數(shù)列滿分通關(guān)23講（學(xué)生版）

數(shù)列滿分通關(guān)23講專題01數(shù)列的概念及性質(zhì) 3考點一由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項公式 3考點二數(shù)列的周期性 5考點三數(shù)列的單調(diào)性 7專題02數(shù)列中的最值問題 9考點一數(shù)列的最大(小)項 9考點二等差數(shù)列中與前n項和Sn相關(guān)的最值 11考點三等比數(shù)列中的最值 14專題03 用an與Sn的關(guān)系求通項公式 16考點一由Sn＝f(n)求an型 16考點二由a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an型 17考點三由f(an，Sn)＝0消去Sn型 18考點四由f(an，Sn)＝0消去an型 20專題04用累加法與累乘法求通項公式 21考點一由an＋1－an＝f(n)求an型 21考點二由an＋1＝f(n)求an型 23an專題5用構(gòu)造輔助數(shù)列通項公式 25考點一由an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)求an型 25考點二由an＋1＝pan＋f(n)求an型 25考點三由an＋2＝pan＋1＋qan求an型 26考點四由an＋1＝ Aan求an型 26Ban＋C考點五由其他形式的遞推公式求an型 27專題06等差數(shù)列基本量的計算 29專題07等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 35考點一性質(zhì)(1)的應(yīng)用 35考點二性質(zhì)(2)的應(yīng)用 35考點三性質(zhì)(6)的應(yīng)用 38考點四性質(zhì)(7)的應(yīng)用 38考點五性質(zhì)(10)的應(yīng)用 39考點六其他性質(zhì)的應(yīng)用 40專題08等差數(shù)列的判定與證明 41專題09等比數(shù)列基本量的計算 48專題10等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 54考點一性質(zhì)(2)的應(yīng)用 54考點二性質(zhì)(7)的應(yīng)用 56考點三其他性質(zhì)的應(yīng)用 56專題11等比數(shù)列的判定與證明 58專題12等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 67考點一選填題 67考點二解答題 70專題13裂項相消法求和 80考點一選填題 818311．a(chǎn)n＝型83n(n＋k)12．a(chǎn)n＝型86(n＋k)(n＋k＋1)13．a(chǎn)n＝型87(2n－1)(2n＋1)14．a(chǎn)n＝型89(2n＋1)(2n＋3)5．a(chǎn)n＝2n＋1型90n2n＋121＋1n型6．a(chǎn)n＝loga917．a(chǎn)n＝2n型912n＋12n＋1＋1n＋2k·2k＋18．a(chǎn)n＝或型93(n2＋n)2n＋1k＋1k＋2專題14錯位相減法求和95專題15分組轉(zhuǎn)化法求和1051051061.等差(等比)＋等比(等差)模型1062．裂項＋等比模型1123．錯位＋等差(裂項)模型113專題16數(shù)列的奇偶項討論問題115考點一an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)類型115考點二an＝f(n)，n為奇數(shù)，類型117g(n)，n為偶數(shù)．考點三含有(－1)n的類型119考點四已知條件明確的奇偶項或含有三角函數(shù)問題124專題17數(shù)列不等式的證明127考點一先求和(裂項相消法)再放縮127考點二先求和(錯位相減法)再放縮134考點三先放縮再求和136專題18用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式139專題19數(shù)列不等式恒成立與存在性問題小題144考點一由數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)144考點二由數(shù)列不等式求n的最值146專題20數(shù)列不等式恒成立與存在性問題大題147考點一由數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)147考點二由數(shù)列不等式求n的最值154考點三數(shù)列不等式存在性問題求參數(shù)156專題22數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題160專題23數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題168168172專題01 數(shù)列的概念及性質(zhì)1．?dāng)?shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列按項的個數(shù)無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列，即an＋1>an遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列，即an＋1<an按項的變化趨勢常數(shù)列各項都相等的數(shù)列，即an＋1＝an周期數(shù)列項呈現(xiàn)周期性變化擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項3．?dāng)?shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．(1)列舉法：a1，a2，a3，…，an，…；(2)圖像法：數(shù)列可用一群孤立的點表示；(3)解析法(公式法)：通項公式或遞推公式．4．?dāng)?shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項與它的序號n之間的關(guān)系可以用一個公式an＝f(n)來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的通項公式．通項公式可以看成數(shù)列的函數(shù)解析式．5．?dāng)?shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的首項(或前幾項)，且任意一項an與an－1(或其前面的項)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作數(shù)列的遞推公式．它是數(shù)列的一種表示法．注：并不是所有的數(shù)列都有通項公式，即使有通項公式也未必唯一．6．?dāng)?shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系S1 n＝1，已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝Sn－Sn－1n≥2. 這個關(guān)系式對任意數(shù)列均成立．7．?dāng)?shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系從映射、函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N＋的函數(shù)，即當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．考點一 由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項公式【基本方法】由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．同時也可以使用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一個常見數(shù)列，通過常見數(shù)列的通項公式求得所給數(shù)列的通項公式．(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征，如遞增時可考慮關(guān)于n為一次遞增或以2n，3n等形式遞增；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值的特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*來處理．【基本題型】[例1](1)數(shù)列，，，，…的一個通項公式an＝________．371115(2)數(shù)列－1，1，－1，1，…的一個通項公式an＝________．1×22×33×44×5(3)已知數(shù)列1，2，7，10，13，…，則219在這個數(shù)列中的項數(shù)是()A．16B．24C．26D．282468(4)數(shù)列，－，，－，…的第10項是()3579A．－16B．－18C．－20D．－2217192123(5)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an＝________．(6)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(6)＝________．【對點精練】2461．?dāng)?shù)列0，，，，…的一個通項公式為________．3571151329612．已知數(shù)列{an}為，，－，，－，，…，則數(shù)列{an}的一個通項公式是________．3224816643．在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x應(yīng)取()A．19B．20C．21D．224．已知數(shù)列2，5，22，…，則25是該數(shù)列的()A．第5項B．第6項C．第7項D．第8項5．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的通項公式為________．6．