【2021高考復習參考】高三數學(理)配套黃金練習：10-6

第十章10.6第6課時高考數學（理）黃金配套練習一、選擇題1．如圖為一半徑為2的扇形(其中扇形中心角為90°)，在其內部隨機地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為()A.eq\f(2,π)B.eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)D．1－eq\f(2,π)答案D解析S扇形＝eq\f(1,4)πR2＝π，S△＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S陰影＝S扇形－S△＝π－2.由幾何概型概率公式得黃豆落在陰影部分的概率P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).2．在集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}內任取一個元素，能使不等式eq\f(x,5)＋eq\f(y,2)－1≤0成立的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案A解析集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐標系中表示的區(qū)域是一個由直線x＝0，x＝5，y＝0，y＝4所圍成的長為5、寬為4的矩形，而不等式eq\f(x,5)＋eq\f(y,2)－1≤0和集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示區(qū)域的公共部分是以5為底、2為高的一個直角三角形，由幾何概型公式可以求得概率為eq\f(\f(1,2)×5×2,5×4)＝eq\f(1,4).3.如右圖，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成的如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內隨機投一點(該點落在矩形OABC內任何一點是等可能)，則所投的點落在陰影部分的概率是()A.eq\f(1,π)B.eq\f(2,π)C.eq\f(3,π)D.eq\f(π,4)答案A解析S矩形OABC＝2π，S陰影＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2，由幾何概型概率公式得P＝eq\f(2,2π)＝eq\f(1,π).4．已知函數f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，記函數f(x)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)≤12,f(－2)≤4))為大事A，則大事A發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,8)答案C解析由題意知，大事A所對應的線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤b≤4,0≤c≤4,4＋2b＋c≤12,4－2b＋c≤14))，其對應的可行域如圖中陰影部分所示，所以大事A的概率P(A)＝eq\f(S△OAD,S正方形OABC)＝eq\f(1,2)，選C.5．已知實數a滿足－3<a<4，函數f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域為R的概率為P1，定義域為R的概率為P2，則()A．P1>P2B．P1＝P2C．P1<P2D．P1與P2的大小不確定答案C解析若f(x)的值域為R，則Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.故P1＝eq\f(－2－(－3),4－(－3))＋eq\f(4－2,4－(－3))＝eq\f(3,7).若f(x)的定義域為R，則Δ2＝a2－4<0，得－2<a<2故P2＝eq\f(4,7).∴P1<P2.二、填空題6．函數f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點x0使f(x0)≤0的概率為________．答案0.3解析如圖，在[－5,5]上函數的圖象與x軸交于兩點(－1,0)，(2,0)，而x0∈[－1,2]，那么f(x0)≤0.所以P＝eq\f(區(qū)間[－1，2]的長度,區(qū)間[－5，5]的長度)＝eq\f(3,10)＝0.3.7．在區(qū)間(0,2)內任取兩數m，n(m≠n)，則橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1的離心率大于eq\f(\r(3),2)的概率為________．答案eq\f(1,2)解析如圖，m，n的取值在邊長為2的正方形中．當m>n時，橢圓離心率e＝eq\f(\r(m2－n2),m)＝eq\r(1－(\f(n,m))2)，由e>eq\f(\r(3),2)，得m>2n.同理，當m<n時，n>2m.故滿足條件的m，n為圖中陰影部分．所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×1,22)＝eq\f(1,2).8．已知關于x的一元二次函數f(x)＝ax2－4bx＋1.其中實數a、b滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0，,b>0，))則函數y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數的概率是________．答案eq\f(1,3)分析這個概率就是函數y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數時點(a，b)在已知區(qū)域中所占有的面積和已知區(qū)域的面積之比．解析函數f(x)＝ax2－4bx＋1在[1，＋∞)單調遞增的充要條件是eq\f(2b,a)≤1，即b≤eq\f(a,2).作出平面區(qū)域如圖所示，問題等價于向區(qū)域OAB中任意擲點，點落在區(qū)域OAC(其中點C的坐標是(eq\f(16,3)，eq\f(8,3)))中的概率，這個概率值是eq\f(\f(1,2)×\f(8,3)×8,\f(1,2)×8×8)＝eq\f(1,3).9．已知菱形ABCD的邊長為2，∠A＝30°，則該菱形內的點到菱形的頂點A，B的距離均不小于1的概率是________．解析如圖所示，只有當點位于圖中的空白區(qū)域時，其到A，B的距離才均不小于1，菱形的面積為2×2×sin30°＝2，兩個陰影部分的扇形面積之和恰好是一個半徑為1的半圓，其面積為eq\f(π,2)，故空白區(qū)域的面積為2－eq\f(π,2)，所求的概率是eq\f(2－\f(π,2),2)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).10．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內任取一點P，則點P到點A的距離小于等于a的概率為________解析滿足條件的點在半徑為a的eq\f(1,8)球內，所以所求概率為p＝eq\f(\f(1,8)×\f(4,3)πa3,a3)＝eq\f(π,6).11．利用計算機在區(qū)間(0,1)上產生兩個隨機數a和b，則方程x＝－2a－eq\f(ab,x)有實根的概率為________．