“沒(méi)有”；(3)0可以用來(lái)表示基準(zhǔn)，一般地，高于基準(zhǔn)的量用正數(shù)表示，低于基準(zhǔn)的量用負(fù)數(shù)表示。知識(shí)2具有相反意義的量1、在日常生活中,人們常用正數(shù)、負(fù)數(shù)來(lái)表示一對(duì)具有相反意義的量。2、一般地，對(duì)于具有相反意義的量，我們可以把其中一種意義的量規(guī)定為正的，并用正數(shù)來(lái)表示，把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，并用負(fù)數(shù)來(lái)表示。例如:若規(guī)定海平面的海拔高度為0m，珠穆朗瑪峰高于海平面8848.86m，記作+8848.86m。注意：具有相反意義的量應(yīng)滿足的條件:①必須是同類量，而且是成對(duì)出現(xiàn)的；②只要求意義相反,不要求數(shù)量一定相等。1.2有理數(shù)知識(shí)1有理數(shù)1、正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；整數(shù)可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式；可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)。2、有理數(shù)的分類按有理數(shù)的定義分類按有理數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類有理數(shù)有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)0正整數(shù)負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)有理數(shù)正有理數(shù)負(fù)有理數(shù)0正整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成正分?jǐn)?shù)形式的數(shù)可以寫(xiě)成負(fù)分?jǐn)?shù)形式的數(shù)拓展：小數(shù)的分類注意：(1)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，但它是整數(shù)。(2)因?yàn)橛邢扌?shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，所以有限小數(shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是分?jǐn)?shù)。(3)在對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的形式也不同，分類時(shí)要弄清分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏不混淆。3、常見(jiàn)分類標(biāo)準(zhǔn)非負(fù)數(shù)：正數(shù)和零；非正數(shù)：負(fù)數(shù)和零；非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和零；非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和零；非負(fù)有理數(shù)：正有理數(shù)和零；非正有理數(shù)：負(fù)有理數(shù)和零．知識(shí)2數(shù)軸定義:規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向的直線叫作數(shù)軸，它滿足以下條件:(1)在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0，這個(gè)點(diǎn)叫作原點(diǎn)。(2)通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右（或向上）為正方向，從原點(diǎn)向左（或向下）為負(fù)方向；(3)選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1，2，3，…；從原點(diǎn)向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…；注意：(1)數(shù)軸是一條直線,可以向兩端無(wú)限延伸，不能畫(huà)成射線和線段。(2)數(shù)軸的三要素:原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度,三者缺一不可。(3)原點(diǎn)位置的選取,單位長(zhǎng)度的大小都是根據(jù)實(shí)際而定的。(4)同一數(shù)軸中的單位長(zhǎng)度一定要統(tǒng)一。(5)數(shù)軸上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)數(shù),不同的點(diǎn)表示的數(shù)不同。知識(shí)點(diǎn)3數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系1、每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點(diǎn)來(lái)表示，也可以說(shuō)，每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一點(diǎn)2、一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在數(shù)軸的正半軸與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度；表示數(shù)-a的點(diǎn)在數(shù)軸的負(fù)半軸上，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度。3、在數(shù)軸上表示有理數(shù)的方法：注意：(1)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)不一定是有理數(shù).(2)表示數(shù)的點(diǎn)一定要畫(huà)在數(shù)軸上，在相應(yīng)的位置加上實(shí)心圓點(diǎn),知識(shí)點(diǎn)4相反數(shù)1.相反數(shù)的定義:像3和-3，12和?12這樣只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，拓展若a和b互為相反數(shù),則a+b=0.2.相反數(shù)的表示方法:一般地，a和-a互為相反數(shù)。這里a表示任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0。例如:當(dāng)a=1時(shí)，-a=-1，1的相反數(shù)是-1，同時(shí)，-1的相反數(shù)是1。特別地，0的相反數(shù)是0。注意：(1)因?yàn)閍可以表示任意有理數(shù),所以-a不一定是負(fù)數(shù),應(yīng)分類討論。例如:當(dāng)a=-2時(shí),-a=-(-2)=2,此時(shí)-a是正數(shù)而不是負(fù)數(shù)。(2)一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于它本身,這個(gè)數(shù)是0。(3)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).(4)相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的,不能單獨(dú)存在.3、相反數(shù)的幾何意義:到數(shù)軸原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).4、求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)：在任意一個(gè)數(shù)前面添上“-”表示原數(shù)的相反數(shù)。5、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”號(hào)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“-”號(hào)，結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“-”號(hào)，結(jié)果為正。6、倒數(shù)：乘積為的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)．例如：2與，與，與．7、負(fù)倒數(shù)：乘積為的兩個(gè)有理數(shù)互為負(fù)倒數(shù)．例如：2與，與，與．注意：=1\*GB3①0沒(méi)有倒數(shù)，也沒(méi)有負(fù)倒數(shù)；=2\*GB3②倒數(shù)是它的本身的數(shù)1或-1．知識(shí)點(diǎn)5絕對(duì)值1、定義:一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。2、絕對(duì)值的判斷:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。即如果a>0，那么|a|=a；如果a=0，那么|a|=0；如果a<0,那么|a|=-a；3、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用:根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為“0”，即若|a|+|b|=0，則|a|=0且|b|=0。4．絕對(duì)值的拓展（1）非負(fù)性：；（2）雙解性：若，則或．（3）若，則；若，則．（4）．（5）．注意：(1)表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn),這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大;與原點(diǎn)的距離越近，這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越小。(2)距離不可能是負(fù)數(shù),所以任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)。(3)絕對(duì)值是某個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。知識(shí)點(diǎn)6有理數(shù)的大小比較1、利用數(shù)軸比較大?。涸谒降臄?shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)大于右邊的數(shù)。2、利用有理數(shù)的分類比較大?。阂话愕?，正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。3、作差法:若兩數(shù)分別為a，b，a-b>0，則a>b；若a-b<0，則a<b；若a-b=0，則a=b。注意：對(duì)于兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小比較,一定要先比較它們的絕對(duì)值,并且明確兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小關(guān)系與它們絕對(duì)值的大小關(guān)系正好相反;異號(hào)兩數(shù)比較大小,正數(shù)總大于負(fù)數(shù)。