【高考解碼】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新課標(biāo))-空間幾何體的三視圖、表面積與體積

第11講空間幾何體的三視圖、表面積與體積1．(2022·江西高考)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()【解析】由三視圖的學(xué)問得B正確．【答案】B2．(2022·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．72cm3B．90cm3C．108cm3D．138cm3【解析】由題中三視圖知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)三棱柱組成，體積V＝3×4×6＋eq\f(1,2)×3×4×3＝90(cm3)，故選B.【答案】B3．(2022·陜西高考)將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4πB．3πC．2πD．π【解析】∵圓柱側(cè)面開放圖為矩形，底面圓半徑為1，S側(cè)＝2πr·l＝2π×1×1＝2π，故選C.【答案】C4．(2022·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．54B．60C．66D．72【解析】S表＝S底＋S上＋S左＋S前＋前＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×3×5＋5×3＋eq\f(1,2)×(2＋5)×4＋eq\f(1,2)×(2＋5)×5＝60.【答案】B5．(2022·全國大綱高考)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)【解析】易知SO′＝4O′D＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22)＝eq\r(2)設(shè)球的半徑為R，則(4－R)2＋eq\r(2)2＝R2∴R＝eq\f(9,4)，∴S球＝4πR2＝eq\f(81π,4).【答案】A從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點(diǎn)考向?yàn)椋?．空間幾何體的三視圖及確定應(yīng)用①此類問題多為考查三視圖的還原問題，且常與空間幾何體的表面積、體積等問題結(jié)合，主要考查同學(xué)的空間想象力量，是每年的必考內(nèi)容之一．②試題多以選擇題的形式消滅，屬基礎(chǔ)題．2．計(jì)算空間幾何體的表面積與體積①該考向主要以三視圖為載體，通常是給出某幾何風(fēng)光積或體積，作為新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容，日益成為了高考中新的增加點(diǎn)和亮點(diǎn)．主要考查同學(xué)的計(jì)算力量和空間想象力量及識(shí)圖力量．②試題多以選擇題、填空題為主，多屬于中檔題．3．多面體與球的切、接問題①該考向命題背景寬，以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐與球的內(nèi)切、外接的形式消滅，也是高考中的一大熱點(diǎn)．主要考查同學(xué)的空間想象力量和計(jì)算力量．②試題多以選擇題、填空題的形式消滅，屬于中檔題.eq\a\vs4\al(空間幾何體的三視圖及應(yīng)用)【例1】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱(2)(2022·湖北高考)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，一個(gè)四周體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)圖，則該四周體的正視圖和俯視圖分別為()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【解析】(1)直觀圖為：(2)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中作出棱長(zhǎng)為2的正方體，在該正方體中作出四周體，如圖所示，由圖可知，該四周體的正視圖為④，俯視圖為②.【答案】(1)B(2)D【規(guī)律方法】識(shí)與畫三視圖的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)要牢記三視圖的觀看方向和長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系．三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廊線的正投影圍成的平面圖形，反映了一個(gè)幾何體各個(gè)側(cè)面的特點(diǎn)．正視圖反映物體的主要外形特征，是三視圖中最重要的視圖；俯視圖要和正視圖對(duì)正，畫在正視圖的正下方；側(cè)視圖要畫在正視圖的正右方，高度要與正視圖平齊．(2)要生疏各種基本幾何體的三視圖．[創(chuàng)新猜測(cè)]1．(1)(2022·武漢調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()(2)(2022·昆明調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形．若該幾何體的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系0xyz中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，則第五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為()A．(1,1,1)B．(1,1，eq\r(2))C．(1,1，eq\r(3))D．(2,2，eq\r(3))【解析】(1)由已知得選項(xiàng)A、B、C與俯視圖不符，故選D.(2)由于正視圖和側(cè)視圖是等邊三角形，俯視圖是正方形，所以該幾何體是正四棱錐，還原幾何體并結(jié)合其中四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為S(1,1，z)，正視圖為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，故其高為eq\r(4－1)＝eq\r(3)，又正四棱錐的高與正視圖的高相等，故z＝±eq\r(3)，故第五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為(1,1，eq\r(3))．【答案】(1)D(2)Ceq\a\vs4\al(空間幾何體的表面積與體積)【例2】(1)(2022·山東高考)一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．(2)(2022·天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.(3)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A．21＋eq\r(3)B．18＋eq\r(3)C．21D．18【解析】(1)設(shè)棱錐的高為h，∵V＝2eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)×S底·h＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×22×h＝2eq\r(3).∴h＝1，由勾股定理知：側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(22＋1)＝eq\r(5).∵六棱錐六個(gè)側(cè)面全等，且側(cè)面三角形的高為eq\r(\r(5)2－12)＝2，∴S側(cè)＝eq\f(1,2)×2×2×6＝12.