中考高頻壓軸題突破-二次函數(shù)與角度

中考高頻壓軸題突破一二次函數(shù)與角度

1.如圖，頂點為（/?>0）的二次函數(shù)圖象與X軸交于點4（2/幾0）,點8在該

圖象上，直線08交二次函數(shù)圖象對稱軸/于點/，點歷、N關(guān)于點P對稱，連接RV、

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式（用含，〃的式子表示）.

（2）若點B在對稱軸/右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動，請解答下列問題：

①連接0P，當(dāng)=時，請判斷.NCE的形狀，并說明理由.

②求證：/BNM=/ONM.

2.如圖1,已知拋物線y=f-1與x軸交于A,8兩點，與y軸交于點Q.

（1）求直線8。的解析式；

（2）尸為拋物線上一點，當(dāng)點P到直線B。的距離為2a時，求點P的坐標(biāo)：

（3）如圖2,直線>=/交拋物線與M,N兩點,C為拋物線上一-點，當(dāng)NMC7V=9O。時,

請?zhí)骄奎cC到MN的距離是否為定值.

圖1圖2

3.已知，點4133），點4（4,3）和拋物線y=泊將拋物線y=[/沿著），軸方

向平移經(jīng)過點，畫出平移后的拋物線如圖所示.

(1)平移后的拋物線是否經(jīng)過點8(4,3)?說明你的理由；

(2)在平移后的拋物線上且位于直線A8下方的圖像上是否存在點/),使S%H=7?若

存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)在平移后的拋物線上有點M，過點M作直線尸-2的垂線，垂足為N,連接

OM、ON,當(dāng)NMON=60。時，求點M的坐標(biāo).

4.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，拋物線y=x2+bx+c(cvO)的頂點為A,

且與y軸的交點為B.過點B作區(qū)軸交拋物線于點G-4.-4),在CB延長線上取點

D,使BD=LBC,連接OC,OD,AC和AD.

2

試卷第2頁，共10頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)試判斷四邊形ADOC的形狀，并說明理由；

(3)試探究在拋物線上是否存在點P,使得/尸0。=45。.若存在，請求出符合條件的

點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P從原點0出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長的

速度運(yùn)動秒，拋物線y=Y+〃x+c經(jīng)過點O和點P.已知矩形ABCD的三個頂

點為八(1,0)、4(1,5)、￡>(4,0).

(1)求c、b(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)嘉琪認(rèn)為：“當(dāng)這條拋物線經(jīng)過點B時，一定不會經(jīng)過點C”請你通過計算說明他

的說法對嗎？

(3)當(dāng)4</<5時，設(shè)岫物線分別與線段AB、CD交于點M、N.

①在點P的運(yùn)動過程中，你認(rèn)為NAMP的大小是否會變化？若變化，說明理由：若不

變，求出/AMP的值；②在矩形ABCD的內(nèi)部(不含動界)，把橫、縱華標(biāo)都是整數(shù)

的點稱為“好點:若拋物線將這些“好點”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出t的取值

范圍.

6.如圖1,直線/：y=r+2與)，軸相交于點A,拋物線。：y=(x-l)2+”也經(jīng)過點4,

其頂點為B.將該拋物線沿直線/平移使頂點8落在直線/上的點。處，點。的橫坐標(biāo)

為〃

（1）求點8坐標(biāo);

（2）求平移后的拋物線人的解析式（用含〃的式子表示）；

（3）若平移后的拋物線人與原拋物線。相交于點C,且點C的橫坐標(biāo)為a.

①請求出。關(guān)于〃的函數(shù)關(guān)系式；

②如圖2,連接47、CD,若/ACD=90。，求a的值.

7.如圖，拋物線yuad+Zx+cSVO）與X軸交于點A和點8（點A在原點的左側(cè)，點B

在原點的右側(cè)），與）'軸交于點C,OB=OC=3.

（I）求該拋物線的函數(shù)解析式.

（2）如圖1,連接8C,點。是直線6c上力拋物線.匕的點，連接OO,CD.OD交于

點廣，當(dāng)sCOF：SCDF=3:2時，求點。的坐標(biāo).

⑶如圖2,點E的坐標(biāo)為（0,-g）,點"是拋物線上的點，連接EBPB,莊形成,的△P8E

中，是否存在點P,使4PBE或4EB等于2/0BE?若存在,請直接寫出符合條件的

點戶的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

8.如圖，已知拋物線丁="2+〃x+c分別交x軸于點D、E,交y軸于點A,點D在x

釉負(fù)半軸上，點E在x軸正半軸上.

試卷第4頁，共10頁

(1)如圖①，連接入。，若點A為拋物線頂點，c=，&/AZX)=60。，求拋物線的解析

點B恰好在拋物線上，求線段。8的最小值.

