圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系（解析版）

第28節(jié)圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關系

基礎知識要夯實

1.圓的定義和圓的方程

定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓

標圓心C(mb)

(x-a)2+(y~b)2=i2(r>0)

準半徑為一

(D24-￡2-4F>0)

方

充要條件：。2+一一4尸>。

程

x2+y2+Dx-Ey+F=0圓心坐標：(二冬一二D

般

半徑r—^\lD2-^-E2—4F

2.點與圓的位置關系

平面上的一點M(xo,yo)與圓C：以一〃)2+(y—份2=戶之間存在著下列關系：

(l)|Mq>r在圓處,即(xo-a)2+(yo—b)2>doM在圓外；

(2)|Mq=r=>M在圓上,即(X0-MP+(yg-bp=3在圓上；

(3)|MC|<r=M在圓內(nèi),即(m一a)2+(yo—b)2<00M在圓內(nèi).

3.直線與圓的位置關系

設圓C：。一〃)2+。一力)2=落直線/：Ar+By+C=0,圓心C(〃，力)到直線/的距離為

((%—a)2+(y—b)2=洛

由iAr+5y+C=0

消去)，(或x),得到關于M或')的一元二次方程，其判別式為

位置關系相離相切相交

G

圖形小

方程觀點J<0/三0J>0

量化

幾何觀點d>rd三rd<r

4.圓與圓的位置關系

設兩圓的半徑分別為R，KR>r),兩圓圓心間的距離為d,則兩圓的位置關系可用下表

表7K:

位置關系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖形0?矛@@

R-rVdV

量的關系d=R-rd<R-r

R±r

公切線條數(shù)43210

5.常用結論

1.圓的切線方程常用結論

(1)過圓x2+y=/上一點P(xo,>))的圓的切線方程為xox+yoy=i2.

(2)過圓(x—4)2+(y—6)2=/上一點P(xo,”)的圓的切線方程為(猶一〃)(x-4)+(yo—Z?)(y

—b)=r2.

(3)過圓/+產(chǎn)=戶外一點M(xo,jo)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為xor+yoy

=A

2.直線被圓截得的弦長的求法

⑴幾何法：運用弦心距d、半徑r和弦長的一半構成的直角三角形，計算弦長|AB|=

⑵代數(shù)法：設直線y=Ax+機與圓f+V+Ox+Ey+尸=0相交于點N,將直線方程

代入圓的方程中，消去y,得關于x的一元二次方程，求出也+刈和XMWV,則|MN|=

y/l+Fy/(XM+刈)2—4XM，XN.

基本技能要落實

1.在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為.

【答案】f+y2-2x=0

【解析】法一設圓的方程為/+》2+以+@+尸nCKZ^+f2—4Q0),則

p=o,

{1+1+Q+E+尸=0,解得。=-2,E=0,F=0,故圓的方程為f+y2—您=0.

14+2。+/=0,

法二設0(0,0),4(1,1),B(2,0),則珈=1,kAB=~\,所以如4?履8=-1,即OA

±AB,所以是以角4為直角的直角三角形，則線段80是所求圓的直徑，則圓心

為C(l,0),半徑尸=引。*=1,圖的方程為(%—1)2+)2=1,即W+T2—2r=0.

2.已知圓。的圓心在直線x+y=0上，圓。與直線無一y=0相切，且截直線x-y—3=0

所得的弦長為加，則圓C的方程為.

【答案】(X—1)2+。+1y=2

【解析】法一??,所求圓的圓心在直線x+y=0上，

，可設所求圓的圓心為(〃，—a).

?所求圓與直線X—y=0相切，，半徑r=患=啦間.

又所求圓截直線］—>一3=0所得的弦長為加，圓心(〃，一〃)到直線x—y—3=0的距離

,3-3|

...法+(乎/=3，即(2。7)2_|=2層,解得。=1,

，圓。的方程為1)2+。+1)2=2.

