2025高考數學壓軸專項題型專題10圓錐曲線與向量的交匯含答案及解析

專題10圓錐曲線與向量的交匯一、考情分析平面向量與圓錐曲線的交匯是高考命題的一個顯著特征,這類試題的常規(guī)形式是用向量形式給出某些條件或結論,其難點往往不在向量上,對向量部分只需運用向量基礎知識即可實現相應轉化.平面向量作為工具可以處理圓錐曲線中的長度、角度、共線、垂直、射影等許多問題,使得這類問題成為高考命題的一個熱點,且時常出現在解答題中.二、解題秘籍(一)圓錐曲線中常見的向量條件及求解圓錐曲線與向量問題的策略1.設為直線l的方向向量,若,則l斜率為k；若（m≠0）,則l斜率為；2.A、B、C是平面內不重合的三點,若有下列條件之一,則A、B、C共線:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面內不重合的三點,若有下列條件之一,則C為線段AB的中點:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四邊形ABCD中,若?=0,則ABAC;若∣+∣=∣-∣,則ABAD;若?=?,則ACBD.5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標或縱坐標相等進行轉化,涉及向量共線問題,通項利用非零向量共線轉化,涉及向量的數量積,通常利用數量積的坐標運算進行轉化.6.圓錐曲線中兩直線垂直問題,通常轉化為兩直線的方向向量的數量積為零,這樣做可避免討論直線的斜率是否存在.7.圓錐曲線中涉及數量積問題,通常利用數量積的坐標運算把所給條件轉化為關于橫（縱）坐標的表達式.【例1】（2023屆黑龍江省雞西市雞東縣高三上學期月考）已知兩點,,動點在軸的投影為,且,記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程.(2)過點的直線與曲線在軸右側相交于,兩點,線段的垂直平分線與軸相交于點,試問是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由.【解析】（1）設,則,,,.因為,所以,故的方程為.（2）由題可知直線的斜率一定存在,且不為0,不妨設直線的方程為,,.聯(lián)立方程組,消去整理得,則,整理得.,,則線段的垂直平分線的方程為,令,得,則,.則.故是定值,該定值為.(二)把點共線問題轉化為向量共線此類問題通常是把點共線轉化為,或點C在直線AB上.【例2】（2022屆新疆昌吉教育體系高三上學期診斷）已知橢圓的左?右頂點分別為,右焦點為F（1,0）,且橢圓C的離心率為,M,N為橢圓C上任意兩點,點P的坐標為（4,t）（t≠0）,且滿足.（1）求橢圓C的方程；（2）證明：M,F,N三點共線.【解析】（1）橢圓C的右焦點為,且離心率為,∴a=2,c=1,則b2=a2-c2=3,∴橢圓C的方程為.（2）由（1）知,的坐標分別為,設,∴,,,,∵,,∴三點共線,三點共線,即,整理得,兩邊平方得,①又M,N在橢圓上,則,代入①并化簡得,又,,∴要證M,F,N三點共線,只需證,即,只需證,整理得,∴M,F,N三點共線.(三)利用向量共線求雙變量的關系式此類問題一般是給出形如的條件,確定關于的等式,求解思路是利用兩向量相等橫坐標與縱坐標分別相等（注意一般情況下橫坐標相等與縱坐標相等,使用一個即可,解題時哪一個簡單使用哪一個）,把用其他變量（若點的橫坐標或縱坐標）表示,再利用題中條件消去其他變量.【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學期檢測）橢圓的方程為,過橢圓左焦點且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點,橢圓的右焦點為,已知,橢圓過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點,交軸于點,若,,求證：為定值．【解析】（1）依題可知：,,所以,即,解得又∵橢圓過點,則聯(lián)立可得,橢圓的標準方程為．（2）設點、,,由題意可知,直線的斜率存在,可設直線的方程為,聯(lián)立,可得,由于點在橢圓的內部,直線與橢圓必有兩個交點,由韋達定理可得,,,,,得,,,,．