《電路與信號(hào)分析》課件第6章

6.1耦合電感元件6.2耦合電感的去耦等效6.3空芯變壓器電路分析6.4理想變壓器6.5一般變壓器習(xí)題6第6章耦合電感與變壓器電路分析

6.1耦合電感元件

6.1.1耦合電感的伏安關(guān)系

當(dāng)一線(xiàn)圈中通以變化電流時(shí)，將在線(xiàn)圈中產(chǎn)生變化的磁通。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，這些變化的磁通將在線(xiàn)圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。若有兩線(xiàn)圈靠近時(shí)，一線(xiàn)圈中變化電流所產(chǎn)生的磁通不僅在本線(xiàn)圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓，還可能在另一線(xiàn)圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓。一個(gè)線(xiàn)圈中的變化電流在另一線(xiàn)圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的現(xiàn)象叫做磁耦合現(xiàn)象或互感現(xiàn)象。產(chǎn)生磁耦合現(xiàn)象的這對(duì)線(xiàn)圈稱(chēng)做互感線(xiàn)圈或耦合線(xiàn)圈?；ジ芯€(xiàn)圈的理想化模型即是耦合電感。下面來(lái)討論耦合電感的伏安關(guān)系。考慮相互靠近的兩個(gè)線(xiàn)圈如圖6-1(a)所示。設(shè)通過(guò)線(xiàn)圈Ⅰ的電流為i1，通過(guò)線(xiàn)圈Ⅱ的電流為i2，由于兩個(gè)線(xiàn)圈之間存在磁耦合，因此每個(gè)線(xiàn)圈電流所產(chǎn)生的磁通不僅要與本線(xiàn)圈鉸鏈形成磁鏈，而且有部分甚至全部還將與相鄰的另一線(xiàn)圈鉸鏈形成磁鏈，所以每個(gè)線(xiàn)圈中的磁鏈將由本線(xiàn)圈電流所產(chǎn)生磁鏈和相鄰線(xiàn)圈電流所產(chǎn)生磁鏈兩部分組成。若兩線(xiàn)圈匝數(shù)分別為N1、N2，且線(xiàn)圈的每匝都全部鉸鏈，選定線(xiàn)圈中各部分磁鏈的參考方向與產(chǎn)生該磁鏈的線(xiàn)圈電流的參考方向符合右手螺旋法則，每個(gè)線(xiàn)圈的總磁鏈的參考方向與它所在線(xiàn)圈電流的參考方向也符合右手螺旋法則，則各線(xiàn)圈總磁鏈在圖6-1(a)所示電流參考方向下可表示為

(6-1)其中，Φ11、Φ22分別為電流i1、i2流經(jīng)線(xiàn)圈Ⅰ、Ⅱ所產(chǎn)生的磁通，稱(chēng)為自感磁通；Φ12、Φ21分別是Φ11、Φ22中與相鄰線(xiàn)圈鉸鏈的部分磁通，稱(chēng)為互感磁通；Ψnn=NnΦnn(n=1，2)表示線(xiàn)圈n的線(xiàn)圈電流在線(xiàn)圈n中產(chǎn)生的磁鏈，稱(chēng)為自感磁鏈；Ψnm=NnΦnm(n，m=1，2且n≠m)表示線(xiàn)圈m的線(xiàn)圈電流在線(xiàn)圈

n中產(chǎn)生的磁鏈，稱(chēng)為互感磁鏈；Ψ1、Ψ2分別是線(xiàn)圈Ⅰ、Ⅱ的總磁鏈。圖6-1耦合線(xiàn)圈(a)自磁鏈和互磁鏈參考方向一致；(b)自磁鏈和互磁鏈參考方向不一致由于線(xiàn)圈自磁鏈的參考方向由本線(xiàn)圈的電流按右手螺旋法則決定，而互磁鏈的參考方向則由相鄰線(xiàn)圈的電流按右手螺旋法則決定，故隨著線(xiàn)圈電流的參考方向和線(xiàn)圈繞向以及線(xiàn)圈間的相對(duì)位置的不同，自磁鏈與互磁鏈的參考方向可能一致也可能相反。如當(dāng)線(xiàn)圈繞向和電流的參考方向如圖6-1(a)所示時(shí)，每個(gè)線(xiàn)圈中的自磁鏈和互磁鏈的參考方向均一致；而當(dāng)線(xiàn)圈繞向和電流的參考方向如圖6-1(b)所示時(shí)，每個(gè)線(xiàn)圈中的自磁鏈和互磁鏈的參考方向均不一致。因此耦合線(xiàn)圈中的總磁鏈可表示為

(6-2)當(dāng)線(xiàn)圈中及周?chē)臻g是各向同性的線(xiàn)性磁介質(zhì)時(shí)，每一種磁鏈都與產(chǎn)生它的電流成正比，即有

(6-3)式中，分別稱(chēng)為線(xiàn)圈Ⅰ、Ⅱ的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)自感，單位為亨［利］(H)；，稱(chēng)為互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)互感，單位為亨［利］(H)?？梢宰C明M12=M21，表明互感的互易性質(zhì)。因此，當(dāng)只有兩個(gè)線(xiàn)圈有耦合時(shí)可以略去M的下標(biāo)，即可令M=M12=M21。當(dāng)流經(jīng)耗合線(xiàn)圈的電流變化時(shí)，與線(xiàn)圈鉸鏈的磁通要作相應(yīng)的變化，并在線(xiàn)圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。設(shè)各線(xiàn)圈電壓電流均取關(guān)聯(lián)參考方向，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律可得

