北師大版八年級上冊數(shù)學全冊教案

備

課

教

案

學校：將樂縣第四中學

備課人：陳流財

班級：八（4）

2016年9月

八年級數(shù)學上冊教學支配

一、學情分析

八年級是初中學習過程中的關鍵時期，在我們班上，兩極分化問題很是嚴峻,

對優(yōu)等生來說他們能夠理解學問形成技能具備確定的數(shù)學實力，而對后進生來

說簡潔的基礎學問還不能夠駕馭成果不容樂觀。為使學生學好進一步學習所必

需的代數(shù)、幾何的基礎學問及基本技能，進一步培育學生運算實力、發(fā)展思維

實力和空間觀念，使學生能夠運用所學學問解決實際問題，逐步形成數(shù)學創(chuàng)新

意識，作為老師，我將實行因材施教策略。

二、教材內容分析

本學期數(shù)學內容包括第一章《勾股定理》、其次章《實數(shù)》，第三章《圖形

的平移及旋轉》，第四章《四邊形性質探究》，第五章《位置的確定》，第六章《一

次函數(shù)》，第七章《二元一次方程組》，第八章《數(shù)據(jù)的代表》。

第一章《勾股定理》的主要內容是勾股定理的探究和應用。

其次章《實數(shù)》主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數(shù)的概念和運

算。本章的內容雖然不多，但在初中數(shù)學中占有特別重要的地位。。

第三章《圖形的平移及旋轉》主要內容是生活中一些簡潔幾何圖形的平移

和旋轉。

第四章《四邊形性質探究》的主要內容是四邊形的有關柩念、幾種特殊的

四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性質和判定以及三角形、

梯形的中位線。

第五章《位置的確定》主要講解并描述平面直南坐標系中點的確定，會找

出一些點的坐標。

第六章《一次函數(shù)》的主要內容是介紹函數(shù)的概念，以及一次函數(shù)的圖像

和表達式，學會用一次函數(shù)解決一些實際問題。

第七章《二元一次方程組》要求學會解二元一次方程組，并用二元一次方

程組來解一些實際的問題。

第八章《數(shù)據(jù)的代表》主要講解并描述平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)的概念，會求

平均數(shù)和能找出中位數(shù)及眾數(shù)。

三、教學目標要求

上早學期完成第一章到第四章第四節(jié)，下手學期完成第四章第五節(jié)到本冊教

材結束。駕馭平方根及立方根、實數(shù)、平面坐標系、一次函數(shù)、勾股定埋、四

邊形性質等學問并形成相應數(shù)學技能。在情感及價值觀上相識圖形中的數(shù)量關

系，培育學生的實事求是細致肅穆的學習看法，在民主和諧合作的學習過程中

養(yǎng)成獨立探究勤及思索大膽創(chuàng)新，發(fā)展學生的非智力因素提高學生的數(shù)學素養(yǎng)