(四)利用向量加法的幾何意義構造平行四邊形若點滿足,則四邊形ABCD是平行四邊形,涉及圓錐曲線中的平行四邊形要注意對邊長度相等、斜率相等,兩對角線中點為同一個點等條件的應用.【例4】（2023屆四川省廣安市岳池縣高三上學期10月月考）已知橢圓經過點,左焦點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作直線與橢圓交于兩點,點滿足（為原點）,求四邊形面積的最大值.【解析】（1）設橢圓的焦距為,則,又因為橢圓經過點,所以,又,,,所以橢圓的方程為.（2）因為,所以四邊形為平行四邊形,當直線的斜率不存在時,顯然不符合題意；當直線的斜率存在時,設直線的方程為,與橢圓交于,兩點,由.由,,,令,則（由上式知）,,當且僅當,即時取等號.∴當時,平行四邊形的面積最大值為2.(五)把向量的數量積轉化為代數式若圓錐曲線問題有用向量數量積給出的條件,通常是利用向量數量積的坐標運算進行轉化.【例5】（2023屆廣東省荔灣區(qū)高三上學期10月調研）已知雙曲線的右焦點為為坐標原點,雙曲線的兩條漸近線的夾角為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點作直線交于兩點,在軸上是否存在定點,使為定值？若存在,求出定點的坐標及這個定值；若不存在,說明理由．【解析】（1）雙曲線的漸近線為,又,,故其漸近線的傾斜角小于,而雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則漸近線的的傾斜角為,則,即．又,則．所以雙曲線的方程是．（2）當直線不與軸重合時,設直線的方程為,代入,得,即．設點,則．設點,則令,得,此時．當直線與軸重合時,則點為雙曲線的兩頂點,不妨設點．對于點．所以存在定點,使為定值．(六)把垂直問題轉化為向量的數量積為零求解圓錐曲線中的垂直問題,通?？赊D化為向量的數量積為零,然后利用向量數量積的坐標運算進行轉化,這種轉化可避免討論直線的斜率是否存在.【例6】已知橢圓的右焦點為,橢圓上的點到的距離的最大值和最小值分別為和．（1）求橢圓的標準方程；（2）若圓的切線與橢圓交于,兩點,是否存在正數,使得？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由．【解析】（1）由題意可得,,解得,,則,所以橢圓方程為；（2）假設存在正數,使得,即使得,當直線的斜率不存在時,設直線的方程為,可得,,因為,則有,解得,又直線為圓的切線,所以；當直線的斜率存在時,設直線的方程為,,,,,聯(lián)立,可得,則,所以,且,所以,因為,則,所以,整理可得,則,所以,因為直線為圓的切線,故原點到的距離為,所以存在正數,使得．三、跟蹤檢測1.（2023屆重慶市第八中學校高三上學期月考）已知雙曲線E：（,）一個頂點為,直線l過點交雙曲線右支于M,N兩點,記,,的面積分別為S,,.當l與x軸垂直時,的值為.(1)求雙曲線E的標準方程；(2)若l交y軸于點P,,,求證：為定值；(3)在（2）的條件下,若,當時,求實數m的取值范圍.2.（2023屆江蘇省連云港市高三上學期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點為,,一個焦點為.(1)若直線過點且與橢圓交于,兩點,當時,求直線的方程；(2)若直線過點且與橢圓交于,兩點,并與軸交于點,直線與直線交于點,當點異,兩點時,試問是否是定值？若是,請求出此定值,若不是,請說明理由.3.（2023屆四川省成都市郫都區(qū)高三上學期檢測）已知橢圓的離心率為,短軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點的直線交橢圓C于A,B兩點,求的取值范圍．4.（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學期9月診斷測試）已知點分別是橢圓的左、右頂點,過的右焦點作直線交于兩點,(1)設直線的斜率分別為,求和的值；(2)若直線分別交橢圓的右準線于兩點,證明：以為直徑的圓經過定點.5.（2023屆湖南省部分校高三上學期9月月考）已知雙曲線的離心率為,點在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設過點的直線與雙曲線交于兩點,問在軸上是否存在定點,使得為常數？