【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1學(xué)案：《雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)》

第8課時(shí)雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)1.了解雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì),并能利用這些簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程.2.進(jìn)一步把握待定系數(shù)法的解題方法.3.進(jìn)一步理解并把握代數(shù)學(xué)問在解析幾何運(yùn)算中的作用,提高解方程組和計(jì)算的力量,能利用雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),解決與雙曲線有關(guān)的實(shí)際問題,提高分析問題與解決問題的力量.如圖,某工廠有一雙曲線型自然通風(fēng)塔,其外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,已知該塔最小半徑為12米,下口半徑為25米,下口半徑到最小圓面距離為45米,整個(gè)通風(fēng)塔高為55米,問在建筑過程中,上口半徑應(yīng)當(dāng)建多少米?問題1:通過閱讀教材,完成下表標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1(y2a2-x2b2=1(圖形范圍

焦點(diǎn)

頂點(diǎn)

焦距|F1F2|=2c(a2+b2=c2)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)|A1A2|=2a,虛軸長(zhǎng)|B1B2|=2b對(duì)稱性

漸近線

離心率

問題2:試比較橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)的異同①橢圓與雙曲線的離心率都為.橢圓的離心率e∈,雙曲線的離心率e∈;

②橢圓中長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于短軸長(zhǎng),即;雙曲線中,虛軸長(zhǎng)2b和實(shí)軸長(zhǎng)2a大小關(guān)系;

③焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸,中心為原點(diǎn)時(shí),橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)形式全都,即或.在橢圓中,c2=a2-b2,在雙曲線中,c2=a2+b2;

④雙曲線漸近線,橢圓漸近線.

問題3:雙曲線的離心率對(duì)雙曲線外形的影響①用a,b表示雙曲線的離心率為e=.

②雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個(gè)重要數(shù)據(jù).由于ba=,當(dāng)e的值漸漸時(shí),ba的值就漸漸增大,這時(shí)雙曲線的外形就從“扁狹”漸漸變得“開闊”,問題4:實(shí)軸和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫作雙曲線,它的漸近線方程為y=,離心率e=.

1.雙曲線2x2-y2=8的實(shí)軸長(zhǎng)是().A.2 B.22 C.4 D.422.雙曲線的漸近線為y=±34x,則雙曲線的離心率是()A.54 B.2 C.54或53 D.3.雙曲線x216-y29=4.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,焦距為2c,左頂點(diǎn)為A,虛軸的上端點(diǎn)為B(0,b),若BA·BF雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程.依據(jù)雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程依據(jù)下列條件,求雙曲線方程:(1)與雙曲線x29-y216=1有共同的漸近線,且過點(diǎn)(-3(2)與雙曲線x216-y24=1有公共焦點(diǎn),且過點(diǎn)(32利用直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的值已知雙曲線方程x2-y24=1,過點(diǎn)P(1,1)的斜率為k的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),求k求雙曲線9y2-4x2=36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程.依據(jù)下列條件,分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦距為10,漸近線方程為y=±12x(2)過點(diǎn)P(3,-2),離心率為52當(dāng)k取什么值時(shí),直線y=kx-1與雙曲線4x2-9y2=36僅有一個(gè)公共點(diǎn).1.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為4A.y=±3x B.y=±33x C.y=±3x D.y=±22.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列,則雙曲線的離心率A.2 B.3 C.54 D.3.若雙曲線的漸近線方程為y=±3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)為(10,0),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