法二設所求圓的方程為a—。)2+U—6)2=戶(r>0),

\Q-b-31

則圓心m，6)到直線K-y—3=0的距離d=&，

23

-

2

???所求圓與直線工一5=0相切，???/1、產(chǎn)匚②

又???圓心在直線x+y=O上，??.a+b=O.③

(a=},

聯(lián)立①②③，解得1人=一1，

〔「=隹

故圓。的方程為(燈7)2+。+1)2=2.

3.Q021?蘭州、張掖重點中學聯(lián)考)設A(2,-1),8(4,1),則以線段A8為直徑的圓的方

程為()

A.Q—3)2+產(chǎn)2B.(X-3)2+/=8

C.(x+3)2+v2=2D.(X+3)2+V=8

【答案】A

【解析】因為42,-1),5(4,1),所以由中點坐標公式可得線段A3的中點坐標為(3,

0),即圓心為(3,0),又半徑—=加用=去/(2—4)2+(—1—1)2=P,所以所求圓

的方程為(X—3產(chǎn)+產(chǎn)=2,故選A.

4.(2021?鄭州二模)圓(x+2)2+(y—⑵2=4關于直線”—)，+8=0對稱的圓的方程為()

A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+0?-6)2=4

C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(X+6)2+G，+4)2=4

【答案】C

【解析】設對稱圓的圓心為(加，兒)，

(n—12

I-------------=——1

〃z+2加=4,

則解哥,所以所求圓的圓心為(4,6),

n+12

故所求圓的方程為。-4)2+6，—6產(chǎn)=4,故選C.

考點二與圓有關的軌跡問題

【例2】已知RSA5C的斜邊為且4-1,0),8(3,0),求：

⑴直角頂點C的軌跡方程；

⑵直角邊BC的中點M的軌跡方程.

【解析】(1)法一設C(x,y),因為A,B,C三點不共線，所以)￥0.

因為4CJ_BC,且BC,AC斜率均存在，所以匕c?依。=-1,

又kAC=工1'koc=1%■，所以±1,-y=-1，

x-r1x-3xH-1x—3

化簡得f+V—2x—3=0.

因此，直角頂點。的軌跡方程為『+>2—2%—3=0。￥0).

法二設A8的中點為D,由中點坐標公式得0(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|8|=生明

=2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以0(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三

點不共線，所以應除去與x軸的交點).

所以直角頂點C的軌跡方程為。-1)2+產(chǎn)=4()￥0).

(2)設M(x,y),C(x),yo),因為B(3,0),M是線段BC的中點，由中點坐標公式得工二J1^C|■3二，

yo+0

產(chǎn)2

所以xo=2x—3,yo=2y.

由(1)知，點C的軌跡方程為。-1)2+丁=4(狎0),

將xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4,

即。一2)2+'2=].

因此動點M的軌跡方程為(x—2>+y2=I。*。).

【方法技巧】

求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：

⑴直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；

(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；

(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；

(4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.

【跟蹤訓練】

1.設定點”(-3,4),動點N在圓/+尸=4上運動，以OM,ON為鄰邊作平行四邊形

MONP,求點P的軌跡方程.

【解析】如圖，設P(x,y),N(xo,yo),

則線段OP的中點坐標為g,

線段MN的中點坐標為

3yo+4)

(2'2/

因為平行四邊形的對角線互相平分,

xo-3yyo+4

所以爹=2，2=2

xo=%+3,

整理得

.yo=y-4t

又點N(xo,yo)在圓f+Vud上,

所以(x+3)2+(y—4)2=4.

所以點尸的軌跡是以(一3,4)為圓心，2為半徑的圓，

直線0M與軌跡相交于兩點(一,，田和(一日，膏，不符合題意，舍去,

所以點P的軌跡為(x+3)2+。-4)2=4,除去兩點V，舸福,H

考點三直線與圓的位置關系

1.若直線x—y+l=O與圓。一〃)2+)心=2有公共點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[-3,-1]3]

C.[—3,1]D.(—oo,-3]U[1,+oo)

【答案】C

【解析】由題意可得，圓的圓心為(m0),半徑為也,

4啦，即I。+1區(qū)2，解得一33把1.