9.如圖.拋物線y=飯交x軸于AB兩點.其中點A坐標(biāo)為(1,0),與N軸交于

點C(0,-3).

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖①，連接4C.點。在拋物線上，且滿足NQ4B=2NACO.求點。的坐標(biāo):

（3）如圖②，點。為x軸卜方拋物線上任意一點，點。是拋物線對稱軸與x軸的交點.

直線4Q，BQ分別交拋物線的對稱軸于點M,N,求DM+DN的值.

10.如圖，拋物線），=加+公+?*0）與x軸交于點4（-2,0）和點8,與y軸交于點C,對

（I）求拋物線的解析式；

（2）①點M是x軸上方拋物線上一點，且橫坐標(biāo)為機(jī)，過點M作腸V_Lx軸，垂足為點

N.線段MN上有點，（點，與點M,N不重合），且NH84+NM48=90°,求"N的長；

②在①的條件下，若MH=2NH,直接寫出，〃的值；

試卷第6頁，共10頁

⑶在(2)的條件下，設(shè)4=廿更，直接寫出d關(guān)于，〃的函數(shù)解析式，并寫出加的取值

范圍.

11.已知二次函數(shù)y=ax2-2x+3經(jīng)過點A(-3,0),P是拋物線上的一個動點.

(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖所示，點P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個動點，且點P的橫坐標(biāo)為I,連接

AC,PA,PC.求△ACP的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△ACP的面積最大時點

P的坐標(biāo).

(3)連接BC,在拋物線上是否存在點P,使得NPCA=NOCB?若存在，求出點P的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

12.已知二次函數(shù)解析式為)，=〃“2-2〃氏+〃7-6，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(B

在A右側(cè))，與軸交于。點，二次函數(shù)頂點為已知NOMB=90。.

①求頂點坐標(biāo).

②求二次函數(shù)解析式.

③N為線段BM中點，在二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點P,使得NPON=60。，若

存在求出點P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

13.如圖,拋物線合=渭+稅+。經(jīng)過4TO)、8(3,0)、C(0,3)三點，對稱軸與拋物線

相交于點尸、與4c相交于點與x軸交于點〃，連接心.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上存在一點G,使NG/M+NP3E=45,請求出點G的坐標(biāo)；

⑶拋物線上是否存在一點。，使AQM與的面積相等，若存在，請直接寫出點。

的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

14.如圖,拋物線丁=蘇+/+33*0)與“軸分別交于點分TO),3(3,0),與〉軸交

于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點。(2,/〃)在第一象限的拋物線上，連接3C,8。.試問，在對稱軸左側(cè)的拋物

線是否存在一點P,、滿足NPBC=NDBC?如果存在，請求出點P的坐標(biāo)：如果不存在，

請明理由；

(3)存在正實數(shù)小，〃(〃?<〃),當(dāng)〃?”工〃時，恰好滿足-求以1,

〃的值.

15.拋物線)，=(x-3)(x+l)與x軸交于A、8兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點

C,點。為拋物線頂點；

試卷第8頁，共10頁

備用圖

(1)求點4和點。的坐標(biāo)；

(2)連結(jié)B。、CD,拋物線的對稱軸與X軸交于點E.

①若線段上有一點P,使NDCP=N8DE,求點尸的坐標(biāo)；

②若拋物線上一點"，作MN上CD,交直線。。于點N,使NCMN=/BDE,求點M

的坐標(biāo).

16.已知：二次函數(shù)y=ar2+Z?x+c,的圖象與x軸交于43兩點，其中點A(-1,0),與丁軸

3

負(fù)半軸交于點C(0,-2),起對稱軸是直線上=1.

(1)求二次函數(shù)1y=加+歷:+。的解析式；

(2)圓O,經(jīng)過點》8c的外接圓，點E是4c延長線上一點，N8CE的平分線交圓。于

點。，連接A。、BD,求*6的面積；

(3)在(2)的條件下,二次函數(shù)y=a/+/urc的圖象上是否存在點巴使得

4PDB=4CAD?如果存在，請求出所有符合條件的P點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理

由.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過點A(-1,0)、

B(4,0)與y軸交于點C,tan/ABC=g.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M在第一象限的拋物線上，ME平行y軸交直線BC于點E,連接AC、CE,

當(dāng)ME取值最大值時，求4ACE的面積.

（3）在y軸負(fù)半軸上取點D（0,-1）,連接BD,在拋物線上是否存在點N,使

ZBAN=ZACO-ZOBD?若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

a1

18.如圖，已知二次函數(shù)），=丁-2,加+川+》〃-；的圖象與工軸交于人，9兩點（A在八左

84

側(cè)），與y軸交于點C,頂點為。.

