【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版選修2-2導學案：《變化的快慢與變化率》

第1課時變化的快慢與變化率1.通過實例,明白變化率在實際生活中的應(yīng)用,探究和體驗平均變化率的實際意義和數(shù)學意義.2.理解函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的概念,體會靠近的思想和用靠近的思想思考問題的方法.借助多媒體播放2022年倫敦奧運會中國跳水運動員陳若琳奪得女子單人10米跳臺冠軍的視頻.我們知道運動員的平均速度(平均變化率)不肯定能夠反映她在某一時刻的運動狀態(tài),而運動員在不同時刻的運動狀態(tài)是不同的,我們需要借助于瞬時速度這樣的量來刻畫,那么我們?nèi)绾尾拍芮蟪鲞\動員在某一時刻的瞬時速度呢?問題1:依據(jù)以上情境,設(shè)陳若琳相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,假如用她在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運動狀態(tài),那么:(1)在0≤t≤0.5這段時間里,運動員的平均速度v-=(2)在1≤t≤2這段時間里,運動員的平均速度v-=問題2:函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率公式是.假如用x1與增量Δx表示,平均變化率的公式是.

問題3:如何求函數(shù)的瞬時變化率?對一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中,若設(shè)Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是ΔyΔx=f而當Δx趨于0時,平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率,瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在一點處變化的快慢.問題4:平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系是什么?(1)區(qū)分:平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數(shù)值在點x0處變化的快慢.(2)聯(lián)系:當Δx趨于0時,平均變化率ΔyΔx趨于一個常數(shù),這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率1.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,3]上的平均變化率是().A.4 B.2 C.14 D.2.在曲線y=x2+2的圖像上取一點(1,3)及四周一點(1+Δx,3+Δy),則ΔyΔx等于(A.Δx+1Δx+2 B.Δx-1Δx-2 C.Δx+2 D.23.函數(shù)f(x)=x+1x在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為4.嬰兒從誕生到第24個月的體重變化如圖,求其次年嬰兒體重的月平均變化率.平均變化率已知函數(shù)f(x)=2x2+3x-5.(1)求當x1=4且Δx=1時,函數(shù)增量Δy和平均變化率Δy(2)求當x1=4且Δx=0.1時,函數(shù)增量Δy和平均變化率Δy瞬時變化率一輛汽車按規(guī)律s=3t2+1做直線運動,估量汽車在t=3s時的瞬時速度.(時間單位:s;位移單位:m)變化率的意義圓的面積S隨著半徑r的變化而變化.試分析圓的面積隨半徑r增大而增大的快慢狀況.已知函數(shù)f(x)=x2+x,計算f(x)在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率,并求當x0=2,Δx=0.1時平均變化率的值.求函數(shù)f(x)=-x2+3x在x=2處的瞬時變化率.求函數(shù)y=x2在x=1,2,3四周的平均變化率,取Δx的值為13,哪一點四周的平均變化率最大1.一物體的運動方程是s=3+t2,則在一小段時間[2,2.1]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為().A.0.41 B.3 C.4 D.4.12.函數(shù)y=2x2-x在x=2四周的平均變化率是().A.7 B.7+Δx C.7+2Δx D.7+2(Δx)23.一質(zhì)點按規(guī)律s(t)=2t3運動,則t=1時的瞬時速度為.

4.求函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[1e2,1e若一物體運動方程如下:s=3t2+2(t≥3),29+3(t(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度;(2)物體的初速度v0;(3)物體在t=1時的瞬時速度.考題變式(我來改編):

答案其次章變化率與導數(shù)第1課時變化的快慢與變化率學問體系梳理問題1:(1)h(0.5)-h(0)0.5-問題2:f(x問題3:f基礎(chǔ)學習溝通1.Bf(3)-f(-2.CΔyΔx=(1+Δx)3.12f(2)-f4.解:由圖可知,其次年嬰兒體重的平均變化率為14.25-11.2524-12=312即其次年嬰兒體重的月平均變化率為0.25(千克/月).重點難點探究探究一:【解析】f(x)=2x2+3x-5,∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2x12+3x1-=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.(1)當x1=4,Δx=1時,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,ΔyΔx=21(2)當x1=4,Δx=0.1時,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=1.92,ΔyΔx=1.92【小結(jié)】求平均變化率的主要步驟:(1)先計算函數(shù)值的轉(zhuǎn)變量Δy=f(x2)-f(x1);(2)再計算自變量的轉(zhuǎn)變量Δx=x2-x1;(3)得平均變化率ΔyΔx探究二:【解析】當時間從3變到3+Δt時,v-=s(3+Δt)-s當Δt趨于0時,v-趨于常數(shù)18∴這輛汽車在t=3s時的瞬時速度為18m/s.【小結(jié)】要求瞬時速度可先求平均速度,Δt趨于0,則平均速度趨于瞬時速度,理解求法中的靠近思想.探究三:【解析】圓的面積S隨著半徑r的平均變化率為ΔSΔr=π(r+Δr由ΔSΔr=2πr+πΔr可知瞬時變化率2πr(很有意思,這竟是圓的周長!)隨半徑增大而增大【小結(jié)】變化率是反映變化快慢的一個數(shù)學量,可以通過求變化率來看變化的快慢狀況.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:函數(shù)f(x)=x2+x在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為f(x=(2x0+1)Δx+(當x0=2,Δx=0.1時,函數(shù)f(x)=x2+x在區(qū)間[2,2.1]上的平均變化率為2×2+1+0.1=5.1.應(yīng)用二:∵ΔyΔ=-(=-(Δx)2-∴當Δx趨于0時,ΔyΔx趨于即函數(shù)f(x)在x=2處的瞬時變化率為-1.應(yīng)用三:在x=1四周的平均變化率為k1=f(1+Δx)-f(1在x=2四周的平均變化率為k2=f(2+Δx)-f(2在x=3四周的平均變化率為k3=f(3+Δx)-f(若Δx=13,則k1=2+13=k2=4+13=133,k3=6+13由于k1<k2<k3,所以在x=3四周的平均變化率最大.基礎(chǔ)智能檢測1.Dv-=s(2.1)-s2.C所求的平均變化率為2(2+Δx)2-(3.6ΔsΔt=2(1+Δt)3-2×13Δt=6+6Δ4.解:函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[1e2,1e]上的平均變化率為f(1e)-f(1e2)全新視角拓展解:(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時間變化量為Δt=5-3=2,物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為Δs=3×52+2-(3×32+2)=48,∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為ΔsΔt=482=24(2)求物體的初速度v0即求物體在t=0時的瞬時速度.∵物體在t=0四周的平均變化率為ΔsΔ=29+3[(0+Δt)-∴當Δt趨于0時,ΔsΔt趨