2.(2022?衡水模擬)直線/：mx—y+l—機=0與圓C：x2+3-1>=5的位置關系是()

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

【答案】A

mx-y-\-1—m=0,

【解析】法一(代數(shù)法)由消去y,整理得(l+M)1—2機2二+加2—5

爐+(y—1)2=5,

=0,因為4=16/+20>0,所以直線/與圓相交.

\—nA

法二(幾何法)由題意知，圓心(0,1)到直線/的距離"=<1<小,故直線/與圓

相交.

法三易得直線/過定點a,1).

把點(1,1)代入圓的方程有1+0<小，，點(1,1)在圓的內(nèi)部，故直線/與圓C相交.

3.%=3”是“直線y=x+4與圓。一〃)2+8—3)2=8相切''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若直線y=x+4與圓(x—0)2+。-3)2=8相切，則有乜博辿=2吸，即|“+1|

=4,所以a=3或一5.

但當。=3時，直線y=x+4與圓。一。)2+。-3)2=8一定相切，故“4=3”是“直線y=x

+4與圓(工一。)2+6，-3)2=8相切”的充分不必要條件.

【方法技巧】判斷直線與圓的位受關系的常見方法

(1)幾何法：利用d與r的關系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

⑶點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題.

【例4】(1)(2021?濟南調(diào)研)已知圓C:。一1)2I(yI1)2=1與直線區(qū)|y|1=0相交于A,

8兩點，若△C43為等邊三角形，則上的值為()

A士6B.±2C.±^D.±~

⑵(2020?河南名校聯(lián)考)設圓/+儼一統(tǒng)一2)，-2=0的圓心為C,直線/過(0,3),且與

圓。交于A,5兩點，若［4用=2\「，則直線/的方程為()

A.3x+4)，-12=0或4x-3y+9=0

B.3x-4y+12=0或4工+3)，+9=0

C.4x—3y+9=0或x=0

D.3x+4y—12=0或x=0

【答案】(1)A(2)D

【解析】⑴圓C：(冗一1y+。+1)2=1的圓心為C(l,-1),半徑為1,故|CB|=|CA|=1,

又△CAB為等邊三角形，所以點C到直線乙+)，+1=0的距離為由，即［1限=坐'

解得％=地，故選A.

x=0,

⑵當直線I的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,由，得

x2_2x_2y-2=0,

jr=0,x=0,

L或,

J=1-小”1產(chǎn)1+小,

??.|AB|=2由,符合題意.

當直線/的斜率存在時，設直線I的方程為》=依+3,由已知可得圓的標準方程為。一

l)2+(y-l)2=4,其圓心為C(l,1),半徑i=2,???圓心C(l,1)到直線履一y+3=0的

距離公暴排耨喇-.?華答=4一嗡,即修尸

33

F+1,解得攵=—不?,?直線/的方程為y=一開+3,即3x+4y—12=0.綜上，滿足題意

的直線/的方程為x=0或力+與-12=0,故選D.

【方法技巧】弦長的兩種求法

(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程.在判別式/

>0的前提下，利用根與系數(shù)的關系，根據(jù)弦長公式求弦長.

⑵幾何方法：若弦心距為d,圓的半徑長為乙則弦長1=2712T.

【跟蹤訓練】

1.過圓C：。-1)2+產(chǎn)=1外一點P作圓。的兩條切線，切點分別為4,R若為等

邊三角形，則過0(2,1)的直線/被尸點軌跡所截得的最短弦長為.

【答案】26

【解析】由題意知。(1,0),連接PC,因為△以B為等邊三角形，所以N4PC=30。，所

以1cpi=忑1=2,所以P點軌跡的方程為a-l)2+V=4.因為Q—1)2+12=2<4,所以

點。(2,1)在圓。-1)2+產(chǎn)=4的內(nèi)部.連接CO,結合圖形可知，當/與。。垂直時，/

被圓(x—1)2+)2=4所截得的弦長最短，最短弦長為2小一'CD/=2\J4—2=2巾.