（1）當(dāng)m=-2時，求四邊形AOBC的面積S；

（2）在（1）的條件下，在第二象限拋物線對稱軸左側(cè)上存在一點P,使NP8A=2N8CO,

求點尸的坐標(biāo):

（3）如圖2,將（1）中拋物線沿直線向斜上方向平移華個單位時，點E為

844

線段。4上一動點，EF_Lx軸交新拋物線于點尸，延長小至G,且。及AE=FE?GE,

若AE4G的外角平分線交點。在新拋物線上，求。點坐標(biāo).

試卷第10頁，共10頁

參考答案：

1.(1)y=--x(x-2m).(2)①等腰直角三角形，見解析；②見解析

m

【分析】(1)拋物線過點0(0,0),4(2機(jī)0),利用待定系數(shù)法設(shè)y=a(x-0e-2m)即可

得到答案；

(2)①P(/幾〃?)，對稱軸/_L1軸，可得。。="=〃2,可證AOPC是等腰直角三角形，可

得MP=NP=OP,可得〃VOM=90。，可證△OCNgACW(SAS),可求

4ONB=2/ONC=450即可；

②設(shè)PM=PN=d,可求方程為y="二求出j/〃+d,2——,

m卜mJ

由N(〃?,"?+d)可得直線/IN的方程為)，=-差4(工-2〃?)，確定A,B,N三點共線即可.

【解析】解：(1)???拋物線過點0(0,0),A(2〃z,0),

???設(shè)拋物線解析式為y=a(x-0)(x-2〃z),

又：拋物線過點P(〃?,〃?)，代入P點得m=&〃?-0)(/〃—為)，

解得。=」，

m

???拋物線解析式為y=-2〃?)；

tn

(2)?VP(m,m),對稱軸/_Lx軸，

OC=CP=in,

???AOPC是等腰直角三角形，

???OP=41OC=41m，/OPC=45°，

OP=>MN,

2

JMN=2OP=26m，

又〈M、N關(guān)于尸點對稱，且M、尸、N共線，

.?.MP=NP=>MN=E〃=QP,

2

，以尸為圓心，OP為半徑作圓P,則。、M、N三點共圓，

又?：N、/，、M共線，所以MN為圓。直徑，

/.NNOM=%)。,

在AOCN和AC4N中，

VOC=CA=m,/OCN=ZACN=90°,CN=CN,

???△0CN/4C4N(SAS),

答案第H頁，共45頁

???乙ONC=/ANC,

又???NONC=-AOPC=22.5°,

2

/.4ONB=2ZONC=45°,

???N1M是等腰直角三角形；

②設(shè)==

可得直線OM方程為），=勺"工，

聯(lián)立拋物線方程：

y=----1x{/x-2rm\\

m

tn-d，

y=-------x

m

解得%=0,%=，〃+△，

..Bm+d,---------,

I〃?J

N（"?,〃z+d）可得直線AN的方程為），=-巴*（》-2〃?）,

當(dāng)x=〃?+d時，代入AN方程得y=竺衛(wèi)，

m

???8在AN上，即A,B,N三點共線，

/./BNM=ZANC,

,/AONC=ZANC,

/.NONM=/BNM.

答案第12頁，共45頁

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，三點共線，

次函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法求解析式，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定，

三點共線證明方法是解題關(guān)鍵.

2.(1)y=A-l；(2)戶或/＞上手.Zz普；(3)。到MN的距離為

定值1.

【分析】(I)先利用拋物線的解析式求解及。坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解8力的解析式即

可；

(2)如圖，連接。八，延長D4至尸，使AO=AR可得DF=2&,證明N4DB=90。，可得

產(chǎn)到8。的距離為：2庭,過尸作8。的平行線，交拋物線于P，求解FP為：)，=x+3,聯(lián)

立P=解方程組可得答案；

(3)如圖，過。作C7_LMN于7，證明-MTTSACTN,可得CT?=MT?NT,聯(lián)立:

；=：2_［，可得加卜仙/卜乂后/),設(shè)0(4427),則丁(名)可得

CT?=MTWT=l+i—a，又CT=l一。2+1,可得。72=。兀解方程并檢驗可得結(jié)論.

【解析】解：(1)令x=Q則y=-L

令y=0,

x2-l=(),

=1.

x=±l,

.?.4(7,0),8(1,0),

設(shè)8。為丁=米+"

答案第13頁，共45頁

k+b=O

b=-l

k=\

解得：

b=-f

「?直線80為：y=x-\.