若存在,求出點的坐標以及該常數的值；若不存在,請說明理由.6.（2023屆廣東省茂名市高三上學期9月聯(lián)考）如圖,平面直角坐標系中,點為軸上的一個動點,動點滿足,又點滿足.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過曲線上的點（）的直線與,軸的交點分別為和,且,過原點的直線與平行,且與曲線交于、兩點,求面積的最大值.7.（2023屆福建師范大學附屬中學高三上學期月考）在平面直角坐標系中,設點,點與兩點的距離之和為為一動點,點滿足向量關系式：．(1)求點的軌跡方程；(2)設與軸交于點(在的左側),點為上一動點(且不與重合)．設直線軸與直線分別交于點,取,連接,證明：為的角平分線．8.（2023屆山西省山西大學附屬中學校高三上學期9月診斷）如圖,橢圓：（,,是橢圓的左焦點,是橢圓的左頂點,是橢圓的上頂點,且,點是長軸上的任一定點,過點的任一直線交橢圓于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點,使得為定值,若存在,試求出定點的坐標,并求出此定值；若不存在,請說明理由.9．（2023屆北京市第四中學高三上學期開學測試）已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓過點,離心率為,點為其右頂點.過點作直線與橢圓相交于、兩點,直線、與直線分別交于點、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.10．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,且過點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點,且于,證明：存在定點,使為定值.11．（2023屆四川省達州市開江縣高三上學期考試）已知橢圓?為橢圓?的左、右焦點,過點?的任意直線?交橢圓?于、?兩點,且的周長為8,橢圓?的離心率為?.(1)橢圓?的方程；(2)若?為橢圓?上的任一點,?為過焦點?的弦,且?,求?的值.12．（2022屆上海市普陀區(qū)高三一模）已知點與定點的距離是點到直線距離的倍,設點的軌跡為曲線,直線與交于、兩點,點是線段的中點,、是上關于原點對稱的兩點,且.（1）求曲線的方程；（2）當時,求直線的方程；（3）當四邊形的面積時,求的值.13．(2022屆內蒙古赤峰市高三上學期11月聯(lián)考)已知橢圓的焦點恰為橢圓長軸的端點,且的短軸長為2（1）求橢圓的方程．（2）若直線與直線平行,且與交于,兩點,,求的最小值．14．（2022屆遼寧省大連市高三上學期期中）在平面直角坐標系中,點,的坐標分別為,,是動點,且直線與的斜率之積等于.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知直線與橢圓：相交于,兩點,與軸交于點,若存在使得,求的取值范圍.15.（2022屆河北省邢臺市“五岳聯(lián)盟”部分重點學校高三上學期12月聯(lián)考）已知點是已知橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,當時,面積達到最大,且最大值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的取值范圍.16．（2022屆四川省成都市高三上學期期中）已知橢圓的左頂點為,右焦點為,過點作斜率為的直線與相交于,,且以為直徑的圓過點,其中為坐標原點.（1）求橢圓的離心率；（2）若,過點作與直線平行的直線,與橢圓相交于,兩點.①求的值；②點滿足,直線與橢圓的另一個交點為,求的值.17．（2022屆廣東省江門市高三上學期10月月考）設分別是平面直角坐標系中軸正方向上的單位向量,若向量,,且,其中.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作直線與軌跡交于,兩點,設,是否存在直線,使得四邊形是矩形？若存在,求出直線的方程；若不存在,試說明理由.18.過雙曲線Γ：的左焦點F1的動直線l與Γ的左支交于A,B兩點,設Γ的右焦點為F2.(1)若是邊長為4的正三角形,求此時Γ的標準方程；(2)若存在直線l,使得,求Γ的離心率的取值范圍.