(6-4)式(6-4)即為耦合電感的伏安關(guān)系式。該式表明：耦合電感的每一線(xiàn)圈的感應(yīng)電壓包括兩部分，一部分是由線(xiàn)圈自磁鏈產(chǎn)生的自感電壓(uL1或uL2)，另一部分是由互磁鏈產(chǎn)生的互感電壓(uM1或uM2)。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，若自感電壓和互感電壓的參考方向與產(chǎn)生該感應(yīng)電壓的磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則，當(dāng)線(xiàn)圈的電流與電壓取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，自感電壓前的符號(hào)總為正；而互感電壓前的符號(hào)可正可負(fù)，當(dāng)互磁鏈與自磁鏈的參考方向一致時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。從耦合電感的伏安關(guān)系式可以看出，由兩個(gè)線(xiàn)圈組成的耦合電感是一個(gè)由L1、L2和M三個(gè)參數(shù)表征的四端元件，并且由于它的自感電壓和互感電壓分別與線(xiàn)圈中的電流的變化率成正比，因此是一種動(dòng)態(tài)元件、記憶元件。6.1.2耦合線(xiàn)圈的同名端

由前面的分析可知，互磁鏈與自磁鏈的參考方向是否一致不僅與設(shè)定的兩線(xiàn)圈電流的參考方向有關(guān)，還與線(xiàn)圈的繞向及線(xiàn)圈間的相對(duì)位置有關(guān)。實(shí)際的線(xiàn)圈往往是密封的，難以根據(jù)磁通方向來(lái)確定互感電壓的參考方向，其次在圖上也不便畫(huà)出線(xiàn)圈的繞向及相對(duì)位置。為了解決這一問(wèn)題，引入同名端的概念。所謂同名端，是指耦合線(xiàn)圈中這樣一對(duì)端紐：當(dāng)線(xiàn)圈電流同時(shí)流入(或流出)該對(duì)端紐時(shí)，它們所產(chǎn)生的磁鏈?zhǔn)窍嗷ゼ訌?qiáng)的，即線(xiàn)圈中的自磁鏈與互磁鏈的參考方向是一致的。同名端通常用標(biāo)志“·”(或“*”)表示。根據(jù)定義可以方便地判斷兩線(xiàn)圈的同名端：如圖6-2中當(dāng)

i1、i2分別由端紐a和c流入(或流出)時(shí)，它們各自產(chǎn)生的磁通相助，因此a端和c端是同名端(當(dāng)然b端和d端也是同名端)；a端與d端(或b端與c端)稱(chēng)異名端，并在圖上用“·”標(biāo)出同名端。

圖6-2耦合電感的同名端有了同名端的概念，再根據(jù)設(shè)定電壓、電流的參考方向，比較圖6-1(a)、(b)及其相應(yīng)的伏安關(guān)系式(6-4)，我們不難得出直接列寫(xiě)耦合電感伏安關(guān)系式的具體規(guī)則：若自感電壓與產(chǎn)生該電壓的電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考，且耦合電感線(xiàn)圈電壓與自感電壓方向一致，則自感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)；若耦合電感線(xiàn)圈的電壓正極性端與另一線(xiàn)圈的電流流入端為同名端，則該線(xiàn)圈的互感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。在耦合線(xiàn)圈繞向無(wú)法知道的情況下，若需確定同名端，可用圖6-3所示試驗(yàn)方法測(cè)定：在該電路中，當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合時(shí)，i1將從線(xiàn)圈Ⅰ的a端流入，且，如果電壓表正向偏轉(zhuǎn)，表示線(xiàn)圈Ⅱ中的互感電壓，則可判定電壓表的正極所接端鈕c與i1的流入端鈕a為同名端；反之，如果電壓表反向偏轉(zhuǎn)，表示線(xiàn)圈Ⅱ中的互感電壓，則可判定電壓表的正極所接端鈕c與i1的流入端鈕a為異名端，而端鈕a與d為同名端。圖6-3測(cè)定同名端的實(shí)驗(yàn)電路6.1.3耦合線(xiàn)圈的電路模型

有了同名端的概念，圖6-1(a)和(b)所示的耦合電感可分別用圖6-4(a)和(b)所示電路模型表示，圖中L1、L2是自感系數(shù)，M是它們之間的互感系數(shù)，“·”或“*”表示同名端。

由于耦合電感中的互感反映了耦合電感線(xiàn)圈間的耦合關(guān)系，為了在電路模型中以較明顯的方式將這種耦合關(guān)系表示出來(lái)，各線(xiàn)圈中的互感電壓可用CCVS表示。若用受控源表示互感電壓，則圖6-4(a)和(b)所示耦合電感可用圖6-5(a)和(b)所示的電路模型表示。顯然在這里，電感L1和L2之間已沒(méi)有了耦合關(guān)系。圖6-4耦合電感的電路模型圖6-5用受控源表示互感電壓時(shí)耦合電感的電路模型在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，式(6-4)所述耦合電感伏安關(guān)系的相量形式為

(6-5)

式中，jωL1、jωL2稱(chēng)為自感阻抗；jωM稱(chēng)為互感阻抗。耦合電感相量模型如圖6-6(a)和(b)所示，相應(yīng)的用受控源表示互感電壓的耦合電感相量模型如圖6-7(a)和(b)所示。圖6-6耦合電感相量模型圖6-7用受控源表示互感電壓的耦合電感相量模型6.1.4耦合線(xiàn)圈的耦合系數(shù)