(2)如圖，連接0A延長ZM至凡使AQ=AF,

AD=Vl2+12=V2,NADO=45°,

DF=2>/2,

同理：ZBDO=45°,

了.尸到4。的距離為：2x/2,

過〃作皿)的平行線，交抽物線于P，

AD=AF,A（-1,O）,D（O,-1）,

由中點坐標(biāo)公式可得：Fl-2,1),

設(shè)EP為）'=犬+〃，/.-2+，7=1,，〃=3,

:.FP為:y=x+3,

y=x+3

y=x2-\

14-V17I-V17

x=----------x=----------

22

解得：

7+歷'7-Vl7,

22

<1+7177+（1-VT77-布、

P或P

22

(3)如圖，過C作C7_LMN于r

答案第14頁，共45頁

NCTM=NCTN=90。,

」NMCN=90。，

，NMCT+Z.NCT=90°=4NCT+Z7WG

:"MCT=ZTNC、

:.LMTCS&CTN,

?MTTC

~CT~TN，

：.CT2=MT*NT,

M卜\/1+，,N（＜1+f,0,

設(shè)則r（aj）,

MT=a++/NT=Jl+r-a,

/.CT2=MT.NT=\+t-a\

???CT=t-a2+t

CT2=CT,

:.CT（CT-｝）=0,

...cr=1,07=0,

檢驗：cr=o不合題意舍去，取cr=i為定值.

所以點C到MN的距離為定值I.

【點評】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點

坐標(biāo)問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解題的關(guān)犍.

3.（1）見解析；（2）見解析；⑶M（273,2）或（一空,-1）.

33

【分析】（I）直接利川二次函數(shù)平移的性質(zhì)假設(shè)出解析式，進(jìn)而將A點代入求出m的值進(jìn)

答案第15頁，共45頁

而得出答案；

(2)首先求出直線AB的解析式，進(jìn)而表示出APAB的面積，進(jìn)而求出I的值，即可得出

答案；

(3)首先表示出ON,NM的長，進(jìn)而得出△OMN為等邊三角形，再利用M點坐標(biāo)得出t

的值，進(jìn)而得出答案.

【解析】解：(1)設(shè)平移后的拋物線的解析式為

4

將d-3,幻代入y=得m=l

則,，=9寸_1

4

當(dāng)x=4時，y=3,

故平移后的拋物線經(jīng)過點(4,3)；

(2)設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b,

把點《一3,(),點B(4,3)代入得：

-3k+b=-

4

4Z+Z?=3

k=-

解得：4

b=2

故直線AB的解析式為：y=lx+2

設(shè)P(t,-z2-l)

4

???Q(t,%2)

答案第16頁，共45頁

11(\.A

*'?SAPAB=-X—f+2-1~f'x

Z414/

E(1-V171-V17-1+V171+V17

(2828

(3)如圖2,設(shè)M(a,-a2-l)

4

則OM2=a2+(—a2-I)2=—a'+\.MN2=_I+2)2=

444

Z.OM=MN

,//MON=60。

???△OMN為等邊三角形,

則NMOF=30。，當(dāng)OF二a,則MF二立〃

3

可得M(a,Ba)

3

故爭

-a2-\

4

解得：山=2石，@2=岑

則旦=2或4

33

答案第17頁，共45頁

AM(2有，2)或(—竽，-1).

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及等邊三角形的判定以及待定系數(shù)法解析式等知識,

正確表示出M點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

4.(1)y=x2+4A-4；(2)四邊形ADOC是平行四邊形，見解析；(3)存在，P的坐標(biāo)是

(-2-2正,0)或(0，-4)

【分析】(1)首先求出點B,C的坐標(biāo)，再代入拋物線即可求出b、c的值即可；

(2)求出拋物線頂點A的坐標(biāo)，再證明AC=OD,AC〃OD即可證明四邊形ADOC是平行

四邊形；

(3)分點P為拋物線與y軸負(fù)半軸的交點和點P為拋物線與x軸負(fù)半軸的交點兩種情況求

解即可.

【解析】解：(1)BC〃r軸，點C的坐標(biāo)為(-4,-4),

「?點B的坐標(biāo)為(0,~4),

把B,C兩點的坐標(biāo)代入以+c,

,c=-4一體=4

得“心一解得.

「?拋物線的解析式為J=A2+4X-4.

(2)四邊形ADOC是平行四邊形，理由如下：

,?點B的坐標(biāo)是0-4),點C的坐標(biāo)為(-4,-4),

二.08=4,BC=4,

由(1)得,拋物線的解析式為y=J+4i=(%+門,

???頂點A的坐標(biāo)為(-2,-8).

如答圖，過點A作于點E,

則NAEC=90。，AE=OB=4,CE=2.