考點五圓的切線問題

【例5】(1)(經(jīng)典母題)過點尸(2,4)引圓C：(x—l)2+(y—l)2=l的切線，則切線方程為

⑵點P為射線X=2。沙)上一點，過尸作圓f+產(chǎn)=3的兩條切線，若兩條切線的夾角為

90°,則點P的坐標為()

A.(2,1)B.(2,2)

C.(2,^2)D.(2,0)

【答案】(l)x=2或4x-3y+4=0(2)C

【解析】(1)當直線的斜率不存在時，直線方程為x=2,此時，圓心到直線的距離等于

半徑，直線與圓相切，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線方程為丁-4=歐%—2),

即日一y+4-2%=0,,?,直線與圓相切，???圓心到直線的距離等于半徑，即d=

飲一1+4—2向|3一向

y/e+(—I)2[F+1]'

4

解得k=y

44

???所求切線方程為gx-y+4-2xM=0,

即4x-3y+4=0.

綜上，切線方程為x=2或4工一3丁+4=().

(2)如圖所示.

設切點為4,B,貝U0A_L4P,0B1BP,OA=OB,AP=BP,APA.BP,

故四邊形。APB為正方形，

則|0田=加，

又心=2,則尸(2,啦).

【方法技巧】求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方

程.若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有

兩條，此時注意斜率不存在的切線.

【跟蹤訓練】

1.(2022?馬鞍山二模)在平面直角坐標系xQy中，若圓C：(工一3>+(y—〃>=4上存在兩

點A,3滿足NAOB=60。，則實數(shù)〃的最大值是()

A.5B.3

C.SD.2小

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，圓。的圓心(3,〃)在直線x=3上，

分析可得，當圓心距離x軸的距離越遠，NAOB越小.

如圖：當〃>0時，圓心。在x軸上方，若04,OB為圓的切線且NAOB=60。，此時〃

取得最大值，此時N4OC=30。，

有[OC]=2|AC1=4,即(3—0)2+(a—0)2=16,

解得。=由，故實數(shù)。的最大值是巾，故選C.

考點六圓與圓的位置關系

【例6】已知兩圓Ci：f+y2—6y—1=0和。2：f+y?—]0氏-12y+45=0.

(1)求證：圓。和圓C2相交；

⑵求圓G和圓。2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.

【解析】⑴證明圓C的圓心G(l,3),半徑門=迎，圓C2的圓心C2(5,6),半徑

底=4,兩圓圓心距d=|GC2|=5,乃+廢=5+4,|八一心|=4一，11,所以血一r21cd(門

十相，所以圓G和。2相交.

⑵解圓G和圓C2的方程左、右分別相減，得4x+3y—23=0,所以兩圓的公共弦所

在直線的方程為4x+3y—23=0.圓心。2(5,6)到直線4x+3y—23=0的距離d=

-3,故公共弦長為2#16—9=2幣.

\16+9

【方法技巧】1.判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓

半徑之間的關系，一般不采用代數(shù)法.

2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,9項得到.

【跟蹤訓練】

L已知圓。的方程為，+產(chǎn)=1,圓。的方程為Cr+〃)2+y2=4.若這兩個圓有且只有一

個公共點，那么。的所有取值構成的集合是()

A.{1,-1,3,-3}B.{5,-5,3,-3}

C.{1,-1}D.{3,-3}

【答案】A

【解析】圓心距d=|a|=2+l=3或d=|〃|=2-1=1,所以a=l,-1,3,-3.故選A.

(2)(2021?東北三省三校聯(lián)考)圓/-4%+^=0與圓f+V+4x+3=0的公切線共有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

【答案】D

【解析】X2—4x+y2=0=>(x-2)2-Fy2=22,圓心坐標為(2,0),半徑為2；f+V+M+S

=0=>(^4-2)2+/=12,圓心坐標為(-2,0),半徑為1,圓心距為4,兩圓半徑和為3,

因為4>3,所以兩圓的位置關系是外離，故兩圓的公切線共有4條.故選D.