一般情況下，流經(jīng)耦合線(xiàn)圈的電流所產(chǎn)生的磁通只有部分與另一線(xiàn)圈鉸鏈，彼此不鉸鏈的那部分磁通稱(chēng)為漏磁通。而耦合線(xiàn)圈的互感量反映了一個(gè)線(xiàn)圈在另一個(gè)線(xiàn)圈產(chǎn)生磁鏈的能力。工程上為了定量地描述兩個(gè)耦合線(xiàn)圈的耦合緊密程度，把兩個(gè)線(xiàn)圈的互感磁鏈與自感磁鏈的比值的幾何平均值定義為耦合系數(shù)，并用符號(hào)k表示，即

(6-6)又因?yàn)棣?1=L1i1，Ψ21=Mi1，Ψ22=L2i2，Ψ12=Mi2，代入式(6-6)后有

(6-7)

由于一般情況下Ψ21≤Ψ11，Ψ12≤Ψ22，所以k≤1。k＝1時(shí)稱(chēng)為全耦合，此時(shí)一個(gè)線(xiàn)圈中電流產(chǎn)生的磁通全部與另一線(xiàn)圈鉸鏈，互感達(dá)到最大值，即；k≈1時(shí)稱(chēng)為緊耦合；k較小時(shí)稱(chēng)為松耦合；k＝0時(shí)稱(chēng)為無(wú)耦合，此時(shí)耦合電感的兩個(gè)線(xiàn)圈的磁通互不相交鏈，互感M=0。

例6-1試寫(xiě)出圖6-8所示耦合電感的伏安關(guān)系。

解因?yàn)閳D6-8所示耦合電感線(xiàn)圈Ⅰ的電流i1與電壓u1為關(guān)聯(lián)參考方向，故自感電壓；又因?yàn)榫€(xiàn)圈Ⅰ的電壓u1的正極性端與線(xiàn)圈Ⅱ電流i2的流入端為同名端，故線(xiàn)圈Ⅰ的互感電壓。因?yàn)榫€(xiàn)圈Ⅱ的電流i2與電壓u2為非關(guān)聯(lián)參考方向，故自感電壓；又因?yàn)榫€(xiàn)圈Ⅱ的電壓u2的正極性端與線(xiàn)圈Ⅰ電流i1的流入端為異名端，故線(xiàn)圈Ⅱ的互感電壓。圖6-8例6-1圖由此可得該耦合電感的伏安關(guān)系為

6.2耦合電感的去耦等效

由于耦合電感的兩個(gè)線(xiàn)圈在實(shí)際電路中一般以某種方式相互連接，基本的連接方式有串連、并聯(lián)和三端連接，因此在分析含耦合電感的電路時(shí)，一般首先將這些連接方式的耦合電感用無(wú)耦合的等效電路去等效替代，然后再分析。通常我們將這個(gè)等效替代的過(guò)程稱(chēng)為去耦等效。本節(jié)主要介紹這三種基本連接方式的去耦等效以及去耦等效法在含耦合電感電路分析中的應(yīng)用。6.2.1耦合電感的串聯(lián)

耦合電感兩線(xiàn)圈的串聯(lián)有兩種連接方式：一種是如圖6-9(a)所示，將耦合電感線(xiàn)圈的兩個(gè)異名端連在一起并通以同一個(gè)電流，稱(chēng)為順串；另一種是如圖6-9(b)所示，將耦合電感線(xiàn)圈的兩個(gè)同名端連在一起并通以同一個(gè)電流，稱(chēng)為反串。圖6-9耦合電感的串聯(lián)(a)順串；(b)反串；(c)順串等效電感；(d)反串等效電感設(shè)耦合電感線(xiàn)圈上的電壓電流取圖6-9所示關(guān)聯(lián)參考方向，則由耦合電感的伏安關(guān)系可得兩種連接方式的串聯(lián)電路的伏安關(guān)系為

(6-8)

式中，M前的正號(hào)對(duì)應(yīng)于順串，負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于反串。

式(6-8)表明，作串聯(lián)連接的耦合電感在電路中可等效為一個(gè)如圖6-9(c)或(d)所示的電感元件，其等效電感為

Leq=L1+L2±2M6.2.2耦合電感的并聯(lián)

耦合電感的并聯(lián)連接也有兩種形式：一種是如圖6-10(a)所示，將耦合電感線(xiàn)圈的兩個(gè)同名端連在一起并跨接在同一個(gè)電壓上，稱(chēng)為同側(cè)并聯(lián)；另一種是如圖6-10(b)所示，將耦合電感線(xiàn)圈的兩個(gè)異同名端連在一起并跨接在同一個(gè)電壓上，稱(chēng)為異側(cè)并聯(lián)。圖6-10耦合電感的并聯(lián)(a)同側(cè)并聯(lián)；(b)異側(cè)并聯(lián)；(c)同側(cè)并聯(lián)等效電感；(d)異側(cè)并聯(lián)等效電感設(shè)耦合電感線(xiàn)圈上的電壓電流取圖6-10所示關(guān)聯(lián)參考方向，則由耦合電感的伏安關(guān)系可得兩種連接方式的并聯(lián)電路的伏安關(guān)系為

(6-9)式(6-9)中，M前的正號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián)，負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。對(duì)該式聯(lián)立求解得

(6-10)將式(6-10)中兩方程相加即得兩種并聯(lián)連接方式的耦合電感的伏安關(guān)系為

(6-11)

