山西省2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)合考試數(shù)學檢測試題（附解析）

山西省2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)合考試數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，則（

）A．1 B．2 C． D．04．從和兩個集合中各取一個數(shù)組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被3整除的概率是（

）A． B． C． D．5．圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓，過點的直線交于、兩點，且是的中點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．7．若動圓過定點，且和定圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）8．已知，，若直線上存在點P，使得，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知拋物線的焦點為，直線與在第一象限的交點為，過點作的準線的垂線，垂足為，下列結論正確的是（

）A．直線過點 B．直線的傾斜角為C． D．是等邊三角形10．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．的圖象關于點中心對稱D．在上單調遞增11．若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（

）

A．若，則B．存在點H，使得平面C．線段長度的最小值是D．存在點H，使得三、填空題（本大題共3小題）12．已知單位向量滿足，則與的夾角為.13．如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，則.14．已知橢圓與雙曲線有公共焦點與在第一象限的交點為，且，記的離心率分別為，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知在中，，，，記的外接圓為圓.(1)求圓的標準方程；(2)求過點且與圓相切的直線的方程.16．如圖，長方體的底面是正方形，分別為的中點，.

(1)證明：平面.(2)求二面角的余弦值.17．已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過點且與軸垂直的直線交于兩點，是與的一個公共點，，.(1)求與的標準方程；(2)過點且與相切的直線與交于點，求.18．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面.(1)證明.(2)點在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.19．已知為坐標原點，雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右頂點分別為，圓過點(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與雙曲線的左?右兩支的交點分別為，，連接并延長，交雙曲線于點，記直線與直線的交點為，證明：點在曲線上.

答案1．【正確答案】A【詳解】由題意得，所以.故選：A2．【正確答案】D【詳解】因為，所以，則.故選：D.3．【正確答案】B【詳解】由偶函數(shù)性質得，.故選：B4．【正確答案】D【詳解】組成兩位數(shù)的樣本空間，樣本點總數(shù)為8.能被3整除的數(shù)為24，42，有2個.故所求概率為.故選：D．5．【正確答案】C【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則點.設拋物線的方程為，由點可得，解得，所以.當時，，所以水面寬度為.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】若線段軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設、，由題意可得，，則，兩式相減可得，所以，，解得，因此，直線的斜率為.故選：A.7．【正確答案】D【詳解】定圓的圓心為，與關于原點對稱.設，由兩圓外切可得，所以,所以的軌跡為雙曲線的右支.設的軌跡方程為，則，所以軌跡方程為.故選：D8．【正確答案】B【詳解】設，則，，因為，所以，即，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上.點在直線上，所以直線與圓有公共點，則，解得故選:B.9．【正確答案】ABD【詳解】拋物線的焦點為，而，所以直線過點，故A正確；設直線的傾斜角，因為直線的斜率為，，所以，即直線的傾斜角為，故B正確；因為，故C錯誤；因為點在拋物線上，由拋物線定義可知，，又，所以是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.

10．【正確答案】ABD【詳解】.A：，所以的最小正周期為，故A正確；B：令，得，當時，，所以為函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；C：令，得，當時，，所以為函數(shù)的一個對稱中心，故C錯誤；D：令，得，當時，，即的單調遞增區(qū)間為，而為的真子集，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】ABC【詳解】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點共面，若，則，解得，A正確；對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點H，使得平面，B正確，對于C：，當時，取得最小值，最小值為，C正確.對于D：若，則，得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.故選：ABC12．【正確答案】/【詳解】由，可得，解得，則，又，所以與的夾角為.故13．【正確答案】6【詳解】棱長為的正方體中，連接，則是邊長為的等邊三角形，..故選：14．【正確答案】2【詳解】由題意可知，，所以.因為，所以，即，所以，故2.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）（方法一）直線的方程為，、的中點為，所以線段的中垂線方程為，直線的方程為，、的中點為，線段的中垂線方程為.直線與直線的交點為，即圓的圓心為.點與點的距離為，即圓的半徑為，所以圓的標準方程為.（方法二）設圓的標準方程為，則，解得故圓的標準方程為（2）圓的圓心為，，直線的斜率為，所以切線斜率為，所求切線方程為，整理得.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）

設，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為n=x,y,z則即令，則.證明.因為，所以，平面ACD1，所以平面.（2）易知為平面的一個法向量，且..易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17．【正確答案】(1)的標準方程為，的標準方程為(2)【詳解】（1）記，則拋物線的方程為，其準線方程為.因為，所以，解得，則的標準方程為.不妨設點在第一象限，記，因為，所以，解得.因為，所以，即.由解得所以的標準方程為.（2）不妨設點在第一象限，則.設直線.聯(lián)立得.由，解得，則.設.聯(lián)立得，則，故.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點，連接.因為為等邊三角形，所以.因為為等腰直角三角形，且，所以.因為平面平面，所以平面，所以.（2）因為平面平面，平面平面平面，所以平面.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則.設平面的法向量為n=x,y,z則即令，則，所以.設直線與平面所成的角為，則，當且僅當時，等號成立.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析【