2.1有理數(shù)的加法與減法知識(shí)點(diǎn)1有理數(shù)的加法法則同號(hào)兩數(shù)相加和取相同的符號(hào)，然后加數(shù)的絕對(duì)值相加異號(hào)兩數(shù)相加絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，和取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào),且和的絕對(duì)值等于加數(shù)的絕對(duì)值中較大者與較小者的差互為相反數(shù)兩數(shù)相加，和為0。a、b是互為相反數(shù)，則a+b=0一個(gè)數(shù)與0相加仍得這個(gè)數(shù)a+0=a方法：一觀察、二確定、三求和第一步：觀察兩個(gè)數(shù)是同號(hào)還是異號(hào)，有沒(méi)有0;第二步：選擇用哪一條加法法則;第三步：先確定和的符號(hào),后計(jì)算絕對(duì)值注意：(1)在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí),要牢記“先定符號(hào),后算絕對(duì)值”,寫(xiě)的時(shí)候不要忘記符號(hào)(2)有理數(shù)加法可分為四種情況:①同號(hào)加;②異號(hào)加;③“相反"加;④與0加.每種情況都要注意符號(hào)和絕對(duì)值的確定。知識(shí)點(diǎn)2有理數(shù)的加法運(yùn)算律1、有理數(shù)的加法中，兩個(gè)數(shù)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；加法交換律：a+b=b+a2、在有理數(shù)的加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變；加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).注意：運(yùn)用加法運(yùn)算律的規(guī)律(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合;(2)和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合；(3)把同分母分?jǐn)?shù)或便于通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合;(4)符號(hào)相同的數(shù)相結(jié)合。知識(shí)點(diǎn)3有理數(shù)減法法則1、減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即a-b=a+(-b)。2、有理數(shù)的減法是有理數(shù)的加法的逆運(yùn)算。3、減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，減數(shù)一定要改變符號(hào)。方法：(1)在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)。(2)將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí),要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào):一是運(yùn)算符號(hào)(減號(hào)變加號(hào));二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)(減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù))。(3)在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí),被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換，因?yàn)闇p法沒(méi)有交換律.(4)減法法則不能與加法法則類比,0加任何數(shù)都不變,0減任何數(shù)應(yīng)依運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。知識(shí)點(diǎn)4有理數(shù)加減混合運(yùn)算1、有理數(shù)加減混合運(yùn)算（1）先將加減法統(tǒng)一成加法，再運(yùn)用加法的交換律和結(jié)合律簡(jiǎn)化運(yùn)算。（2）運(yùn)用加法交換律交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同前面的符號(hào)一起交換。2.省略加號(hào)的和式及讀法:統(tǒng)一成加法運(yùn)算的算式，可以改寫(xiě)成省略加號(hào)和括號(hào)的形式，這種形式的算式一般有兩種讀法。例如:-2-3+27-24,可讀作負(fù)2、負(fù)3、正27、負(fù)24的和,也可以讀作負(fù)2減3加27減24.3、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的一般步驟方法一：減法轉(zhuǎn)化成加法方法二：省略括號(hào)法（1）減法變加法：a+b-c=a+b+(-c)（1）省略括號(hào)（2）運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律將同號(hào)的數(shù)分別相加（2）同號(hào)的數(shù)相結(jié)合（3）按有理數(shù)的加法法則計(jì)算（3）進(jìn)行加減運(yùn)算方法：有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的技巧對(duì)于既含有小數(shù)又含有分?jǐn)?shù)的加減混合運(yùn)算，可先將小數(shù)統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)或?qū)⒎謹(jǐn)?shù)統(tǒng)一化成小數(shù)再相加減，也可以將小數(shù)與分?jǐn)?shù)分別結(jié)合相加減，在計(jì)算時(shí)要靈活選用方法，以計(jì)算最簡(jiǎn)為原則。2.2有理數(shù)的乘法與除法知識(shí)點(diǎn)1有理數(shù)乘法法則1.正數(shù)乘正數(shù)，積為正數(shù)；正數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘正數(shù)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為正數(shù)，積的絕對(duì)值等于各乘數(shù)的絕對(duì)值的積。2.兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且積的絕對(duì)值等于乘數(shù)的絕對(duì)值的積；任何數(shù)與0相乘，都得0。3.有理數(shù)乘法法則也可以表示如下:設(shè)a，b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)，則(+a)×(+b)=a×b，(-a)×(-b)=a×b；(-a)×(+b)=-（a×b），(+a)×(-b)=-(a×b)；c×0=0，0×c=0。注意：(1)當(dāng)乘數(shù)中有負(fù)號(hào)時(shí)，必須用括號(hào)括起來(lái)。(2)兩數(shù)相乘,根據(jù)有理數(shù)乘法法則,先確定積的符號(hào),再把絕對(duì)值相乘。(3)遇到含帶分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算時(shí),要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再計(jì)算。(4)乘法運(yùn)算的最后結(jié)果一定是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)或整數(shù)。知識(shí)點(diǎn)2倒數(shù)的概念與求法1.倒數(shù)的概念:乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).即若a與b互為倒數(shù),則a×b=1。2.互為負(fù)倒數(shù):乘積是-1的兩個(gè)數(shù)互為負(fù)倒數(shù).即若a與b互為負(fù)倒數(shù),則a×b=-1。如：2與-1注意：(1)0沒(méi)有倒數(shù),正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(2)倒數(shù)是相互的,即若ab=1,則a是b的倒數(shù),b也是a的倒數(shù),a與b互為倒數(shù)。(3)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1。(4)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)一定同號(hào)。2.倒數(shù)的求法:類型方法示例真、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)將分子分母交換位置非0整數(shù)的倒數(shù)整數(shù)作分母，1作分子2的倒數(shù)是1小數(shù)的倒數(shù)對(duì)于可以除盡的數(shù)的倒數(shù)，可以用1除以這個(gè)數(shù)求倒數(shù)0.4的倒數(shù)：1÷0.4=2.5對(duì)于除不盡的數(shù)，轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)，再按照真、假分?jǐn)?shù)求倒數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行0.3的倒數(shù)：0.3=310，倒數(shù)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后將分子分母調(diào)換位置245知識(shí)點(diǎn)3有理數(shù)的乘法運(yùn)算律運(yùn)算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎境朔ń粨Q律兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變ab=ba乘法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)相乘，或者先把后兩個(gè)相乘，積不變(ab)c=a(bc)乘法分配律一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加a(b+c)=ab+ac注意：運(yùn)用乘法分配律時(shí)，要注意括號(hào)前面的符號(hào)，當(dāng)括號(hào)前面有負(fù)號(hào)時(shí)，應(yīng)該把負(fù)號(hào)帶上一起與括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)相乘再求和。例如:-2(-a+b)=(-2)×(-a)+(-2)×b=2a-2b；-2(-a-b)=(-2)×(-a)+(-2)×(-b)=2a+2b.