或

(6-12)其中

(6-13)

式(6-13)中，2M前的負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián)，正號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。式(6-12)表明，作并聯(lián)連接的耦合電感在電路中可等效為一個(gè)如圖6-10(c)或(d)所示的電感元件。6.2.3耦合電感的三端連接

將耦合電感的兩個(gè)線(xiàn)圈各取一端連接起來(lái)就成了耦合電感的三端連接電路。耦合電感的三端連接也有兩種接法：一種是將同名端相連，構(gòu)成如圖6-11(a)所示的三端連接電路；另一種是將一異名端相連，構(gòu)成如圖6-11(b)所示的三端連接電路。顯然前面介紹的耦合電感的串聯(lián)連接、并聯(lián)連接均可看成三端連接的特例。圖6-11耦合電感的三端連接(a)同名端相連；(b)異名端相連；(c)同名端相連的去耦等效電路；(d)異名端相連的去耦等效電路下面討論三端連接的耦合電感的去耦等效方法。

設(shè)圖6-11(a)所示耦合電感各線(xiàn)圈上的電壓和電流的參考方向如圖，則由耦合電感的伏安關(guān)系可得

(6-14)經(jīng)變換得

(6-15)

由式(6-15)可得圖6-11(a)所示三端連接的耦合電感的去耦等效電路如圖6-11(c)所示。同理可推得圖6-11(b)所示三端連接的耦合電感的去耦等效電路如圖6-11(d)所示。6.2.4去耦等效法在含耦合電感電路分析中的應(yīng)用

下面舉例說(shuō)明如何利用去耦等效的方法分析含耦合電感電路。

例6-2如圖6-12(a)所示電路，已知R1=12Ω，ωL1=

2Ω，ωL2=10Ω，ωM=6Ω，R3=6Ω，=6Ω。試求其輸入阻抗Zab。圖6-12例6-2圖

解圖6-12(a)所示電路中的耦合電感為同名端相連的三端連接方式，其去耦等效電路的相量模型如圖6-12(b)所示，由此可得

例6-3試求圖6-13(a)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路。已知，R1=R2=3Ω，ωL1=ωL2=4Ω，ωM=2Ω。圖6-13例6-3圖

解圖6-13(a)所示電路中的耦合電感為同名端相連的三端連接方式，其去耦等效電路的相量模型如圖6-13(b)所示。

(1)求等效阻抗Zab。

(2)求開(kāi)路電壓。

故圖6-13(a)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路如圖

6-13(c)所示。

例6-4如圖6-14(a)所示電路，已知，ω=2rad/s，L1=8H，L2=6H，L3=10H，M12=4H，M23=5H。求端口a、b以左的等效戴維寧電路。圖6-14例6-4圖

解首先對(duì)圖6-14(a)所示電路中三端連接的耦合電感兩兩去耦等效，等效電路如圖6-14(b)所示，其中由圖6-14(b)得其開(kāi)路電壓

等效阻抗

故得圖6-14(a)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路如圖6-14(c)所示。

例6-5在圖6-15所示電路中，已知R1=R2=20Ω，L1=

30mH，L2=20mH，M=10mH，iS1=80cos(103t-45°)mA，iS2=44.5cos(103t-45°)mA。試求電流i。圖6-15例6-5圖

解首先作圖6-15(a)所示電路的相量模型，并將并聯(lián)電流源iS1、iS2用一個(gè)電流源等效替代，如圖(b)所示，對(duì)圖(b)進(jìn)一步等效得圖(c)，由圖(c)得故電流

6.3空芯變壓器電路分析

具有互感耦合作用的耦合線(xiàn)圈在工程上有多種用途，變壓器就是利用耦合線(xiàn)圈間的磁耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向另一個(gè)電路傳輸能量或信號(hào)的器件。它通常由兩個(gè)線(xiàn)圈組成，其中一個(gè)線(xiàn)圈與電源相接，稱(chēng)為初級(jí)線(xiàn)圈或原邊線(xiàn)圈；另一線(xiàn)圈與負(fù)載相接，稱(chēng)為次級(jí)線(xiàn)圈或副邊線(xiàn)圈。初次級(jí)線(xiàn)圈間只有磁的耦合而沒(méi)有電的直接聯(lián)系，這種電路稱(chēng)為變壓器耦合電路。若變壓器的線(xiàn)圈繞在鐵芯材料上，則構(gòu)成鐵芯變壓器；若繞在非鐵磁材料上，則構(gòu)成空芯變壓器。前者的耦合系數(shù)接近1，屬于緊耦合；后者線(xiàn)圈間的耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。本節(jié)只介紹含空芯變壓器電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析。

圖6-16(a)是最簡(jiǎn)的空芯變壓器電路的相量模型，虛線(xiàn)框內(nèi)為空芯變壓器的相量模型。它由一個(gè)互感元件與兩個(gè)電阻組成，其中R1和R2分別表示原邊線(xiàn)圈和副邊線(xiàn)圈繞線(xiàn)的電阻；L1和L2分別表示原邊線(xiàn)圈和副邊線(xiàn)圈繞線(xiàn)的自感；M表示原邊線(xiàn)圈和副邊線(xiàn)圈間的互感。

圖6-16空芯變壓器(a)相量模型；(b)受控源等效電路；(c)初級(jí)等效電路在正弦穩(wěn)態(tài)下，設(shè)初、次級(jí)回路電流相量分別為、

