高考數(shù)學(xué)題型技巧變式一應(yīng)俱全（下冊）

2023高考數(shù)學(xué)題型*技巧*變式一應(yīng)俱全（下冊）專題6-1數(shù)列遞推求通項(xiàng)15類歸納 5【題型一】通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想1：基礎(chǔ)型 5【題型二】通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想2：換元型與同除型 6【題型三】通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想3：復(fù)雜“同除換元型” 7【題型四】累積法 7【題型五】周期數(shù)列 8【題型六】構(gòu)造二階等比數(shù)列型（待定系數(shù)型） 8【題型七】分式遞推 9【題型八】構(gòu)造二階等差數(shù)列 9【題型九】前n項(xiàng)積型 10【題型十】特殊通項(xiàng)1：“和”型求通項(xiàng) 10【題型十一】特殊數(shù)列2：正負(fù)相間討論型 11【題型十二】特殊數(shù)列3：奇偶討論型 11【題型十三】特殊數(shù)列4：“求和公式換元”型 12【題型十四】特殊數(shù)列5：因式分解型求通項(xiàng) 12【題型十五】特殊數(shù)列6：其他幾類特殊數(shù)列求通項(xiàng) 13【題型十六】壓軸小題 14專題6-2數(shù)列求和15種類型歸納 16【題型一】求和思維基礎(chǔ)：由sn求an的關(guān)系 16【題型二】錯(cuò)位相消法三種思維求法 16【題型三】分組求和法 18【題型四】求和難點(diǎn)1：裂項(xiàng)相消基礎(chǔ)思維 19f（n）【題型五】求和難點(diǎn)2：形如 pq 型函數(shù)型裂項(xiàng)相消 20【題型六】求和難點(diǎn)3：指數(shù)型裂項(xiàng)相消 21【題型七】求和難點(diǎn)4：指數(shù)等差型裂項(xiàng)相消 22【題型八】求和難點(diǎn)5：奇偶正負(fù)型裂項(xiàng)相消 23【題型九】求和難點(diǎn)6：裂項(xiàng)為“和”型以相消 24【題型十】求和難點(diǎn)7：指數(shù)型裂項(xiàng)為“和”以相消 25【題型十一】求和難點(diǎn)8：無理根式型裂項(xiàng) 25【題型十二】求和難點(diǎn)9：三項(xiàng)積式裂項(xiàng)相消 26【題型十三】求和難點(diǎn)10：先放縮后裂項(xiàng) 27【題型十四】求和難點(diǎn)11：利用組合數(shù)公式裂項(xiàng)求和（理科） 28【題型十五】求和難點(diǎn)12：分段數(shù)列求和 28專題7-1線性規(guī)劃歸類 32【題型一】三大基礎(chǔ)題型：截距，斜率與距離（圓系） 32【題型二】由參數(shù)確定圖像形狀 32【題型三】含參線性規(guī)劃 33【題型四】目標(biāo)函數(shù)變化型1：絕對(duì)值型 34【題型五】目標(biāo)函數(shù)變化型2：分式型 35【題型六】目標(biāo)函數(shù)變化型3：二次型 35【題型七】目標(biāo)函數(shù)變化型4：向量型 36【題型八】導(dǎo)數(shù)和函數(shù)型 37專題7-2基本不等式歸類 40【題型一】基礎(chǔ)型 40【題型二】“1”的代換型 40【題型三】“和”與“積”互消型 41【題型四】以分母為主元構(gòu)造型 41【題型五】構(gòu)造分母：待定系數(shù) 421/255【題型六】分子含參型：分離分子型 42【題型七】反解代入型:消元法 43【題型八】因式分解型 43【題型九】均值用兩次 44【題型十】換元型 44【題型十一】“和”與所求和系數(shù)不一致型 45【題型十二】“均值裂項(xiàng)”湊配型 45【題型十三】整體化同乘方程型 46【題型十四】三元最值型 46【題型十五】恒成立求參數(shù)型 46【題型十六】超難壓軸小題 47專題8-1立體幾何中的軌跡問題 49【題型一】由動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡 49【題型二】動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡 50【題型三】由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡 51【題型四】由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡 52【題型五】投影求軌跡 54【題型六】翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡（難點(diǎn)） 55專題8-2立體幾何截面問題的十種題型 61【題型一】做截面的基本功：補(bǔ)全截面方法 61【題型二】截面形狀的判斷 63【題型三】平行關(guān)系確定截面 64【題型四】垂直關(guān)系確定的截面 65【題型五】求截面周長 66【題型六】求截面面積 66【題型七】球截面 67【題型八】截面分體積 68【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面） 68【題型十】截面最值 70專題8-3一網(wǎng)打盡外接球 75【題型一】長方體模板1：三線垂直型 75【題型二】長方體模板2：構(gòu)造長方體3個(gè)模型 76【題型三】直棱柱模板：線面垂直（重點(diǎn)） 76【題型四】垂面型 77【題型五】萬能模板：外心垂線相交型（難點(diǎn)） 78【題型六】特殊幾何體：正三棱錐和正四面體 79【題型七】四棱錐 80【題型八】組合體外接球 81【題型九】球定義法 82【題型十】圓錐與圓柱外接球 82專題8-4立體幾何求角度、距離類型 86【題型一】求異面直線所成的角 86【題型二】求直線和平面所成角 87【題型三】求二面角的平面角 88【題型四】翻折中的角度 90【題型五】三種角度之間的相互關(guān)系 92【題型六】三種角度比大小 92【題型七】球中的角度 94【題型八】壓軸小題中的角度題型 94【題型九】距離 96專題9-1圓錐小題壓軸九類 100【題型一】第一定義及其應(yīng)用 1002/255【題型二】第二定義及應(yīng)用 100【題型三】第三定義及其應(yīng)用 102【題型四】焦點(diǎn)三角形與離心率 103【題型五】定比分點(diǎn) 104【題型六】焦點(diǎn)三角形與四心 105【題型七】共焦點(diǎn)的橢圓雙曲線性質(zhì) 106【題型八】切線與切點(diǎn)弦 107【題型九】多曲線 108專題9-2軌跡八類求法 112【題型一】直接法求軌跡 112【題型二】相關(guān)點(diǎn)代入法 112【題型三】定義法 113【題型四】交軌法 114【題型五】參數(shù)法 114【題型六】立體幾何中的軌跡 115【題型七】向量與軌跡 116【題型八】復(fù)數(shù)中的軌跡（新高考） 117專題9-3圓錐曲線壓軸大題五個(gè)方程框架十種題型 121【題型一】五個(gè)方程題型框架 121【題型二】直線設(shè)法 122【題型三】雙變量直線核心理解 123【題型四】直線過定點(diǎn) 124【題型五】圓過定點(diǎn) 125【題型六】面積的幾種求法 126【題型七】面積最值 127【題型八】定值 128【題型九】最值與范圍 129【題型十】 第六個(gè)方程的積累 130專題9-4圓錐曲線點(diǎn)代入和非對(duì)稱等題型 134【題型一】基礎(chǔ)型：韋達(dá)定理+點(diǎn)帶入法 134【題型二】定比分點(diǎn)型：a=b 135【題型三】點(diǎn)帶入型：拋物線獨(dú)有的代入方法 136【題型四】非對(duì)稱型：利用韋達(dá)定理構(gòu)造“和積消去”型 137【題型五】切線 138【題型六】暴力計(jì)算型：求根公式 139【題型七】無韋達(dá)定理：點(diǎn)代入法 141【題型八】坐標(biāo)運(yùn)算 143【題型九】綜合題 144專題9-5離心率歸類訓(xùn)練 150【題型一】判斷橫放豎放求參 150【題型二】直接法 150【題型三】補(bǔ)連另一焦點(diǎn)利用定義 151【題型四】余弦定理1：基礎(chǔ)型 152【題型五】余弦定理2：勾股定理用兩次 152【題型六】余弦定理3：余弦定理用兩次 153【題型七】中點(diǎn)型 154【題型八】多曲線交點(diǎn)1：和拋物線 155【題型九】多曲線交點(diǎn)2：與圓 156【題型十】多曲線交點(diǎn)3：雙曲線和橢圓 156【題型十一】雙曲線特性1：漸近線 157【題型十二】雙曲線特性2：內(nèi)心 1583/255【題型十三】難點(diǎn)1：借助向量構(gòu)造 159【題型十四】難點(diǎn)2：小題大做型 160專題10-1統(tǒng)計(jì)：線性和非線性回歸與殘差 164【題型一】線性回歸 164【題型二】殘差 165【題型三】剔除數(shù)據(jù)重新計(jì)算 167【題型四】非線性回歸1：指數(shù)型 169【題型五】非線性回歸2：反比例型 