【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2021年高考數(shù)學(xué)(四川專用-理)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破：第8篇-第1講-直線與方程

第1講直線與方程[最新考綱]1．在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素．2．理解直線的傾斜角和斜率的概念，把握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．3．把握確定直線位置的幾何要素，把握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.知識梳理知識梳理1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；②規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0；③范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π)．(2)直線的斜率①定義：當(dāng)直線l的傾斜角α≠eq\f(π,2)時，其傾斜角α的正切值tanα叫做這條斜線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)全部直線3.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．辨析感悟1．對直線的傾斜角與斜率的理解(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(×)(2)過點(diǎn)M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直線的傾斜角是45°.(×)(3)(教材習(xí)題改編)若三點(diǎn)A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共線，則a的值為－2.(√)2．對直線的方程的生疏(4)經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(×)(5)經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)(6)直線l過點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為x＋y－3＝0.(×)[感悟·提升]1．直線的傾斜角與斜率的關(guān)系斜率k是一個實(shí)數(shù)，當(dāng)傾斜角α≠90°時，k＝tanα.直線都有斜傾角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為90°的直線無斜率，如(1)．2．三個防范一是依據(jù)斜率求傾斜角，要留意傾斜角的范圍，如(2)；二是求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應(yīng)對斜率存在與不存在加以爭辯，如(4)；三是在用截距式時，應(yīng)先推斷截距是否為0，若不確定，則需分類爭辯，如(6).

考點(diǎn)一直線的傾斜角和斜率【例1】(1)直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是()．A．[0，π) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))(2)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為 ()．A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3) C．－eq\f(3,2) D.eq\f(2,3)解析(1)設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π.故選B.(2)依題意，設(shè)點(diǎn)P(a,1)，Q(7，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得a＝－5，b＝－3，從而可知直線l的斜率為eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).答案(1)B(2)B規(guī)律方法直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此依據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種狀況爭辯．由正切函數(shù)圖象可以看出當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝eq\f(π,2)時，斜率不存在；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，斜率k∈(－∞，0)．【訓(xùn)練1】經(jīng)過P(0，－1)作直線l，若直線l與連接A(1，－2)，B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的傾斜角α的范圍．解法一如圖所示，kPA＝eq\f(－2－－1,1－0)＝－1，kPB＝eq\f(1－－1,2－0)＝1，由圖可觀看出：直線l傾斜角α的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).法二由題意知，直線l存在斜率．設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＋1＝kx，即kx－y－1＝0.∵A，B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上．∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1.∴直線l的傾斜角α的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).考點(diǎn)二求直線的方程【例2】求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)過點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－eq\f(1,4). (3)過點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且 |AB|＝5.解(1)法一設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l過點(diǎn)(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0，設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－eq\f(2,k)，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－eq\f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq\f(2,3)，∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝eq\f(2,3)(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－eq\f(1,4)×3＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)過點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時|AB|＝5，即x＝1為所求．設(shè)過A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝kx－1，))得兩直線交點(diǎn)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋7,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2).))(k≠－2，否則與已知直線平行)則B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).由已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)－1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2＝52，解得k＝－eq\f(3,4)，∴y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.規(guī)律方法在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并留意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時，直線的斜率必需存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時，若接受截距式，應(yīng)留意分類爭辯，推斷截距是否為零；若接受點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的狀況．【訓(xùn)練2】△ABC的三個頂點(diǎn)為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程．解(1)由于直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.(2)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝eq\f(2－2,2)＝0，y＝eq\f(1＋3,2)＝2.BC邊的中線AD過A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2，由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用【例3】已知直線l過點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如右圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時直線l的方程．審題路線依據(jù)截距式設(shè)所求直線l的方程?把點(diǎn)P代入，找出截距的關(guān)系式?運(yùn)用基本不等式求S△ABO?運(yùn)用取等號的條件求出截距?得出直線l的方程．解設(shè)A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，則直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵l過點(diǎn)P(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1.∴1＝eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(6,ab))，即ab≥24.∴S△ABO＝eq\f(1,2)ab≥12.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,a)＝eq\f(2,b)，即a＝6，b＝4.△ABO的面積最小，最小值為12.此時直線l的方程為：eq\f(x,6)＋eq\f(y,4)＝1.即2x＋3y－12＝0.規(guī)律方法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的某函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決；(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)學(xué)問(如方程解的個數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決．【訓(xùn)練3】在例3的條件下，求直線l在兩軸上的截距之和最小時直線l的方程．解設(shè)l的斜率為k(k＜0)，則l的方程為y＝k(x－3)＋2，令x＝0，得B(0,2－3k)，令y＝0，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,k)，0))，∴l(xiāng)在兩軸上的截距之和為2－3k＋3－eq\f(2,k)＝5＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)))))≥5＋2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)k＝－eq\f(\r(6),3)時，等號成立．∴k＝－eq\f(\r(6),3)時，l在兩軸上截距之和最小，此時l的方程為eq\r(6)x＋3y－3eq\r(6)－6＝0.