，如圖6-16(a)所示。若將互感電壓用受控源等效替代，則圖6-16(a)可等效為圖6-16(b)所示電路，由此可列得回路間的KVL方程為(6-16)若令Z11=R1+jωL1，Z22=R2+jωL2+ZL分別表示初、次級(jí)回路的自阻抗，則方程組(6-16)可簡(jiǎn)寫(xiě)為

(6-17)由此可解得

(6-18)

由式(6-18)可得初級(jí)回路從a、b端看入的等效阻抗為

(6-19)式(6-19)表明，等效阻抗Zi由兩部分組成：一部分為初級(jí)回路自阻抗Z11；另一部分稱(chēng)為次級(jí)回路對(duì)初級(jí)回路的反映阻抗或引入阻抗，它是一個(gè)取決于互感及次級(jí)回路參數(shù)的阻抗，它反映了次級(jí)回路通過(guò)磁耦合對(duì)初級(jí)回路所產(chǎn)生的影響。當(dāng)時(shí)，Zi=Z11。利用反映阻抗的概念，空芯變壓器從電源看入的等效電路如圖6-16(c)所示，該電路稱(chēng)為初級(jí)等效電路。由該等效電路可方便地計(jì)算出初級(jí)回路電流。求得初級(jí)回路電流后，由圖6-16(b)可得次級(jí)回路的回路電流為

(6-20)

當(dāng)然式(6-20)還可以由方程(6-17)的第二式得到。

此外，對(duì)于空芯變壓器電路也可用上節(jié)介紹的去耦等效的方法進(jìn)行分析。因?yàn)樵趫D6-17(a)所示的空芯變壓器電路中，若將b和d兩點(diǎn)相連，由于該連線(xiàn)上無(wú)電流流過(guò)，故對(duì)原電路并無(wú)影響，此時(shí)空芯變壓器就變成了三端連接的耦合電感，通過(guò)去耦等效得圖6-17(b)所示的等效電路，對(duì)該電路用正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法即可求解。圖6-17空芯變壓器電路的去耦等效電路

例6-6已知空芯變壓器電路如圖6-18(a)所示。試求初、次級(jí)回路電流及。

解解法一：利用反映阻抗的概念求解。

由圖6-18(a)所示電路可得

次級(jí)對(duì)初級(jí)的反映阻抗為圖6-18例6-6圖則可得初級(jí)等效電路如圖6-18(b)所示，由該圖可得

由圖6-18(a)進(jìn)一步求解可得解法二：利用去耦等效的方法求解。

圖6-18(a)所示電路的去耦等效電路如圖6-18(c)所示，由該圖可得6.4理想變壓器

6.4.1理想變壓器的伏安關(guān)系

理想變壓器也是一種耦合元件，它是實(shí)際變壓器在滿(mǎn)足以下三個(gè)理想化條件下的電路模型：

(1)變壓器本身無(wú)損耗，即其電阻效應(yīng)為零；

(2)耦合系數(shù)K=1，即為全耦合；

(3)線(xiàn)圈的自感系數(shù)L1和L2均為無(wú)限大，且L1/L2等于常數(shù)，互感系數(shù)也為無(wú)限大。對(duì)于理想變壓器，我們一般用圖6-19所示電路符號(hào)表示。

圖6-19理想變壓器在圖6-19(a)所示同名端及電壓、電流參考方向下，理想變壓器的伏安關(guān)系為

(6-21)

式中，n是常數(shù)，稱(chēng)為理想變壓器的變比，數(shù)值上等于理想變壓器初、次線(xiàn)圈的匝數(shù)比，即，它是理想變壓器唯一的參數(shù)。若將圖10-19(a)所示理想變壓器的同名端改為圖10-20(b)所示，則此時(shí)所對(duì)應(yīng)的理想變壓器的伏安關(guān)系為

(6-22)由式(6-21)和式(6-22)可以看出，理想變壓器的伏安關(guān)系與線(xiàn)圈電壓、電流參考方向及同名端位置有關(guān)。為了正確列寫(xiě)理想變壓器的伏安關(guān)系，在給定電壓、電流參考方向及同名端的情況下，具體可按以下規(guī)則列寫(xiě)：當(dāng)理想變壓器初、次級(jí)線(xiàn)圈電壓正極為同名端時(shí)，初、次級(jí)電壓比等于匝數(shù)比，否則為負(fù)值；當(dāng)初、次級(jí)電流從異名端流入時(shí)，初、次級(jí)電流比等于匝數(shù)比的倒數(shù)，否則為倒數(shù)的負(fù)值。另外可以看到，式(6-21)和式(6-22)均為代數(shù)關(guān)系式，可見(jiàn)，理想變壓器是一種無(wú)記憶元件，也稱(chēng)即時(shí)元件。它具有按式(6-21)或式(6-22)變換電壓、電流的能力，不論電壓、電流是直流還是交流，電路是暫態(tài)還是穩(wěn)態(tài)，都沒(méi)有電感或耦合電感元件的作用。

由理想變壓器的VCR，理想變壓器電路模型還可以表示成圖6-20(a)和(b)所示的受控源形式。圖6-20用受控源表示的理想變壓器接下來(lái)討論理想變壓器的功率問(wèn)題。在任一時(shí)刻理想變壓器所吸收的瞬時(shí)功率應(yīng)為其兩端口吸收的瞬時(shí)功率之和，對(duì)應(yīng)于圖6-19和圖6-20有

