金榜1號(hào)文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(廣東專版)課件第6章課時(shí)6數(shù)列通項(xiàng)

第六章數(shù)列第六課時(shí)數(shù)列通項(xiàng)的求法考綱要求

高考是以知識(shí)為載體，方法為依托，能力為目標(biāo)來進(jìn)行考查的，對(duì)通項(xiàng)公式的要求遠(yuǎn)不止停留在只求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，有很多考題都是通過諸如構(gòu)造法、累加法、累乘法以及利用Sn與an的關(guān)系和數(shù)列的遞推公式把要求的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來求.知識(shí)梳理

數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一,它如同函數(shù)中的解析式一樣,有了解析式便可研究其性質(zhì)等;而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式便可求出任一項(xiàng)以及前n項(xiàng)和等.因此,求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn).因此近年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)給出數(shù)列的解析式（包括遞推關(guān)系式和非遞推關(guān)系式），求通項(xiàng)公式的問題，對(duì)于這類問題考生感到困難較大.為了幫助考生突破這一難點(diǎn)，現(xiàn)將求數(shù)列通項(xiàng)的思想方法歸納如下:一、常用數(shù)學(xué)思想1．化歸與轉(zhuǎn)化思想；2.換元思想；3.方程思想.二、常用方法1.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，則an={S1，n=1Sn－Sn－1，n≥2（注意：不要忘記討論n=1的情形）.2.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)之積Tn，一般可求Tn-1，則an＝Tn/Tn－1（注意：不能忘記討論n=1的情形）.3.已知an－an－1=f(n)(n≥2)，且{f(n)}成等差（比）數(shù)列，求an.則可用累（迭）加法.4.已知an/an－1=f(n)(n≥2)，求an.則可用累（迭）乘法.5.已知數(shù)列{an}的遞推關(guān)系，研究an與an－1的關(guān)系式的特點(diǎn)，可以通過變形構(gòu)造，得出新數(shù)列{f(an)}為等差或等比數(shù)列.如一階遞推：an+1=pan+q,我們通常將其化為（an+1－A）=p（an－A），設(shè)bn=an－A，得到數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.6.已知an與Sn的關(guān)系式，利用an=Sn－Sn－1(n≥2)，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含有an或Sn的遞推關(guān)系，再利用上述方法求出an.典例試題

(2009年廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}中,a1=20,an+1=an+2n－1,n∈N*,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.

一、若數(shù)列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+…+f(n)的和是可求的，則可用多式累（迭）加法求得an.答案：n2－2n+21變式探究1.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,求an.

答案：an=2n-1二、若數(shù)列有形如an=f(n)·an－1的解析關(guān)系，而f(1)·f(2)…f(n)的積是可求的，則可用多式累（迭）乘法求得an.

設(shè){an}的首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）an+12－nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，求它的通項(xiàng)公式.解析：由題意a1=1,an>0,(n=1,2,3,…),由(n+1)an+12－nan2+an+1an=0,得(an+1+an)［（n+1）an+1－nan］=0∵an>0,∴an+1+an≠0,∴有an+1=nan/n+1.變式探究2.在數(shù)列{an}中，a1=1/2,an=(n－1)/(n+1)·an－1(n≥2），求an.

答案：an=1/n(n+1）

已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=(2/3)an+1,求an.

三、若數(shù)列有形如an=pan－1+q(n≥2,p,q為常數(shù),pq≠0,p≠1)的線性遞推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得an.

