第5章微分方程與差分方程知識(shí)課件

第5章微分方程與差分方程重點(diǎn)：微分方程的解法難點(diǎn)：建立微分方程模型5.1微分方程基礎(chǔ)

5.1.1實(shí)際背景

建立這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下：微分方程初值條件

指數(shù)增長(zhǎng)模型設(shè)人口數(shù)量N(t)的增長(zhǎng)速度與現(xiàn)有人口數(shù)量成正比,求N(t).(P247)設(shè)開(kāi)始時(shí)人口數(shù)量為N0,年增長(zhǎng)率為r,建立這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下：微分方程初值條件

5.1.2基本概念

定義凡含有自變量、未知函數(shù)及其微商(或微分)的方程,稱(chēng)為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱(chēng)為常微分方程,否則稱(chēng)為偏微分方程.本書(shū)只討論常微分方程，以后所說(shuō)的微分方程都是指常微分方程.

微分方程中未知函數(shù)微商的最高階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階.微分方程的解

微分方程的解是指能使微分方程成為恒等式的已知函數(shù).

微分方程的通解：含有

n

個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)的解,其中

n

是微分方程的階數(shù).初值條件：確定通解中

n

個(gè)任意常數(shù)的條件.微分方程的特解：滿(mǎn)足初值條件的解.5.2一階微分方程

5.2.1可分離變量的微分方程形如dydx=

h(x)g(y)的微分方程稱(chēng)為可分離變量的微分方程.5.2.2齊次(微分)方程

12ln(u2

+

1)

+

arctanu

=

lnx

+

lnC12ln(u2x2

+

x2)

+

arctanu

=

lnC練習(xí)

求初值問(wèn)題

y'

=

+

,y(1)

=

2的解.xyyx5.2.3一階線(xiàn)性微分方程微分方程.解法：先求解相應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程分離變量,得兩邊積分后,得由此得常數(shù)變易法由此解出一階線(xiàn)性微分方程的求解技巧

這種方法的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需記公式，而且比公式法的計(jì)算量小.練習(xí)解下列微分方程可化為一階線(xiàn)性微分方程分析這種類(lèi)型微分方程的特點(diǎn)是,其中有一個(gè)變量是一次的.令

x

=

C(y)

y

代入(*)得原方程的通解為x=y3/2+Cy.貝努利方程(P259-260)5.2.4微分方程的應(yīng)用(連續(xù)模型)

微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用是十分廣泛的.如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為微分方程模型？大多數(shù)情況下所研究的變量是隨時(shí)間而變化的,建立微分方程模型的關(guān)鍵,是要弄清楚該變量的變化率(微商)與該變量之間的關(guān)系.在求解微分方程時(shí),要注意其初值條件.求解得到結(jié)果時(shí)，一般要解釋結(jié)果的實(shí)際意義.例如指數(shù)增長(zhǎng)模型比較適用于短期預(yù)測(cè),而不太適用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè),因?yàn)楫?dāng)時(shí)間變量趨于無(wú)窮大時(shí)，所研究的變量趨于無(wú)窮大,這與實(shí)際是不相符的.阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)這就是非常著名的

Logistic

增長(zhǎng)模型(即阻滯增長(zhǎng)模型).阻滯增長(zhǎng)模型用途十分廣泛,除了用于預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)外,也可完全類(lèi)似地用于蟲(chóng)口增長(zhǎng)、疾病的傳播、謠言的傳播、技術(shù)革新的推廣、銷(xiāo)售預(yù)測(cè)等.藥物總量模型這類(lèi)模型研究在一個(gè)容器內(nèi)物質(zhì)總量隨時(shí)間而變化的情況,目標(biāo)是測(cè)定某一時(shí)刻物質(zhì)在容器內(nèi)的總量.依據(jù)是物質(zhì)總量的變化率等于物質(zhì)進(jìn)入容器的速率減去物質(zhì)離開(kāi)容器的速率.(P262)5.3二階微分方程

5.3.1可降階的二階方程代入原方程,然后求解一階微分方程可降階的二階方程⑴解得C(

x)

=

2x2

+

C,從而

p

=

2x

+

C/x.可降階的二階方程⑵積分得

arctany

=

x

+

C,由

y(1)

=

0得y

=

tan(x

1)5.3.2二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程

線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程⑴

二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程⑵

代入(*)得為了簡(jiǎn)便,取

u

=

x,則是(*)的通解.二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程⑶

二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的通解

練習(xí)

解下列方程⑴y''

2y'

3y

=

0⑵y''

+

2y'

+

y

=

0⑶y''

+

2y'

+

5y

=

0二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的特解形式

5.4差分方程

5.4.1差分方程基礎(chǔ)5.4.2一階常系數(shù)線(xiàn)性差分方程

形如5.4.3二階常數(shù)線(xiàn)性差分方程

二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性差分方程

5.4.4差分方程的應(yīng)用(離散模型)

令yn

=

0得離散阻滯增長(zhǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型穩(wěn)定的蛛網(wǎng)模型fgOpqp0q0q1p11q22p23q34p35q46不穩(wěn)定的蛛網(wǎng)模型fgOpqp0q0q1p112q23p24q3p356q4第5章重要概念與公式通解,特解,初值條件,線(xiàn)性微(差)分方程一階微分方程的解法可分離變量的微分方程齊次微分方程一