(6-23)式(6-23)表示理想變壓器吸收的瞬時(shí)功率為零，它表明理想變壓器是一個(gè)既不耗能也不儲(chǔ)能的元件。若把式(6-23)改寫(xiě)成

p1=－p2

即

u1i1=－u2i2

可以看出理想變壓器的輸入瞬時(shí)功率等于輸出瞬時(shí)功率，可見(jiàn)其在電路中只起著傳遞能量的“橋梁”作用。顯然，在正弦穩(wěn)態(tài)條件下，式(6-21)和式(6-22)所述理想變壓器的伏安關(guān)系都可以表示為以下相應(yīng)的相量形式:

(6-24)6.4.2理想變壓器伏安關(guān)系的推導(dǎo)

前面我們介紹了理想變壓器的的伏安關(guān)系。顯然理想變壓器可看成耦合電感的極限情況。當(dāng)耦合電感滿(mǎn)足耦合系數(shù)k=1，且L1，L2→∞，但為定值時(shí)，即成為理想變壓器。下面由耦合電感的伏安關(guān)系著手推導(dǎo)理想變壓器的伏安關(guān)系式。圖6-21全耦合對(duì)于圖6-21所示耦合電感，由于是全耦合的，即k=1，故其中一個(gè)線(xiàn)圈電流產(chǎn)生的磁通將全部與另一個(gè)線(xiàn)圈相鉸鏈，而不存在漏磁通。假設(shè)初、次級(jí)線(xiàn)圈的匝數(shù)分別為N1、N2，Φ11表示初級(jí)線(xiàn)圈電流i1產(chǎn)生的全部磁通，Φ21表示i1產(chǎn)生并與次級(jí)線(xiàn)圈相交鏈的磁通；Φ22表示次級(jí)線(xiàn)圈電流i2產(chǎn)生的全部磁通，Φ12表示i2產(chǎn)生并與初級(jí)線(xiàn)圈相交鏈的磁通，顯然，Φ11=Φ21，Φ22=Φ12。故有兩線(xiàn)圈的總磁鏈分別為

(6-25)式中，Φ=Φ11+Φ22稱(chēng)為主磁通，它的變化將在初、次級(jí)線(xiàn)圈分別產(chǎn)生感應(yīng)電壓u1、u2，在圖示參考方向下，有

所以

(6-26)式(6-26)表明，在全耦合的情況下，耦合電感初、次級(jí)電壓比等于初、次級(jí)線(xiàn)圈的匝數(shù)比。這就導(dǎo)出了式(6-21)的第一式。

又由耦合電感的伏安關(guān)系知，圖6-21所示電路的伏安關(guān)系為

(6-27)對(duì)式(6-27)中的第一式從－∞到t積分，則有

(6-28)由于當(dāng)k=1時(shí)，將Φ11=Φ21，Φ22=Φ12代入上式，因此有

(6-29)

將式(6-29)代入式(6-28)得

(6-30)當(dāng)自感系數(shù)L1→∞，即滿(mǎn)足理想化的第三個(gè)條件時(shí)，得

(6-31)

式(6-31)表明，當(dāng)k=1，L1→∞時(shí)，耦合電感初、次級(jí)電流比等于初、次級(jí)線(xiàn)圈的匝數(shù)比倒數(shù)的示值。這就導(dǎo)出了式(6-21)中的第二式。

以上我們由耦合電感的伏安關(guān)系導(dǎo)出了理想變壓器的伏安關(guān)系式。由于理想變壓器的伏安關(guān)系是一組代數(shù)方程，因此理想變壓器是一個(gè)即時(shí)元件、無(wú)記憶元件，即在任何時(shí)刻，理想變壓器兩對(duì)端子上的電流或電壓必同時(shí)存在或同時(shí)消失，不管該電流、電壓是直流還是交流，電路是暫態(tài)還是穩(wěn)態(tài)，其初、次電壓比和初、次電流比只與變比n有關(guān)。6.4.3理想變壓器阻抗變換特性

理想變壓器具有三個(gè)基本特性：電壓變換、電流變換及阻抗變換。

前面我們介紹了理想變壓器對(duì)電壓、電流的變換特性，本小節(jié)我們將介紹理想變壓器的另一個(gè)特性——阻抗變換的特性。

圖6-22(a)所示理想變壓器在次級(jí)并接阻抗ZL，此時(shí)有

(6-32)圖6-22并接阻抗從次級(jí)搬移至初級(jí)由式(6-32)可得圖6-22(b)所示等效電路。當(dāng)時(shí)，圖6-22(b)所示電路可等效為圖6-22(c)所示等效電路。由圖6-22可以看出，將與理想變壓器次級(jí)并接的阻抗搬移至理想變壓器的初級(jí)，阻抗將擴(kuò)大n2倍且仍與理想變壓器并接。

由類(lèi)似推導(dǎo)可得，將與理想變壓器初級(jí)相串接的阻抗ZL搬移至理想變壓器的次級(jí)，阻抗將縮小n2倍且仍與理想變壓器串接，如圖6-23所示。圖6-23串接阻抗從初級(jí)搬移至次級(jí)上述“搬移”阻抗的方法還可以進(jìn)一步推廣：

(1)與理想變壓器初級(jí)相連的二端口純阻抗網(wǎng)絡(luò)可以從初級(jí)搬移到次級(jí)(且仍與理想變壓器相連)，且搬移的過(guò)程是一平移平插過(guò)程，同時(shí)在搬移過(guò)程中阻抗縮小n2倍，如圖6-24所示。圖6-24二端口純阻抗網(wǎng)絡(luò)從初級(jí)搬移到次級(jí)

