【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修3雙基限時(shí)練21

雙基限時(shí)練(二十一)1．下列關(guān)于幾何概型的說法錯(cuò)誤的是()A．幾何概型也是古典概型中的一種B．幾何概型中大事發(fā)生的概率與位置、外形無關(guān)C．幾何概型中每一個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性D．幾何概型在一次試驗(yàn)中能消滅的結(jié)果有無限個(gè)解析幾何概型與古典概型是兩種不同的概型．答案A2．下列概率模型：①在區(qū)間[－10,10]中任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；②從區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到確定值不大于1的數(shù)的概率；③從區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個(gè)整數(shù)，求取到大于1且小于5的整數(shù)的概率；④向一個(gè)邊長為4cm的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)P，求點(diǎn)P離中心不超過1cm的概率．其中，是幾何概型的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析①是．由于區(qū)間[－10,10]有無限多個(gè)點(diǎn)，取到1這個(gè)數(shù)的概率為0.②是．由于在[－10,10]和[－1,1]上有無限多個(gè)點(diǎn)可取，且在這兩個(gè)區(qū)間上每個(gè)數(shù)取到的可能性相同．③不是．由于[－10,10]上的整數(shù)只有21個(gè)，不滿足無限性．④是．由于在邊長為4cm的正方形和半徑為1cm的圓內(nèi)均有很多多個(gè)點(diǎn)，且每個(gè)點(diǎn)被投中的可能性相同．答案C3．如圖所示，在一個(gè)邊長為a，b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形上下底分別為eq\f(1,3)a與eq\f(1,2)a，高為b，向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,12) D.eq\f(7,12)解析由幾何概型知，所求的概率為梯形面積與矩形面積之比，即eq\f(\f(\f(1,3)a＋\f(1,2)a,2)×b,ab)＝eq\f(5ab,12ab)＝eq\f(5,12).答案C4．設(shè)A為圓周上肯定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，求弦長超過半徑的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析如圖所示，在⊙O上取點(diǎn)B，C，使AB＝AC＝OA，則當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧eq\x\to(BC)上時(shí)，弦AP>OA.由幾何概型知，所求概率為eq\f(360°－120°,360°)＝eq\f(2,3).答案D5．已知實(shí)數(shù)x，y可以在0<x<2,0<y<2的條件下隨機(jī)取數(shù)，那么取出的數(shù)對滿足x2＋(y－1)2<1的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(π,16) D.eq\f(π,2)解析如圖所示，x，y的取值在正方形OABD內(nèi)，適合條件的x，y在以(0,1)為圓心，半徑為1的半圓內(nèi)．因此由幾何概型，得P＝eq\f(\f(1,2)×π×12,2×2)＝eq\f(π,8).答案B6．在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析依據(jù)題意求出矩形面積為20cm2時(shí)的各邊長，再求概率．設(shè)AC＝x，則BC＝12－x，∴x(12－x)＝20，解得x＝2，或x＝10，故所求的概率為P＝eq\f(12－2－2,12)＝eq\f(2,3).答案C7．設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)解析如圖所示，由幾何概型概率公式得，所求的概率為P＝eq\f(4－\f(1,4)×π×22,2×2)＝1－eq\f(π,4).答案D8．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)解析設(shè)OA＝OB＝2R，連接AB，如圖所示，由圖形的對稱可得，陰影面積S陰影＝eq\f(1,4)π(2R)2－eq\f(1,2)×(2R)2＝(π－2)R2，S扇形＝eq\f(1,4)π(2R)2＝πR2.故所求的概率是P＝eq\f(π－2R2,πR2)＝1－eq\f(2,π).答案A9．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，在圖形上隨機(jī)扔一粒黃豆，則黃豆落在圓內(nèi)(陰影部分)的概率是________．解析由幾何概型得，P＝eq\f(S圓,S矩形)＝eq\f(π×12,3×2)＝eq\f(π,6).答案eq\f(π,6)10．在1000mL水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3mL水樣放到顯微鏡下觀看，則發(fā)覺草履蟲的概率是________________.解析由幾何概型知，P＝eq\f(3,1000).答案eq\f(3,1000)11．假設(shè)你在如圖所示的圖形上隨機(jī)扔一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率是________．解析設(shè)圓的半徑為r，則陰影部分的面積為eq\f(1,2)×2r×r＝r2，圓的面積為πr2，因此所求概率為P＝eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).答案eq\f(1,π)12．如圖，平面上一長12cm，寬10cm的矩形ABCD內(nèi)有一半徑為1cm的圓O(圓心O在矩形對角線交點(diǎn)處)．把一枚半徑為1cm的硬幣任意擲在矩形內(nèi)(硬幣完全落在矩形內(nèi))，則硬幣不與圓O相碰的概率為________．解析由題意可知，只有硬幣中心投在陰影部分時(shí)才符合要求．所以不與圓相碰的概率P＝eq\f(8×10－π×22,8×10)＝1－eq\f(π,20).答案1－eq\f(π,20)13．已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25.(1)圓C的圓心到直線l的距離為________．(2)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為________．解析(1)圓心(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(|－25|,\r(42＋32))＝5.(2)如圖，作l′∥l，且O到l′的距離為3，OE⊥l′于E，sin∠ODE＝eq\f(3,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ODE＝60°，從而∠BOD＝60°，因此點(diǎn)A在eq\x\to(BD)上時(shí)，滿足題意，故所求的概率為P＝eq\f(1,6).答案(1)5(2)eq\f(1,6)14．一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，觀察下列三種狀況的概率各是多少？(1)紅燈；(2)黃燈；(3)不是紅燈．解由于綠燈、紅燈、黃燈不停地交