知識(shí)點(diǎn)4多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則1.幾個(gè)不為0的數(shù)相乘,負(fù)的乘數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)2.幾個(gè)數(shù)相乘,如果其中有乘數(shù)為0,那么積為0注意：(1)幾個(gè)不為0的有理數(shù)相乘,先根據(jù)負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)確定積的符號(hào),然后把絕對(duì)值相乘。(2)如果幾個(gè)數(shù)相乘積為0,那么至少有一個(gè)乘數(shù)為0.知識(shí)點(diǎn)5有理數(shù)除法法則1.有理數(shù)除法法則(1)除以一個(gè)不等于0的數(shù),等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a(2)兩數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值的商。若ab>0，則ab>0；若ab<0，則ab(3)0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),都得0。注意：(1)分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母，分?jǐn)?shù)線代表除號(hào)。(2)兩個(gè)數(shù)相除,若商是1，則這兩個(gè)數(shù)相等；若商是-1，則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。(3)在有理數(shù)的除法運(yùn)算中應(yīng)特別注意：除數(shù)不能為0。(4)有理數(shù)除法沒(méi)有交換律、結(jié)合律，更沒(méi)有分配律。2.有理數(shù)除法的兩個(gè)法則要根據(jù)具體情況靈活選用(1)對(duì)于除法的兩個(gè)法則,在計(jì)算時(shí)可根據(jù)具體情況選用,一般在不能整除的情況下選用法則(1)比較簡(jiǎn)便,在能整除的情況下,選用法則(2)比較簡(jiǎn)便.(2)如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù),且不能整除,或者如果被除數(shù)和除數(shù)中有小數(shù)或分?jǐn)?shù),一般選用法則(1)進(jìn)行計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)6有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化為乘法然后按照乘法法則，確定積的符號(hào),最后求出結(jié)果。注意：(1)乘除混合運(yùn)算中，積的符號(hào)由負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)確定。(2)結(jié)果能化簡(jiǎn)的要化簡(jiǎn)。(3)兩個(gè)原則:①變除為乘;②從左到右。知識(shí)點(diǎn)7有理數(shù)的四則運(yùn)算1.有理數(shù)的四則運(yùn)算:先算乘除,后算加減,有括號(hào)先算括號(hào)里面的(先小括號(hào)，再中括號(hào)，最后大括號(hào))，同級(jí)運(yùn)算，按照從左往右順序進(jìn)行計(jì)算。注意：在混合運(yùn)算中，分配律的應(yīng)用一般有兩種形式：一是把乘積形式a(b+c)化成和的形式ab+ac；二是把和的形式ab+ac化成乘積的形式a(b+c),注意靈活應(yīng)用。2.3有理數(shù)的乘方知識(shí)點(diǎn)1有理數(shù)的乘方1.一般地,n個(gè)相同的乘數(shù)a相乘，即a·a·…·a,記作an。求n個(gè)相同乘數(shù)的積的運(yùn)算，叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪。注意：(1)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母可以看作它本身的一次方，指數(shù)1通常省略不寫(xiě)。（如a的次數(shù)為一次）(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括上，再在其右上角寫(xiě)上指數(shù)，指數(shù)要寫(xiě)得小一些。（如:-2的5次方，應(yīng)寫(xiě)作(-2)5）(3)指數(shù)n是正整數(shù),底數(shù)a可以是任何有理數(shù)。2.an中，a叫作底數(shù)，n叫作指數(shù)，an讀作a的n次方（或a的n次冪）3.乘方運(yùn)算的結(jié)果及符號(hào)的規(guī)律正數(shù):正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)拓展：-1的奇次冪是它本身，而-1的偶次冪是它的相反數(shù)，即：(?1)知識(shí)點(diǎn)2有理數(shù)的混合運(yùn)算順序1.先乘方，再乘除，最后加減。2.同級(jí)運(yùn)算,從左往右進(jìn)行；3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。有理數(shù)運(yùn)算分三級(jí)，加減是第一級(jí)運(yùn)算，乘除是第二級(jí)運(yùn)算，乘方是第三級(jí)運(yùn)算。運(yùn)算順序是先算高級(jí)，再算低級(jí)；同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行；對(duì)于含有多重括號(hào)的運(yùn)算，一般先算小括號(hào)內(nèi)的，再算中括號(hào)內(nèi)的，最后算大括號(hào)內(nèi)的。注意：(1)“同級(jí)運(yùn)算"是指加和減同級(jí)，乘和除同級(jí)。(2)進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，一要注意運(yùn)算順序，二要注意符號(hào)問(wèn)題。(3)靈活地運(yùn)用運(yùn)算律可以使運(yùn)算快捷、簡(jiǎn)便。知識(shí)點(diǎn)3科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式(其中1≤a<10，注意：(1)一個(gè)大于10的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法ax10n的形式表示時(shí)，a一定要滿足1≤a<10。確定n的值時(shí),把原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1即可。(2)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)時(shí)，不要漏掉“-”。(3)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，只改變數(shù)的形式，而不改變數(shù)的大小。知識(shí)點(diǎn)4近似數(shù)1.接近實(shí)際數(shù)值的數(shù)，叫作近似數(shù)。2.近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度，我們用精確度來(lái)表示。注意：近似數(shù)的精確度的三種表示方法:(1)用數(shù)位表示，如精確到千位或千分位；在用四舍五入法取近似數(shù)時(shí)，不要隨便將末尾的0去掉。例如：5.4和5.40的精確度不同，5.4精確到十分位，5.40精確到百分位。(2)用小數(shù)點(diǎn)表示，如精確到0.1或0.01；在用四舍五入法取近似數(shù)時(shí)，不要隨便將末尾的0去掉。例如：5.4和5.40的精確度不同，5.4精確到十分位，5.40精確到百分位。(3)對(duì)帶有單位的數(shù)用單位表示，如精確到千克、米等。3.一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)數(shù)精確到哪-位。例如π≈3.14(精確到0.01，或叫作精確到百分位)。注意：一個(gè)數(shù)精確到哪一位，就看這個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)字，最后一位數(shù)字落在什么位，它就精確到什么位。（如：2.54×105，還原后是254000，“4”在千位上，故精確到了千位。）第三章實(shí)數(shù)3.1平方根知識(shí)點(diǎn)1平方根1.概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。例如，因?yàn)?.22=1.44，所以1.2是1.44的一個(gè)平方根。說(shuō)明：例如:3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它們互為相反數(shù)。平方根是它本身的數(shù)只有0。2.性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。注意：因?yàn)檎龜?shù)、0、負(fù)數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。一個(gè)正數(shù)a的正平方根用a表示(讀作“根號(hào)a”)；a的負(fù)平方根用“-a”表示(讀作“負(fù)根號(hào)a”），因此，一個(gè)正數(shù)a的平方根就用“±a”表示（讀作“正、負(fù)根號(hào)a”），其中a叫作被開(kāi)方數(shù)。知識(shí)點(diǎn)2開(kāi)平方1.概念：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫作開(kāi)平方。2.開(kāi)平方是平方運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此，可以運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根。注意：(1)開(kāi)平方用符號(hào)“±a”表示，“”是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，讀作“二次根號(hào)”，這里根指數(shù)2被省略了。(2)“數(shù)a的平方根是m，n”與“m，n是數(shù)a的平方根”含義不完全相同，前者m，n是互為相反數(shù)，后者m，n是相等或互為相反數(shù)。知識(shí)點(diǎn)3算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)1.正數(shù)的正平方根稱為算術(shù)平方根。一個(gè)數(shù)a(a≥0)的算術(shù)平方根記作“a”。例如，9的算術(shù)平方根是3，即9=3；14的算術(shù)平方根是12，2.一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方數(shù)，0的算術(shù)平方根是0。3.算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性：(1)被開(kāi)方數(shù)a≥0；(2)算術(shù)平方根a≥0。注意：a2與((1)意義不同：前者是a的平方的算術(shù)平方根，后者是a的算術(shù)平方根的平方。