及素養(yǎng)。

詳細教學目標如下：

1.正確理解二次根式的概念，駕馭二次根式的基本運算，并能嫻熟地進行

二次根式的化簡。

2.駕馭二次根式加、減、乘、除的運算法則，能夠進行二次根式的運算。

駕馭二次根式的化簡，進一步提高學生的運算實力。

3.理解四邊形及有關概念，駕馭幾種特殊四邊形的性質定理及判定。

4.理解相像一次函數(shù)的概念，駕馭一次函數(shù)的圖像和表達式，學會用一次

函數(shù)解決一些實際問題。

四、教材的重點和難點

重點：勾股定理探究、四邊形性質的探究、實數(shù)的概念、一次函數(shù)圖象及其

應用、二元一次方程組及其應用。

難點：勾股定理探究、四邊形性質的駕馭一次函數(shù)圖象及其應用的數(shù)形結合

技能、二元一次方程組及其應用實力培育。

五、本學期提高教學質量的主要措施：

1、細致做好教學工作。把細致教學作為提高成果的主要方法，細致研讀新課程

標準，鉆研新教材，依據(jù)新課程標準，擴充教材內容，細致上課，批改作業(yè)，

細致輔導，細致制作測試試卷，也讓學生學會細致學習。

2、愛好是最好的老師，愛因斯坦如是說。激發(fā)學生的愛好，給學生介紹數(shù)學家，

數(shù)學史，介紹相應的數(shù)學趣題，給出數(shù)學課外思索題，激發(fā)學生的愛好。

3、引導學生主動參與學問的構建，營造民主、加諧、同等、自主、探究、溝通、

共享發(fā)覺歡樂的高效的學習課堂，讓學生體會學習的歡樂，享受學習。引導學

生寫小論文，寫復習提綱，使學問來源于學生的創(chuàng)建。

4、引導學生主動歸納解題規(guī)律，引導學生一題多解，多解歸一，培育學生透過

現(xiàn)象看本質，提高學生舉一反三的實力，這是提高學生素養(yǎng)的根本途徑之一，

培育學生的發(fā)散思維，讓學生處于一種思如泉涌的狀態(tài)。

5、運用新課程標準的理念指導教學，主動更新自己腦海中固有的教化理念，不

同的教化理念將帶來不同的教化效果。

6、培育學生良好的學習習慣，陶行知說：教化就是培育習慣，有助于學生穩(wěn)步

提高學習成果，發(fā)展學生的非智力因素，彌補智力上的不足。

7、開展分層教學，布置作業(yè)設置A、B、C三類分層布置分別適合于差、中、好

三類學生，課堂上的提問照看好好、中、差三類學生，讓每個學生盡可能獲得

最大發(fā)展。

六、教學進度支配

教學進度表

起止

周次教材內容及備注節(jié)數(shù)備注

時間

1.1探究勾股定理（2）

19.3~9.91.2能得到直角三角形（1）5

1.3螞蟻怎樣爬最近（1）

回顧及思索（1）

第一章測試講解（1）

29.10^9.162.1數(shù)怎么不夠用了（2）5老師節(jié)

2.2平方根（2）

2.3立方根（1）

2.4公園有多寬（1）

39.17^9.232.5用計算機開方（1）5

2.6實數(shù)（1）

2.7回顧及思索（1）

3.1生活中的平移（0.5）

3.2簡潔的平移作圖（0.5）

3.3生活中的旋轉（0.5）

3.4簡潔的旋轉作圖（0.5）

49.219.305

3.5它們是怎樣變過來的

（0.5）

3.6簡潔的圖案設計（0.5）

復習及第三章測試（2）

510.1^10.7國慶節(jié)國慶節(jié)

前三章小復習及題目講解（1）

610.8~10.144.1平形四邊形的性質（2）5

4.2平形四邊形的判別（2）

4.3菱形（1）

4.4矩形、正方形（1）

4.5梯形（1）

710.15^10.215

4.6探究多邊形的內角和及外

角和（1）

4.7中心對稱圖形（1）

810.22^10.28期中復習5

910.29^11.4期中考試及試題講解5

5.1確定位置（1）

5.2平面直角坐標系（1）

1011.5~11.115

5.3變更的“魚”（2）

回顧及反思（1）

6.1函數(shù)（1）

1111.12~11.186.2一次函數(shù)的圖象（2）5

6.3一次函數(shù)的圖象（2）

6.4確定一次函數(shù)表達式（1）

1211.19^11.256.5一次函數(shù)圖象的應用（2）5

回顧及思索、復習及測試

7.1誰的包袱多（1）

1311.26^12.27.2解二元一次方程組（2）5

7.3雞兔同籠（2）

7.4帝收節(jié)支（2）

1412.3~12.95

7.5里程碑上的數(shù)（1）

7.6二元一次方程及一次函數(shù)