解析：解法一：設(shè)(an+1－A)=(2/3)(an－A),得an+1=(2/3)an+(1/3)A,與已知等式比較得：A=3.即原式化為(an+1－3)=(2/3)(an－3).設(shè)bn=an－3,則bn+1=2/3bn,∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，又a1－3=－2，∴bn=an－3=(－2)×(2/3)n－1

an=3－3×(2/3)n.點(diǎn)評(píng):（1）注意數(shù)列解題中的換元思想的運(yùn)用,如bn=an－3.（2）對(duì)數(shù)列遞推式an+1=pan+q,我們通常將其化為(an+1－A)=p(an－A)，設(shè)bn=an－A，構(gòu)造數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.變式探究3．（2008年陜西卷）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3/5，an+1=3an/2an+1，n∈N*．求{an}的通項(xiàng)公式.答案：an=3n/(3n+2)

已知數(shù)列{an}滿足an=4an－1+2n(n≥2，n∈N*)，且a1=2.求an.四、遞推式如an=pan－1+rqn(n≥2,pqr≠0,p,q,r為常數(shù))型的通項(xiàng)的求法

解析：解法一：∵an=4an－1+2n，∴an/2n=2·(an－1/2n－1)+1，令bn=an/2n，得bn=2·bn－1+1，則bn+1=2(bn－1+1)，∴{bn+1}是以首項(xiàng)為b1=(a1/2)+1=2，公比為2的等比數(shù)列，∴bn+1=2n.∴(an/2n)+1=2n得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n－2n.解法二：∵an=4an－1+2n，∴令an+λ·2n=4(an－1+λ·2n－1),(n≥2)，得an=4an－1+λ·2n，與已知遞推式比較得λ=1，∴an+2n=4（an－1+2n－1）,又a1+22－1=4，∴{an+2n}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列.an+2n=4·4n－1,∴an=4n－2n=22n－2n.4.（2009年鹽城模擬）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1

+(2－λ)2n(n∈N)，其中λ>0．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.變式探究答案：an=(n－1)λn+2n

說明由函數(shù)y=2x的圖象經(jīng)過怎樣的圖象變換得到函數(shù)y=2-x-3+1的圖象.

五、遞推式如an=pan－1+qn+r(n≥2,pq≠0，p,q為常數(shù))型數(shù)列的通項(xiàng)求法具體思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為an+xn+y=p(an－1+xn+y)，再化為an=pan－1+(p－1)xn+(p－1)y，比較對(duì)應(yīng)系數(shù)，解出x，y，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為例3的數(shù)列.

解析:∵點(diǎn)（n，2an+1－an）在直線y=x上,

∴2an+1－an=n.①得an=（1/2）an－1+n/2，令an+1+x(n+1)+y=1/2(an+nx+y)，可化為2an+1－an+xn+2x+y=0與①比較系數(shù)得x=－1，y=2.∴①可化為an+1－(n+1)+2=(1/2)(an－n+2),∴an－n+2=(1/2)n－1(a1－1+2)=3·(1/2)n,∴an=(3/2n)+n－2.變式探究5.在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an－3n+1，n∈N*．（1）設(shè)bn=an－n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.答案：（1）bn=4n－1（2）Sn=[(4n－1)/3]+[n(n+1)]/2

在數(shù)列{an}中，a1=2,a2=3,an+2=3an+1－2an,求an.解析：由條件an+2=3an+1－2an,得an+2－an+1=2(an+1－an)又因a2－a1=3－2=1,所以數(shù)列{an+1－an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an+1－an=2n－1.再用多式累加法可得：an=a1+(1－2n－1)=2n-1+1.六、遞推式如an+1=pan+qan－1(pq≠0)型的數(shù)列通項(xiàng)的求法具體思路：等價(jià)轉(zhuǎn)化為an+1+xan=y(an+xan－1)，利用其與an+1=pan+qan－1恒等，求出x,y，得到一等比數(shù)列{an+1+xan}，得an+1+xan=f(n)，進(jìn)而化為例5的數(shù)列.

