【名師一號】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修2雙基限時練14

雙基限時練(十四)一、選擇題1．圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓柱的全面積為()A．6π B．4πC．2π D．4解析由題可知，r＝1，l＝2，∴S全＝2πrl＋2πr2＝6π.答案A2．一個圓錐的高為10，側(cè)面開放圖為半圓，則圓錐的側(cè)面積為()A．200π B.eq\f(200,3)C.eq\f(200,3)π D．200解析設(shè)圓錐的底面半徑為x，則側(cè)面母線長為eq\r(x2＋102)，又側(cè)面開放圖為半圓，∴2πx＝πeq\r(x2＋102)，得x＝eq\f(10\r(3),3).∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×eq\f(10\r(3),3)×eq\r(\f(100,3)＋102)＝eq\f(200,3)π.即圓錐的側(cè)面積為eq\f(200,3)π.答案C3．若圓臺的高為3，一個底面半徑是另一個底面半徑的2倍，其軸截面的一個底角為45°，則這個圓臺的側(cè)面積是()A．27π B．27eq\r(2)πC．9eq\r(2)π D．36eq\r(2)π解析如圖可知，2r2＝2r1＋6＝4r1，∴r1＝3，r2＝6.S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l＝π(6＋3)×3eq\r(2)＝27eq\r(2)π.答案B4．一個幾何體的三視圖中，主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是等腰直角三角形(如圖)，依據(jù)圖中標準的長度，可以計算出該幾何體的表面積是()A．12＋4eq\r(2) B．8＋4eq\r(2)C．2＋8eq\r(2) D．6＋4eq\r(2)解析由三視圖可知，該幾何體為直三棱柱，其中底面為等腰直角三角形，直角邊長為2，高為2，S表＝2×eq\f(1,2)×2×2＋(2＋2＋2eq\r(2))×2＝12＋4eq\r(2)，故選A.答案A5．正四棱臺兩底面面積分別為4cm2,64cm3eq\r(7)cm，則棱臺的高為()A．6eq\r(5)cm B．12cmC．6cm D．3eq\r(5)cm解析由題可知，棱臺上、下底面邊長分別為2,8，由側(cè)棱長為3eq\r(7)知，高h＝eq\r(3\r(7)2－4\r(2)－\r(2)2)＝eq\r(63－18)＝3eq\r(5)(cm)，故選D.答案D6．一個棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的表面積(單位：cm2)為()A．48＋12eq\r(2) B．48＋24eq\r(2)C．36＋12eq\r(2) D．36＋24eq\r(2)解析由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角三角形且頂點在底面上的射影為斜邊的中點的三棱錐，如圖，SE＝5，SD＝4，AC＝6eq\r(2)，AB＝BC＝6，∴S表＝S△ABC＋2S△SAB＋S△ASC＝eq\f(1,2)×6×6＋2×eq\f(1,2)×5×6＋eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＝48＋12eq\r(2).答案A二、填空題7．若一個底面是正三角形的三棱柱的主視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于________．解析由圖可知，此三棱柱的底面是一個邊長為2的正三角形，此三棱柱的高為1，則此三棱柱的側(cè)面積為2×1×3＝6.答案68．某個幾何體的三視圖是兩個邊長為2cm的菱形和一個直徑為2解析由三視圖可知，該幾何體為兩個共底的圓錐，其中底面圓的半徑為1，母線長為2，則該幾何體的表面積S表＝2πrl＝2π×1×2＝4π.答案4π9．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積為________．解析由題可知，該幾何體為圓柱、圓錐的組合體，S表＝πa2＋2πa·2a＋πa·eq\r(2)a＝5πa2＋eq\r(2)πa2＝(5＋eq\r(2))πa2.答案(5＋eq\r(2))πa2三、解答題10．已知一個圓臺的軸截面的面積為F，母線與底面的夾角是30°，求圓臺的側(cè)面積．解如圖是圓臺的軸截面，設(shè)AO1＝r，BO＝R，BE＝R－r，AE＝eq\f(\r(3),3)(R－r)，AB＝eq\f(2\r(3),3)(R－r)，由題意，得F＝(R＋r)eq\f(\r(3),3)(R－r)＝eq\f(\r(3),3)(R2－r2)．∴R2－r2＝eq\r(3)F.∴S圓臺側(cè)＝π(R＋r)·eq\f(2\r(3),3)(R－r)＝eq\f(2\r(3),3)π(R2－r2)＝2πF.11.如圖，在三棱錐S—ABC中，SA⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，SB＝2eq\r(3).求三棱錐S—ABC的表面積．解∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥面SAC，∴SC⊥BC.∴四個面都是直角三角形．∵∠ABC＝30°，AC＝1，∴在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，在Rt△SCB中，SC＝eq\r(SB2－BC2)＝3，在Rt△SAB中，SA＝eq\r(SB2－AB2)＝2eq\r(2).∴S△SBC＝eq\f(1,2)SC·BC＝eq\f(3\r(3),2)，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(\r(3),2)，S△SAB＝eq\f(1,2)SA·AB＝2eq\r(2)，S△SAC＝eq\f(1,2)SA·AC＝eq\r(2).∴三棱錐的表面積S表＝S△ABC＋S△SBC＋S△SAB＋S△SAC＝2eq\r(3)＋3eq\r(2).12．已知，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積．解圓錐的高h＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，設(shè)圓柱的底面半徑為r，由eq\f(r,2)＝eq\f(h－\r(3),h)，得圓柱的底面半徑r＝1，所以S表面＝2S底面＋S側(cè)面＝2π＋2π×eq\r(3)＝2(1＋eq\r(3))π.思維探究13．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1(1)求證：AC⊥B1C(2)求證：AC1∥平面CDB1；(3)求這個三棱柱的表面積．解(1)證明：∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，AC⊥BC，∵CC1⊥AC，CC1∩BC＝C，∴AC⊥面BB