(2)由幾何體的三視圖知，該幾何體由兩部分組成，一部分是底面半徑為1m，高為4m的圓柱，另一部分是底面半徑為2m，高為2m的圓錐．∴V＝V柱＋V錐＝π×12×4＋eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(20π,3)(m3)．(3)依據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，依據(jù)直觀圖特征求其表面積．由幾何體的三視圖如題圖可知，則幾何體的直觀圖如圖所示．因此該幾何體的表面積為6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)))＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).故選A.【答案】(1)12(2)eq\f(20π,3)(3)A【規(guī)律方法】1.求解幾何體的表面積及體積的技巧：(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．(2)求不規(guī)章幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)章幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)章幾何體以易于求解．2．依據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟：(1)依據(jù)給出的三視圖推斷該幾何體的外形．(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量．(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解．[創(chuàng)新猜測(cè)]2．(1)(2022·全國新課標(biāo)Ⅰ高考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()A．6eq\r(2)B．4eq\r(2)C．6D．4(2)(2022·遼寧高考)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8－eq\f(π,4)B．8－eq\f(π,2)C．8－πD．8－2π【解析】(1)還原為直觀圖放在正方體中如圖所示三棱錐D－ABC.AB＝BC＝4，AC＝4eq\r(2)，DB＝DC＝2eq\r(5)，DA＝eq\r(4\r(2)2＋4)＝6.故最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為6.故選C.(2)該幾何體是一個(gè)正方體截去兩個(gè)四分之一圓柱形成的組合體，其體積V＝23－eq\f(1,2)×2π＝8－π，故選C.【答案】(1)C(2)Ceq\a\vs4\al(多面體與球的切、接問題)【例3】(1)(2022·陜西高考)已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A.eq\f(32π,3)B．4πC．2πD.eq\f(4π,3)(2)(2022·湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)連接AC，BD相交于O1，連接A1C1，B1D1，相交于O2并連接O1O2，則線段O1O2的中點(diǎn)為球心．∴半徑R＝|OB|＝eq\r(|OO1|2＋|O1B|2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，故選D.(2)由題意知，幾何體為三棱柱，設(shè)最大球的半徑為R.∴2R＝(6＋8)－10＝4，∴R＝2.【答案】(1)D(2)B【規(guī)律方法】多面體與球接、切問題的求解策略：(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何學(xué)問查找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，則4R2＝a2＋b2＋c2求解．[創(chuàng)新猜測(cè)]3．(1)(2021·遼寧高考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)(2)(2021·全國課標(biāo)Ⅱ高考)已知正四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(3\r(2),2)，底面邊長(zhǎng)為eq\r(3)，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為________．【解析】(1)依據(jù)球的內(nèi)接三棱柱的性質(zhì)求解．由于直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對(duì)角線長(zhǎng)即為球直徑，所以2R＝eq\r(122＋52)＝13，即R＝eq\f(13,2).(2)本題先求出正四棱錐的高h(yuǎn)，然后求出側(cè)棱的長(zhǎng)，再運(yùn)用球的表面積公式求解．V四棱錐O-ABCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)h＝eq\f(3\r(2),2)，得h＝eq\f(3\r(2),2)，∴OA2＝h2＋(eq\f(AC,2))2＝eq\f(18,4)＋eq\f(6,4)＝6.∴S球＝4πOA2＝24π.【答案】(1)C(2)24π[總結(jié)提升]通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，需把握如下三點(diǎn)：失分盲點(diǎn)1．(1)臺(tái)體的構(gòu)成：臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但肯定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行．(2)三視圖的不唯一性：空間幾何體的不同放置位置對(duì)三視圖會(huì)有影響．(3)三視圖輪廓線的虛實(shí)：正確確定三視圖的輪廓線，可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不行見輪廓線為虛線．(4)元素與位置的變與不變：幾何體的開放與折疊問題，精確?????確定前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系及元素與位置之間的變化與穩(wěn)定．2．(1)球的外切四棱錐與內(nèi)接四棱錐是不一樣的，兩者不能混淆．(2)球的體積公式與錐體的體積公式的系數(shù)不一樣，兩者不能混淆．答題指導(dǎo)1．(1)看到三視圖，想到幾何體的直觀圖．(2)看到三棱錐的體積，想到定底定高．(3)看到求幾何體的表面積、體積，想到幾何體的表面積、體積公式．2．(1)看到球的表面積、體積問題，想到球的表面積、體積公式．(2)看到球的組合體問題，想到查找一個(gè)合適的軸截面．(3)看到球的截面，想到球的截面性質(zhì)．方法規(guī)律1．(1)畫三視圖的規(guī)章：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．(2)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．(3)幾何體體積：留意割補(bǔ)法(將不規(guī)章的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)章的幾何體求解)．(4)幾何體表面上最短距離問題：經(jīng)常利用幾何體的表面開放圖解決．2．(1)球的直徑：球的直徑等于它的內(nèi)接正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，等于它的外切正方體的棱長(zhǎng)．(2)與球有關(guān)的接切問題：要留意球心的位置以及球