達標檢測要扎實

1.已知圓/+y2=/。>0)與直線丁=丘+2至少有一個公共點，貝"的取值范圍為()

A.r>2B.r..lC.r..2D.0<r?41

【答案】C

【解析】圓心(0,0)到直線y=H+2的距離4=7告M2,當且僅當&=0時等號成立，故只需匚.2

即可.故選：C

2.若點尸(1,1)在圓C:x2+),2+x_y+&=o的外部，則實數(shù)人的取值范圍是()

A.(-2,+oo)B.-2,-g)C.卜2,；)D.(-2,2)

【答案】C

【解析】由題意得《?〃八，解得故選：C.

[1+1-4攵>02

3.兩圓C1：/+(),_3)2=4與G：(x—4)2+V=9的公切線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

22

【解析】由C1：/+(y—3)2=4,C2:(x-4)+y=9,

可得G(o,3),4=2；G(4,0),石=3,

22

|C(C2|=7(O-4)+(3-O)=5=4+/

故兩圓相外切，共有3條公切線，故選：C.

4.圓(1-1)2+(>2)2=2關于直線/：工+y-2=。對稱的圓的方程為()

A.(x-4)2+(y-l)2=2B.(x+4)2+(j+l)2=2

C.(x-4)2+(y+l)2=2D.(x+4)2+(y-l)2=2

【答案】A

【解析】圓（a=l）2+（yi2）2-2的圓心為（L—2）,半徑設圓心（1,-2）關于直線iy2=0

對稱的點的坐標為（48），

，:，即圓（x-l）2+（y+2）2=2關于直線，/+匕2=0對稱的圓的圓

心為（4,1）,半徑,=&,

所以對稱圓的方程為"-盯+力-爐=2；故選：A

5.過圓M：（x-l）2+），2=4內(nèi)一點A（2.1）作一弦交圓于8、C兩點,過點8、C分別作圓的切線所、

PC,兩切線交于點尸，則點尸的軌跡方程為（）

A.y-5=0x+y+5=0

C.x+y-5=0x—y—5=0

【答案】C

【解析】設尸點坐標為（%弟）,

根據(jù)圓的直徑式方程知，以MP為直徑的圓的方程為（x—D（x—Xo）+y（y-%）=0,

兩圓方程作差可得公共弦8C的方程為（毛-l）x+?°-毛-3=0,

而A（2,l）在直線5c上，/.Xo+%-5=O,

故點尸的軌跡方程為x+y-5=0,故選：C.

6.過點尸（2,1）作圓M:1尸+V=4的最短弦，延長該弦與x軸、y軸分別交于A8兩點，則“四

的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】依題意，點用（1,0），由圓的性質(zhì)可知，過點P（2,l）且垂直PM的直線/截得的弦長最短.

而即”=裊=1，所以直線/的斜率為1，即方程為：y—1=-（大一2），即y=-x+3.

所以直線/與“軸、V軸分別交于A（3.0）,8（0,3）,

故AABM底邊AM=2,高〃=3,即面積為gx2x3=3.故選：B.

7.己知4(-1,0),3(1,0),圓C：f+(y-4)2=R2(R〉0),若圓C上存在點M,使加e=90。，

則圓C的半徑R的范圍是()

A.3WR45B.3</?<4C.4</?<5D.2</?<4>/2

【答案】A

【解析】設M(七,%),則標=(—「七,—%),荻=。—與,—%),

VZAM5=90°,即涼.礪=0，

???/2+%2=1，即M在以原點為圓心，半徑為1的圓上，

而圓C的圓心為(0,4),半徑為R,

???圓C上存在點A7,即圓C與與2+%2T有交點，

???廬一1歸|四〈/?+1,|/?-1歸447?+1,/?￡[3,5].故選：A

8.P為0。:無2+丫2一2工-2》=0上一點，。為直線/：2x-2y-7=0上一點，則線段PQ長度的最小

值為()

A.乎B.乎C普D.2&

【答案】A

【解析】圓C的標準方程為(x-l)2+(y-l)2=2,圓心為C(l,l),半徑r二夜，

則圓心C到直線/的距離為d=寧一]='=坐，

匯十222百4

所以圓上的點到直線，上的點。的最小距離歸苧一④二不，

CP0nlm=1—r=

故選：A.

