2024-2025學(xué)年江西省宜春市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江西省宜春市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．3．雙曲線的焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．14．無論為何值，直線過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．5．已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，經(jīng)過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．如圖所示，點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線的左支的交點(diǎn)平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（

）

A．3 B． C． D．7．已知拋物線方程為:，焦點(diǎn)為.圓的方程為，設(shè)為拋物線上的點(diǎn)，為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．98．已知直線與曲線僅有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線，則（

）A．的焦點(diǎn)在軸上 B．的短半軸長為C．的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．的離心率為10．若圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則（

）A．線段AB的垂直平分線的方程為B．線段AB所在直線方程為C．線段AB的長為D．在過A，B兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓11．已知拋物線：過點(diǎn)，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，，分別交于，兩點(diǎn)，則（

）A． B．最小值為4C．準(zhǔn)線的方程為 D．以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)．若為正三角形，則拋物線方程為．14．從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線，且，(1)求的值；(2)直線過點(diǎn)與交于，，求直線的方程.16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線被圓截得弦長為，求實(shí)數(shù)的值.17．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的面積.18．已知拋物線：的焦點(diǎn)為.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線在軸上方一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，求證：直線的斜率為定值．19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程，并說明軌跡的形狀；(2)設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；②當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案1．【正確答案】A【詳解】解：因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則有，解得，所以其傾斜角為．故選：A．2．【正確答案】D【詳解】設(shè)垂直于直線的直線方程為，又直線過點(diǎn)，所以，解得，故所求直線的方程為.故選：D.3．【正確答案】B【詳解】解：由，得，漸近線方程為，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取雙曲線的右焦點(diǎn)m+1,0，一條漸近線方程為，則焦點(diǎn)m+1,0到漸近線的距離為.故選：B.4．【正確答案】A【詳解】由得：，由得∴直線恒過定點(diǎn).故選：A.5．【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓定義求出，根據(jù)邊長確定，進(jìn)而求出，即可求解橢圓離心率.【詳解】由題意結(jié)合橢圓定義可知：的周長為，，又因?yàn)?，所以，又由，知，故，因此橢圓的離心率為.故選：A6．【正確答案】B【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即，整理得，則，雙曲線的漸近線斜率為．故選：B．7．【正確答案】C【詳解】

由拋物線方程為，得到焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)做準(zhǔn)線的垂線，垂足為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)固定不動(dòng)時(shí)，三點(diǎn)共線，即垂直于準(zhǔn)線時(shí)和最小，又因?yàn)樵趫A上運(yùn)動(dòng)，由圓的方程為得圓心，半徑，所以，故選：C.8．【正確答案】C【詳解】由題意得曲線，即，可得；當(dāng)時(shí)得到即；當(dāng)時(shí)得到；由以上可得曲線的如圖中所示，易知直線與雙曲線的一條漸近線平行；把直線向上平移到點(diǎn)時(shí)，即與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)；繼續(xù)向上平移至與半橢圓相切前有3個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)直線與橢圓的上半部分相切時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓的方程代入整理得即或（舍），由圖示可得；綜上可知.故選：C9．【正確答案】BCD【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為.由題意可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得，故其短半軸長為，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)B，C正確.橢圓的離心率，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．10．【正確答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，，圓心，半徑為，，圓心，由對(duì)稱性可知，線段AB的垂直平分線為直線，即，即，A正確；B選項(xiàng)，與相減得，即線段AB的方程為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，線段AB的長為，而圓的直徑為，故在過A，B兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓，D正確.故選：AD11．【正確答案】BCD【詳解】把點(diǎn)代入曲線可得，∴，故A錯(cuò)誤；拋物線的方程為，把代入可得，∴，可知最小值為4，故B正確；準(zhǔn)線的方程為，故C正確；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立可得，，，直線的方程為，同理直線的方程為，令，可得，，則以為直徑的圓的方程為，整理可得，令，可得或，故圓過定點(diǎn)，．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將直線的方程代入拋物線方程可得，，可得，，以點(diǎn)為直徑的圓方程，顯然過兩定點(diǎn)，，選項(xiàng)D正確，故選：BCD．12．【正確答案】【詳解】直線經(jīng)過定點(diǎn)M1,1，如圖所示，則，因?yàn)橹本€與連接兩點(diǎn)的線段相交，所以由圖可知，.故答案為.13．【正確答案】【詳解】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，因?yàn)闉檎切?，所以，因?yàn)閽佄锞€點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以與準(zhǔn)線垂直，，因此有，所以拋物線的方程為，故答案為.14．【正確答案】/【詳解】不妨將點(diǎn)置于第一象限.設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接.分別為的中點(diǎn)，故.又由雙曲線定義得，故.故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，整理得，解得或．?dāng)時(shí)，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，與重合，不滿足題意．綜上，．（2）由（1）得，，所以兩直線之間的距離為，而，所以直線與均垂直，由于，所以，故直線方程為16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，的中點(diǎn)為，且直線的斜率，則線段的垂直平分線所在直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，即圓心，，所以，圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€被曲線截得弦長為，則圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得解得，.所以橢圓C的方程為.（2）由得，，設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則，.所以，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的面積為.

18．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知中拋物線：的焦點(diǎn)為，求出值，可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線、的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出、的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可證明直線的斜率為定值．【詳解】（1）拋物線：的焦點(diǎn)為，，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，由已知設(shè)：，即，代入拋物線的方程得，即，則，故，所以，即，設(shè)：，即，同理可得，則，即直線的斜率，所以直線的斜率為定值．19．【正確答案】(1)答案見詳解(2)①證明見詳解；②存在；【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，其中且.（?。┯煽芍c(diǎn)共線且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，進(jìn)而表示出，結(jié)合（1）化簡計(jì)算即可；由橢圓的定義，由得，，進(jìn)而表示出，化簡計(jì)算即可；（ii）由（ⅰ）可知三點(diǎn)共線，且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，計(jì)算化簡可得，結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．（2）設(shè)點(diǎn)，其中且，（?。┯桑?）可知的方程為，因?yàn)椋?，所以三點(diǎn)共線，且，解法一：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，所以，所以為定值1；解法二：設(shè)，則有，解得，同理，由，解得，所以，所以為定值1；由橢圓定義，得，因?yàn)?，所以，解得，同理可得，所以．因?yàn)椋缘闹荛L為定值．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，軌跡為雙曲線，根據(jù)（?。┑淖C明，同理可得三點(diǎn)共線，且，解法一：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得