171【題型六】非線性回歸3：對(duì)數(shù)型 174【題型七】非線性回歸4：其他函數(shù)型 176專題10-2概率壓軸大題(理） 185【題型一】馬爾科夫鏈基礎(chǔ)模型 185【題型二】馬爾科夫鏈之傳球模型 186【題型三】游走模式 187【題型四】藥物試驗(yàn)?zāi)Ｊ?189【題型五】商場促銷 191【題型六】證明概率、期望等不等式 192【題型七】摸球與射擊模型 193【題型八】模擬壓軸題選講 194專題10-3概率小題基礎(chǔ) 200【題型一】古典概型 200【題型二】幾何概型1：長度角度 200【題型三】幾何概型2：面積 201【題型四】幾何概型3：體積 202【題型五】幾何概型4：坐標(biāo)系型 204【題型六】幾何概型5：線性規(guī)劃 204【題型七】幾何概型6：近似估值應(yīng)用 205【題型八】幾何概型7：導(dǎo)數(shù)函數(shù)等綜合 206【題型九】幾何概型8：微積分型（理） 207【題型十】圓錐曲線中的幾何概型 208【題型十一】綜合應(yīng)用 208專題10-4排列組合小題歸類 213【題型一】人坐座位模型1：捆綁與插空 213【題型二】人坐座位模型2：染色（平面） 213【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）: 214【題型四】書架插書模型 215【題型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同 216【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同 217【題型七】相同元素排列模型1：數(shù)字化法 217【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等 218【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等 219【題型十】 多事件限制重疊型 220【題型十一】多重限制分類討論 220【題型十二】綜合應(yīng)用 221專題11-1參數(shù)方程與極坐標(biāo)大題15種歸類 226【題型一】消參難點(diǎn)1：分母二次分式型消參 226【題型二】消參難點(diǎn)2：正余弦對(duì)偶型 227【題型三】消參難點(diǎn)3：構(gòu)造正切公式型 228【題型四】參數(shù)方程核心思維1：參數(shù)方程即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 229【題型五】參數(shù)方程核心思維2：拋物線的參數(shù)方程可化為斜率 230【題型六】極坐標(biāo)思維1：極坐標(biāo)弦長 231【題型七】極坐標(biāo)思維2：兩根韋達(dá)定理型 2324/255【題型八】極坐標(biāo)思維3：求最值與范圍 233【題型九】極坐標(biāo)思維4：多線型 234【題型十】極坐標(biāo)思維5：極坐標(biāo)分段型 235【題型十一】直線參數(shù)方程思維1：換“起點(diǎn)”與化標(biāo)準(zhǔn)t 236【題型十二】直線參數(shù)方程思維2：弦長公式 237【題型十三】直線參數(shù)方程思維3：解析關(guān)于t的韋達(dá)定理 238【題型十四】直線參數(shù)方程思維4：綜合難度較大的題 239【題型十五】綜合：軌跡 240專題11-2不等式選講歸類 245【題型一】解不等式：含參 245【題型二】絕對(duì)值恒成立（存在）求參1：公式法“和” 245【題型三】絕對(duì)值恒成立（存在）求參2：公式法“差” 246【題型四】絕對(duì)值恒成立（存在）求參3：給解集（或子集） 247【題型五】絕對(duì)值恒成立（存在）求參4：利用單調(diào)性求參 247bca【題型六】絕對(duì)值恒成立（存在）求參5：形如 技巧型 248【題型七】絕對(duì)值和均值型 249【題型八】證明不等式1：柯西型“定位法” 249【題型九】證明不等式2：柯西“分母分子配對(duì)”型 250【題型十】證明不等式3：柯西取等與“圓系湊配”型 251【題型十一】證明不等式4：三元不等式證明 252【題型十二】證明不等式5：分析法與綜合法 252專題6-1數(shù)列遞推求通項(xiàng)15類歸納【題型一】通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想1：基礎(chǔ)型【典例分析】已知數(shù)列an中，已知a12，an1an2n，則a50等于（）A．2451B．2452C．2449D．24505/255【提分秘籍】基本規(guī)律數(shù)列求通項(xiàng)，可以借助對(duì)“形形色色”的累加法研究學(xué)習(xí)，積累各類通項(xiàng)“變化”規(guī)律。1.“等差”累加法，如典例分析2.“等比累加法”，如變式13.“裂項(xiàng)累加法”，如變式24.無理根式裂項(xiàng)累加法，如變式3【變式演練】1.已知數(shù)列a滿足a2，aa2n，則a（）n1n1n9A．510B．512C．1022D．10242.已知數(shù)列{an}滿足a11，an1an+1nn11，n∈N*，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.3.數(shù)列中，1=0,+1? =+1+1且 =9，則=_________【題型二】通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想2：換元型與同除型【典例分析】已知數(shù)列an滿足：a113，(n1)an1nan2n1，nN*，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)n1anB．a(chǎn)n1anC．?dāng)?shù)列an的最小項(xiàng)為a3和a4D．?dāng)?shù)列an的最大項(xiàng)為a3和a4【提分秘籍】基本規(guī)律換元型，是許多復(fù)雜通項(xiàng)的基本變換之一1.換元等差累加法，如典例分析2.換元對(duì)數(shù)相消累加法。如變式13.同除換元等比累加法，如變式24.同除換元裂項(xiàng)累加法，如變式3【變式演練】1.在數(shù)列a中，a12，an1anln11，則a（）n1nnA．a(chǎn)8B．2n1lnnC．1nlnnD．2nnlnn2.已知數(shù)列a滿足a3，a n a n.n 1 2 n n1 n1 2n（2）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求滿足Sn12的所有正整數(shù)n的取值集合.6/255已知數(shù)列滿足a1＝，an﹣an+1＝anan1nN*，則a10的值是（）3.{an}1n(n1)A．2B．1C．10D．532192【題型三】通過“累加法”學(xué)通項(xiàng)思想3：復(fù)雜“同除換元型”【典例分析】已知數(shù)列a滿足a1，n(n1)an1aaa，則數(shù)列a的通項(xiàng)公式a____．n12nn1nnn【提分秘籍】基本規(guī)律1.雙系數(shù)同除換元，如典例分析。2.同除裂項(xiàng)型，如變式13.同構(gòu)型同除型，如變式2，也可以裂項(xiàng)分離常數(shù)，構(gòu)造累加法【變式演練】1.已知數(shù)列{an}滿足nan1(n1)an1(nN*),a32，則a2021______.2.已知數(shù)列an中，a12，nan1anan1，nN*，則ann的取值范圍是_____________．【題型四】累積法【典例分析】已知數(shù)列an滿足(n1)an1ann，a12，則a31的值為___，a2021的值為_____.【提分秘籍】基本規(guī)律累積法主要有“分式型”和“指數(shù)型”。【變式演練】1.已知數(shù)列{an}滿足an0,a11,n(an12an)2an.a（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列3n5的前n項(xiàng)和Sn.n2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,Snn2annN*，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為___________.3.數(shù)列a滿足：a1，aaan2a，則數(shù)列a的通項(xiàng)公式a___________.n1212nnnn7/255【題型五】周期數(shù)列【典例分析】an，則a已知數(shù)列{a}滿足a0,a3n1n13an120173A．0B．3C．3D．2【提分秘籍】基本規(guī)律1.周期數(shù)列型一：分式型，如典例分析2.周期數(shù)列型二：三階遞推型，如變式13.周期數(shù)列型三：乘積型，如變式24.周期數(shù)列型四：反解型，如變式3【變式演練】1.數(shù)列{a}中，a1，a3，aaa(n2,nN*)，那么a2019A．1B．2C．3D．-32.