專題10圓錐曲線與向量的交匯一、考情分析平面向量與圓錐曲線的交匯是高考命題的一個顯著特征,這類試題的常規(guī)形式是用向量形式給出某些條件或結論,其難點往往不在向量上,對向量部分只需運用向量基礎知識即可實現相應轉化.平面向量作為工具可以處理圓錐曲線中的長度、角度、共線、垂直、射影等許多問題,使得這類問題成為高考命題的一個熱點,且時常出現在解答題中.二、解題秘籍(一)圓錐曲線中常見的向量條件及求解圓錐曲線與向量問題的策略1.設為直線l的方向向量,若,則l斜率為k；若（m≠0）,則l斜率為；2.A、B、C是平面內不重合的三點,若有下列條件之一,則A、B、C共線:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面內不重合的三點,若有下列條件之一,則C為線段AB的中點:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四邊形ABCD中,若?=0,則ABAC;若∣+∣=∣-∣,則ABAD;若?=?,則ACBD.5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標或縱坐標相等進行轉化,涉及向量共線問題,通項利用非零向量共線轉化,涉及向量的數量積,通常利用數量積的坐標運算進行轉化.6.圓錐曲線中兩直線垂直問題,通常轉化為兩直線的方向向量的數量積為零,這樣做可避免討論直線的斜率是否存在.7.圓錐曲線中涉及數量積問題,通常利用數量積的坐標運算把所給條件轉化為關于橫（縱）坐標的表達式.【例1】（2023屆黑龍江省雞西市雞東縣高三上學期月考）已知兩點,,動點在軸的投影為,且,記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程.(2)過點的直線與曲線在軸右側相交于,兩點,線段的垂直平分線與軸相交于點,試問是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由.【解析】（1）設,則,,,.因為,所以,故的方程為.（2）由題可知直線的斜率一定存在,且不為0,不妨設直線的方程為,,.聯(lián)立方程組,消去整理得,則,整理得.,,則線段的垂直平分線的方程為,令,得,則,.則.故是定值,該定值為.(二)把點共線問題轉化為向量共線此類問題通常是把點共線轉化為,或點C在直線AB上.【例2】（2022屆新疆昌吉教育體系高三上學期診斷）已知橢圓的左?右頂點分別為,右焦點為F（1,0）,且橢圓C的離心率為,M,N為橢圓C上任意兩點,點P的坐標為（4,t）（t≠0）,且滿足.（1）求橢圓C的方程；（2）證明：M,F,N三點共線.【解析】（1）橢圓C的右焦點為,且離心率為,∴a=2,c=1,則b2=a2-c2=3,∴橢圓C的方程為.（2）由（1）知,的坐標分別為,設,∴,,,,∵,,∴三點共線,三點共線,即,整理得,兩邊平方得,①又M,N在橢圓上,則,代入①并化簡得,又,,∴要證M,F,N三點共線,只需證,即,只需證,整理得,∴M,F,N三點共線.(三)利用向量共線求雙變量的關系式此類問題一般是給出形如的條件,確定關于的等式,求解思路是利用兩向量相等橫坐標與縱坐標分別相等（注意一般情況下橫坐標相等與縱坐標相等,使用一個即可,解題時哪一個簡單使用哪一個）,把用其他變量（若點的橫坐標或縱坐標）表示,再利用題中條件消去其他變量.【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學期檢測）橢圓的方程為,過橢圓左焦點且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點,橢圓的右焦點為,已知,橢圓過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點,交軸于點,若,,求證：為定值．【解析】（1）依題可知：,,所以,即,解得又∵橢圓過點,則聯(lián)立可得,橢圓的標準方程為．（2）設點、,,由題意可知,直線的斜率存在,可設直線的方程為,聯(lián)立,可得,由于點在橢圓的內部,直線與橢圓必有兩個交點,由韋達定理可得,,,,,得,,,,．