(2)被開(kāi)方數(shù)的取值范圍不同，前者a為任意數(shù)，后者a為非負(fù)數(shù)。(3)結(jié)果不同：a2=a=a(a≥0)?a(a<0)；(只有當(dāng)a≥0時(shí)，即a為非負(fù)數(shù)時(shí)，這兩個(gè)式子的結(jié)果才相同。3.2從有理數(shù)到實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)1無(wú)理數(shù)1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫作無(wú)理數(shù)。例如：2.2是有限小數(shù)，2.2是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，它們都是有理數(shù)；2.236078954…是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，2.小數(shù)的分類有理數(shù)小數(shù)有限小數(shù)有理數(shù)3.常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)的形式(1)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如2，3；(2)化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如π，2π；(3)有規(guī)律但不循環(huán)的無(wú)限小數(shù)，如1.010010001…(兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0)。注意：(1)無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限。(2)無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式。(3)判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，不能只看形式，要看化簡(jiǎn)結(jié)果，如16是有理數(shù)，而不是無(wú)理數(shù)。(4)π2不是分?jǐn)?shù)，也不是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)。形如ab(b≠0，a，知識(shí)點(diǎn)2實(shí)數(shù)的概念及分類有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。（1）按概念分類實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)無(wú)理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正無(wú)理數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（2）按正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)的關(guān)系分類實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)正有理數(shù)正無(wú)理數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)知識(shí)點(diǎn)3實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。我們說(shuō)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。拓展：(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，而與有理數(shù)就不是一一對(duì)應(yīng)的，實(shí)數(shù)包括有理數(shù)。(2)數(shù)軸上的任意一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無(wú)理數(shù).知識(shí)點(diǎn)4實(shí)數(shù)的相關(guān)概念在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)倒數(shù)、絕對(duì)值的意義相同。(1)相反數(shù)：①a的相反數(shù)是-a。如2與-2互為相反數(shù)。②a與b互為相反數(shù)?a+b=0。(2)絕對(duì)值：①一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；②一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；③0的絕對(duì)值是0。(3)倒數(shù):①a的倒數(shù)是1a。如2與12②兩個(gè)非零數(shù)a與b互為倒數(shù)?ab=1。③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，零沒(méi)有倒數(shù)。說(shuō)明:(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，即a=?a。(2)實(shí)數(shù)a滿a≤a。知識(shí)點(diǎn)5利用估算法確定無(wú)理數(shù)的大小對(duì)于帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)的大小的估算，可以通過(guò)平方運(yùn)算或立方運(yùn)算，采用兩邊逐漸逼近的方法，首先確定其整數(shù)部分，再確定十分位、百分位等小數(shù)部分。經(jīng)常取與被開(kāi)方數(shù)最近的兩個(gè)完全平方數(shù)的算術(shù)平方根進(jìn)行比較。例如：估算2的大小，可以取和2最近的兩個(gè)完全平方數(shù)1和4，因?yàn)?<2<4，所以1<2<4，即1<2<2。知識(shí)點(diǎn)6實(shí)數(shù)的大小比較1.利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小與有理數(shù)的大小比較法則一樣，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。2.利用實(shí)數(shù)的分類比較大小(1)正實(shí)數(shù)大于零，負(fù)實(shí)數(shù)小于零，正實(shí)數(shù)大于負(fù)實(shí)數(shù)。(2)兩個(gè)正實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大。(3)兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小。3.無(wú)理數(shù)大小的比較(1)作差法：若a-b>0，則a>b；若a-b<0，則a<b。(2)平方法：把含根號(hào)的兩個(gè)無(wú)理數(shù)同時(shí)平方，比較平方后數(shù)的大小，同時(shí)要考慮符號(hào)。如：比較3，4，34的大小，利用32<42<(34)2即可得到3<4<34。拓展：當(dāng)兩個(gè)帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)比較大小時(shí)，可應(yīng)用a>b≥0?a>b。3.3立方根知識(shí)點(diǎn)1立方根1.概念及表示一般地，一個(gè)數(shù)的立方等于a，這個(gè)數(shù)就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，記作3a。其中a是被開(kāi)方數(shù)，3是根指數(shù)，符號(hào)“3”讀作三次根號(hào)。如：因?yàn)?.性質(zhì)（1）每個(gè)數(shù)a有且只有一個(gè)立方根，其中a可正可負(fù)可為0。（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0。注意：3a中的根指數(shù)3方法：判斷一個(gè)數(shù)x是否為a的立方根，只需檢驗(yàn)x3是否等于a即可。知識(shí)點(diǎn)2平方根和立方根分區(qū)別被開(kāi)方數(shù)平方根立方根正數(shù)有兩個(gè)，互為相反數(shù)有一個(gè)，是正數(shù)負(fù)數(shù)無(wú)平方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)000注意：(1)平方根的被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，立方根的被開(kāi)方數(shù)為任意數(shù)。(2)立方根是它本身的數(shù)有1，-1，0平方根是它本身的數(shù)只有0。知識(shí)點(diǎn)3開(kāi)立方求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫作開(kāi)立方。開(kāi)立方與立方是互逆運(yùn)算，正如開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，在開(kāi)立方時(shí)，往往通過(guò)立方運(yùn)算去完成。注意：(3a)3=a，33.4實(shí)數(shù)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)的運(yùn)算1.實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序：先算乘方和開(kāi)方,再算乘除,最后算加減；同級(jí)運(yùn)算按照從左到右的順序進(jìn)行；如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算。2.數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)后，有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用。注意：含根號(hào)的無(wú)理數(shù)的運(yùn)算，只有被開(kāi)方數(shù)相同且開(kāi)相同次方的數(shù)才能相加減。拓展：正數(shù)a的算術(shù)平方根a與被開(kāi)方數(shù)a的變化規(guī)律當(dāng)被開(kāi)方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)兩位時(shí)，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地向左或向右移動(dòng)一位。當(dāng)a擴(kuò)大到原來(lái)的100倍(或縮小到原來(lái)的1100)時(shí)，a的算術(shù)平方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大到原來(lái)的10倍(或縮小到原來(lái)的1第四章代數(shù)式4.1代數(shù)式知識(shí)1用含字母的式子表示數(shù)用字母或含有字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系,為我們今后的學(xué)習(xí)和研究帶來(lái)了極大的方便.