6.（2009年漳州模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2=3an+1－2an(n∈N*).（1）證明：數(shù)列{an+1－an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列{bn}滿足4b1－14b2－1…4bn－1=(an+1)bn(n∈N*),證明{bn}是等差數(shù)列.變式探究解析：（1）證明：∵an+2=3an+1－2an,∴an+2－an+1=2(an+1－an),∵a1=1,a2=3,∴(an+2－an+1)/(an+1－an)=2(n∈N*).∴{an+1－an}是以a2－a1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(2）由（1）得an+1－an=2n(n∈N*),∴an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1=2n－1+2n-2

+…+2+1=2n－1(n∈N*).（3）證明：∵4b1－14b2－1…4bn－1=(an+1)bn,∴4(b1+b2+…+bn)－n=2nbn,∴2［(b1+b2+…+bn)－n］=nbn,①2［(b1+b2+…+bn+bn+1)－(n+1)］=(n+1)bn+1.②②－①，得2(bn+1－1)=(n+1)bn+1－nbn,即(n－1)bn+1－nbn+2=0.③nbn+2－(n+1)bn+1+2=0.④④－③，得nbn+2－2nbn+1+nbn=0,即bn+2－2bn+1+bn=0,∴bn+2－bn+1=bn+1－bn(n∈N*),∴{bn}是等差數(shù)列.

（2009年保定摸底）已知數(shù)列{an}滿足a1=1,n≥2時(shí)，an－1－an=2an－1an，求通項(xiàng)公式an.

七、倒數(shù)法求通項(xiàng)（1）對(duì)于遞推式如an+1+pan=qan+1an(p,q為常數(shù),pq≠0)型的數(shù)列，求其通項(xiàng)公式.具體思路：兩端除以an+1an得：1/an+p/an+1=q，①若p=－1，則構(gòu)成以首項(xiàng)為1/a1，公差為－q的等差數(shù)列{1/an}；②若p≠－1，轉(zhuǎn)化為例3求解.解析：∵an－1－an=2an－1an,∴(1/an)－(1/an－1)=2，∴數(shù)列{1/an}是以首項(xiàng)1/a1=1，公差為2的等差數(shù)列，∴1/an=1+2(n－1)=2n－1，∴an=1/(2n－1).

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an/(an+3)(n∈N*),求an.解析：由an+1=an/(an+3)取倒數(shù)，得1/an+1=3·1/an

+1.∵1/an+1+1/2=3[(1/an)+1/2],∴1/an+1/2=3n－1,∴an=2/(2×3n－1－1).（2）若數(shù)列{an}有形如an+1=pan/qan+r的關(guān)系，求其通項(xiàng)的具體思路是：取倒數(shù)后得1/an+1=r/p·1/an+q/p，即化為例3的數(shù)列,求出1/an,再求得an.8．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an/(3an+6)，求an變式探究答案：an=1/(2n－1）八、遞推式如an=pan－1r(p>0)型的數(shù)列通項(xiàng)的求法具體思路：若p=1，則等式兩邊取常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，化為：lgan=rlgan－1，得到首項(xiàng)為lga1，公比為r的等比數(shù)列{lgan}，所以lgan=rn－1lga1，得an=a1rn－1.若p≠1，則等式兩邊取以p為底的對(duì)數(shù)得:logpan=rlogpan-1+1，轉(zhuǎn)化為例3的數(shù)列，可求通項(xiàng).

（2010年石家莊模擬）若數(shù)列{an}中，a1=3且an+1=an2(n為正整數(shù))，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.

解析：∵an+1=an2及a1=3知an≥3，兩邊取常用對(duì)數(shù)得lgan+1=2lgan,∴{lgan}是以首項(xiàng)為lga1=lg3，公比為2的等比數(shù)列.∴l(xiāng)gan=2n－1lg3，∴an=32n－1

九、奇偶項(xiàng)（分段數(shù)列）型具體思路一：求出奇數(shù)項(xiàng)（或偶數(shù)項(xiàng)）的遞推關(guān)系，再對(duì)應(yīng)以上方法求解.

設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a≠1/4，且an+1=(1/2)an,n為偶數(shù)

an+1=an+(1/4),n為奇數(shù)，求an.具體思路二：an+1·an=pqn(pq≠0)型，這種類型一般可轉(zhuǎn)化為{a2n－1}與{a2n}是等差