在數(shù)列an中，若a11,a22，并有an=an1an1對(duì)n1且nN*恒成立；則a2020a2021_______________．3.設(shè)數(shù)列an滿足a12，且對(duì)任意正整數(shù)n，總有an111an2an成立，則數(shù)列an的前2019項(xiàng)的乘積為A．1B．1C．2D．.32【題型六】構(gòu)造二階等比數(shù)列型（待定系數(shù)型）【典例分析】已知數(shù)列{a}滿足：a2an1(nN*)，a3.nn1n1（1）證明數(shù)列ban(nN*)是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a}的通項(xiàng)；nnn（2）設(shè)cnan1an，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為{Sn}，求證：Sn1.anan1【提分秘籍】基本規(guī)律形容an1qanp(q0，1,p,q為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列an,p。特殊情況下，當(dāng)q為2時(shí)，=p，q1如變式1【變式演練】1.數(shù)列{an}滿足a12,an12an1則a6A．33B．32C．31D．348/2552.已知數(shù)列an中，a11，an3an14（nN且n2），則數(shù)列an通項(xiàng)公式an為（）A．3n1B．3n12C．3n2D．3n【題型七】分式遞推【典例分析】2an*2在數(shù)列{a}中，a1，a(nN)，則是這個(gè)數(shù)列的第________________項(xiàng)．a(chǎn)n2n12019【提分秘籍】基本規(guī)律形如an1Aan為主(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.BanC【變式演練】1.數(shù)列an滿足：a11，且n2an1n1(nN*,n2)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=_____．a(chǎn)nan132.已知在數(shù)列an中，a11，an1an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an______.32an3.已知數(shù)列an滿足a12,12an1(n2)．3an1an11（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S,用數(shù)學(xué)歸納法證明:Sn1lnn3.n22【題型八】構(gòu)造二階等差數(shù)列【典例分析】n1an1*數(shù)列an滿足：a1，且an1nN，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn__________.33ann【提分秘籍】基本規(guī)律apap(p1,p,形如n1nn為常數(shù)）構(gòu)造等差數(shù)列a,，可通過同除構(gòu)造等差數(shù)列pn【變式演練】1.數(shù)列an滿足a11，an1(an1)an0（nN*），則a2018__________．2.數(shù)列{an}中，a1，a2a2n，則a1n1n17A．15216B．15217C．16216D．162179/2553.如果數(shù)列an滿足a12，a21，且A．1B．1126【題型九】前n項(xiàng)積型

an1an anan1nan1 an11C．211

2,nN*，則a12（ ）1D．212【典例分析】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，若對(duì)n2，nN，都有Tn1Tn12Tn2成立，且a11，a22，則數(shù)列an的前10項(xiàng)和為____．【提分秘籍】基本規(guī)律類比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過程：1.n=1，得a12.n2時(shí)，anTnTn1【變式演練】1.若數(shù)列an的前n項(xiàng)的積為1，則an_____________.n12.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并滿足條件a11，且a2020a20211，a20201a202110，下列結(jié)論正確的是（多選題）A．S2020S2021B．a(chǎn)2020a202210C．?dāng)?shù)列Tn無最大值D．T2020是數(shù)列Tn中的最大值3.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an的前n項(xiàng)積Tn滿足Tn1anan1an1，則Tn________，數(shù)列a的前Tnn項(xiàng)和Sn________．【題型十】特殊通項(xiàng)1：“和”型求通項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝1(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為()72913A．5B．C．D．222【提分秘籍】10/255基本規(guī)律滿足an1anf(n)，稱為“和”數(shù)列，常見如下幾種：1.“和”常數(shù)型，如典例分析。2.“和”等差型，如變式13.“和”二次型，如變式24.“和”換元型，如變式3【變式演練】1.知數(shù)列{an}滿足：an1an4n3(nN*)，且a1=2，則an________________．2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn1Sn2n2nN*，且a1028，則a2A．－5B．－10C．12D．163.若數(shù)列an滿足an2an1k（k為常數(shù)），則稱數(shù)列an為等比和數(shù)列，k稱為公比和，已知數(shù)列an是以3為an1 an公比和的等比和數(shù)列，其中a11，a22，則a2019______.【題型十一】特殊數(shù)列2：正負(fù)相間討論型【典例分析】已知數(shù)列an中，a11，an1an(1)nnnN*，則a20___________.【提分秘籍】基本規(guī)律利用n的奇偶分類討論，觀察正負(fù)相消的規(guī)律【變式演練】1.已知數(shù)列an滿足a11，anan1(1)nn2n?2，nN*，則a100___________.2.數(shù)列{a}滿足a(1)na3n1，前16項(xiàng)和為540，則a.nn2n13.已知數(shù)列an滿足an11nann，則an的前40項(xiàng)和為__________．【題型十二】特殊數(shù)列3：奇偶討論型【典例分析】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，2Snan1an，則S20A．200B．210C．400D．41011/255【提分秘籍】基本規(guī)律1.分段數(shù)列2.奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列【變式演練】1.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a12，且滿足anan12nnN*，則a20=________．1a,若a為偶數(shù)nN*，則下列結(jié)論成立的是（22.在數(shù)列an中，a1aaN*，an1nn）2019an,若an為奇數(shù)A．存在正整數(shù)a，使得an為常數(shù)列B．存在正整數(shù)a，使得an為單調(diào)數(shù)列C．對(duì)任意的正整數(shù)a，集合annN*為有限集D．存在正整數(shù)a，使得任意的m、nN*，當(dāng)mn時(shí)，aman3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【題型十三】特殊數(shù)列4：“求和公式換元”型【典例分析】已知數(shù)列an滿足a12a23a3...nann2nnN*.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2【提分秘籍】基本規(guī)律和共式如sn=a1a2a3...an f(n)，把a(bǔ)n任意換元可得【變式演練】1.若數(shù)列an滿足a112,a12a23a3nann2an,則a2017______．2.已知數(shù)列an滿足a12a23a3 nan2n13n，nN，則an_________________．3.在數(shù)列an中，a11,a12a23a3nann21an1nN*.則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_____．【題型十四】特殊數(shù)列5：因式分解型求通項(xiàng)【典例分析】已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2n2n1Snn2n=0nN,12/255(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;【變式演練】1.