(四)利用向量加法的幾何意義構造平行四邊形若點滿足,則四邊形ABCD是平行四邊形,涉及圓錐曲線中的平行四邊形要注意對邊長度相等、斜率相等,兩對角線中點為同一個點等條件的應用.【例4】（2023屆四川省廣安市岳池縣高三上學期10月月考）已知橢圓經過點,左焦點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作直線與橢圓交于兩點,點滿足（為原點）,求四邊形面積的最大值.【解析】（1）設橢圓的焦距為,則,又因為橢圓經過點,所以,又,,,所以橢圓的方程為.（2）因為,所以四邊形為平行四邊形,當直線的斜率不存在時,顯然不符合題意；當直線的斜率存在時,設直線的方程為,與橢圓交于,兩點,由.由,,,令,則（由上式知）,,當且僅當,即時取等號.∴當時,平行四邊形的面積最大值為2.(五)把向量的數量積轉化為代數式若圓錐曲線問題有用向量數量積給出的條件,通常是利用向量數量積的坐標運算進行轉化.【例5】（2023屆廣東省荔灣區(qū)高三上學期10月調研）已知雙曲線的右焦點為為坐標原點,雙曲線的兩條漸近線的夾角為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點作直線交于兩點,在軸上是否存在定點,使為定值？若存在,求出定點的坐標及這個定值；若不存在,說明理由．【解析】（1）雙曲線的漸近線為,又,,故其漸近線的傾斜角小于,而雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則漸近線的的傾斜角為,則,即．又,則．所以雙曲線的方程是．（2）當直線不與軸重合時,設直線的方程為,代入,得,即．設點,則．設點,則令,得,此時．當直線與軸重合時,則點為雙曲線的兩頂點,不妨設點．對于點．所以存在定點,使為定值．(六)把垂直問題轉化為向量的數量積為零求解圓錐曲線中的垂直問題,通?？赊D化為向量的數量積為零,然后利用向量數量積的坐標運算進行轉化,這種轉化可避免討論直線的斜率是否存在.【例6】已知橢圓的右焦點為,橢圓上的點到的距離的最大值和最小值分別為和．（1）求橢圓的標準方程；（2）若圓的切線與橢圓交于,兩點,是否存在正數,使得？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由．【解析】（1）由題意可得,,解得,,則,所以橢圓方程為；（2）假設存在正數,使得,即使得,當直線的斜率不存在時,設直線的方程為,可得,,因為,則有,解得,又直線為圓的切線,所以；當直線的斜率存在時,設直線的方程為,,,,,聯(lián)立,可得,則,所以,且,所以,因為,則,所以,整理可得,則,所以,因為直線為圓的切線,故原點到的距離為,所以存在正數,使得．三、跟蹤檢測1.（2023屆重慶市第八中學校高三上學期月考）已知雙曲線E：（,）一個頂點為,直線l過點交雙曲線右支于M,N兩點,記,,的面積分別為S,,.當l與x軸垂直時,的值為.(1)求雙曲線E的標準方程；(2)若l交y軸于點P,,,求證：為定值；(3)在（2）的條件下,若,當時,求實數m的取值范圍.【解析】（1）由題意得,,則當l與x軸垂直時,不妨設,由,得,將代入方程,得,解得,所以雙曲線E的方程為．（2）設,,,由與,得,即,,將代入E的方程得：,整理得：①,同理由可得②．由①②知,,是方程的兩個不等實根．由韋達定理知,所以為定值．（3）又,即,整理得：,又,不妨設,則,整理得,又,故,而由（2）知,,故,代入,令,得,由雙勾函數在上單調遞增,得,所以m的取值范圍為．.2.（2023屆江蘇省連云港市高三上學期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點為,,一個焦點為.(1)若直線過點且與橢圓交于,兩點,當時,求直線的方程；(2)若直線過點且與橢圓交于,兩點,并與軸交于點,直線與直線交于點,當點異,兩點時,試問是否是定值？若是,請求出此定值,若不是,請說明理由.【解析】（1）∵橢圓的焦點在軸上,設橢圓的標準方程為,由已知得,,所以,橢圓的方程為,當直線與軸垂直時與題意不符,設直線的方程為,,,將直線的方程代入橢圓的方程化簡得,則,,∴,解得.∴直線的方程為；（2）當軸時,,不符合題意,當與軸不垂直時,設：,則,設,,聯(lián)立方程組得,∴,,又直線：,直線：,由可得,即,,,,,,即,得,∴點坐標為,∴,所以為定值.3.