9.已知圓C/+(y-2)2=產(chǎn)與直線％?y=0交于A,8兩點，若以弦AB為直徑的圓剛好經(jīng)過已

知圓的圓心C,則圓C的半徑，?的值為()

A.1B.&C,2D.4

【答案】C

【解析】由題意，AC±BC,則。(0,2)到直線x?y=0的距離4=立八

2

則上生=”一，即r=2.故選：C

Vi2+i22

10.已知圓G：/+y2+2x+4y+4=0,圓G：f+y2_4x+2y+l=0,M,N分別為圓C和圓C?上的

動點，尸為直線/：y=x+2上的動點，則|叫+|必的最小值為()

A.2V10-3B.2710+3C.V10-3D.廂+3

【答案】A

【解析】阿G：/+V+2x+4y+4=0,即(x+l)2+(y+2/=1,圓心為(一1,一2),半徑R=l，

222

^|C2:x+/-4x+2y+l=0,BP(x-2)+(y+l)=4,圓心為(2—1),半徑廣=2,

設點(-1,-2)關于直線/:y=x+2對稱的點為(4〃)

"2:1

a=-4

則1，解得：，

b-2a-\八b=[

----=----+2

22

圓G關于直線/：y=x+2對稱的圓為圓C,其圓心為(Y/)，半徑R=1,則其方程為

(A+4)2+(y-l)2=1,

設圓C'上的點”與圓G上點M對稱，則有|PM|=|尸"1,

原問題可以轉(zhuǎn)化為尸到圓C和圓。2上的動點距離之和最小值問題,

連接。2C，與直線/交于點尸，此時點尸是滿足|吶|+歸”|最小的點，

此時|尸明+歸”|=|。21-3=2加-3,即|網(wǎng)+|柳|的最小值為2>/話-3,故選：A.

11.如果復數(shù)Z滿足|z+J，=2,那么|z-2+i|的最大值是（）

A.9+2B.2+后

C.屈+近D.V13+4

【答案】A

【解析】復數(shù)z滿足Iz+l-i|=2,表示以C（-1,1）為圓心，2為半徑的圓.

Iz-2+”表示圓上的點與點M（2,7）的距離.

?，1CA/|=V32+22=713..「-2+”的最大值是萬+2.故選：A.

12.已知圓。|：/+），2+4尤一2,一4=0,C2:^+|J+^y-|J=y,則這兩圓的公共弦長為（）

A.4B.2X/2C.2D.1

【答案】C

22

【解析】由題意知01：/+/+4..2丁-4=0,C2:x+y+3x-3y-l=0,將兩圓的方程相減，得

x+y-3=0,所以兩圓的公共弦所在直線的方程為x+y-3=0.

又因為圓G的圓心為半徑r=3,所以圓G的圓心到直線x+k3=0的距離

4=民譽包=2垃.所以這兩圓的公共弦的弦長為2爐二產(chǎn)=2.（20j=2.

故選：C.

二、填空題

13.圓6：（工一加）2+（），+2）2=9與圓&:（%+1）2+（丁一旭）2=4內(nèi)切，則加的值為.

【答案】-2或T

【解析】圓G的圓心為（機-2）,半徑為4=3,

圓。2的圓心為（-1，用），半徑為弓=2,

所以兩圓的圓心距cl=J（m+l,+（m+2）2,

又因為兩圓內(nèi)切，有Jw+iy+（m+2）2=i,

解得相=-2或加=-1.故答案為：-2或-1.