（2）

8.1平均數(shù)（2）

1512.10^12.168.2中位數(shù)及眾數(shù)（2）5

8.3利用計數(shù)器求平均數(shù)（1）

1612.17^12.23總復習15

1712.24~12.30總復習25

1812.31~1.6總復習35

191.7^1.13總復習45

201.14^1.120總復習5及期末考試5

以上支配從制定之日起執(zhí)行，若有不妥之處，請學校教務處賜予指正，并督促

執(zhí)行

第一章勾股定理

§1.1探究勾股定理（一）

教學目標：

1、經(jīng)驗用數(shù)格子的方法探究勾股定理的過程，進一步發(fā)展學生的合情推力

意識，主動探究的習慣，進一步體會數(shù)學及現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。

2、探究并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關系，進一步發(fā)展學生的說理

和簡潔的推理的意識及實力。

重點難點：

重點：了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡潔的問題。

難點：勾股定理的發(fā)覺

教學過程

一、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱忱，導入課題

出示投影1（章前的圖文p1）老師道白：介紹我國古代在勾股定理探討方面的

貢獻，并結合課本p5談一談，講解并描述我國是最早了解勾股定理的國家之一,

介紹商高（三千多年前周期的數(shù)學家）在勾股定理方面的貢獻。

出示投影2（書中的P2圖1—2）并回答：

1、視察圖1-2,正方形A中有個小方格，即A的面積為個單

位。

正方形B中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形C中有個小方格，即A的面積為個單位。

2、你是怎樣得出上面的結果的？在學生溝通回答的基礎上老師干脆發(fā)問：

3、圖1—2中，A,B,C之間的面積之間有什么關系？

學生溝通后形成共識，老師板書，A+B=C,接著提出圖1—1中的A.B,C的關系

呢？

二、做一做

出示投影3（書中P3圖1—4）提問：

1、圖1—3中，A,B,C之間有什么關系？

2、圖1一4中，A,B,C之間有什么關系？

3、從圖1—1,1—2,1—3,1|一4中你發(fā)覺什么？

學生探討、溝通形成共識后，老師總結：

以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。

三、議一議

1、圖1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的邊長表示正方形的

面積嗎？

2、你能發(fā)覺直角三角形三邊長度之間的關系嗎？

在同學的溝通基礎上，老師板書：

直角三角形邊的兩直南邊的平方和等于斜邊的平方。這就是聞名的“勾股定

理，，

也就是說：假如直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c

那么a2+b2=c2

我國古代稱直角三角賬的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就

是勾股定理的由來。

3、分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊

的長度（學生測量后回答斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規(guī)律，對

這個三角形仍舊成立嗎？（回答是確定的：成立）

四、想一想

這里的29英寸（74厘米）的電視機，指的是屏幕的長嗎？只的是屏幕的

款嗎？那他指什么呢？

五、鞏固練習

1、錯例辨析：

△ABC的兩邊為3和4,求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應滿意1=32+42=25

即：c=5

辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不行少的條

件，可本題

△ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。

(2)若告知△ABC是直角三角形，第三邊C也不確定是滿意/+尸=02,題

目中并為交待C是斜邊

綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。

2、練習P7§1.11

六、作業(yè)

課本P7§1.12、3、4

§1.1探究勾股定理(二)

教學目標：

1.經(jīng)驗運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數(shù)學活動中發(fā)展學

生的探究意識和合作溝通的習慣。

2.駕馭勾股定理和他的簡潔應用

重點難點：

重點：能嫻熟運用拼圖的方法證明勾股定理

難點：用面積證勾股定理

教學過程

七、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱忱，導入課題

我們已經(jīng)通過數(shù)格子的方法發(fā)覺了直角三角形三邊的關系，原委是幾個實例，

是否具有普遍的意義，還需加以論證，下面就是今日所要探討的內容，下邊請

大家畫四個全等的直角三角形，并把它剪下來，用這四個直角三角形，拼一拼、

擺一擺，看看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，并及同學溝通。在

同學操作的過程中，老師展示投影1(書中p7圖1—7)接著提問：大正方形的

面積可表示為什么？

(同學們回答有這幾種可能：(1)(/+/)(2))

在同學溝通形成共識之后，老師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接

起來。

/+/二請同學們對上面的式子進行化簡，得到：

a~■+-2,abb~=26Z￡>4-c~即a2+b2=c2

這就可以從理論上說明勾股定理存在。請同學們去用別的拼圖方法說明勾股定

理。

八、講例

1.飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛機飛到一個男孩頭頂正上方4000

多米處，過20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每時飛行多少千米？

分析：依據(jù)題意：可以先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中4ABC的

4=9O°,AC=4OOO米，AB=5000米，欲求飛機每小時飛行多少千米，就要知道

飛機在20秒的時間里的飛行路程，即圖中的CB的長，由于直角AABC的斜邊

AB=5000米，AC=4000米，這樣的CB就可以通過勾股定理得出。這里確定要留

意單位的換算。

解：由勾股定理得3C?=A1-AC?=52-42=9（千米）

即BC二3千米飛機20秒飛行3千米，那么它1小時飛行的距離為：

32x3=540（千米/小時）

20

答：飛機每個小時飛行540千米。

九、議一議

展示投影2（書中的圖1—9）

視察上圖，應用數(shù)格子的方法推斷圖中的三角形的三邊長是否滿意/+/=/

同學在爭論溝通形成共識之后，老師總結。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能運用勾股定理。

十、作業(yè)