設(shè)a是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且n1a21na2a 1a0n1,2,3, ，則a____，n n n n n 4an_____.2. a a2n1a 2n2n0.已知數(shù)列 n 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足 n n（2）求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和Sn.【題型十五】特殊數(shù)列6：其他幾類特殊數(shù)列求通項(xiàng)【典例分析】1，4an22anan21an1nN.已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11n（）證明：數(shù)列a1是等比數(shù)列；11112（2）證明：nN.a2aa4a33n1【提分秘籍】基本規(guī)律1.二次型：形如an1Aan2BanC，如典例分析2.三階遞推：形如man2tan1pan型，多在大題中，有引導(dǎo)型證明要求，如變式13.“糾纏數(shù)列”：兩個(gè)數(shù)列，多為等差和等比數(shù)列，通項(xiàng)公式組成“方程組”如變式24.數(shù)學(xué)歸納型：可以通過數(shù)學(xué)歸納法，猜想，證明（小題省略證的過程），如變式3【變式演練】1.在數(shù)列an中，a11，a23，an23an12ann1.（1）證明an1ann為等比數(shù)列；（2）求an.2.已知an和bn滿足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4．（1）證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；（2）求an和bn的通項(xiàng)公式；3.設(shè)正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn11nN*，試求an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)an2an論.13/255【題型十六】壓軸小題【典例分析】1.已如數(shù)列a，a1，且aan，則aaaa2n2a2n1a2n_____，a______.n1nn1n2123n2.已知數(shù)列an與bn滿足bn1anbnan12n1,bn31n1nN*，且a12，則a2n__________．23.已知數(shù)列an是共有k個(gè)項(xiàng)的有限數(shù)列，且滿足an1an1n(n2,…,k-1)，若a124，a251，anak0，則k_.4.已知數(shù)列{a}滿足a2，且an2nan1(n2,nN*)，則a__________.an1n1n1n5.已知數(shù)列a滿足a0,2a1an12an11aaan1aan1，且a1，則數(shù)列a的nnnnnn13n通項(xiàng)公式an__________．11.在數(shù)列{an}中，a1=1，an1an1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.n2.已知數(shù)列{a}中，a5，nan1(n1)an，則該數(shù)列的通項(xiàng)a_______.n112nn3n3.已知數(shù)列a中，a1，an11ann1，則a2020（）n121an1A．3B．2C．D．1234.已知數(shù)列{an}中，a11，an12an3．（1）若bnan3，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；14/255（3）若cnnbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn．a(chǎn)n*ana1an1(nN)a5.已知數(shù)列2a120__________．滿足1，n，則6.已知數(shù)列an中，a11,a22且an22an12，則an__________．a(chǎn)n12an7.若是正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，表示其前n項(xiàng)之積，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，n的值為_________.8.數(shù)列{an}滿足an1(1)nan2n1，則{an}的前60項(xiàng)和為9.已知數(shù)列an滿足3a132a233a33nan2n1，則an的通項(xiàng)公式______．a(chǎn)a2b2,b14.10.數(shù)列an,bn滿足n1nn,且a1bn16an6bn(1)證明:an12an為等比數(shù)列;(2)求an,bn的通項(xiàng).11.已知數(shù)列an滿足a12,a210,an2an12an,nN.(1)證明:數(shù)列an1an是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;15/255專題6-2數(shù)列求和15種類型歸納【題型一】求和思維基礎(chǔ)：由sn求an的關(guān)系【典例分析】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn2n12．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bnna1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．n【提分秘籍】基本規(guī)律S,n1對(duì)于公式an1SnSn1,n2（1）當(dāng)n2時(shí)，用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用SnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；（2）當(dāng)n1時(shí)， a1S1求出a1；（3）對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來寫．【變式演練】1.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n1（nN*），求an2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Snn2n.2（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列bn滿足bn1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.anan1【題型二】錯(cuò)位相消法三種思維求法【典例分析】（2020年新課標(biāo)1理數(shù)17題）設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)．（1）求{an}的公比；（2）若a11，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．【提分秘籍】基本規(guī)律以下三種思維，但還是建議練熟第一種。如果第一種都掌握不了的學(xué)生，基本上也記不住第二和第三種方法。1.思維結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖示如下C(anb)qn1,則其前n項(xiàng)和S=（An+B)qncnn2.公式型記憶：其中A=a,BbA,CBq1q1a(knb)qn（,q1),則n3.可可裂項(xiàng)為如下a[p(n1)t)]qn1(pnt)qnCC,(C((pnt)qn)nn1nnk=pq-p其中可通過方程組計(jì)算出p、t值：b=pqtqt【變式演練】1.已知數(shù)列an中，a11，an0，前n項(xiàng)和為Sn，若an（nN*，且SnSn1n2）.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）記c 3an，求數(shù)列c的前n項(xiàng)和T.n 2n1 n n2.（系數(shù)為負(fù)的，增加了計(jì)算難度）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an13Sn.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若bnlog2an1，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.【題型三】分組求和法【典例分析】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n2n，數(shù)列bn滿足4log2bnan3.