1．求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不行分割，牢記：“斜率變化分兩段，90°是分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需爭辯”．2．求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法．思想方法9——分類爭辯思想在求直線方程中的應(yīng)用【典例】在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程．解(1)當(dāng)k＝0時，此時A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程為y＝eq\f(1,2).(2)當(dāng)k≠0時，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G(a,1)．所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有kAG·k＝－1，eq\f(1,a)k＝－1?a＝－k.故G點(diǎn)坐標(biāo)為G(－k,1)，從而折痕所在的直線與AG的交點(diǎn)坐標(biāo)(線段AG的中點(diǎn))為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，\f(1,2))).折痕所在的直線方程為y－eq\f(1,2)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))，即y＝kx＋eq\f(k2,2)＋eq\f(1,2).∴k＝0時，y＝eq\f(1,2)；k≠0時，y＝kx＋eq\f(k2,2)＋eq\f(1,2).[反思感悟](1)求直線方程時，要考慮對斜率是否存在、截距相等時是否為零以及相關(guān)位置關(guān)系進(jìn)行分類爭辯．(2)本題需對斜率k為0和不為0進(jìn)行分類爭辯，易錯點(diǎn)是忽視斜率不存在的狀況．【自主體驗(yàn)】1．若直線過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))且被圓x2＋y2＝25截得的弦長是8，則該直線的方程為 ()． A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－eq\f(3,2) C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0解析若直線的斜率不存在，則該直線的方程為x＝－3，代入圓的方程解得y＝±4，故該直線被圓截得的弦長為8，滿足條件；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為y＋eq\f(3,2)＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－eq\f(3,2)＝0，由于該直線被圓截得的弦長為8，故半弦長為4.又圓的半徑為5，則圓心(0,0)到直線的距離為eq\r(52－42)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(3,4)，此時該直線的方程為3x＋4y＋15＝0.答案D2．已知兩點(diǎn)A(－1,2)，B(m,3)，則直線AB的方程為________．解析當(dāng)m＝－1時，直線AB的方程為x＝－1，當(dāng)m≠－1時，直線AB的方程為y－2＝eq\f(1,m＋1)(x＋1)，即y＝eq\f(1,m＋1)x＋eq\f(1,m＋1)＋2.答案x＝－1或y＝eq\f(1,m＋1)x＋eq\f(1,m＋1)＋2基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．直線eq\r(3)x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角為()．A．30°B．60°C．150°D．120°解析直線的斜率為k＝tanα＝eq\r(3)，又由于α∈[0，π)，所以α＝60°.答案B2．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,5)，且斜率為－eq\f(3,4).則直線l的方程為()．A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0解析由點(diǎn)斜式，得y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.答案A3．若直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在xA．1B．2C．－eq\f(1,2)D．2或－eq\f(1,2)解析由題意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－eq\f(3,2)，在x軸上截距為eq\f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或－eq\f(1,2).答案D4．(2022·佛山調(diào)研)直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、其次、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足()．A．a(chǎn)b>0，bc<0B．a(chǎn)b>0，bc>0C．a(chǎn)b<0，bc>0D．a(chǎn)b<0，bc<0解析由題意，令x＝0，y＝－eq\f(c,b)>0；令y＝0，x＝－eq\f(c,a)>0.即bc<0，ac<0，從而ab＞0.答案A5．(2022·鄭州模擬)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))C．(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))D．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析設(shè)直線的斜率為k，如圖，過定點(diǎn)A的直線經(jīng)過點(diǎn)B時，直線l在x軸上的截距為3，此時k＝－1；過定點(diǎn)A的直線經(jīng)過點(diǎn)C時，直線l在x軸的截距為－3，此時k＝eq\f(1,2)，滿足條件的直線l的斜率范圍是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).答案D二、填空題6．(2022·長春模擬)若點(diǎn)A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為________．解析∵kAC＝eq\f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq\f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a－3＝1，即a＝4.答案47．(2022·溫州模擬)直線3x－4y＋k＝0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則實(shí)數(shù)k＝________.解析令x＝0，得y＝eq\f(k,4)；令y＝0，得x＝－eq\f(k,3).則有eq\f(k,4)－eq\f(k,3)＝2，所以k＝－24.答案－248．一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(－2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________．解析設(shè)所求直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵A(－2,2)在直線上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1.①又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,ab＝2))或(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,ab＝－2.))由(1)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))方程組(2)無解．故所求的直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程．答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0三、解答題9．(2022·臨沂月考)設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過其次象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時，該直線在x軸和y軸上的截距為0，當(dāng)然相等．∴a＝2，方程即為3x＋y＝0.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，由截距存在且均不為0，得eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.綜上，l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＞0，,a－2≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，,a－2≤0.))∴a≤－1.綜上可知a的取值范圍是(－∞，－1]．10．已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，是否存在使△ABO面積最小的直線l？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．解存在．理由如下：設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)，△AOB的面積S＝eq\f(1,2)(1－2k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)(4＋4)＝4.當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)時，等號成立，故直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.力量提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1．(2022·北京海淀一模)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝eq\r(3)，則直線AB的方程為()．A．y＝eq\r(3)x＋eq\r(3)或y＝－eq\r(3)x－eq\r(3)B．y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)C．y＝x＋1或y＝－x－1D．y＝eq\r(2)x＋eq\r(2)或y＝－eq\r(2)x－eq\r(2)解析|AB|＝eq\r(cosα＋12＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(3)，所以cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝±eq\f(\r(3),2)，所以kAB＝±eq\f(\r(3),3)，即直線AB的方程為y＝±eq\f(\r(3),3)(x＋1)，所以直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3).答案B2．若直線l：y＝kx－eq\r(3)與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1