用含字母的式子表示數(shù)的書(shū)寫(xiě)規(guī)則:類型書(shū)寫(xiě)要求字母與字母相乘“×”號(hào)通常省略不寫(xiě)或?qū)懗伞啊ぁ?；如：x×y寫(xiě)作xy或x·y數(shù)與字母相乘數(shù)字通常寫(xiě)在字母的前面；（不只要寫(xiě)作字母前面，有括號(hào)時(shí)還要寫(xiě)在括號(hào)前面。）如a?58可寫(xiě)作58a，（a+b）?2可寫(xiě)作2帶分?jǐn)?shù)與字母相乘通常化帶分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)；如212除式中含有字母要寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式。如x÷12應(yīng)寫(xiě)作x12，12÷代數(shù)式帶有單位當(dāng)式子為幾個(gè)數(shù)的和或差的形式,且結(jié)果帶單位時(shí),結(jié)果帶單位時(shí),式子整體加括號(hào)。如：（3+a）米，[4+2（m-1）]cm等注意：(1)同一問(wèn)題中，相同的字母必須表示相同的量，不同的量必須用不同的字母表示。(2)用字母表示實(shí)際問(wèn)題中的某個(gè)量時(shí)，字母的取值必須使式子有意義且符合實(shí)際情況。(3)“平方的和(差)"要先平方再相加(減)；“和(差)的平方"要先相加(減)再平方，和(差)要加括號(hào)。(4)代數(shù)式中不能含有“=”“>(≥)”“<(≤)”“≠”等符號(hào)。例如：x=2,-1>-2,5x+2≠3等都不是代數(shù)式。知識(shí)點(diǎn)2代數(shù)式的概念像10a+2b，a+b+c+d4，2a2，l+180l這樣，由數(shù)、表示數(shù)的字母和運(yùn)算符號(hào)組成的數(shù)學(xué)表達(dá)式注意：代數(shù)式中不能含有“=”“>(≥)”“<(≤)”“≠”等符號(hào)。例如：x=2,-1>-2,5x+2≠3等都不是代數(shù)式。知識(shí)點(diǎn)3代數(shù)式的意義根據(jù)生活實(shí)際將給定的代數(shù)式的意義用語(yǔ)言敘述出來(lái),就是將代數(shù)式的字母及運(yùn)算符號(hào)賦予具體的含義。注意：(1)要注意實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系必須與代數(shù)式所表示的相一致。(2)問(wèn)題的結(jié)論往往具有開(kāi)放性，只要說(shuō)法合乎情理即可。知識(shí)點(diǎn)4列代數(shù)式把簡(jiǎn)單的與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)用代數(shù)式表示出來(lái)叫作列代數(shù)式。例如:用代數(shù)式表示:a與a減去b的差的商，其中運(yùn)算詞“差”表示的數(shù)量關(guān)系是a減去b，列成式子為a-b；運(yùn)算詞“商”表是a除以“差”,即aa?b注意：按照順序逐步列式(1)審題，認(rèn)真分析問(wèn)題中有關(guān)術(shù)語(yǔ)的含義。如:和、差、積、商、多、少、幾倍、幾分之一、增加、增加到、減少、減少到、擴(kuò)大、縮小等；(2)注意問(wèn)題中的語(yǔ)言敘述所表示的運(yùn)算順序；(3)弄清問(wèn)題中的層次關(guān)系,抓住“”字的作用；(4)注意運(yùn)算的逆向思維。如某數(shù)與ab的積為5,則該數(shù)為5ab4.2代數(shù)式的值知識(shí)點(diǎn)1代數(shù)式的值的概念用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫作代數(shù)式的值。這個(gè)過(guò)程叫作求代數(shù)式的值。例如：當(dāng)x=-5時(shí)，代數(shù)式(x+2)2=(-5+2)2=(-3)2=9，那么9就是當(dāng)x=-5時(shí),代數(shù)式(x+2)2的值。知識(shí)點(diǎn)2求代數(shù)式的值的步驟求代數(shù)式的值有代入和計(jì)算兩步。第一步：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，簡(jiǎn)稱代入。代入時(shí)，將相應(yīng)的字母換成已給定的或已算出來(lái)的數(shù)值，其他的運(yùn)算符號(hào)、原來(lái)的數(shù)字及運(yùn)算順序都不改變。第二步：按照代數(shù)式中給出的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果，簡(jiǎn)稱“計(jì)算”。代入的值不同，最后計(jì)算出的結(jié)果也可能不同。注意：對(duì)概念的理解要注意以下幾點(diǎn)(1)代數(shù)式的值是隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化的。(2)代數(shù)式中字母的取值必須使代數(shù)式有意義。(3)字母的取值要確保它本身所表示的數(shù)量有意義。例如:用1x中的x不能等于0，當(dāng)x=0時(shí)1(4)代入數(shù)值是將相應(yīng)的字母變成數(shù)，其他的符號(hào)和數(shù)字不能改變。知識(shí)點(diǎn)3書(shū)寫(xiě)格式“當(dāng)……時(shí),原式=……”,不能漏寫(xiě)“當(dāng)……時(shí)”的條件。4.3整式知識(shí)點(diǎn)1單項(xiàng)式1.單項(xiàng)式的概念:由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫作單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式，如0，-1，a。方法：判斷一個(gè)代數(shù)式是不是單項(xiàng)式，關(guān)鍵是看該代數(shù)式是不是數(shù)與字母或字母與字母的乘積。式子中含有加、減運(yùn)算或分母中含有字母的均不是單項(xiàng)式。2.單項(xiàng)式的系數(shù):單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫作這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。例如，-3x的系數(shù)是-3，ab的系數(shù)是1。注意：在確定單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，要注意其符號(hào)，其中形如a，-a這樣的式子的系數(shù)分別是1，-1，不能誤以為沒(méi)有系數(shù)。3.單項(xiàng)式的次數(shù):一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)的和叫作這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。例如，-3x的次數(shù)是1，ab的次數(shù)是1+1=2。注意：(1)單項(xiàng)式的次數(shù)與數(shù)字因數(shù)無(wú)關(guān)，只與字母有關(guān)，是單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和。如單項(xiàng)式b的次數(shù)是1，而不是0；常數(shù)-5的次數(shù)是0；9x103a2b3c的次數(shù)是6，與103無(wú)關(guān)。(2)要正確區(qū)分單項(xiàng)式的次數(shù)與單項(xiàng)式中字母的次數(shù)，如6p2q的次數(shù)是3，其中字母p的次數(shù)是2。知識(shí)點(diǎn)2多項(xiàng)式1.定義：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫作多項(xiàng)式。2.多項(xiàng)式的項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫作多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫作常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。例如：a2+3a-2的項(xiàng)有a2，3a，-2，三項(xiàng)，叫三項(xiàng)式；其中常數(shù)項(xiàng)是-2。3.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。例如：a2+3a-2次數(shù)最高的項(xiàng)a2的次數(shù)是2，a2+3a-2的次數(shù)為2。注意：(1)確定多項(xiàng)式的項(xiàng)時(shí)，要帶前面的符號(hào)。(2)確定多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，先計(jì)算出多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)，再確定多項(xiàng)式的次數(shù)。(3)一個(gè)多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)，就叫幾次幾項(xiàng)式，如2x2+3x-3有三項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)為2，所以2x2+3x-3是二次三項(xiàng)式。知識(shí)點(diǎn)3整式1.概念:單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。2.判斷整式、單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的方法(1)單項(xiàng)式不含加減運(yùn)算，多項(xiàng)式必含加減運(yùn)算；(2)多項(xiàng)式是幾個(gè)單項(xiàng)式的和；(3)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都是整式，分母中含有字母的都不是整式。方法：凡分母中含有字母的代數(shù)式都不屬于整式，在整式范圍內(nèi)用“+”或“-”將單項(xiàng)式連接起來(lái)的就是多項(xiàng)式，而單項(xiàng)式注重一個(gè)“積”字。4.4合并同類項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)1同類項(xiàng)的概念所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫作同類項(xiàng)，幾何常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。注意：(1)兩個(gè)單項(xiàng)式是不是同類項(xiàng)有兩個(gè)"相同”，缺一不可：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)相同。如5a2bc與-2ab2c，滿足第①條，但不滿足第②條。故不是同類項(xiàng)。(2)兩個(gè)單項(xiàng)式是不是同類項(xiàng)有兩個(gè)"無(wú)關(guān)”：①與該項(xiàng)系數(shù)無(wú)關(guān)。如-m2n與3m2n是同類項(xiàng)；②與該項(xiàng)中字母排列順序無(wú)關(guān)。