1、1、課文P11§1.21、2

2、選用作業(yè)。

§1.2能得到直角三角形嗎

教學目標：

學問及技能

1.駕馭直角三角形的判別條件，并能進行簡潔應用；

2.進一步發(fā)展數(shù)感，增加對勾股數(shù)的直觀體驗，培育從實際問題抽象出數(shù)學

問題的實力，建立數(shù)學模型.

3.會通過邊長推斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪

個結論.

情感看法及價值觀

敢于面對數(shù)學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用學問解決問題的勝利

閱歷，進一步體會數(shù)學的應用價值，發(fā)展運用數(shù)學的信念和實力，初步形成主

動參及教學活動的意識.

教學重點

運用身邊熟識的事物，從多種角度發(fā)展數(shù)感，會通過邊長推斷一個三角形是

否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪個結論.

教學難點

會辨析哪些問題應用哪個結論.

課前打算

標有單位長度的細繩、三角板、量角器、題篇

教學過程：

復習引入：

請學生復述勾股定理；運用勾股定理的前提條件是什么？

已知aABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13對嗎？

創(chuàng)設問題情景：由課前打算好的一組學生以小品的形式演示教材第9頁古埃

及造直角的方法.

這樣做得到的是一個直角三角形嗎？

提出課題：能得到直角三角形嗎

講授新課：

1.如何來推斷？（用直角三角板檢驗）

這個三角形的三邊分別是多少？（一份視為1）它們之間存在著怎樣的關系？

就是說，假如三角形的三邊為a,b,C,請猜想在什么條件下，以這三邊組

成的三角形是直角三角形？（當滿意較小兩邊的平方和等于較大邊的平方時）

2.接著嘗試：下面的三組數(shù)分別是一^個三角形的三邊長a,b,c:

5,12,13:6,8,10：8,15,17.

（1）這三組數(shù)都滿意a?+b2=c2?

（2）分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角

三角形嗎？

3.直角三角形判定定理：假如三角形的三邊長a,b,c滿意a2+b2=c2,那

么這個三角形是直角三角形.

滿意a?+b?=c?的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

4.例1一個零件的形態(tài)如左圖所示，按規(guī)定這個零件中NA和NDBC都

應為直角.工人師傅量得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求嗎？

隨堂練習：

1.下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

(1)9,12,15;(2)15,36,39;

(3)12,35,36：(4)12,18,22.

2,已知△ABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為三角形,

是最大角.

3四邊形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且NABC=90°,求這個四

邊形的面積.

4.習題1.3

課堂小結:

1.直角三角形判定定理：假如三角形的三邊長a,b,c滿意a2+b2=c2,那

么這個三角形是直角三角形.

2.滿意a?+b2=cz的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后,仍為

勾股數(shù).

1.3.螞蟻怎樣走最近

教學目標

教學學問點：能運用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）

解決簡潔的實際問題.

實力訓練要求：1.學會視察圖形，勇于探究圖形間的關系，培育學生的空間觀

念.

2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的實力及滲

透數(shù)學建模的思想.

情感及價值觀要求：1.通過好玩的問題提高學習數(shù)學的愛好.

2.在解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學學習的好用性，體現(xiàn)人人都學有用的數(shù)

學.

教學重點難點：

重點：探究、發(fā)覺給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活

實際問題.

難點：利用數(shù)學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決

實際問題.

教學過程

1、創(chuàng)設問題情境，引入新課:

前幾節(jié)課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？

例如：欲登12米高的建筑物，為平安須要，需使梯子底端離建筑物5米，至少

需多長的梯子？

依據(jù)題意，（如圖）AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長度.所以

在RtZXABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.

j\

所以至少需13米長的梯子.

2、講授新課：①、螞蟻怎么走最近

出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓行柱

的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上及A點相對的B點處的食物，須要

爬行的的最短路程是多少？(n的值取3).

