2025屆江蘇省如東縣高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)期初測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省如東縣2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)期初測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題提供的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解出和，再求交集得到.故選：C.2.已知，則“”的充要條件是（）A.a，b都不為1 B.a，b不都為1 C.a，b不都為0 D.【答案】A【解析】且，即都不為1，故選：A3.函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，先求定義域，即且，即.函數(shù)式子兩邊平方，即.當(dāng)，由二次函數(shù)性質(zhì)知道的值域?yàn)?則的范圍為.開(kāi)方得的值域?yàn)?故選：D.4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則a的取值范圍是是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是R上的增函數(shù)，則要滿(mǎn)足：，解得.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：D.6.已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】①,,為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，②，①+②得，①-②得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為，故選：B.7.已知直角的面積是10，CD是其斜邊AB上的高．將沿CD折起，使得二面角是直二面角，則三棱錐的外接球的表面積的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記，則，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由直角三角形性質(zhì)可知，在圖2中，因?yàn)?，二面角是直二面角，所以，所以可將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，記外接球半徑為，則因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以三棱錐的外接球的表面積的最小值.故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，若，則k的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?；則.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?；則.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?；則，則，則k的最小值是4.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?不妨取,所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所以，D正確.故選：ABD.10.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（）A.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】對(duì)A：由題知，各側(cè)面均為邊長(zhǎng)為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對(duì)B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對(duì)D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：令，得，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)A正確；令，得，因?yàn)?，所以；令，得，所以，選項(xiàng)B：所以，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：，顯然不為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，顯然單調(diào)遞增，要證明，即證，而；構(gòu)造函數(shù)，得，顯然當(dāng)時(shí)，f'x<0，所以，即，即選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．12.若存在滿(mǎn)足，則a取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意得，令，因?yàn)榕c在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)fx在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為.13.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算：設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】0,2【解析】當(dāng)時(shí),,則，令,，則,對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)所以，此時(shí)當(dāng)時(shí),,則，令，則,對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以,此時(shí)；終上所述，.故答案為：0,2.14.已知，，記集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖.由可得，因，解得，即，由可得，即,因，結(jié)合圖象，可得：，消去可得，，因，即得，，解得.四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知，函數(shù)．（1）若是奇函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求c的取值范圍．解：（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且為奇函?shù)，所以，即．此時(shí)，的定義域?yàn)?，且，為奇函?shù)，所以．（2）因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，則，解得．令，得．因?yàn)楹瘮?shù)與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的負(fù)根，所以，解得．所以，所以的取值范圍為．16.在直四棱柱中，，，，，．（1）求證：平面；（2）若為直角三角形，求四棱柱的體積．（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，故平面．在四棱柱中，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)?，平面，故平面平面，平面，所以平面．?）解：設(shè)四棱柱的高為h，在直四棱柱中，平面，平面，所以，同理可得，．因?yàn)椋?，，，，所以，．因?yàn)?，所以，．在直四棱柱中，，，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以．因?yàn)?，為直角三角形，所以或，解得．因?yàn)樗睦庵牡酌娣e為，所以四棱柱的體積為．17.某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)時(shí)，比較與的大?。唬?）當(dāng)時(shí)，求；（3）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間上的值域．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以．（2）依題可知，右邊圖形最后一個(gè)小矩形的面積為，所以．當(dāng)時(shí)，，解得．此時(shí)．（3）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以在區(qū)間的最小值為0.02．又因?yàn)?，，所以在區(qū)間上的值域是．18.如圖，已知多面體，，，均垂直于平面ABC，，，，．（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以．因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，所以，所以．同理可得：．又，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．?）取AC中點(diǎn)O，過(guò)O作平面ABC垂線(xiàn)OD，交于D．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以，．以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OD所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，．令可得．．設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則．所以直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）若，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若，證明：．（1）解：．因?yàn)?，所以，所以．所以函?shù)在處的切線(xiàn)方程為．（2）解：設(shè)，則．因?yàn)?，所以單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以使得，所以在上，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以不合題意．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以使得，所以在上，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以不合題意．綜上可知：．（3）證明：設(shè)，則．因?yàn)?，易知單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即．江蘇省如東縣2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)期初測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題提供的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解出和，再求交集得到.故選：C.2.已知，則“”的充要條件是（）A.a，b都不為1 B.a，b不都為1 C.a，b不都為0 D.【答案】A【解析】且，即都不為1，故選：A3.函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，先求定義域，即且，即.函數(shù)式子兩邊平方，即.當(dāng)，由二次函數(shù)性質(zhì)知道的值域?yàn)?則的范圍為.開(kāi)方得的值域?yàn)?故選：D.4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則a的取值范圍是是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是R上的增函數(shù)，則要滿(mǎn)足：，解得.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：D.6.已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】①,,為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，②，①+②得，①-②得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為，故選：B.7.已知直角的面積是10，CD是其斜邊AB上的高．將沿CD折起，使得二面角是直二面角，則三棱錐的外接球的表面積的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記，則，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由直角三角形性質(zhì)可知，在圖2中，因?yàn)?，二面角是直二面角，所以，所以可將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，記外接球半徑為，則因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以三棱錐的外接球的表面積的最小值.故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，若，則k的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?；則.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?；則.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的值域?yàn)?；則，則，則k的最小值是4.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋訠正確；對(duì)于C，因?yàn)?不妨取,所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所以，D正確.故選：ABD.10.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（）A.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】對(duì)A：由題知，各側(cè)面均為邊長(zhǎng)為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對(duì)B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對(duì)D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：令，得，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)A正確；令，得，因?yàn)?，所以；令，得，所以，選項(xiàng)B：所以，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：，顯然不為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，顯然單調(diào)遞增，要證明，即證，而；構(gòu)造函數(shù)，得，顯然當(dāng)時(shí)，f'x<0，所以，即，即選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．12.若存在滿(mǎn)足，則a取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意得，令，因?yàn)榕c在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)fx在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為.13.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算：設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】0,2【解析】當(dāng)時(shí),,則，令,，則,對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)所以，此時(shí)當(dāng)時(shí),,則，令，則,對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以,此時(shí)；終上所述，.故答案為：0,2.14.已知，，記集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖.由可得，因，解得，即，由可得，即,因，結(jié)合圖象，可得：，消去可得，，因，即得，，解得.四、解答題：本大題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知，函數(shù)．（1）若是奇函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求c的取值范圍．解：（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且為奇函?shù)，所以，即．此時(shí)，的定義域?yàn)?，且，為奇函?shù)，所以．（2）因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，則，解得．令，得．因?yàn)楹瘮?shù)與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的負(fù)根，所以，解得．所以，所以的取值范圍為．16.在直四棱柱中，，，，，．（1）求證：平面；（2）若為直角三角形，求四棱柱的體積．（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，故平面．在四棱柱中，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)?，平面，故平面平面，平面，所以平面．?）解：設(shè)四棱柱的高為h，在直四棱柱中，平面，平面，所以，同理可得，．因?yàn)?，，，，，所以，．因?yàn)?，所以，．在直四棱柱中，，，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以．因?yàn)?，為直角三角形，所以或，解得．因?yàn)樗睦庵牡酌娣e為，所以四棱柱的體積為．17.某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以