（1）求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cnbn4，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.anan1【提分秘籍】基本規(guī)律an bncn型，其中bn和cn都是容易求和的數(shù)列【變式演練】1.設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an34nnN*；（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an13annN*，且-3，S4，9a3成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn1nan1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.nn1【題型四】求和難點(diǎn)1：裂項(xiàng)相消基礎(chǔ)思維【典例分析】設(shè)數(shù)列an滿足：a11，且2anan1an1（n2），a3a412.（1）求an的通項(xiàng)公式：1（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.anan2【提分秘籍】基本規(guī)律基礎(chǔ)原理：mm[11],如：1=1[11],pqqppq422424基本題型：（1）111;(2)11[11nn1(2n-1)(2n1)22n12n1n(n1)要求（避免掉坑）：（1）分母分解因式:11[11]n23nn(n3)nn3(2)系數(shù)不相同就提系數(shù)：1=1111[11]2n(n2)2nn（2n+4）2n2(3)求和化簡時(shí)，要寫到“前三后二”，并且一定要強(qiáng)調(diào)每項(xiàng)加括號(hào)，這樣容易觀察剩余的是首尾項(xiàng)（或正負(fù)項(xiàng)）對(duì)【變式演練】1.數(shù)列a中，a1，2an11nnN*，數(shù)列b滿足b2nanN*．22（1）求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cnlog2n2，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．a(chǎn)nccnn12.在等差數(shù)列an中，a18，a23a4．（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bnn124annN*，Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，若Tn95，求n的值．3.已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a37 ，且a2,a4,a9成等比數(shù)列．（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.anan1f（n）【題型五】求和難點(diǎn)2：形如 pq 型函數(shù)型裂項(xiàng)相消【典例分析】等差數(shù)列an滿足a13，a21，a51，a95成等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，bn1bnan.（Ⅰ）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；an（Ⅱ）數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明Tn1.bnbn1【變式演練】an22an1an*1.數(shù)列an滿足a11，a23且nN.an2an1an1an（1）設(shè)bnan，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；an1an（2）設(shè)can12，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn.nanan12、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且a11,an1SnSn1(nN).（Ⅰ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bna23，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.a21n1【題型六】求和難點(diǎn)3：指數(shù)型裂項(xiàng)相消【典例分析】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，an12Sn1，nN*.（1）求通項(xiàng)公式an；an*1（2）設(shè)bnnN，數(shù)列b的前n項(xiàng)和為T，求證：T.an1an114nnn【提分秘籍】基本規(guī)律an*形如bnnNanman+1m【變式演練】1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an12Sn對(duì)一切正整數(shù)n恒成立.（1）求當(dāng)a1為何值時(shí),數(shù)列an是等比數(shù)列,并求出它的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，記數(shù)列bnan的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.(an11)(an1)2、已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S430，a2，a4的等差中項(xiàng)為10.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）求T2222n.S1S2S2S3SnSn1【題型七】求和難點(diǎn)4：指數(shù)等差型裂項(xiàng)相消【典例分析】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2,nN*，數(shù)列bn滿足：b11,b21，3且3bn24bn1bn0, nN*．（1）求證：數(shù)列bn1bn是等比數(shù)列；【提分秘籍】基本規(guī)律形如cf(n)1，注意湊配“同構(gòu)”形式以裂項(xiàng)達(dá)到相消的目的(knb)[k(n1)nb]an【變式演練】1.已知數(shù)列an滿足：a1an；數(shù)列bn是等比數(shù)列，并滿足b12，且b11，1，ann1b4，b1成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；5anan1（2）若數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是Sn，數(shù)列cn滿足cn，求證：an2Sn2ccc1.12n23、設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0．已知b11，b22b31，(a2a6)b41，a4b2a5a3．Snc1c2c3cn(n{an}{bn}n11N*)（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)c，．n(n2)nbb11（ⅰ）求Sn；（ⅱ）證明(nN*)．2(n1)2n1k1kSk【題型八】求和難點(diǎn)5：奇偶正負(fù)型裂項(xiàng)相消【典例分析】已知正項(xiàng)等差數(shù)列an滿足：Sn2a13a23an3，其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）令bn1n12an14n2an1，證明：b1b2Lbn22nn12.【提分秘籍】基本規(guī)律形如bn1n1f(n)，可類比前邊規(guī)律裂項(xiàng)相消pq【變式演練】1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn12anSnnN*.（1）求S1、S2、S3的值；（2）求出Sn及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)bn1n1n12anan1nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.2、已知數(shù)列an滿足a11，nN*，a112a21nanan11.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若bn1n12n1，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn，求Sn.an an1【題型九】求和難點(diǎn)6：裂項(xiàng)為“和”型以相消【典例分析】已知數(shù)列an中，an0，a11，前n項(xiàng)和為Sn，且(Sn2Sn12)(SnSn1)2SnSn1(n2).