(1)同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條

路途，你覺得哪條路途最短呢？(小組探討)

(2)如圖，將圓柱側面剪開綻開成一個長方形，從A點到B點的最短路途

是什么？你畫對了嗎？

(3)螞蟻從A點動身，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路

程是多少？(學生分組探討，公布結果)

我們知道，圓柱的側面綻開圖是一長方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線AA，

將圓柱的側面綻開(如下困).

我們不難發(fā)覺，剛才幾位同學的走法：

(DATA7TB;(2)ATB'TB;

⑶ATDTB;(4)A-->B.

哪條路途是最短呢？你畫對了嗎？

第⑷條路途最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”.

②、做一做：教材14頁。李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD,BC是否及底邊AB垂直，

也就是要檢測NDAB=90°,NCBA=90°.連結BD或AC,也就是要檢測aDAB和

△CBA是否為直角三角形,很明顯，這是一個需用勾股定理的逆定理來解決的實

際問題.

③、隨堂練習

出示投影片

1.甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8:00甲先動身，他

以6千米/時的速度向東行走.1時后乙動身，他以5千米/時的速度向

北行進.上午10：00,甲、乙兩人相距多遠？

2.如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地

方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，

問這根鐵棒應有多長？

1.分析：首先我們須要依據(jù)題意將實際問題轉化成數(shù)學模型.

解：（如圖）依據(jù)題意，可知A是甲、乙的動身點，10：00時甲到達B點，則AB=2

X6二12（千米）；乙到達C點,則AC=1X5二5（千米）.

在RtAABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙兩人相

距13千米.

2.分析：從題意可知，沒有告知鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一個

取值范圍而不是固定的長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵棒

最短時是垂直于底面時.

解：設伸入油桶中的長度為X米，則應求最長時和最短時的值.

（1）X-1.52+22,X2=6.25,x=2.5

所以最長是25+0.5=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：這根鐵棒的長應在2~3米之間（包含2米、3米）.

3.試一試（課本P15）

在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道好玩的問題，這個問題的意思

是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中心有一根新生

的蘆葦，它高出水面1尺.假如把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸

邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？

我們可以將這個實際問題轉化成數(shù)學模型.

解：如圖，設水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，由勾股定理可求得

（X+1）2=X2+52,X2+2X+1=X2+25

解得x=12

則水池的深度為12尺，蘆葦長13尺.

④、課時小結

這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個實際問題.我們從

中可以發(fā)覺用數(shù)學學問解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉化成數(shù)學模

型.

⑤、課后作業(yè)

課本P25、習題1.52

§2.1實數(shù)的相識（一）

教學目標

（一）學問目標：

1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性.

2.能推斷給出的數(shù)是否為有理數(shù)；并能說出現(xiàn)由.

（二）實力訓練目標：

1.讓學生親自動手做拼圖活動，感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，培育大

家的動手實力和合作精神.

2.通過回顧有理數(shù)的有關學問，能正確地進行推理和推斷，識別某些數(shù)是否

為有理數(shù)，訓練他們的思維推斷實力.

（三）情感及價值觀目標：

1.激勵學生主動參及教學活動，提高大家學習數(shù)學的熱忱.

2.引導學生充分進行溝通，探討及探究等教學活動，培育他們的合作及鉆研

精神.

3.了解有關無埋數(shù)發(fā)覺的學問，激勵學生大膽質疑，培育他們?yōu)檎媛穸鴬^斗

的精神.

教學重點

1.讓學生經(jīng)臉無理數(shù)發(fā)覺的過程.感知生活中的確存在著不同于有理數(shù)的

數(shù).

2.會推斷一個數(shù)是否為有理數(shù).

教學難點

1.把兩個邊長為1的正方形拼成一個大正方形的動手操作過程.

2.推斷一個數(shù)是否為有理數(shù).

教學方法

老師引導，主要由學生分組探討得出結果.

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］同學們，我們學過不計其數(shù)的數(shù)，概括起來我們都學過哪些數(shù)呢？

［生］在小學我們學過自然數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，

［生］在初一我們還學過負數(shù).

［師］對，我們在小學學了非負數(shù)，在初一發(fā)覺數(shù)不夠用了，引入了負數(shù)，

即把從小學學過的正數(shù)、零擴充到有理數(shù)范圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，那么

有理數(shù)范圍是否就能滿意我們實際生活的須要呢？下面我們就來共同探討這個

問題.