??8C=4,

：.BD=-BC=2

2t

/.CE=DB.

答案第18頁，共45頁

.?BC〃x軸，

.?.NOB/)=90°,

；.ZAEC=/OBD=90。

AEC=t.OBD,

\AC=OD,ZACE=/ODB,

AC/iOD,

二?四邊形ADOC是平行四邊形.

(3)在拋物線上存在點P,使得NPOC=45。.

.二點C的坐標(biāo)為(-4,-4),8C//X軸，

:.OB=BC=4,..NBOC=NOCB=45。,

vZPOC=45°,

???點P為拋物線與x軸負(fù)半軸或y軸負(fù)半軸的交點.

情況1：當(dāng)點P為拋物線與y釉負(fù)半軸的交點時，點P與點B重合，

此時點P的坐標(biāo)為(0.T).

情況2：當(dāng)點P為拋物線與x軸負(fù)半軸的交點時，解方程/+44一4=0，

得％=-2-2及，玉二一2+2公.(不合題意，舍去)

此時點P的坐標(biāo)為(-2-2及,0),

綜上所述，當(dāng)點P的坐標(biāo)是(-2-2&,0)或(0T)時，ZPOC=45°.

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函

數(shù)對稱軸頂點坐標(biāo)的公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，求得A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

711

5.(1)c=0,b=T：(?)嘉琪說的正確，理由見解析；(3)①不變，②］〈/<牙

【分析】⑴拋物線過原點0,把％=(),y=0代入y=f+尻+。，求c.點p用t表示，P(t,O)

再把x=/,y=0代入尸f+灰，求b即可，

(2)嘉琪說的正確由(1)得y=xJx,把B(I,-5)代入求出I的值，求x=4時的函數(shù)值

驗證即可

(3)①不變.

在點P的運(yùn)動過程中，A(I,0),P(t,0)，求出M點坐標(biāo)，

求AM,與AP,知AM=AP,又是直角三角形即可，

不、711

23

在矩形中共有8個好點分以下五種情況，

I>左邊4個好點在拋物線上方,右邊4個好點在拋物線下方:x=2時y2V4x=3時，y3>-l，

H、左訪3個好點在拋物線上方,右功3個好點在拋物線下方：則有-4Vy)V-3,-2<yiV-l.

答案第19頁，共45頁

川、左邊2個好點在拋物線上方，右邊2個好點在拋物線下方：則有-3Vy2<-2,-3Vy3V-2,

IV、左邊I個好點在拋物線上方，右邊I個好點在拋物線下方：則有-2Vy2〈-l,-4Vy3V-3,

V、左邊。個好點在拋物線上方，右邊0個好點在拋物線下方：則有?lVy2,y?<-4,

綜合即可.

【解析】解：(D拋物線過原點O,把％代入y=/+bx+c,得c=0.

點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運(yùn)動tS,P(t,0),

再把丫=/,>=0代，入y=/,得產(chǎn)+從hO，

t(t+b)=0,

V/>0,：.b=-t.

(2)嘉琪說的正確.

由(1)得y=x2-tx,把B(1,-5)代入-5=l-t得t=6

/.y=x2-6x,

當(dāng)x=4時,y=16-24=-8^-5,

???嘉琪說的正確，

(3)①不變.

在點P的運(yùn)動過程中，A(1,0),

如圖，當(dāng)x=l時，y=lT,故"(LIT).AM=t-l,

VOP=t,

AAP=t-l,

.,.AP”1=AM,

,??矩形ABCD,NPAM=90，

tanZAMP=1.

/.ZAMP=45

NAMP的大小是不會變，且NAMQ=45,

11

②一<f<—

23

答案第20頁，共45頁

在矩形中共有8個好點

I、左邊4個好點在拋物線上方，右邊4個好點在拋物線下方：無解;

t>4

4-2(<-4

解得10此時無公共解,

9-3/>-1t<—

3

II、左邊3個好點在拋物線上方，右邊3個好點在拋物線下方:

5

7IO1I7

則有?4Vy2V-3,-2Vy3<-l即-4V4-2tV-3,-2<9-3t<-l,-VtV4且一VtV一,解得一

2332

III、左邊2個好點在拋物線上方，右邊2個好點在拋物線下方：

則有-3<y2<-2,-3<y3<-2即-3V4-2K-2,-3<9-3t<-2,無解；

IV、左邊1個好點在拋物線上方，右邊1個好點在拋物線下方：則有-2Vy2V-l,-4Vy3V-3

即-2V4-2tV-l,-4V9-3tV-3,無解；

答案第21頁，共45頁

V、左邊。個好點在拋物線上方，右邊。個好點在拋物線下方：

則有-lVy2,y3V-4即9-3t<-4,無解；

綜上所述，l的取值范圍是：1<t<y.