4.求雙曲線x2-y24=1(2021年·湖北卷)已知0<θ<π4,則雙曲線C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1與C2A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等考題變式(我來改編):第8課時(shí)雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)學(xué)問體系梳理問題1:|x|≥a,y∈R|y|≥a,x∈RF1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱xa±yb=0xb±ya=0問題2:①e=ca(0,1)(1,+∞)②2a>2b③(±c,0)(0,±c)④有無問題3:①ca=a2+b2a問題4:等軸±x2基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.C雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y28=12.C①焦點(diǎn)在x軸上:ba=34,e=ca②焦點(diǎn)在y軸上:ab=34,e=ca3.54∵實(shí)半軸長(zhǎng)a=4,虛半軸長(zhǎng)b=3,則半焦距c=a2+b2=16+9=5,∴離心率4.解:由條件知F(c,0),A(-a,0),∴BA=(-a,-b),BF=(c,-b),∵BA·BF=3ac,∴-ac+b2=3ac,又b2=c2-a2,∴c2-a2-4ac=0,∵e>1,∴e=ca=2+5重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】將原方程轉(zhuǎn)化為x29-y24=1,所以a=3,b=2因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(-3,0),A2(3,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-13,0),F2(13,0),實(shí)軸長(zhǎng)是2a=6,虛軸長(zhǎng)是2b=4,離心率e=ca=133,漸近線方程為y=±【小結(jié)】該方程并非標(biāo)準(zhǔn)形式,首先化成標(biāo)準(zhǔn)形式后,再爭(zhēng)辯解決問題.已知雙曲線的方程求其幾何性質(zhì)時(shí),若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,確定方程中a,b的對(duì)應(yīng)值,利用c2=a2+b2得到c,然后確定雙曲線的焦點(diǎn)位置,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).探究二:【解析】(1)(法一)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y由題意,得b解得a2=94,b2=4,所以雙曲線的方程為x294-(法二)設(shè)所求雙曲線方程為x29-y216=λ(將點(diǎn)(-3,23)代入得λ=14故所求雙曲線方程為x29-y2(2)(法一)設(shè)所求雙曲線方程為x2a2-y2b2=1∵雙曲線過點(diǎn)(32,2),∴(32)2a又∵a2+b2=(25)2,∴a2=12,b2=8,故所求雙曲線方程為x212-y2(法二)設(shè)所求雙曲線方程為x216-k-y24+k=1,將點(diǎn)(32故所求雙曲線方程為x212-y2【小結(jié)】若已知雙曲線的漸近線方程為ax±by=0,可設(shè)雙曲線方程為a2x2-b2y2=λ.探究三:【解析】設(shè)l的方程:y=k(x-1)+1代入雙曲線方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,∵Δ=0,∴k=52[問題]上述解法考慮全面嗎?是不是忽視了直線與雙曲線的特殊位置關(guān)系?[結(jié)論]上述解法不全面,忽視了當(dāng)4-k2=0,即k=±2時(shí),l與雙曲線漸近線平行,l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).于是,正確解答為:把y=k(x-1)+1代入雙曲線方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,當(dāng)4-k2=0,即k=±2時(shí),l與雙曲線的漸近線平行,l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)4-k2≠0,k≠±2時(shí),由Δ=0,得k=52綜合上述,k=52或k=±2【小結(jié)】本題以雙曲線為載體,主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.突出考查了雙曲線的幾何性質(zhì).在推斷直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí),把直線和雙曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于x的方程后,留意考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0(為0時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),重合時(shí)無交點(diǎn)).思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:把方程9y2-4x2=36化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)24-x2∴a=2,b=3,c=13,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-13),(0,13),實(shí)軸長(zhǎng)是2a=4,虛軸長(zhǎng)是2b=6,離心率e=ca=13漸近線方程y=±23應(yīng)用二:(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0得ba=1又∵2c=10,∴c=5,∴a2+b2=c2=25,∴a2=20,b2=5,故所求雙曲線的方程為x220-y2同理可求得焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線的方程為y25-x2綜上,所求雙曲線的方程為x220-y25=1或y2(2)依題意,雙曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,分別爭(zhēng)辯如下:若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(由e=52,得c2a2=由點(diǎn)P(3,-2)在雙曲線上,得9a2-2b2=由①②得a2=1,b2=14,所以雙曲線方程為x2-y21若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1(同理有c2a2=54,2a2-9b2=1解之得b2=-172(不合題意,舍去),故雙曲線的焦點(diǎn)只能在x軸上,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y21應(yīng)用三:將y=kx-1代入4x2-9y2=36,整理得(4-9k2)x2+18kx-45=0.當(dāng)4-9k2=0,即k=±23時(shí),直線與雙曲線的漸近線平行,只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)4-9k2≠0,即k≠±23時(shí),Δ=(18k)2-4(4-9k2)·(-45)=0,即k=±53,直線與雙曲線相切,綜上所述,當(dāng)k=±23或k=±53時(shí),基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C由題意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b=c2-a2=3.又雙曲線的漸近線方程是y=±bax,即y=±2.D依據(jù)題意,得2a+2c=2×2b,所以a2+2ac+c2=4(c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=53或e=-1(舍)3.x2-y29=1焦點(diǎn)為(10,0),漸近線方程為y=±3∴ba=3∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21-y29=1,即x2-4.解:把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x212-y222=1,由此可知實(shí)半軸長(zhǎng)a=1,虛半軸長(zhǎng)b=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0),(1,0),c=a2+b2=12+22=5,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-5,0),