（2023屆四川省成都市郫都區(qū)高三上學期檢測）已知橢圓的離心率為,短軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點的直線交橢圓C于A,B兩點,求的取值范圍．【解析】（1）,,∴,又,即,解得：,,橢圓的標準方程為；（2）當直線AB的斜率不存在時,,不妨設,則當直線AB的斜率存在時,設,由,恒成立,故,∴,綜上：,故的取值范圍為．4.（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學期9月診斷測試）已知點分別是橢圓的左、右頂點,過的右焦點作直線交于兩點,(1)設直線的斜率分別為,求和的值；(2)若直線分別交橢圓的右準線于兩點,證明：以為直徑的圓經過定點.【解析】（1）由已知,,,直線的斜率不存在時,方程為,不妨設,,,同理,,,,直線斜率存在時,設直線方程為,設,由,得,,,,,,,因為,所以,所以,綜上,,；（2）由已知,,,右準線方程為,由（1）知直線方程為,令得,同理,由橢圓的對稱性知,以為直徑的圓有一個圓心軸上方的圓,則必定也有一個與之關于軸對稱的圓,這兩個圓的交點在軸上,以為直徑的圓經過定點,這個定點必在軸上,設定點為,則,由（1）得,或,所以以為直徑的圓經過定點,．5.（2023屆湖南省部分校高三上學期9月月考）已知雙曲線的離心率為,點在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設過點的直線與雙曲線交于兩點,問在軸上是否存在定點,使得為常數？若存在,求出點的坐標以及該常數的值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線的離心率為,所以,化簡得.將點的坐標代入,可得,解得,所以的方程為.（2）設,直線的方程為,聯(lián)立方程組消去得（1-,由題可知且,即且,所以.設存在符合條件的定點,則,所以.所以,化簡得.因為為常數,所以,解得.此時該常數的值為,所以,在軸上存在點,使得為常數,該常數為.6.（2023屆廣東省茂名市高三上學期9月聯(lián)考）如圖,平面直角坐標系中,點為軸上的一個動點,動點滿足,又點滿足.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過曲線上的點（）的直線與,軸的交點分別為和,且,過原點的直線與平行,且與曲線交于、兩點,求面積的最大值.【解析】（1）由題意,設,,由得,且,由得,則,得,代入整理得,故動點的軌跡的方程為.（2）如圖,設（）,又直線的斜率存在且,設直線為：,可得：,,由,則,故,,聯(lián)立,可得：,即,又,故直線的方程為,聯(lián)立,得：,即、的橫坐標為,,點到直線的距離,,當且僅當,即時等號成立,面積的最大值為2..7.（2023屆福建師范大學附屬中學高三上學期月考）在平面直角坐標系中,設點,點與兩點的距離之和為為一動點,點滿足向量關系式：．(1)求點的軌跡方程；(2)設與軸交于點(在的左側),點為上一動點(且不與重合)．設直線軸與直線分別交于點,取,連接,證明：為的角平分線．【解析】（1）設點,,則由點與兩點的距離之和為,可得點G的軌跡是以為焦點且長軸長為的橢圓,其軌跡方程為,由,可得,代入點G的軌跡方程,可得：,所以點的軌跡方程；（2）設點,則,即,,令,得,,則點到直線的距離為：,要證ER為的角平分線,只需證,又,,所以,當且僅當,即時,又在上,則,即,代入上式可得恒成立,為的角平分線．8.（2023屆山西省山西大學附屬中學校高三上學期9月診斷）如圖,橢圓：（,,是橢圓的左焦點,是橢圓的左頂點,是橢圓的上頂點,且,點是長軸上的任一定點,過點的任一直線交橢圓于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點,使得為定值,若存在,試求出定點的坐標,并求出此定值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）由已知知,解得,所以橢圓方程為；（2）假設存在滿足題意,設,,,①當直線與軸不垂直時,設：,代入并整理得∴,（*）（*）式是與無關的常數,則解得,此時為定值；②當直線與垂直時,,,,也成立,所以存在定點,使得為定值．