【點評】此題考查了二次函數(shù)與點的關(guān)系，以及分類討論的求解方法等知識.此題綜合性很

強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)灌是注意數(shù)形結(jié)合與方程和不等式組思想的應(yīng)用.

6.(1)(2)y=(x-〃)2-〃+2；(3)①〃=g；②1+0

【分析】(1)首先由直線i：y=-x+2求得點A的坐標(biāo)，然后將A點坐標(biāo)代入拋物線解析式

求得m,即可求點B的坐標(biāo)；

(2)先由D點橫坐標(biāo)求出縱坐標(biāo)，再根據(jù)平移規(guī)律直接寫出答案：

(3)①根據(jù)兩種不同的表示形式得到a與n之間的函數(shù)關(guān)系即可；

②過點C作y軸的垂線，垂足為E,過點D作DF_LCE于點F,證得△ACEs^CDF,然

后用m表示出點C和點D的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得a的值即可.

【解析】(1)???當(dāng)x=0時，y=-x+2=2

???A點坐標(biāo)為(0,2)

將A(0,2)代入拋物線y=(x-l)2+小得

(0-I)2+m=2,解得〃?=1

工拋物線解析式為y=(x-1>+1

，頂點B的坐標(biāo)為(1,1)

(2)???D點在直線)，=-1+2上，且橫坐標(biāo)為〃(〃>1)

，D點縱坐標(biāo)丁=一〃+2

即+

???平移后的拋物線L的解析式為)，=(x-〃)2-〃+2

(3)①設(shè)C點坐標(biāo)為(。力)

???c點為兩拋物線的交點

Z?=(?-l)2+1,b=(a-n)2-n+2

?**(a-1)~+l=(a—〃y—〃+2

整理得a

②如圖所示，過點C作y軸的垂線，垂足為E,過點D作DF_LCE于點E

答案第22頁，共45頁

VZACD=90°,

，ZECA+ZDCF=90°

又???/F=/AEC=90。

/.ZDCF+ZCDF=90°

AZECA=ZCDF

/.△ACE^ACDF

.CE_AE

^~DF~~CF

???C點橫坐標(biāo)為a,縱坐標(biāo)為3-1尸+1

D點橫坐標(biāo)為〃二為，縱坐標(biāo)為—〃+2=2—左

/.CE-a>4E=（fl-l）2+1-2=?2-2a-\

0尸=（〃-1）“+\-（2—2a）=a1?CF=2a—a=a

.aa2-2a-I

-----r=-------------

a'a

解得q=1+=1-6（舍去）

故4的值為1+V5.

【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，需要熟練掌握函數(shù)圖像的平移，以及相似三角形的

判定與性質(zhì).

7.（1）y=-x2+2x4-3；⑵點。的坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）；⑶點尸的坐標(biāo)為：（1,4）或（―蕓）

132095+79777+質(zhì)、

或（一彳，——1）或（------，--------------）.

2448

【分析】（1）由O8=OC=3及圖像可得B、C兩點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法直接進(jìn)行求

解即可；

（2）由題意易得ScoF=（Scg,進(jìn)而得到點D、F橫坐標(biāo)之間的關(guān)系為與，設(shè)尸點

?JJ

橫坐標(biāo)為3/,則。點橫坐標(biāo)為5/,則有直線BC的解析式為y=-x+3,然后可直接求解：

答案第23頁，共45頁

(3)分NPBE或NPEB等于2ZOBE兩種情況分別進(jìn)行求解即可.

【解析】解：(1)O4=OC=3,則：8(3,0),C(0,3),

把8、C坐標(biāo)代入拋物線方程，

解得拋物線方程為：)，=-/+2%+3①；

⑵「SMOF：S.CDF=3:2,

X=Xf

,.Scor.=COD，即：D~^F

設(shè)尸點橫坐標(biāo)為3f,則。點橫坐標(biāo)為5f,

點尸在直線8c上，

而BC所在的直線表達(dá)式為：y=r+3,則尸(3/,3-3/),

則直線8所在的直線表達(dá)式為：y=^x=-x,

3tt

則點O(5/,5—5。，

把。點坐標(biāo)代入拋物線解析式，解得：或,，

則點。的坐標(biāo)為(1，4)或(23)；

當(dāng)8戶在人.軸上方時,

如圖2,設(shè)w?交y軸于點E"