(2)與理想變壓器次級(jí)相連的二端口純阻抗網(wǎng)絡(luò)可以從次級(jí)搬移到初級(jí)(且仍與理想變壓器相連)，且搬移的過(guò)程是一平移平插過(guò)程，同時(shí)在搬移過(guò)程中阻抗擴(kuò)大n2倍，如圖6-25所示。圖6-25二端口純阻抗網(wǎng)絡(luò)從次級(jí)搬移到初級(jí)可見(jiàn)，利用理想變壓器變換阻抗的特性可以將與理想變壓器相連的阻抗在其初級(jí)與次級(jí)之間來(lái)回搬移，且有如下特點(diǎn)：

(1)阻抗來(lái)回搬移與同名端無(wú)關(guān)；

(2)利用阻抗搬移可以簡(jiǎn)化電路；

(3)理想變壓器具有以n2倍關(guān)系變換阻抗的作用，當(dāng)阻抗從次級(jí)搬移到初級(jí)時(shí)要擴(kuò)大n2倍，當(dāng)阻抗從初級(jí)搬移到次級(jí)時(shí)要縮小n2倍；

(4)由于n為大于零的實(shí)常數(shù)，故阻抗在初、次級(jí)之間來(lái)回搬移過(guò)程中其性質(zhì)不變；

(5)理想變壓器次級(jí)短路相當(dāng)于其初級(jí)也短路；

(6)理想變壓器次級(jí)開(kāi)路相當(dāng)于其初級(jí)也開(kāi)路。

在實(shí)際電路中常利用變壓器的阻抗變換特性來(lái)實(shí)現(xiàn)阻抗匹配，以達(dá)到最大功率傳輸。6.4.4含理想變壓器電路的分析計(jì)算

含理想變壓器電路的分析計(jì)算方法有三種：

(1)直接法，即直接利用理想變壓器的伏安關(guān)系列方程求解；

(2)利用理想變壓器的電壓變換、電流變換及阻抗變換特性求解；

(3)等效電源定理法。

例6-7試求圖6-26所示電路中流過(guò)4Ω電阻的電流。

解本題利用直接法求解。設(shè)各支路電流相量及理想變壓器初次級(jí)電壓相量的參考方向如圖6-26所示，則可列回路方程如下：圖6-26例6-7圖解聯(lián)立方程得

則通過(guò)4Ω電阻的電流為

例6-8含理想變壓器電路如圖6-27(a)所示。試求電

壓。

解利用理想變壓器的阻抗變換特性，將圖6-27(a)所示電路的次級(jí)阻抗搬移到初級(jí)，得圖6-27(b)所示等效電路，由該電路可得

由理想變壓器的電壓變換特性，可得圖6-27例6-8圖

例6-9含理想變壓器電路如圖10-28(a)所示，已知R1=R2=2Ω，R3=10Ω，L=2H，uS(t)=ε(t)V。試求uab(t)。

解首先根據(jù)戴維寧定理將圖6-28(a)所示電路a、b以左含理想變壓器的有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為戴維寧等效電路，如圖6-28(b)所示，其中

uOC=2uS(t)=2ε(t)V

R0=4R1+R2=10Ω對(duì)于圖6-28(b)，由直流激勵(lì)下的三要素公式，得

iL(0+)=iL(0－)=0A

代入三要素公式，得

uab(t)=(1+e－10t)ε(t)V圖6-28例6-9圖由第5章可知，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，負(fù)載阻抗必須與信源內(nèi)阻抗達(dá)到共軛匹配時(shí)，負(fù)載才能獲得最大功率。但在實(shí)際電路中負(fù)載往往和信源一樣也是給定的，并非任意可調(diào)。在這種情況下，為了使負(fù)載獲得盡可能大的功率，可通過(guò)理想變壓器來(lái)實(shí)現(xiàn)匹配。如圖6-29(a)所示電路，其中理想變壓器的變比是可調(diào)的。利用理想變壓器的阻抗變換特性，將負(fù)載阻抗折合到初級(jí)，得圖6-29(b)所示電路。由于理想變壓器的變比n為大于零的實(shí)常數(shù)，故要改變n，只能改變負(fù)載阻抗的模而不能改變其阻抗角，所以一般無(wú)法達(dá)到共軛匹配。圖6-29理想變壓器實(shí)現(xiàn)功率匹配對(duì)于圖6-29(b)所示電路，設(shè)

則有

其電流有效值為此時(shí)獲得的功率為

要使P達(dá)到最大，必須有

可求得即當(dāng)時(shí)可獲得最大功率。由于此時(shí)不是共軛匹配，而是負(fù)載阻抗的模與信源內(nèi)阻抗的模相等，故將此使負(fù)載獲得最大功率的方法稱(chēng)為模匹配法。可以證明此時(shí)負(fù)載獲得的功率一般要比共軛匹配時(shí)的功率小。

又由于理想變壓器在傳遞能量的過(guò)程中本身既不消耗能量，也不儲(chǔ)存能量，所以當(dāng)圖6-29(b)中等效阻抗ZL′獲得最大功率時(shí)，圖6-29(a)中負(fù)載阻抗ZL也獲得最大功率。

綜上所述，利用理想變壓器的阻抗變換特性使負(fù)載獲得最大功率，一般只能實(shí)現(xiàn)模匹配。

例6-10已知電路如圖6-30(a)所示。為了使負(fù)載電阻RL獲得最大功率，則理想變壓器的匝數(shù)比n應(yīng)為多少？負(fù)載電阻RL獲得的最大功率為多少？