二、講授新課

1.問題的提出

［師］請大家四個人為一組，拿出自己打笄好的兩個邊長為1的正方形和剪

刀，細致探討之后，動手剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形，好嗎？

［生］好.（學生特別興奮地投入活動中）.

［師］經(jīng)過大家的共同努力，每個小組都完成了任務，請各組把拼的圖展示

一下.

同學們特別踴躍地呈現(xiàn)自己的作品給老師.

［師］現(xiàn)在我們一齊把大家的做法總結一下:

門白一

11

下面請大家思索一個問題，假設拼成大正方形的邊長為久則a應滿意什么

條件呢？

［生甲］方是正方形的邊長，所以石確定是正數(shù).

［生乙］因為兩個小正方形面積之和等于大正方形面積，所以依據(jù)正方形面

積公式可知才二2.

［生丙］由］=2可推斷a應是1點幾.

［師］大家說得都有道理，前面我們已經(jīng)總結了有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，那

么a是整數(shù)嗎？d是分數(shù)嗎？請大家分組探討后回答.

22

［生甲］我們組的結淪是：因為2=4f3=9,…整數(shù)的平方越來越大,

所以a應在1和2之間，故方不行能是整數(shù).

［生乙］因為！'工=±2乂2=±_!.乂』=』，…兩個相同因數(shù)的乘積都為分數(shù)，

224339339

所以d不行能是分數(shù).

［師］經(jīng)過大家的探討可知，在等式才二2中，自既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，

所以a不是有理數(shù)，但在現(xiàn)實生活中的確存在像a這樣的數(shù)，由此看來，數(shù)又

不夠用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

(1)在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

(2)設該正方形的邊長為仇則6應滿意什么條件？6是有理數(shù)嗎？

［師］請大家先回憶一下勾股定理的內容.

［生］在直角三角形中，若兩條直角邊長為耳b,斜邊為c,則有才+〃=/

［師］在這題中，兩條直角邊分別為1和2,斜邊為6,依據(jù)勾股定理得62二『+22,

即〃二5,則6是有理數(shù)嗎？請舉手回答.

［生甲］因為2?=4,32=9,4<5<9,所以6不行能是整牝

［生乙］沒有兩個相同的分數(shù)相乘得5,故6不行能是分數(shù).

［生丙］因為沒有一個整數(shù)或分數(shù)的平方為5,所以5不是有理數(shù).

［師］大家分析得很精確，像上面探討的數(shù)a,。都不是有理數(shù)，而是另一

類數(shù)——無理數(shù).關于無理數(shù)的發(fā)覺是付出了昂貴的代價的.早在公元前，古希

臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為萬物皆“數(shù)二即“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數(shù)

或整數(shù)之比二也就是一切現(xiàn)象都可用有理數(shù)去描述.后來，這個學派中的一個

叫希伯索斯的成員發(fā)覺邊長為1的正方形的對角線的長不能用整數(shù)或整數(shù)之比

來表示，這個發(fā)覺動搖了畢達哥拉斯學派的信條，據(jù)說為此希伯索斯被投進了

大海，他為真理而獻出了珍貴的生命，但真理是不行戰(zhàn)勝的，后來古希臘人最

終正視了希伯索斯的發(fā)覺.也就是我們前面談過的才二2中的a不是有理數(shù).

我們現(xiàn)在所學的學問都是前人給我們總結出來的，我們一方面應主動地學習

這些閱歷，另一方面我們也不能死搬教條，要大膽質疑，如不這樣科學就會恒

久停留在某處而不前進，要向古希臘的希伯索斯學習，學習他為捍衛(wèi)真理而勇

于獻身的精神.

三、課堂練習

（一）課本P35隨堂練習

如圖，正三角形力8C的邊長為2,高為力，力可能是整數(shù)嗎？可能是分數(shù)嗎？

解：由正三角形的性質可知論1,在Rt△/劭中，由勾股定理得行二3.〃不

行能是整數(shù)，也不行能是分數(shù).

（二）補充練習

為了加固一個高2米、寬1米的大門，須要在對角線位置加固一條木板，

設木板長為甘米，則由勾股定理得aJr+T,即才=5,a的值大約爰多少？這個

值可能是分數(shù)嗎？

解：石的值大約是2.2,這個值不行能是分數(shù).