:?ZP\BE=?ZOBE,

:?/EBO=/EBO,

又NEOB=/EBO=60。,BO=BO,

：,LE:BO^EBO（AAS）,

答案第24頁，共45頁

3

???EO=EO=~,

2

3

??.點七'（0，5），

3

直線8R過點8、E,則其直線方程為：），=-g1x+：②，

聯(lián)立①②并解得：x=,

故點Pl的坐標(biāo)為（一;3）；

當(dāng)8尸在X軸下方時，

如圖2,過點、E作EF7/BE交BP2于點、F,則4”?=血￡,

:?/EBE=2/OBE,ZEBP2=2ZOBE,

：?4FEB=/EBF,

:?FE=BF,

直線石尸可以看成直線BE平移而得，其k值為-g,

13

則其直線表達(dá)式為：=，

13

設(shè)點廠（/〃，—：〃?—=），過點尸作用軸交于點，，作BK工HF于點K,

22

1313

則點”（。，一；7，〃一二），,

2222

?；EF=BF,則正2=8產(chǎn)，

即:in2+（―1/w+-|）2=（3-m）2+（3〃?+$2,

解得：/〃=|,

則點尸弓，一子），

1133

則直線8-表達(dá)式為：＞f=yX-y

聯(lián)立①③并解得：X=-葭或3（舍去3）,

則點鳥（-1￡3，-詈209）;

②當(dāng)NP砂=2NO8E時，

答案第25頁，共45頁

y

olL^x

圖3

當(dāng)。在32上方時，如圖3,點后為圖2所求,

設(shè)8E交空于點尸，

*//EBE=2/OBE,

:?/EBE="網(wǎng),

:?FE=BF,

13

由①知，直線8E的表達(dá)式為：），=-9+：,

22

設(shè)點尸（〃,一＜〃+1），K（3,-：〃+］）,

2222

由FE=BF,同理可得：〃=；，

故點^（~?~）?

24

113

則直線EF的表達(dá)式為：V=yA-1@,

聯(lián)立①④并解得：〃=1或微（舍去負(fù)值），

???6（1,4）；

當(dāng)石P在班;下方時，

同理可得：工=三姬（舍去負(fù)值），

5+質(zhì)T7+質(zhì)

故點名（)?

4-，8

此上々內(nèi)從L七“八一/17'T/13209..5+797-17+5/97^

故點尸的坐標(biāo)為：（1，4）或（一二,二）或（一彳,一一二）或（------,---------）.

242448

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì),

利用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想進(jìn)行求解?.

8.（1）y=一旦x?+8;（2）90°；（3）—.

22

【分析】（1）由題意易得拋物線的對稱軸就是y軸，從而根據(jù)題意求出D點坐標(biāo)，進(jìn)而利

答案第26頁，共45頁

用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

(2)將A(O,1)代入y=a/+〃x+c得：AO=c=\,由題意易得函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求得

0D=；,0E=2,最后利用比例關(guān)系及三角函數(shù)進(jìn)行求解即可；

(3)作矩形/W7GN,則根據(jù)題意易得.CH。，AMD^BNA,設(shè)

AM=AN=a,BN=b,則有8=巫/,最后根據(jù)勾股定理及最值問題進(jìn)行求解即可.

6

【解析】解：(1)?:c=瓜,

，AO=遍,

*/ZAZX>=60°,

,D()=>/2，

，。(一&,0),E(@0),

將D,E兩點代入)，="2+人工+(?中，得:

2〃-岳+G=0。=一如力=0,

解得:

2a+丘b+瓜=02

)'=手+6

(2)將A(0,l)代入y=a/+Z?x+c得：AO=c=\,

3,3

。=-y=一rH—x+1,

292

3I

2

當(dāng)y=O時，A-x+—x+l=0,解得：="-,x2=2,

???OD=-.OE=2

2f

^ODOE=\=OA2,

.OAOD

??----=-----,

OEOA

/.tanZAEO=tanZ.DAO,

/.ZAEO=ZDAO,

*/ZAEO+ZOAE=9(^,

AZmO+ZQ4E=90°,

/.2DA￡=90°；

(3)解：如圖，作矩形M〃GV,則,/W必.CH。，AMD^aBNA,

設(shè)AM=AN=a,BN=b,

答案第27頁，共45頁

則爵符即:v=r得:4

由勾股定理得：(如=。2+(#-建/]=

—a4-a2+6

,6.6

II1o

設(shè)〃7=儲，則：OB2=—a4-a2+6=—m2-m+6=—(7n-3)2+—,

6662

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)

題意求出二次函數(shù)表達(dá)式，然后利用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)進(jìn)行求解問題即可.

(1557A(939A

9.(1)y=x2+2x-3；(2)點尸的坐標(biāo)為一~—或一了「二；(3)8

V416JI416J

【分析】(1)把點A、C坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得b、c的值.