14.已知平面直角坐標系中，若AB,C是等邊三角形的頂點，且依次按逆時針方

向排列，則點C的坐標是.

【答案”苧，癢;

【解析】如圖，分別以點AS為圓心，八3為半徑作圓，兩圓在第象限的交點即為所求的點C.因

為A(TO),B(1,-D,|^|=^(-1-1)2+1=V5

所以以點A為圓心，A8為半徑的圓的方程為(工+1)2+丁=5；

以點8為圓心，AB為半徑的圓的方程為(XT)?+(>爐=5.

(x+l)2+y2=5Gf-1

聯(lián)立方程0：2/\2，解得了=土里(負舍)，y=^--

(X-1)2+(^+1)2=522

所以點c的坐標是停故答案為：停，石-外

15.已知圓也：(彳一％0)2+()，一%)2=8,點/(—2,4),從坐標原點。向圓M作兩條切線。尸，OQ,切

點分別為尸，Q,若切線0P，。。的斜率分別為&，&，k/=-l,則17Ml的取值范圍為.

【答案】[25/5-4,2>/5+4]

【解析】由題意可知，直線。夕：》=幻，OQ：y=kx，

因為直線。P,。。與圓“相切，

兩邊同時平方整理可得后(8—X)+2K+8-^=0,

后(8-片)+2&題為+8-尤=0,

所以*心是方程公(8-x；)+25%+8-y；=O(AwO)的兩個不相等的實數(shù)根,

所以攵+2=9".又女肉=一1，

8-X。

所以江四=一1，即4+尤=16.又"0|="+16=2'

8-匯

所以|TO|TS7M|S7O|M,

即2石-44|7M|42逐+4.

故答案為：[26-4,2百+4]

16.已知圓的方程為*-2)2+(>-3)2=16,設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和30,

則四邊形ABC。的面積為

【答案】8日

【解析】由圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=16,

得最長的弦為圓的直徑等于2x4=8,

圓心(2,3)與點(3,5)的距離d=w3-2)2+(5-3)2=布,

根據(jù)勾股定理得最短的弦長為m=2而5=2拒，

四邊形A8CO的面積S=g|人CHB￡>|=gx8x2而=8而.

故答案為：8而.

三、解答題

17.已知圓M過點P(2,0),Q(-l,后,且點尸關于直線x+2y=0的對稱點尸仍在圓M上.

(1)求圓”的方程；

(2)設P("V)是圓歷卜任意一點4-2.-2),%-2,6),。(4.一2)求242+「*+/＞仁2的最大值和最小

值.

【解析】(1)因為P關于直線x+2y=0的對稱點尸仍在圓M上，

所以直線“+2y=0經(jīng)過圓心，

設圓心坐標為(-2°,°),

又???圓M過點P(2,0),Q(—1,6),

222

(2+2ay+a=(-l+2a)+(y/3-a),

解得a=0,

???圓心坐標為(0,0),半徑為2,

圓M的方程為d+),2=4；

(2)設P點坐標為(蒼田，則:

t/=E424-PB2+PC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3x2+3y2-4y+68,

?/x2+y2=4,:.JC=4-y2,:.d=12-3y2+3y2-4>'+68=80-4y,

”2邠2,.?.當y=-2,d有最大值88；當尸2,d有最小值72.

18.已知4(20),8(3,3),

(1)求點A到直線8c的距離；

(2)求AABC的外接圓的方程.

【解析】(1)限=3：[1)=:'

由y-l=；G+l)得直線BC的方程為K—2y+3=0.

所以點A到直線BC的距離d=培4=也

VI+4

(2)設外接圓的方程為爐+V+以+4+尸=0,

22+02+2D+0E+F=0[D=-2

由題意，得?32+32+3。+3七+產(chǎn)=0解得?七二一4

(-l)2+l2-D+￡：+F=0F=°

即AABC的外接圓的方程為Y+)尸-2x-4y=0.