（1）求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；（2）設(shè)bn1n2n1，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n.anan1【提分秘籍】基本規(guī)律可通過分離常數(shù)，或者公式ab 1 1，裂項(xiàng)為“和”，借助系數(shù)的正負(fù)相間，達(dá)到裂項(xiàng)ab ba相消的目的【變式演練】1.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn12an212an.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；2n1（2）若數(shù)列{bn}滿足bn(1)n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.2Sn2、已知遞增的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S11，S2，S31，S4成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）已知bn(1)n(4n4)，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n.an1an2【題型十】求和難點(diǎn)7：指數(shù)型裂項(xiàng)為“和”以相消【典例分析】已知數(shù)列{an}滿足an12an20，且a18.（1）證明：數(shù)列{an2}為等比數(shù)列；（2）設(shè)b(1)nan，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的nN*，mTn(2n1)(2n11)n恒成立，求m的取值范圍.【提分秘籍】基本規(guī)律授課時(shí)，注意講清楚裂項(xiàng)湊配的原理。如果學(xué)生接受難度大，可以逆向思維：反解代入【變式演練】1.已知數(shù)列an滿足a12,an12an2n1.a（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；1nn24n22n（3）記c，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.nanan1【題型十一】求和難點(diǎn)8：無理根式型裂項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列an的前項(xiàng)和滿足2SnnannnN，且a23.a1n2是常數(shù)數(shù)列；（1）求證：數(shù)列n1（2）設(shè)bn1，Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使Tn9成立的最小正anan1an1an20整數(shù)n的值.【變式演練】1.如圖所示，在fxx的圖像下有一系列正三角形△AnAn1BnnN*，記AnAn1Bn3anfanbn的邊長為，2.（1）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列cn滿足cn1，證明：bn1bnbn1bn1bnbn1cc c21.2 3 n 22、在①a2，a3，a44成等差數(shù)列；②S1，S22，S3成等差數(shù)列；③an1Sn2中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答.在各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，已知a12，且______.（1）求數(shù)列an通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn2n，nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.an1an11【題型十二】求和難點(diǎn)9：三項(xiàng)積式裂項(xiàng)相消【典例分析】已知數(shù)列a滿足a1，an1an，nN.21an（1）若1.①求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；②證明：對(duì)nN，aaaaaaaaan(n5).123234nn1n212(n2)(n3)【提分秘籍】基本規(guī)律屬于比較難的題型，做復(fù)習(xí)參考。一般情況下，可如下公式裂項(xiàng)：ptq11tpq1q1p[pt1tq1],(ptq)【題型十三】求和難點(diǎn)10：先放縮后裂項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有an13Sn2，數(shù)列bn滿足bnlog2an．（1）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；（）求證：1115n1．b2b2b24n212n【變式演練】1.已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，a1，且當(dāng)n2時(shí)，SnSn1.nn122Sn11（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若bn21nan，證明：b22b32b42 bn2123.2、數(shù)列an中，a11，a21，且an1n1nN*,n2.411annan*1令fnnN,n2，將fn用n表示，并求an通項(xiàng)公式；na(n1)an1n72令Tna12a22an2，求證：Tn.6【題型十四】求和難點(diǎn)11：利用組合數(shù)公式裂項(xiàng)求和（理科）【典例分析】已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S210，Snn1an12nN*.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n1an*1（2）設(shè)bnnN，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn1.2n(n1)!2【題型十五】求和難點(diǎn)12：分段數(shù)列求和【典例分析】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為正項(xiàng)等比數(shù)列，且a13，b11，b3S212，a5a32b2.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；2(n為奇數(shù)）（2）若cnSn，設(shè){cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n.b(n為偶數(shù))n【變式演練】1.已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11,a55a4a3,b54b4b3．（Ⅰ）求an和bn的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記an的前n項(xiàng)和為Sn，求證：SnSn2Sn21nN*；3an2bn,n為奇數(shù),anan2求數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和．（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)cnan1,n為偶數(shù).bn12.設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.已知a11，b12，b22a2，b32a32.（1）求an和bn的通項(xiàng)公式；1, n2k（2）數(shù)列cn滿足cnan,n2k(kN)，設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，求S2n.1.已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.2.已知等差數(shù)列an中，2a1a312，a12a21a4.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1112（2）記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，證明：L.S1S2Sn312n3.正項(xiàng)數(shù)列a的前n項(xiàng)和Sn滿足：S2(n2n1)S(n2n)0(1)求數(shù)列a的nnnn通項(xiàng)公式an；(2)令bnn1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜(n2)2an25.644.已知等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S（Sn0），滿足S，S，S成等差數(shù)列，且aaa.n123123（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn3an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.an1an115.