解利用理想變壓器的變換阻抗作用，原電路可等效為圖6-30(b)所示電路。由于n為實(shí)常數(shù)，故與Z0=1∥(－j1)不可能達(dá)到共軛匹配，只能實(shí)現(xiàn)模匹配。即

因此

n=3.76圖6-30例6-10圖此時(shí)

故負(fù)載獲得的最大功率為

6.5一般變壓器

從前面的介紹我們知道理想變壓器只是一種理想情況，一般變壓器不滿(mǎn)足理想變壓器條件，它的耦合系數(shù)達(dá)不到1，初、次級(jí)電感不會(huì)是無(wú)窮大，而且損耗是不可避免的。因此，實(shí)際變壓器模型必須在理想變壓器模型的基礎(chǔ)上加以修正。本節(jié)首先在理想變壓器模型基礎(chǔ)上推出當(dāng)k=1，但L不滿(mǎn)足無(wú)限大的全耦合變壓器模型，然后再進(jìn)一步推出一般變壓器模型。6.5.1全耦合變壓器模型

所謂全耦合變壓器，即指變壓器無(wú)損耗，耦合系數(shù)k=1，且電感量為有限值的變壓器。設(shè)全耦合變壓器的電耦合電感模型如圖6-31(a)所示，則根據(jù)6.4.2小節(jié)對(duì)理想變壓器伏安關(guān)系的推導(dǎo)，可得圖6-31(a)所示全耦合變壓器的伏安關(guān)系滿(mǎn)足

(6-33)

(6-34)圖6-31全耦合變壓器(a)全耦合變壓器耦合電感模型；(b)全耦合變壓器電路模型式(6-33)和式(6-34)表明：全耦合變壓器的初、次級(jí)電壓關(guān)系與理想變壓器相同；而其初級(jí)電流則由兩部分組成，其中

是電感電流，與次級(jí)電流i2符合理想變壓器初次級(jí)電流關(guān)系。由此可得全耦合變壓器的電路模型如圖6-31(b)所示，它由理想變壓器模型在其初級(jí)線(xiàn)圈并聯(lián)電感L1而構(gòu)成，且其中理想變壓器的變比。該電路模型與圖6-31(a)所示模型等效。全耦合變壓器的初級(jí)電流常稱(chēng)為空載電流，是次級(jí)開(kāi)路時(shí)(即i2=0，空載)流經(jīng)初級(jí)線(xiàn)圈的電流。該電流使變壓器鐵芯內(nèi)產(chǎn)生磁鏈，并感應(yīng)與電源電壓相平衡的電壓u1，故又稱(chēng)為激磁電流。而L1稱(chēng)為激磁電感。顯然，L1越大，建立相同磁鏈所需要的激磁電流就越小，當(dāng)L1→∞時(shí)，→0，，全耦合變壓器就變成了理想變壓器。6.5.2一般變壓器模型

對(duì)于一般變壓器，由于其電感L1與L2不僅不為無(wú)限大，而且耦合系數(shù)k也小于1，因此磁通除了有一部分與兩個(gè)線(xiàn)圈相交鏈外，還有一小部分磁通只與一個(gè)線(xiàn)圈交鏈。如圖6-32所示變壓器的線(xiàn)圈Ⅰ中電流i1產(chǎn)生的磁通Φ11和線(xiàn)圈Ⅱ中電流i2產(chǎn)生的磁通Φ22中的大部分Φ12和Φ21與相鄰線(xiàn)圈相交鏈，稱(chēng)這部分磁通為互磁通或主磁通，用Φ0表示，另外有一小部分磁通僅與自身線(xiàn)圈相交鏈，稱(chēng)為漏磁通，用ΦS1和ΦS2表示。圖6-32主磁通與漏磁通對(duì)于線(xiàn)圈Ⅰ有

(6-35a)

或

LS1=L1－nM

(6-35b)

式中具有電感的量綱，按照電感的定義，稱(chēng)它為線(xiàn)圈Ⅰ的漏電感。同理，對(duì)線(xiàn)圈Ⅱ有

(6-36a)

或

(6-36b)

式中，稱(chēng)為線(xiàn)圈Ⅱ的漏電感。式(6-35)和式(6-36)表明，一般變壓器的初、次級(jí)線(xiàn)圈的電感L1與L2可分別看成電感LS1和nM、LS2和串連而成。其中，LS1與LS2分別反映本線(xiàn)圈漏磁通的作用，彼此之間沒(méi)有互感；而初次級(jí)線(xiàn)圈的另一部分電感nM和則反映了兩線(xiàn)圈的互磁通的作用，因而它們是理想的全耦合。因此，耦合系數(shù)小于1的一般變壓器模型可以用全耦合變壓器在其初、次級(jí)回路各自串聯(lián)漏電感的模型等效，如圖6-33所示。圖6-33抽出漏電感的等效電路其中全耦合變壓器的變比為

對(duì)于鐵芯變壓器有，且LS1與LS2很小，因此可認(rèn)為

故將圖6-33與圖6-31(b)相對(duì)比，得一般變壓器等效電路模型如圖6-34所示。圖6-34無(wú)損變壓器模型若考慮耦合線(xiàn)圈本身的損耗，則還應(yīng)在圖6-34所示模型的初、次級(jí)回路中串聯(lián)電阻R1及R2，于是得到比較完整的一般變壓器模型如圖6-35所示。

對(duì)于鐵芯變壓器，由于鐵磁材料B-H曲線(xiàn)的非