如2ab與-ba是同類項(xiàng)。(3)同類項(xiàng)的前提條件是這些式子必須是單項(xiàng)式。(4)同類項(xiàng)最少是兩項(xiàng)，也可以是三項(xiàng)、四項(xiàng)等。知識(shí)點(diǎn)2合并同類項(xiàng)1.把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫作合并同類項(xiàng)。2.合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。3.合并同類項(xiàng)的一般步驟：注意：合并同類項(xiàng)是逆用分配律，運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意：(1)不是同類項(xiàng)的不能合并；(2)同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母部分不變；(3)注意確定好每一項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。4.5整式的加減知識(shí)點(diǎn)1去括號(hào)1.去括號(hào)方法：一般地，一個(gè)數(shù)與一個(gè)多項(xiàng)式相乘，需要去括號(hào)，去括號(hào)就是用括號(hào)外的數(shù)乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng),再把所得的積相加。如果括號(hào)外的乘數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的乘數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反。巧記：去括號(hào),看符號(hào)是“+”號(hào)，不變(號(hào))；是“-”號(hào)，全變(號(hào))。注意：(1)當(dāng)括號(hào)前有數(shù)字乘數(shù)，應(yīng)用乘法分配律時(shí)，切勿漏乘。(2)去括號(hào)時(shí)，要將括號(hào)連同它前面的符號(hào)一起去掉。(3)“相同”或“相反”是指括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)的符號(hào)。2.依據(jù)：分配律a(b+c)=ab+ac。3.多層括號(hào)的去法:一般由內(nèi)向外，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)。知識(shí)點(diǎn)2整式的加減整式加減的運(yùn)算法則:幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后在合并同類項(xiàng)。應(yīng)用整式加減的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般先去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，再代入字母的值進(jìn)行計(jì)算，簡(jiǎn)記為“一化、二代、三計(jì)算”。在具體運(yùn)算中，也可以先將同類項(xiàng)合并，再去括號(hào)，但是要按運(yùn)算順序去做。例如，-2(x-3x+5x-7x+6)=-2(-4x+6)=8x-12。注意：整式加減的結(jié)果要最簡(jiǎn)(1)不能有同類項(xiàng)(2)含字母的項(xiàng)的系數(shù)不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，如果有帶分?jǐn)?shù)，必須將其化成假分?jǐn)?shù)；(3)一般不含括號(hào)。注意：(1)幾個(gè)多項(xiàng)式相減，減式一定要先用括號(hào)括起來(lái)。(2)去括號(hào)時(shí)要格外注意符號(hào)問(wèn)題，尤其是有多重括號(hào)時(shí)。第五章一元一次方程5.1認(rèn)識(shí)方程知識(shí)點(diǎn)1方程及方程的解含有未知數(shù)的等式叫作方程。例如：x=0,2x=5，y+3=-4，a2+3a=7，x-2y=10，1x+x=2等都是方程注意：判斷方程的方法（1）化簡(jiǎn)后含有未知數(shù)；（2）式子是等式；（3）方程中的未知數(shù)可以用x表示，也可以用其他字母表示；（4）方程中的未知數(shù)的個(gè)數(shù)不一定是一個(gè)，也可以是兩個(gè)或兩個(gè)以上。知識(shí)點(diǎn)2方程的解與解方程1.一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。例如：x=2是方程2x+1=5的解。2.求方程的解的過(guò)程，叫作解方程。注意：若要檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為某個(gè)方程的解，只需把這個(gè)數(shù)分別代入方程的左、右兩邊，看左、右兩邊的值是否相等，若相等，則這個(gè)數(shù)是該方程的解，否則不是。5.2等式的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1等式的性質(zhì)1.等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。用字母可以表示為如果a=b，那么a±c=b±c。2.等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)或式（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式。用字母可以表示為如果a=b，那么ac=bc，或ac=bc（c3.等式的其他性質(zhì)(1)對(duì)稱性：若a=b，則b=a。如解方程時(shí)，若得到5=x，則根據(jù)等式的對(duì)稱性，可以得到x=5。(2)傳遞性：若a=b,b=c，則a=c。5.3一元一次方程和它的解知識(shí)點(diǎn)1一元一次方程的概念1.一元一次方程：方程80%x=72，350+110x=500，2x+123=14中，兩邊都是整式，只含有2.一元一次方程的最簡(jiǎn)形式為x=ba注意：一元一次方程必須滿足的三個(gè)條件(1)整理化簡(jiǎn)后只含“一個(gè)未知數(shù)"；(2)整理化簡(jiǎn)后未知數(shù)的最高次為“一次”；(3)整理前兩邊均為整式。若已知等式ax+b=0為關(guān)于x的一元一次方程,則默認(rèn)a≠0。知識(shí)點(diǎn)2一元一次方程的解和解方程1.解方程：求方程的解的過(guò)程叫作解方程。2.一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。注意：要檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是某個(gè)方程的解，只需把這個(gè)數(shù)分別代入方程的左右兩邊，看左右兩邊的值是否相等,若相等,則這個(gè)數(shù)是該方程的解，否則不是.知識(shí)點(diǎn)3列簡(jiǎn)單一元一次方程列方程就是把實(shí)際問(wèn)題中的相等關(guān)系用方程的形式表示出來(lái).列方程的一般步驟如下：(1)審題：分析實(shí)際問(wèn)題中的相等關(guān)系,找出已知量和未知量。(2)設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)x,并把涉及相等關(guān)系的量用x表示出來(lái)；(3)列：利用等量關(guān)系列出方程。說(shuō)明：(1)設(shè)未知數(shù)時(shí)，有單位的要帶單位。(2)設(shè)未知數(shù)可以直接設(shè)，也可以間接設(shè),根據(jù)具體情況分析，本著易列、易解的原則設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)。（3）審題時(shí)建議逐字逐句讀題，并圈出關(guān)鍵信息。5.4一元一次方程的解法知識(shí)點(diǎn)1合并同類項(xiàng)與系數(shù)化為11.合并同類項(xiàng)將一元一次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別合并，使方程轉(zhuǎn)化為ax=b(a≠0)的形式，變形依據(jù)是合并同類項(xiàng)法則。注意：(1)合并同類項(xiàng)時(shí),把同類項(xiàng)的系數(shù)相加,字母和字母的指數(shù)不變。(2)利用合并同類項(xiàng)解一元一次方程時(shí),要明確這類方程的特點(diǎn):等號(hào)一邊只有含未知數(shù)的項(xiàng)，另一邊只有常數(shù)項(xiàng)。2.系數(shù)化為1方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，使一元一次方程ax=b(a≠0)變形為x=ba(a≠0)的形式，變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2。例如，解方程x+2x=6-3，合并同類項(xiàng)，的3x注意：(1)系數(shù)化為1時(shí),若結(jié)果是分?jǐn)?shù),注意能約分的要約分,切勿顛倒分子與分母的位置。(2)在系數(shù)化為1時(shí),特別注意當(dāng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí),符號(hào)不要出錯(cuò)。知識(shí)點(diǎn)2解方程求方程的解的過(guò)程，叫作解方程。解一個(gè)以x為未知數(shù)的方程，就是把方程轉(zhuǎn)化為x=c（c為常數(shù)）的形式。知識(shí)點(diǎn)3移項(xiàng)法解一元一次方程1.移項(xiàng)(1)一般地,把方程中的項(xiàng)改變符號(hào)后,從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫作移項(xiàng)。(2)移項(xiàng)的目的：使含有未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別位于等號(hào)左右兩邊，以便為下一步合并同類項(xiàng)創(chuàng)造條件，移項(xiàng)的依據(jù)是等式的性質(zhì)1。(3)移項(xiàng)的方法：通常把方程右邊的含未知數(shù)的項(xiàng)改變符號(hào)后移到方程左邊，把方程左邊的常數(shù)項(xiàng)改變符號(hào)后移到方程右邊。但也不盡然,比如為使未知數(shù)的系數(shù)不出現(xiàn)負(fù)數(shù)，也可以把含未知數(shù)的項(xiàng)放在右邊，常數(shù)項(xiàng)放在左邊。例如:-x+1=5，移項(xiàng)，得1-5=x，所以-4=x，即方程的解為x=-4。2.移項(xiàng)法解一元一次方程的步驟（1）移項(xiàng)；（2）合并同類項(xiàng)；（3）系數(shù)化為1。例如：解方程：10-4y=6y+5，移項(xiàng)，得：-4y-6y=5-10。合并同類項(xiàng)，得：-10y=-5。系數(shù)化為1，得：y=0.5。知識(shí)點(diǎn)4去括號(hào)與去分母1.去括號(hào)(1)解含有括號(hào)的一元一次方程時(shí)，利用前面學(xué)習(xí)的去括號(hào)法則去掉括號(hào)。