已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足：a11，an21Sn1Sn，其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bnan1，證明：bbb1．2an12an1a43n12n（1）求數(shù)列{}1,2,46.已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．（2）令項(xiàng)和．的通項(xiàng)公式；17.已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn為an與an的等差中項(xiàng)．（1）求證：數(shù)列Sn2為等差數(shù)列；（2）設(shè)b (1)n，求b的前100項(xiàng)和T ．n an n 1008.已知an是公比q1的等比數(shù)列，且滿足a2a312，a1a432，數(shù)列bn滿足：abab...ab32n14n6.（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；bn21...cn11（2）令cn，求證：c1c2.bbabann1nn1n9.已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列．（1）求和：a1C20a2C21a3C22，a1C30a2C31a3C32a4C33；（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論，并加以證明；（3）設(shè)q1，Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求：S1Cn0S2Cn1S3Cn2S4Cn3 (1)nSn1Cnn．10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a12，a3a7322，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Snn2n，（Ⅰ）求an與bn的通項(xiàng)公式；an,n2k1,kN（Ⅱ）設(shè)cnb,n2k,kN，求數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和T2n．n專題7-1線性規(guī)劃歸類【題型一】三大基礎(chǔ)題型：截距，斜率與距離（圓系）【典例分析】≤+若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是___+≥【提分秘籍】基本規(guī)律1.線性，注意Z與截距之間的正反比例關(guān)系，如變式22.斜率型，要寫層標(biāo)準(zhǔn)的斜率公式形式，如變式13.距離型，注意圓與直線（線段）的位置關(guān)系：點(diǎn)到線的垂直關(guān)系還是點(diǎn)到點(diǎn)的關(guān)系，如典例分析【變式演練】xy20y41.設(shè)x,y滿足約束條件{2xy30，則的取值范圍是()x6xy04,13C.,31,D.3,1A.B.3,7+≤,=?2.若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值是__________．≥,x03.設(shè)點(diǎn)Px,y是平面區(qū)域{xy10 內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x2y24x的最小值為2xy20A.1B.1C.9D.522【題型二】由參數(shù)確定圖像形狀【典例分析】xy02xy2，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則a的取值范圍是（）若不等式組y04xya44A.aB.0a1C.1aD.0a1或a333【提分秘籍】基本規(guī)律分類討論，動(dòng)圖研究【變式演練】xy4,1.設(shè)不等式組yx0,表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若圓C:(x1)2(y1)2r2(r0)不x10,經(jīng)過區(qū)域D上的點(diǎn)，則r的取值范圍是A．2B．(22,252,32]C．(22,25]D．(0,22)(25,)x?0y?0表示的是一個(gè)對(duì)稱四邊形圍成的區(qū)域，則k.2.不等式組xy21?0xkyk?03.已知圓的方程為x2y24，P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若OP的垂直平分線總是被平面區(qū)域|x||y|a覆蓋，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)1B．a(chǎn)1C．0a1D．a(chǎn)0【題型三】含參線性規(guī)劃【典例分析】給出平面區(qū)域如圖所示，其中A（1，1），B（2，5），C（4，3），若使目標(biāo)函數(shù)Zaxy(a0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則a的值是A．B．1 C．4 D．【提分秘籍】基本規(guī)律含參型，注意區(qū)分參數(shù)所在位置而采取的不同處理方法。（1）參數(shù)在目標(biāo)函數(shù)x系數(shù)位置，如典例分析（2）參數(shù)在目標(biāo)函數(shù)y系數(shù)位置，如變式1（3）參數(shù)在約束不等式位置，如變式2（4）多參數(shù)，如變式3（5）授課時(shí)要講清楚“秒殺”法原理：三線共點(diǎn)法【變式演練】xya,且zxay的最小值為7，則a1.設(shè)x，y滿足約束條件xy1,（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-3xy02.變量x,y滿足約束條件x2y20，若z2xy的最大值為2，則實(shí)數(shù)m等于mxy0A．2B．1C．1D．2x13.已知點(diǎn)(x,y)是不等式組xy4表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)axbyc0z2xy的最大值為7，最小值為1，則abc的值為（）1aA．2B．C．-2D．-12【題型四】目標(biāo)函數(shù)變化型1：絕對(duì)值型【典例分析】x3y70，則z|yx|的最大值為．已知x,y滿足x1y1【提分秘籍】基本規(guī)律注意絕對(duì)值所在的位置，采取不同的策略：1.目標(biāo)函數(shù)整體位置，典例分析2.單個(gè)變量位置，變式13.雙絕對(duì)值位置，變式24.高考難題，變式3【變式演練】x3y301.已知實(shí)數(shù)x,y滿足xy10，則z=2|x|+y的取值范圍是___y1x2y202.2xy40,z2x3y1___.變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是xy103.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2y21，則2xy46x3y的最大值是．【題型五】目標(biāo)函數(shù)變化型2：分式型【典例分析】x4y42xy3已知3x5y15，則的最大值為；x2x1,y2【提分秘籍】基本規(guī)律1.分式型，如果是斜率型，要注意分離常數(shù)，還要注意x，y的系數(shù)要提出來，如典例分析2.齊次分式型，可以同除換元，如變式1，但是要注意同除時(shí)，是否要討論為0的情況。3.復(fù)雜分式型，實(shí)質(zhì)是劃歸后（主要是同除或者分離常數(shù)），可換元轉(zhuǎn)為基礎(chǔ)型，如變式2【變式演練】1.點(diǎn)M(x,y)在圓x2(y2)21上運(yùn)動(dòng)，則xy的取值范圍是()4x2y2A.(,1][1,)B.(,1][1,)0C.[1,0)(0,1]D.[1,1]44444444yxxy22.若x,y滿足不等式組y0，則目標(biāo)函數(shù)xy10,2x2y2則z3.已知x,y滿足xy0,x3,