19.最近國際局勢波云詭謫，我國在某島(如圖(1))上進行軍事演練，如圖(2),是三個

軍事基地，C為一個軍事要塞.已知tan〃O3=-2Q=20km,C到OA08的距離分別為10km,6\/5km.

圖1圖2

(1)求兩個軍事基地AB的長；

(2)若要塞C正北方向距離要塞20km處有一E城中心正在進行爆破試驗，爆炸波生成小時的半徑

為為大于零的常數(shù))，爆炸波開始生成時，一軍事卡車以6()6km/h的速度自基地A開往基

地8,問實數(shù)。在什么范圍取值時，爆炸波不會波及到卡車的行駛.

【解析】(1)以點0為坐標原點，直線Q4為“軸，建立直角坐標系如圖所示.

由及%>0解得/=io,.,.c(io,io).

直線AC的方程為y=-(x-20),即x+y-20=0,

,[y=-2x,fx=-20

由onn得m即8-20,40),

[x+y-20=0[y=40

AB=，(-20-20『+4()2=4G夜,

即基地A3的長為40人.

(2)設爆炸產(chǎn)生的爆炸波圓E.

由題意可得E(10,30),生成1小時時，卡車在線段AB上的點尸處，則

2

4F=606，0^r<-,.-.F(20-60r,60f).

爆炸波不會波及卡車的通行即七廣〉，對，€[0,g]恒成立.

EF2=(60/一IO)?+(60/—30f>r=內(nèi)，即(601—10『+(60r-30)2>at

當f=0時，上式恒成立，

當，工0時即，。<7200，+拳一4800,令g(r)=7200r+竿一4800jw(0弓，

g(f)=72(H)/+-48(X)>2^7200/^^-4800=240()x/5-48(X),當且僅當7200/=呼,即,二絡時等號

成立，

所以，在0<a<24006-4800時/?<￡F恒成立，亦即爆炸波不會波及卡車的通行.

20.已知直線/:(m+2)x+(l-功力+務〃-2=0與圓C:/-2x+y2=o交于M,N兩點.

(1)求出直線/恒過定點的坐標

(2)求直線/的斜率的取值范圍

(3)若。為坐標原點，直線OMQN的斜率分別為勺,右,試問K+為是否為定值？若是，求出該定

值：若不是，請說明理由.

【解析】(1)將直線/方程整理為："—2y+4),〃+(2x+y_2)=0,

—2y+4=0fY=0

令。°八，解得：'.??直線/恒過定點(0,2)：

[2x+y-2=0[y=2

(2)設直線/斜率為A,由(1)可知：直線/方程可設為：y—2=Mx—0),即6-y+2=0；

圓C方程可整理為(x—1)2+9=],則其圓心c(l,0),半徑r=1,

??,直線/與圓C交于MN兩點，.?.圓心C到直線/距離d<r,

即坨生<1,解得：2<-：,即直線/斜率的取值范圍為f-oo,

我+14I4J

(3)設N(孫力)

當機=7時，/:x=0與圓C僅有一個交點，不合題意，，加工三，

22

則直線，：＞=誓41+2,.■.可設直線/方程為""+2,

由｛；21彳；=0得：(l+*)f+(4"2)x+4=0,由⑵知：%＜-：；

2—軟4

T+W=77F'中2=我,

.k\+k=XI＞二y一+H*二(向+2)4+(代+2)(

X)x2X1X2XjX,

2-軟

=22”2+2(3+電)=2左+“9&-=2攵+1—2攵=1,

'_J_

\+k2

：K+*2為定值1.

21.已知圓C經(jīng)過(-2,3),(4,3),(1,0)三點.

(1)求圓C的方程；

(2)設點4在圓C上運動，點8(7,6),且點M滿足麗=2麗，記點M的軌跡為「.

①求r的方程；

②試探窕：在直線/：y=x上是否存在定點〃異于原點。)，使得對于「上任意一