(2)去括號(hào)是為了下一步能用移項(xiàng)法解方程，實(shí)質(zhì)是乘法對(duì)加法的分配律。(3)去括號(hào)各項(xiàng)的變化：①如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)符號(hào)相同，例如：+(a-b)=a-b；②如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后要改變?cè)ㄌ?hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)，例如：-(a-b)=-a+b；③當(dāng)括號(hào)前不是“+1”或“-1”時(shí)，去括號(hào)時(shí)，將括號(hào)外的因數(shù)連同前面的符號(hào)看成一個(gè)整體，按乘法對(duì)加法的分配律乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)，再把積相加。(4)去括號(hào)解一元一次方程的步驟：①去括號(hào)；②移項(xiàng)；③合并同類項(xiàng)；④系數(shù)化為1。注意：若方程中有多層括號(hào)，通常由內(nèi)向外逐層去括號(hào)，也可以由外向內(nèi)逐層去括號(hào)，可根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活決定。例如-[-(a-b)+c]=(a-b)-c=a-b-c；-[-(a-b)+c]=-(-a+b+c)=a-b-c。2.去分母(1)在含有分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程兩邊都乘同一個(gè)數(shù)(該數(shù)為各分母的最小公倍數(shù))，使方程中不含分母，這樣的變化過(guò)程叫作去分母。(2)去分母的目的是將方程中的分?jǐn)?shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)系數(shù)再利用去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解方程。去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)2。(3)對(duì)于含小數(shù)的一元一次方程，先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用去分母去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解方程。知識(shí)點(diǎn)5解一元一次方程的一般步驟步驟具體做法變形根據(jù)易錯(cuò)點(diǎn)示例3x+1去分母方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)等式的性質(zhì)2（1）易漏乘不含分母的項(xiàng)；（2）分子是和、差的形式時(shí)，分子容易漏加括號(hào)兩邊同乘12，3(3x+1)+4(x-2)=6x+60去括號(hào)可按“小、中、大”的順序去括號(hào)，也可靈活決定（1）乘法分配律；（2）去括號(hào)法則（1）容易漏乘括號(hào)里面的項(xiàng)；（2）容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤9x+3+4x-8=6x+60移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊等式的性質(zhì)1移項(xiàng)容易忘記變號(hào)9x+4x-6x=60-3+8合并同類項(xiàng)把方程化為ax=b(a≠0)的形式合并同類項(xiàng)法則系數(shù)相加時(shí)易算錯(cuò)7x=65系數(shù)化為1方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)等式的性質(zhì)2（1）系數(shù)含字母時(shí)，容易不先判斷系數(shù)是否為0而直接兩邊同時(shí)除以系數(shù)；（2）容易把分子、分母顛倒x=注意：方程的移項(xiàng)必須:(1)跨過(guò)等號(hào);(2)改變符號(hào)。若某一項(xiàng)只在方程一邊改變位置，不跨過(guò)等號(hào)，則屬于多項(xiàng)式的移項(xiàng)，不改變符號(hào)。知識(shí)點(diǎn)6解含有絕對(duì)值的方程根據(jù)“|x|=a，則x=±a”，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，化為兩個(gè)一元一次方程，再解這兩個(gè)方程。例如，解方程：|2x+1|=|3-5x|，去絕對(duì)值符號(hào)，得2x+1=±(3-5x)，即2x+1=3-5x或2x+1=-3+5x，解得x=27或x=注意：無(wú)論方程是一邊含絕對(duì)值符號(hào)還是兩邊都含絕對(duì)值符號(hào)，在去掉絕對(duì)值符號(hào)后，一邊不變，另一邊整體加“±”號(hào)。5.5一元一次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1列方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)審題：分析題意，找出題中的數(shù)量及其關(guān)系(2)設(shè)元：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗坑米帜副硎?例如x)(3)列方程：根據(jù)相等關(guān)系列出方程。(4)解方程：求出未知數(shù)的值.(5)檢驗(yàn)：檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情形并寫(xiě)出答案。拓展：設(shè)未知數(shù)有直接設(shè)和間接設(shè)兩種，間接設(shè)未知數(shù)的幾種情況如下:(1)設(shè)問(wèn)題的局部(或部分)為x。如多位數(shù)問(wèn)題設(shè)其中的一位或幾位上的數(shù)為x。(2)若題中所求幾個(gè)未知量的比例關(guān)系已知，則可用x表示其中“每份”的數(shù)量。(3)有些應(yīng)用題，盡管解答時(shí)可問(wèn)什么設(shè)什么，但當(dāng)題目中還包含其他未知量時(shí)，這些未知量雖非題目所求，但缺了它就不易建立相等關(guān)系，這時(shí)可設(shè)輔助未知數(shù)。知識(shí)點(diǎn)2分析問(wèn)題中的相等關(guān)系1.逐步列式法：例如，x+2的2倍比3x-6大5，首先寫(xiě)出“x+2的2倍”，即2(x+2)，它比3x-6大5，那么“大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。2.列表分析法：用行(或列)表示不同的項(xiàng)目或種類，用列(或行)表示相應(yīng)的數(shù)量。3.畫(huà)圖分析法：用圖形表示題目中的相等關(guān)系。例如，行程問(wèn)題中常用線段示意圖幫助分析相等關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)3常見(jiàn)問(wèn)題中的等量關(guān)系1.配套問(wèn)題相等關(guān)系：加工總量成比例，若一件產(chǎn)品需要A，B兩種配件配成，A，B兩種配件的數(shù)量比是a:b，則A種配件總數(shù)量×b=B種配件總數(shù)量×a。例如，一個(gè)眼鏡由1個(gè)鏡架和2個(gè)鏡片配成，這里：鏡架總數(shù)×2=鏡片總數(shù)×1。注意：可歸為配套問(wèn)題的還有比例問(wèn)題、勞力調(diào)配問(wèn)題等,解法略有差異,本質(zhì)相同。比例問(wèn)題直接設(shè)未知數(shù)，勞力調(diào)配問(wèn)題關(guān)鍵是確定“調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系”。2.工程問(wèn)題（1）基本相等關(guān)系：工作量=工作效率×工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時(shí)間（2）當(dāng)問(wèn)題中總工作量未知而又不求總工作量時(shí)，要把總工作量看作整體1；（3）常見(jiàn)的相等關(guān)系為總工作量=各部分工作量之和。方法：(1)找相等關(guān)系的規(guī)律:在工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量中，如果甲量已知，從乙量設(shè)元，那么就從丙量找相等關(guān)系列方程。(2)工程類應(yīng)用題的工作量并不是具體數(shù)量時(shí)，往往把工作總量看作“1”。(3)工作總量看作“1”時(shí)，工作效率=1工作時(shí)間，3.營(yíng)銷問(wèn)題（1）相等關(guān)系：①利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；②利潤(rùn)率=利潤(rùn)進(jìn)價(jià)（2）打折：n折即標(biāo)價(jià)的n10，如7折即標(biāo)價(jià)的710（或70%），其中n叫折數(shù)。實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)×注意：(1)銷售問(wèn)題包括打折問(wèn)題，且多數(shù)銷售問(wèn)題就是打折問(wèn)題。(2)增長(zhǎng)率問(wèn)題與打折問(wèn)題本質(zhì)相同，都必須搞清“基礎(chǔ)量”是什么，即在打折前(或增長(zhǎng)前、下降前)原量是什么。(3)解題時(shí)要認(rèn)真審題，清楚不打折時(shí)“售價(jià)=標(biāo)價(jià)”；打折時(shí)“售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折數(shù)104.分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題常見(jiàn)類型:我國(guó)公民個(gè)人所得稅按分段累進(jìn)稅制計(jì)算；社會(huì)醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行分段累進(jìn)按比例報(bào)銷制度；為鼓勵(lì)節(jié)約用水、用電、用氣、水費(fèi)、電費(fèi)、煤氣費(fèi)實(shí)行分段價(jià)格收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；某些運(yùn)營(yíng)商的話費(fèi)、出租車費(fèi)實(shí)行分段計(jì)費(fèi)；商家為促銷商品，實(shí)行分段優(yōu)惠銷售等。解決這些分段討論問(wèn)題的關(guān)鍵是理順部分與整體的關(guān)系：①各段費(fèi)用之和=總費(fèi)用；②每一段的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同。5.球賽積分問(wèn)題相等關(guān)系：（1）比賽總場(chǎng)數(shù)=勝場(chǎng)數(shù)+平場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)；（2）比賽總得分=勝場(chǎng)總得分+平場(chǎng)總得分+負(fù)場(chǎng)總得分。