(x2y)23x2y1的取值范圍是_____．3xy12x8y16的最小值是（）x(y4)A.23B.20C.28D.6233【題型六】目標(biāo)函數(shù)變化型3：二次型B【典例分析】2?3≤6[?3,0]0,9?3,9．．C．D．【提分秘籍】基本規(guī)律這幾道題，處理的方法各有特色，授課時(shí)注意分析其中的區(qū)別和聯(lián)系【變式演練】xy600，則2xy的最大值為（1.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2y14）02xy10A.25B.49C.12D.242.xy3x4y12,x4y4,3x2y6則xy的最大值是已知實(shí)數(shù)、滿足三個(gè)不等式：_______..2xy0,2y30,則z4x24xyy21的最大值為__________．3.已知變量x、y滿足x0,x【題型七】目標(biāo)函數(shù)變化型4：向量型【典例分析】xy0320所表示的可行域內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)A(1,已知點(diǎn)P3)，O為坐標(biāo)原為不等式xyy0OAOP點(diǎn)，則的最大值為（）OPA．B．1C．2D．132【提分秘籍】基本規(guī)律.把向量轉(zhuǎn)化為截距型等各類常規(guī)型求解。【變式演練】1.已知e1，e2為平面上的單位向量，e1與e2的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，e1與e2夾角為.平面區(qū)（）=1+20≤，那么平面區(qū)域D的面積為域D由所有滿足3A.1B.C.D.2.A(1,1)B(4,0)，C(2,2)已知，，平面區(qū)域是由所有滿足ADABAC(12,13)的點(diǎn)D(x,y)組成的區(qū)域，則區(qū)域E的面積是（）．A．8B．12C．16D．20xy20,2表示平面區(qū)域,過區(qū)域中的任意一個(gè)點(diǎn)P,作圓2,3.已知不等式組x22y2x2y21的兩條切線且切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)APB最大時(shí),PAPB的值為（）A．2B．3C．5D．322【題型八】導(dǎo)數(shù)和函數(shù)型【典例分析】已知二次函數(shù)fxx22ax2b有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，且1x11x22，則直線bxa1y30的斜率的取值范圍是（）22232122A．,B．,C．,D．,,55525332【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)和導(dǎo)數(shù)型涉及到線性規(guī)劃，多是在函數(shù)性質(zhì)以及“根的分布”題型中1()=ln(+1?)(?2)+(2?)≤0【變式演練】222.設(shè)函數(shù)時(shí)，，若，滿足不等式，則當(dāng)2的最大值為（）2.已知函數(shù)f32,gxlog2x2alog2xb2，若函數(shù)Fxfgx1xx有兩個(gè)零點(diǎn)x,x，且滿足1x2x4，則b2a的取值范圍（）1212a11243434123A．(,)B．[,]C．(,][,)D．(,)323232553.f(x)ln1xf(x)+f(2y)0x3已知函數(shù)1x，若x,y滿足1，則y的取值范圍是（）11A.1,B.(1,)C.(-1,1)D.[-1,1]22xy2所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，其面積為S.①若S4，則k的值1.設(shè)不等式組y2k(x1)唯一；②若S1，則k的值有2個(gè)；③若D為三角形，則0k≤2；④若D為五邊形，23則k4．以上命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4xy10，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0,b0)在該約束2.已知x,y滿足約束條件y302x條件下取到最小值25時(shí)，a2b2的最小值為（）D.2A.5B.4C.5x2y40,時(shí)，1axy4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.3.當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足xy10,x1,4.如圖，在OAB中，點(diǎn)P是線段OB及AB、AO的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，且OPxOAyOB，則在直角坐標(biāo)平面上，實(shí)數(shù)對(duì)x,y所表示的區(qū)域在直線yx3的右下側(cè)部分的面積是（ ）A．7B．9C．4D．不能求225.設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx2﹣kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m+k的最小值為A．﹣8B．8C．12D．136．已知函數(shù)fx滿足：①對(duì)任意0x1x2，都有fx1fx20；②函數(shù)yfx2的x1x2圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱若實(shí)數(shù)，滿足fa22bfb22a，則當(dāng)a1,1時(shí)，a2ab的取值范圍為（）A．1,1B．1,1C．1,1D．2,428242x11,x07．已知函數(shù)fxx2mfxn0n0有7個(gè)不同的，若方程fln(ex)1,x0x實(shí)數(shù)解,則2m3n的取值范圍（）A．(2,6)B．(6,9)C．(2,12)D．(4,13)x2y28．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件{3x26，則(x1)y的最大值是（）yA．1B．4C．9D．3389．已知正數(shù)a、b、c滿足6c4ab5c2a，clnbaclnc，則b的取值范圍是（）aA．2,eB．e,8C．2,82eD．e,e10．已知函數(shù)f(x)m1nlnx(m0,0?n?e)在區(qū)間1，e內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則n2的最大值為xm1e2e2A．B．C．e1D．122ee12xy6051bya0,b0的最大值為40，則11．在xy20條件下，目標(biāo)函數(shù)zax的最abxy2小值是A．7B．9C．5D．24242xy4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足x1，則226x的最小值是_______.x21)(y21y)1(x13C2，直線OP（其中O為．以點(diǎn)C(1,2)為圓心作圓，過點(diǎn)P(2,4)作圓的切線，切線長為坐標(biāo)原點(diǎn)）交圓C于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M(x,y)在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x2y12xy的最大值為_________.專題7-2基本不等式歸類【題型一】基礎(chǔ)型【典例分析】在下列函數(shù)中,最小值是2的是A.yx2B.yx2(x0)xx12

ysinxcosx,x0,πD.y7x7x2【提分秘籍】基本規(guī)律1.基本公式（）22ab2ab2；（2）；（3）b22.一正二定三相等。是均值成立的前提條件?！咀兪窖菥殹?.已知關(guān)于x的不等式x25ax2a20a0的解集為x1,x2，則x1x2a的最x1x2小值是______．b4a2.若a、b都是正數(shù)，則11的最小值為().abA.5B.7C.9D.133.在區(qū)間[﹣2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，使a21x恒成立的概率是（）a21A．1B．1C．2D．33234【題型二】“1”的代換型【典例分析】2xy7，則x+3y的最小值為__________已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且6xy2【提分秘籍】基本規(guī)律“1”代換是基本型，要注意1.一正二定三相等2.見分子想分母，見分子想分子。【變式演練】1.已知a0，b0，321，則2a3b的最小值為（）baA．20B．24C．25D．282.已知a0，b0，3a41，則13b的最小值為（）abA．13B．19C．21D．27已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋＝，則2a212b24的最小值為3.b1ab_____【題型三】“和”與“積”互消型【典例分析】已知x、y都是正數(shù)，且滿足x2yxy30，則xy的最大值為_________．【提分秘籍】基本規(guī)律1.有“和”、“積”無常數(shù)，可以同除，化回到“1”的代換型。如變式12.有“和”、“積”有常數(shù)求積型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如典例分析3..有“和”、“積”有常數(shù)求和型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如變式2授課時(shí)，注意這類求和時(shí)，基本所求和與原式和系數(shù)“一致”，不一致，則可以用反解代入消參等方法【變式演練】1.已知x0，y0，且4x2yxy0，則2xy的最小值為（）A．16B．84C．12D．64222.已知x0,y0，且2x9y6xy9，則2x9y的最小值為____