四、課堂小結

1.通過拼圖活動，經(jīng)臉無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景，讓學生感受有理數(shù)又不夠用

了.

2.能推斷一個數(shù)是否為有理數(shù).

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.1實數(shù)的相識（二）

教學目標

（一）學問目標：

1.借助計算器探究無埋數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，并從中體會無限靠近的思想.

2.會推斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).

（二）實力訓練目標：

1.借助計算器進行估算，培育學生的估算實力，發(fā)展學生的抽象概括實力，

并在活動中進一步發(fā)展學生獨立思索、合作溝通的意識和實力.

2.探究無理數(shù)的定義，以及無理數(shù)及有理數(shù)的區(qū)分，并能辨別出一個數(shù)是無

理數(shù)還是有理數(shù)，訓練大家的思維推斷實力.

（三）情感及價值觀目標：

1.讓學生理解估算的意義，駕馭估算的方法，發(fā)展學生的數(shù)感和估算實力.

2.充分調動學生的主動性，培育他們的合作精神，提高他們的辨識實力.

教學重點

1.無理數(shù)樓念的探究過程.

2.用計算器進行無理數(shù)的估算.

3.了解無理教及有理教的區(qū)分，并能正確地進行推斷.

教學難點

1.無理數(shù)概念的建立及估算.

2.用所學定義正確推斷所給數(shù)的屬性.

教學方法

老師指導學生探究法

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］同學們，我們在上節(jié)課了解到有理數(shù)又不夠用了，并且我們還發(fā)覺了

一些數(shù)，如才=2,6=5中的d6既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，那么它們原委是什

么數(shù)呢？本節(jié)課我們就來揭示它的真面目.

二、講授新課

1.導入：［師］請看圖

大家推斷一下3個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？說說你的理由.

［生］因為3個正方形的面積分別為1,2,4,而面積又等于邊長的平方，

所以面積大的正方形邊長就大.

［師］大家能不能推斷一下面積為2的正方形的邊長石的大致范圍呢？

［生］因為才大于1且才小于4,所以a大致為1點幾.

［師］很好.a確定比1大而比2小，可以表示為1VaV2.那么日原委是1

點幾呢？請大家用計算器進行探究，首先確定特別位，特別位原委是幾呢？如

1/2=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,1.52=2.25,而3=2,故a應比

1.4大且比1.5小，可以寫成1.4VaV1.5,所以日是1點4幾，即特別位上是

4,請大家用同樣的方法確定百分位、千分位上的數(shù)字.

［生］因為1.4/二1.9881,1.422=2.0164,所以e應比1.41大且比1.42小，

所以百分位上數(shù)字為1.

［生］因為1.4112=1.990921,1.4122n.993744,1.4132=1.996569,

1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以石應比1.414大而比1.415小，即千

分位上的數(shù)字為4.

2

［生］因為1.41422二1.99996164,14143=2.00024449,所以a應比1.4142

大且比1.4143小，即萬分位上的數(shù)字為2.

［師］大家特別聰慧，請一位同學把自己的探究過程整理一下，用表格的形

式反映出來.

［生］我的探究過程如下.

邊長a面積S

\<a<21<S<4

1.4<6/<1.51.96VSV2.25

1.41<6/<1.421.9881<5<2.0164

1.414<6/<1.4151.999396<5<2.002225

1.4142<6;<1.41431.99996164<S<2.00024449

［師］還可以接著下去嗎？

［生］可以.

［師］請大家接著探究，并推斷，是有限小數(shù)嗎？

［生］41421356…，還可以再接著進行，且a是一個無限不循環(huán)小數(shù).

［師］請大家用上面的方法估計面積為5的正方形的邊長6的值.邊長6會

不會算到某一位時，它的平方恰好等于5?請大家分組合作后回答.（約4分鐘）

［生］反2.236067978…，還可以再接著進行，6也是一個無限不循環(huán)小數(shù).

［生］邊長6不會算到某一位時，它的平方恰好等于5,但我不知道為什么.

