【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)浙教版】專(zhuān)題2.1 等腰（直角）三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題 專(zhuān)項(xiàng)講練（原卷版）

第第頁(yè)專(zhuān)題2.1等腰（直角）三角形中的分類(lèi)討論問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)講練1、等腰三角形中的分類(lèi)討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，優(yōu)先考慮分類(lèi)討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1.無(wú)圖需分類(lèi)討論①已知邊長(zhǎng)度無(wú)法確定是底邊還是腰時(shí)要分類(lèi)討論；②已知角度數(shù)無(wú)法確定是頂角還是底角時(shí)要分類(lèi)討論；③遇高線(xiàn)需分高在△內(nèi)和△外兩類(lèi)討論；④中線(xiàn)把等腰△周長(zhǎng)分成兩部分需分類(lèi)討論。2.“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問(wèn)題：（常見(jiàn)于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專(zhuān)題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰方法：兩圓一線(xiàn)具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）③當(dāng)時(shí)，作的中垂線(xiàn)，點(diǎn)在該中垂線(xiàn)上（除外）注意：本專(zhuān)題部分題目涉及勾股定理，希望大家學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專(zhuān)題訓(xùn)練。例1．（2022·上虞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊AC和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個(gè)三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個(gè)三角形都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個(gè)．變式1．（2021·保定市第三中學(xué)分校初二期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在軸上確定點(diǎn)，使為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例2．（2022·福建·廈門(mén)一中八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______．變式2．（2022·黑龍江密山·八年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)MN與x軸、y軸分別相交于B、A兩點(diǎn)，．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)O到AB的距離為，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．例3．（2021·北京·北方工業(yè)大學(xué)附屬學(xué)校八年級(jí)期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線(xiàn)段BD的長(zhǎng)為_(kāi)___．變式3．（2021·浙江余杭·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，，，，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．(1)出發(fā)2秒后，求CP的長(zhǎng)．(2)出發(fā)幾秒鐘后，CP恰好平分的周長(zhǎng)．(3)當(dāng)t為何值時(shí)，為等腰三角形？例4．（2022·江西宜春·八年級(jí)期末）規(guī)定：在直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，那么它所對(duì)的銳角為30°．等腰三角形ABC中，于點(diǎn)D，若，則底角的度數(shù)為_(kāi)_____．變式4．（2021·重慶市榮昌初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，點(diǎn)B、D、C、F在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)A在DE上．如圖2，△ABC固定不動(dòng)，將△EDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，當(dāng)直線(xiàn)E′F′與直線(xiàn)AC、BC所圍成的三角形為等腰三角形時(shí)，α的大小為_(kāi)__．2、直角三角形中的分類(lèi)討論：【解題技巧】1.無(wú)圖需分類(lèi)討論——經(jīng)典運(yùn)用：已知邊長(zhǎng)度無(wú)法確定是直角邊還是斜邊時(shí)要分類(lèi)討論。2.“兩定一動(dòng)”直角三角形存在性問(wèn)題：（常見(jiàn)于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專(zhuān)題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成方法：兩線(xiàn)一圓具體圖解：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，點(diǎn)在該垂線(xiàn)上（除外）②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，點(diǎn)在該垂線(xiàn)上（除外）③當(dāng)時(shí)，以為直徑作圓，點(diǎn)在該圓上（，除外）例1．（2022·江西九江·八年級(jí)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．例2．（2021·江蘇興化·八年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D、E在邊BC所在的直線(xiàn)上，且AB=DB，AC=EC，則∠DAE的度數(shù)為_(kāi)_______．變式1.（2021·廣東廣州·八年級(jí)階段練習(xí)）在中，若過(guò)頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱(chēng)這條直線(xiàn)為的關(guān)于點(diǎn)的二分割線(xiàn)．例如：如圖，在中，，，若過(guò)頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)交于點(diǎn)，且，則直線(xiàn)是的關(guān)于點(diǎn)的二分割線(xiàn)．如圖，已知，同時(shí)滿(mǎn)足：①為最小角；②存在關(guān)于點(diǎn)的二分割線(xiàn)，則的度數(shù)為_(kāi)_____．例3．（2021·河南·鄭州市第六十三中學(xué)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABP沿直線(xiàn)BP折疊，使得點(diǎn)A落在圖中點(diǎn)A′處，當(dāng)△AA′C是直角三角形時(shí)，則線(xiàn)段CP的長(zhǎng)是_________．變式2．（2021?海州區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射線(xiàn)CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC＝60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為．例4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A是延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)_____s時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)___s時(shí)，是直角三角形．變式3．（2022·浙江·諸暨市八年級(jí)期中）如圖∠MAN＝60°，若△ABC的頂點(diǎn)B在射線(xiàn)AM上，且AB＝6，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿射線(xiàn)AN運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t是_______秒時(shí)，△ABC是直角三角形．課后訓(xùn)練1．（2022·安徽淮北·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，且為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在軸上確定點(diǎn)，使為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點(diǎn)，C所在直線(xiàn)為y軸，BC所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（

）A．6個(gè)B．7個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)4．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（1，2），在y軸確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有____個(gè)．5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，，．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．6．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A是延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)_________s時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)_________s時(shí)，是直角三角形．7．（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)八年級(jí)期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B與B′是關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)△CPB'是直角三角形時(shí)，BP的長(zhǎng)＝_______．8．（2022·河南平頂山·八年級(jí)期末）如圖，中，，，的平分線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)，且有，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（與A、不重合），連接，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．9．（2022·河北承德·八年級(jí)期末）如圖，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，嘉琪在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)，形狀在發(fā)生變化，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)是直角三角形時(shí)，t的值為_(kāi)________；（2）當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，t滿(mǎn)足的條件是____________．10．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，線(xiàn)段和射線(xiàn)有公共端點(diǎn)．求作：點(diǎn)，使點(diǎn)在射線(xiàn)上，且為等腰三角形．（利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出所有符合條件的點(diǎn)，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）11．（2022·山東·周村二中八年級(jí)期中）在同一平面內(nèi)，若點(diǎn)P與△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)連接形成的三角形都是等腰三角形，則