(2)點P可以在x軸上方或下方，需分類討論.①若點P在x軸下方\延長AP到H,使

AH=AB構(gòu)造等腰△ABH,作BH中點G,即有NPAB=2NBAG=2NACO,利用NACO

的三角函數(shù)值，求BG、BH的長，進(jìn)而求得H的坐標(biāo)，求得直線AH的解析式后與拋物線

解析式聯(lián)立，即求出點P坐標(biāo).②若點P在x軸上方，根據(jù)對稱性，AP一定經(jīng)過點H關(guān)于

x軸的對稱點HI求得直線AH，的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點P坐標(biāo).

(3)設(shè)點Q橫坐標(biāo)為I,用I表示宣線AQ、BN的解析式，把x=-l分別代入即求得點M、

N的縱坐標(biāo)，再求DM、DN的長，即得到DM+DN為定值.

【解析】解：(1)拋物線產(chǎn)乙+加+c經(jīng)過點A(I,O),C(O,-3)

\+b+c=O

0+0+c=-3

b=2

解得，

c=-3

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=丁+2A-3

(2)①若點/在x軸下方，如圖1

答案第28頁，共45頁

延長A尸至IJ”，使AH二AB,過點8作及_Lx軸，連接8”,作8”中點G,連接并延長AG

交用于點“，過點H作，/_LB/于點/

丁當(dāng)丁+21一3=0,

解得N=-3,當(dāng)=1

.??川-3,0)

4(1,0),C(O-3)

：.OA=tOC=\AC=yl\2+32=V10Mfi=4

???R/A4OC中,

sw。衛(wèi)二埋8/。。=空3x/io

AC10AC10

AB=AH,G為BH中點

:.AG±BH,BG=GH

ZBAG=ZHAG,

即NQ48=N84G

?.?ZPAB=2ZACO

^BAG-^ACO

在中R的BG,ZAGB=^,s\nZBAG=—=—

AB10

鏟Vioy2V10

105

.NHBI/ABG=/ABG+/BAG=90°

4HBI=ZBAG=ZACO

答案第29頁，共45頁

；.RfABHJ中,ZBHI=90,sinZHBI=—=—,cosZ//B/=—=^^

BH10BH10

H上、

即H

設(shè)直線A"解析式為丁二米+。

k+a=0

3

4

解得

3

4

.??直線嶺=2

y=x1+2x-3

=--

X=12"

解得，八(即點A),

卜=_

I4\6)

②若點〃在x軸上方，如圖2,

在4尸上截取=

則”'于〃關(guān)于x軸對稱

I55)

設(shè)直線解析式為y=A%+a'

k'+優(yōu)=0

3

4

解得

3

4

答案第30頁，共45頁

33

.??直線W:)，=」.”

44

33

y=—x+—

44

y=x2+2x-3

x=]

解得「一八(即點A),、

15

「二一了

57

v,=一

fIS57A(939A

綜上所述，點戶的坐標(biāo)為一~或一7一臺

(3”)M+/)N為定值

???拋物線),=/+2x—3的對稱軸為，直線后一1

—1，。)，*”="N=-1

設(shè)Q(//+2-3)(_3</<1)

設(shè)直線AQ解析式為y=&+e

d+e=O

"dt+e=t2+2t-3

直線AQ:)，=(1+3)》一—3

當(dāng)％=—1時，yM=-/-3-r-3=-2r-6

:.DM=0-(-2t-6)=2t+6

設(shè)直線8。解析式為y=nix+n

-3m+〃=()

mt+n=r+2t-3

m=t-\

解得

n=3l—3

答案第31頁，共45頁

..?直線4Q：)，=(/_1)x+3/_3

當(dāng)x=-1時，yN=-t+\+3t-3=2t-2

：.DN=0-(2t-2)=?t+2

DM+DN=2/+6+(-2/+2)=8,為定值.

【點評】本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方

程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用.第(2)題由于不確定點P位置需分類討論：

(2)(3)計算量較大，應(yīng)認(rèn)真理清線段之間的關(guān)系再進(jìn)行計算.

2211

10.(1)y=-x+x+6；(2)①1；②]±如;(3)d=(m+2),<tn<

2'J22

【分析】(1)由拋物線的對稱性求出B點坐標(biāo)，用a表示出C點坐標(biāo)，再由三角形的面積

列出a的方程求得a的值便可得解析式；

(2)①由已知證得NN〃5=NM4M由M(見一>+〃?+6)可設(shè)”(見〃)，可由

twZMAN=lan/BHN得￡=整,代入即可得m、n的方程，解之即可得出結(jié)論；

②由①和M，=2/W可得MN的長，即可得點M