［師］好.這位同學很坦誠，不會就要大膽地提出來，而不要冒充會，這樣

才能把學問學扎實，學透，大家應當向這位同學學習.這個問題我來回答.假如6

算到某一位時，它的平方恰好等于5,即6是一個有限小數(shù)，那么它的平方確定

是一個有限小數(shù)，而不行能是5,所以。不行能是有限小數(shù).

2.無理教的定義

請大家把下列各數(shù)表示成小數(shù).

3,,并看它們是有限小數(shù)還是無限小數(shù)，是循環(huán)小數(shù)還是不循環(huán)小數(shù).大家

可以每個小組計算一個數(shù)，這樣可以節(jié)約時間.

［生］3=3.0,-=0.8,-=0.5,

［生］3,之是有限小數(shù)，是無限循環(huán)小數(shù).

［師］上面這些數(shù)都是有理數(shù)，所以有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小

數(shù)表示.反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).

像上面探討過的才=2,6=5中的a,6是無限不循環(huán)小數(shù).

無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)(irrationaInumber).

除上面的a,6夕卜，圓周率"=3.14159265…也是一個無限不循環(huán)小數(shù)，

0.5858858885…(相鄰兩個5之間8的個數(shù)逐次加1)也是一個無限不循環(huán)小數(shù),

它們都是無理數(shù).

3.有理數(shù)及無理數(shù)的主要區(qū)分

(1)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).

(2)任何一個有理數(shù)都可以化為分數(shù)的形式，而無理數(shù)則不能.

4.例題講解

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

A??

3.14,0.57,0.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1).

3

解：有理數(shù)有3.14,0.57.無理數(shù)有0.1010010001….

三、課堂練習

(一)隨堂練習

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理教？

0.4583,3.7,一"，18.

7

解：有理數(shù)有0.4583,3.7,18.無理數(shù)有一

7

(二)補充練習

投影片(§2.1.2A)

推斷題

(1)有理數(shù)及無理數(shù)的差都是有理數(shù).

⑵無限小數(shù)都是無理數(shù).

(3)無理數(shù)都是無限小數(shù).

(4)兩個無理數(shù)的和不確定是無理數(shù).

解：(1)錯.例"一1是無理數(shù).

(2)錯.例R是有理數(shù).

(3)對.因為無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無限小數(shù).

(4)對.因為兩個符號相反的無理數(shù)之和是有理數(shù).例77—77=0.

投影片(§2.1.2B)

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

0.351,3.14159,一5.2323332…，123456789101112…(由相繼的

正整數(shù)組成).

解：有理數(shù)有0.351,3.14159,

無理數(shù)有一5.2323332-,123456789101112-.

［生］有理數(shù)集合填0,~3,

無理數(shù)集合填一"，--77,0.323323332….

2

四、課時小結

本節(jié)課我們學習了以下內容.

1.用計算器進行無理數(shù)的估算.

2.無理教的定義.

3.推斷一個數(shù)是無理數(shù)或有理數(shù).

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.2平方根(1)

教學目標：

1、了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術平方根。

2、會求一個正數(shù)的算術平方根。

3、了解算術平方根的性質。

教學重點：算術平方根的概念、性質，會用根號表示一個正數(shù)的算術平方根。

教學難點：算術平方根的概念、性質。

教學過程：

一、問題引入

1.老師活動：回顧上節(jié)課的拼圖活動及探究無理數(shù)的過

程，提出問題：面積為13的正方形的M卷1%邊長原委是多少？

學生活動：\^1\\

(1)完成課本P32的填空：I\

a2=b2=,

c2=d2=e2=,t2=

(2)a,b,c,d,e,千中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？你能表示它們嗎？

2.師生互動

集體溝通后，說明無理數(shù)也須要一種表示方法。

二、講授新課:

算術平方根的概念：一女地，假如一正數(shù)X的平方等于4,即/=〃，那么，

這個正數(shù)X就叫做4的算術平方根。記為：“右”讀做根號4。特殊地，0的算術

平方根是0。

那么〃=2,則=二五。二3,則b二百；....

這樣的話，一個非負數(shù)的算術平方根就可以表示為6。

例1分別寫出下列各數(shù)的算術平方根

4

81,—,0.09,1,23,-5,0

25

（要求一個數(shù)的算術平方根，一般的方法是先按平方的概念來找哪個數(shù)的平方

等于這個數(shù)。）

例2自由下落物體的高度h（米）及