9．（2023屆北京市第四中學高三上學期開學測試）已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓過點,離心率為,點為其右頂點.過點作直線與橢圓相交于、兩點,直線、與直線分別交于點、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由題意設橢圓的標準方程為（）,由題意,得,解得,,即橢圓的標準方程為.（2）由（1）得,設,,,聯(lián)立,得,即,則,,直線,的方程分別為,,令,則,,則,,所以因為,所以,,即的取值范圍為.10．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,且過點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點,且于,證明：存在定點,使為定值.【解析】（1）因為雙曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線,設雙曲線的標準方程為代入點坐標,解得所以雙曲線的標準方程為（2）（i）當直線斜率存在時,設,設,聯(lián)立與雙曲線,化簡得,,即,則有,又,因為,所以,所以,化簡,得,即,所以,且均滿足,當時,直線的方程為,直線過定點,與已知矛盾,當時,直線的方程為,過定點（ii）當直線斜率不存在時,由對稱性不妨設直線DE：,與雙曲線方程聯(lián)立解得,此時也過點,綜上,直線過定點.由于,所以點在以為直徑的圓上,為該圓圓心,為該圓半徑,所以存在定點,使為定值.11．（2023屆四川省達州市開江縣高三上學期考試）已知橢圓?為橢圓?的左、右焦點,過點?的任意直線?交橢圓?于、?兩點,且的周長為8,橢圓?的離心率為?.(1)橢圓?的方程；(2)若?為橢圓?上的任一點,?為過焦點?的弦,且?,求?的值.【解析】（1）由題意可知,?的周長為?.所以?,又?,所以?,則?,所以橢圓?的方程為?.（2）不妨令?.所以?,即.當?時,不妨設直線?為?,其中?.直線?為?,其中?.聯(lián)立方程?,得?.所以?,即?.同理可得：?.又?.所以?.則???????,綜上所述,?.12．（2022屆上海市普陀區(qū)高三一模）已知點與定點的距離是點到直線距離的倍,設點的軌跡為曲線,直線與交于、兩點,點是線段的中點,、是上關于原點對稱的兩點,且.（1）求曲線的方程；（2）當時,求直線的方程；（3）當四邊形的面積時,求的值.【解析】（1）由題意可得,化簡可得,因此,曲線的方程為.（2）設點、,聯(lián)立,可得,,由韋達定理可得,,則,,所以點的坐標為,因為,可得點,將點的坐標代入曲線的方程得,解得,因此,直線的方程為.（3）由（2）可得,則點,則點,因為點在曲線上,則,可得,因為,則,點到直線的距離為,點到直線的距離為,,所以,,因為,解得.13．(2022屆內蒙古赤峰市高三上學期11月聯(lián)考)已知橢圓的焦點恰為橢圓長軸的端點,且的短軸長為2（1）求橢圓的方程．（2）若直線與直線平行,且與交于,兩點,,求的最小值．【解析】（1）由橢圓,可得其長軸的端點分別為,根據題意,可得,解得,故的方程為．（2）設直線的方程為,聯(lián)立方程組,整理得,設,,則,,且,解得且所以因為,其中且,所以當時,取得最小值,且最小值為,故的最小值為．14．（2022屆遼寧省大連市高三上學期期中）在平面直角坐標系中,點,的坐標分別為,,是動點,且直線與的斜率之積等于.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知直線與橢圓：相交于,兩點,與軸交于點,若存在使得,求的取值范圍.【解析】（1）設,則,所以可得動點P的軌跡C的方程為.（2）設又,由得,聯(lián)立可得,即,且,又,則,,代入得,,解得.的取值范圍是15.（2022屆河北省邢臺市“五岳聯(lián)盟”部分重點學校高三上學期12月聯(lián)考）已知點是已知橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,當時,面積達到最大,且最大值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的取