答案eq\f(1,4)解析方程x＝－2a－eq\f(ab,x)即x2＋2ax＋ab＝0若方程有實根，則有Δ＝4a2－4ab≥0，即b≤a，其所求概率可轉化為幾何概率，如圖，其概率等于陰影面積與正方形面積之比．∴P＝eq\f(1,2).12．周長為定值的扇形OAB，當其面積最大時，向其內任意擲一點，則點落在△OAB內的概率是__________．答案eq\f(1,2)sin2解析設扇形周長為m，半徑為r，則弧長l＝m－2r，扇形的面積是eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r(m－2r)≤eq\f(1,4)·(eq\f(2r＋m－2r,2))2＝eq\f(m2,16)，當且僅當r＝eq\f(m,4)時等號成立，此時扇形的弧長為eq\f(m,2)，故此時扇形的圓心角為eq\f(l,r)＝2弧度，點落在△OAB內的概率是eq\f(\f(1,2)r2sin2,\f(1,2)×2×r2)＝eq\f(1,2)sin2.三、解答題13．甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時?？績伤逸喆拇a頭，它們在一晝夜內任何時刻到達是等可能的．(1)假如甲船和乙船的?？康臅r間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；(2)假如甲船的停靠時間為4小時，乙船的停靠時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率．解析(1)設甲、乙兩船到達時間分別為x、y，則0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24,y－x<4或y－x<－4))設“兩船無需等待碼頭空出”為大事A，則P(A)＝eq\f(2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(25,36).(2)當甲船的?？繒r間為4小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y>2或y－x>4，設在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為大事B，畫出區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24，,y－x>4或x－y>2)).P(B)＝eq\f(\f(1,2)×20×20＋\f(1,2)×22×22,24×24)＝eq\f(442,576)＝eq\f(221,288).14．已知關于x的一元二次函數f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數的概率；(2)設點(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))內隨機點，求函數y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數的概率．解析(1)∵函數f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝eq\f(2b,a)要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數，當且僅當a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.若a＝1，則b＝－1，若a＝2，則b＝－1,1，若a＝3，則b＝－1,1∴大事包含基本大事的個數是1＋2＋2＝5.∴所求大事的概率為eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)由(1)知當且僅當2b≤a且a>0時，函數f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數，依條件事知試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(a，b)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0))}構成所求大事的區(qū)域為三角形部分．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0，,b＝\f(a,2)，))得交點坐標為(eq\f(16,3)，eq\f(8,3))．∴所求大事的概率為P＝eq\f(\f(1,2)×8×\f(8,3),\f(1,2)×8×8)＝eq\f(1,3).15．已知復數z＝x＋yi(x，y∈R)在復平面上對應的點為M.(1)設集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機抽取一個數作為x，從集合Q中隨機抽取一個數作為y，求復數z為純虛數的概率；(2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面區(qū)域內的概率．解析(1)記“復數z為純虛數”為大事A.∵組成復數z的全部狀況共有12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，.－2＋2i,0，i,2i，且每種狀況毀滅的可能性相等，屬于古典概型，其中大事A包含的基本大事共2個：i,2i，∴所求大事的概率為P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)依條件可知，點M均勻地分布在平面區(qū)域{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,0≤y≤4))}內，屬于幾何概型．該平面區(qū)域的圖形為右圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12.而所求大事構成的平面區(qū)域為{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))}，其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分)．又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點分別為A(3,0)、D(0，eq\f(3,2))，∴三角形OAD的面積為S1＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,4).∴所求大事的概率為P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(\f(9,4),12)＝eq\f(3,16).老師備選題1．平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3cm，把一枚半徑為1cm的硬幣任意平擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析如圖所示，這是長度型幾何概型問題，當硬幣中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為P＝eq\f(1,3).2．將長為l的棒隨機折成3段，求3段構成的三角形的概率．解析設A＝“3段構成三角形”x，y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為l－x－y.則