注意：競(jìng)賽答題問(wèn)題也可歸到球賽積分問(wèn)題中，因?yàn)橛行└?jìng)賽中規(guī)定答對(duì)一題得幾分，答錯(cuò)一題扣幾分，不答不得分也不扣分等，這與球賽積分規(guī)則類似。6.行程問(wèn)題基本相等關(guān)系：路程=速度×?xí)r間；速度=路程÷時(shí)間；時(shí)間=路程÷速度；（1）直線形相遇問(wèn)題：甲走的路程+乙走的路程=兩地之間的路程。（2）直線形追及問(wèn)題：快者走的路程=慢者走的路程+兩人初始路程差；快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。（3）環(huán)形相遇問(wèn)題：同起點(diǎn)、同時(shí)間、背向出發(fā)，首次相遇時(shí)，等量關(guān)系二者合走了1圈；從出發(fā)到相遇所用時(shí)間=環(huán)形周長(zhǎng)二者速度和；第n次相遇時(shí)，二者合走了n環(huán)形追及問(wèn)題：同起點(diǎn)、同時(shí)間、同向出發(fā)，首次相遇時(shí)，等量關(guān)系是快者比慢者多走1圈；追及所用時(shí)間=環(huán)形周長(zhǎng)二者速度差；第n次相遇時(shí)，快者比慢者多走n拓展：其他行程問(wèn)題(1)航行問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水速；逆水速度=靜水速度-水速。(2)火車過(guò)橋問(wèn)題：①?gòu)能囶^剛上橋到車尾離開(kāi)橋；過(guò)橋速度×過(guò)橋時(shí)間=橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)；②火車過(guò)橋全路程-橋長(zhǎng)=車長(zhǎng)。7.利息問(wèn)題(1)本金×利率×期數(shù)=利息(若未特別說(shuō)明，銀行定期存款的利率是指年利率，期數(shù)是年數(shù))。(2)本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期數(shù))。8.年齡問(wèn)題“年齡問(wèn)題”的基本規(guī)律是不管時(shí)間如何變化，兩人的年齡差總是不變的，抓住“年齡差”是解答年齡問(wèn)題的關(guān)鍵。注意：分析時(shí)，可借助線段圖分析，結(jié)合和倍、差倍、和差等問(wèn)題分析方法，靈活解題。9.方案決策問(wèn)題方案決策問(wèn)題是實(shí)際生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，用一元一次方程解最佳方案問(wèn)題的一般步驟：(1)列代數(shù)式；(2)列方程；(3)取特殊值試解；(4)決策。第六章圖形的初步認(rèn)識(shí)6.1幾何圖形知識(shí)點(diǎn)1幾何圖形的概念及分類1.幾何圖形的概念：對(duì)于各種物體，如果不考慮它們的顏色、材質(zhì)和質(zhì)量等，而只注意它們的形狀、大小和位置關(guān)系，就得到了幾何圖形。換種說(shuō)法：點(diǎn)、線、面、體或若干個(gè)點(diǎn)、線、面、體組合在一起所構(gòu)成的圖形叫作幾何圖形。2.幾何圖形的分類：幾何圖形分立體圖形和平面圖形兩大類。(1)立體圖形：立方體、長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐體、球體等幾何圖形所表示的各個(gè)部分不在同一平面內(nèi)，這樣的圖形稱為立體圖形。如：正方體、三棱錐、圓柱、圓錐、球等。(2)平面圖形：直線、射線、角、三角形、平行四邊形、梯形和圓都是幾何圖形，這些圖形所表示的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，稱為平面圖形。如：三角形、長(zhǎng)方形、圓等。注意：(1)圓柱和棱柱的區(qū)別：圓柱的底面是圓，棱柱的底面是多邊形；圓柱的側(cè)面是曲面，棱柱的側(cè)面是平行四邊形。(2)圓錐和棱錐的區(qū)別：圓錐的底面是圓，側(cè)面是曲面；棱錐的底面是多邊形，側(cè)面是三角形。(3)球與圓的區(qū)別：球是立體圖形，而圓是平面圖形。知識(shí)點(diǎn)2立體圖形球立方體長(zhǎng)方體圓柱體圓錐三棱柱知識(shí)點(diǎn)4點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系1.圖形的基本要素：點(diǎn)、線、面是圖形的基本要素。2.點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系：包圍著幾何體的是面，面與面相交行成線，線與線相交形成點(diǎn)。點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)乘面，面動(dòng)成體。說(shuō)明：幾何體的形成(1)面圍成體：如正方體由六個(gè)平的面圍成，圓柱由一個(gè)曲的面和兩個(gè)平的面圍成，圓錐由一個(gè)曲的面和一個(gè)平的面圍成，球由一個(gè)曲的面圍成。(2)面動(dòng)成體：這里的“動(dòng)”指平移或旋轉(zhuǎn)。如將一個(gè)長(zhǎng)方形繞著它的任意一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，就形成一個(gè)圓柱；將一個(gè)直角三角形繞著它的斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，可形成兩個(gè)底面重合的圓錐。6.2線段、射線和直線知識(shí)點(diǎn)1線段1.線段的表示：線段可以用表示端點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示。下圖中的線段可以表示為“線段AB”、“線段BA”或“線段a”。注意：不能用一個(gè)大寫(xiě)字母或兩個(gè)小寫(xiě)字母或一大寫(xiě)一小寫(xiě)的兩個(gè)字母來(lái)表示線段。知識(shí)點(diǎn)2直線1.直線的表示：直線可以用它上面任意兩個(gè)點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，但不能用兩個(gè)小寫(xiě)字母或一個(gè)大寫(xiě)字母或一大寫(xiě)一小寫(xiě)的兩個(gè)字母來(lái)表示。圖示：直線l或直線AB2.直線的基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條而且只有一條直線?？梢院?jiǎn)單地說(shuō)成：兩點(diǎn)確定一條直線。3.直線沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度，不可度量?！把娱L(zhǎng)直線”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。4.當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，就稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫作它們的交點(diǎn)。圖示：直線a，b交于點(diǎn)O拓展：同時(shí)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)畫(huà)不出直線。過(guò)沒(méi)有任何三點(diǎn)共線的n個(gè)點(diǎn)中的兩點(diǎn)共能畫(huà)出n(n?1)2條直線。如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn),就說(shuō)這兩條直線相交,該公共點(diǎn)叫作這兩條直線的交點(diǎn)。若平面內(nèi)有n條直線，則最多有n(n?1)2知識(shí)點(diǎn)3射線1.射線的表示：射線用表示它的端點(diǎn)和射線上另外任意一點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，表示端點(diǎn)的字母要寫(xiě)在前面。比較兩條線段的長(zhǎng)短，可用刻度尺分別測(cè)量出它們的長(zhǎng)度來(lái)比較，或者把其中的一條線段移到另一條線段上作比較。2.射線只有一個(gè)端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度，不可度量。如下圖，“延長(zhǎng)射線AB”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，但可以說(shuō)“反向延長(zhǎng)射線AB”。注意：端點(diǎn)不同，所表示的射線不同；端點(diǎn)相同，延伸方向不同，表示的射線也不同；只有端點(diǎn)和延伸方向都相同時(shí)，才是同一條射線。2.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系線段射線直線圖形表示線段EF或FE或線段l射線CD直線AB或直線BA或直線l區(qū)別端點(diǎn)有兩個(gè)端點(diǎn)有一個(gè)端點(diǎn)無(wú)端點(diǎn)延伸不可延伸一端可以無(wú)限延伸可以無(wú)限延伸度量可以度量不可以度量不可以度量聯(lián)系都屬于“線”，都是直的；線段和射線是直線的一部分基本事實(shí)兩點(diǎn)直線，線段最短兩點(diǎn)確定一條直線6.3線段的長(zhǎng)度比較知識(shí)點(diǎn)1線段的長(zhǎng)短比較1.線段的長(zhǎng)短比較：一般地，如果兩條線段長(zhǎng)度相等，那么我們就說(shuō)這兩條線段相等。如果兩條線段的長(zhǎng)度不相等，那么我們就說(shuō)長(zhǎng)度較大的線段大于長(zhǎng)度較小的線段。2.線段的基本事實(shí)：在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短。簡(jiǎn)單地說(shuō)，兩點(diǎn)之間線段最短。注意：只有線段才能比較長(zhǎng)短，直線和射線不能比較長(zhǎng)短。在用“<”“>”或“=”連接兩條線段時(shí),字母前的“線段”二字可省略不寫(xiě).3.兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫作這兩點(diǎn)間的距離。注意：線段與兩點(diǎn)間的距離含義不同，線段是圖形，距離是數(shù)量，不是一回事。但二者又有緊密聯(lián)系：兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，不是隨便一條線段的長(zhǎng)度。知識(shí)點(diǎn)2用尺規(guī)作圖1.作一條線段等于已知線段作法：第一步，作射線AC。第二步，以A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線AC于點(diǎn)B。則線段AB就是所求作的線段。6.4線段的和差知識(shí)點(diǎn)1線段的和差1.線段的和差：一般地，如果一條線段的長(zhǎng)度是另兩條線段的長(zhǎng)度的和，那么這條線段就叫作另兩條線段的和；如果一條線段的長(zhǎng)度是另兩條線段的長(zhǎng)度的差，那么這條線段就叫作另兩條線段的差；兩條線段的和或差仍是一條線段。注意：兩條線段的和差仍是線段，而不是指兩條線段的長(zhǎng)度差。兩條線段的和差是圖形，兩條線段的長(zhǎng)度差是數(shù)量，二者不要混淆。2.作線段的和、差在直線上作