把1，3，6，10，15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的圓點可以排成一個正三角形(如圖所示)．則第7個三角形數(shù)是()A．27B．28C．29D．30考點二 數(shù)列的周期性【基本知識】周期數(shù)列：對于數(shù)列{an}，如果存在一個常數(shù)T，使得對任意的正整數(shù)i恒有ai＝ai＋T成立，則稱數(shù)列{an}是周期為T的周期數(shù)列．周期數(shù)列的常見形式：(1)an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(2)an＋1＝anan＋2(n∈N*)；(3)an＋1＝1－1an(n∈N*)；(4)an1＝1＋an(n∈N*)；(5)三角函數(shù)型；＋ 1－an【基本方法】解決數(shù)列周期性問題的方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求有關(guān)項的值或者前n項的和．【基本題型】[例2](1)已知數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則{bn}的前2022項的和為()A．0B．1C．－5D．－1(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，則a2022的值為()A．2B．1C．1D．124(3)在一個數(shù)列中，如果對任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．(4)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝1，若a1＝1，則a2022＝()1－an2A．－1B．1C．1D．22(5)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝1＋an，則a2022的值為()1－anA．2B．－3C．－1D．123(6)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin(n＋1)π，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2018＝()2A．0B．2018C．1010D．1009【對點精練】1．已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝an＋1－an，n∈N*，a1＝1，a2＝2，則a2021等于()A．－2B．－1C．1D．22．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＝2a1＝1，an＋1an－1＝an(n≥2)，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)2020＝2B．a(chǎn)4＝a100C．S3＝7D．S30＝6S623．在數(shù)列{an}中，若對任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，則數(shù)列{an}的前100項的和S100＝()A．132B．299C．68D．994．已知數(shù)列a1＝2，an＝1－1(n≥2)．則a2022＝________．a(chǎn)n－15．(2014·全國Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝1，a8＝2，則a1＝________．1－an6．已知數(shù)列{an}中，a1＝－1，an＋1＝1，則下列各數(shù)是{an}的項的有()1－an2A．－2B．2C．3D．3327．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝1＋an(n∈N*)，則a1·a2·a3·…·a2022＝()1－anA．－6B．6C．－3D．3，則S2022＝________．8．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝3＋an1－3an2an，0≤an<1，9．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝2若a1＝3，則a2020＝()12an－1，≤an<1，52A．1B．2C．3D．4555510．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an2－2an＋1(n∈N*)，則a2022＝________．考點三數(shù)列的單調(diào)性【基本方法】判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法1．作差(或商)法．??是常數(shù)列．(1)作差比較法an＋1－an>0數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；an＋1－an<0數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；an＋1－an＝0數(shù)列{an}(2)作商比較法an＋1an＋1an＋1an>0時，>1?數(shù)列{a}是單調(diào)遞增數(shù)列；<1?數(shù)列{a}是單調(diào)遞減數(shù)列；＝1?數(shù)列{a}ananan是常數(shù)列．a(chǎn)n＋1an＋1an＋1an<0時，>1?數(shù)列{a}是單調(diào)遞減數(shù)列；<1?數(shù)列{a}是單調(diào)遞增數(shù)列；＝1?數(shù)列{a}ananan是常數(shù)列．2．目標(biāo)函數(shù)法寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去．【基本題型】[例3](1)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．“任意正整數(shù)n，均有an＞0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的( )A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)已知數(shù)列{an}的通項an＝na(a，b，c都是正實數(shù))，則an與an＋1的大小關(guān)系是()．nb＋cA．a(chǎn)n＞an＋1B．a(chǎn)n＜an＋1C．a(chǎn)n＝an＋1D．不能確定n(3)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝，那么這個數(shù)列是()3n＋1A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．?dāng)[動數(shù)列D．常數(shù)列(4)(多選)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋4Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝1，則下列說法正確的是()4A．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn＝1B．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an＝14n4n(n＋1)1C．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列Sn為遞增數(shù)列(5)設(shè)函數(shù)f(x)＝3－ax－3，x≤7，數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實ax－6，x>7，數(shù)a的取值范圍是()9，39，3C．(1，3)D．(2，3)A．4B．4(6)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若數(shù)列{Sn}(n≥7，n∈N*)為遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為________．(7)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實數(shù)k的取值范圍是________．【對點精練】1．對于數(shù)列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的( )A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．在數(shù)列{an}中，an＝n＋2，則{an}( )n＋1A．是常數(shù)列 B．不是單調(diào)數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是遞減數(shù)列3．(多選)下面四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是( )1111π2π3πnπA．1，，，，…，，…B．sin，sin，sin，…，sin，…7777234n1111C．－1，－，－，－，…，－，…D．1，2，3，…，n，…2482n1(1－3a)·n＋10a，n≤6，(n∈N*)，若對任意的n∈N*，均有an>an＋1，則實數(shù)a4．已知數(shù)列{an}滿足an＝an－7，n>6的取值范圍是()1，11，51，11，5A．3B．38C．32D．385．已知f(x)＝(2a－1)x＋4(x≤1)，數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an＝f(n)，且{an}是遞增數(shù)列，則a的取值ax(x>1)，范圍是()A．(1，＋∞)1，＋∞C．(1，3)D．(3，＋∞)B．26．已知an＝n2＋λn，且對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________．7．在數(shù)列{an}中，a1＝a，an＋1＝2an－1，若{an}為遞增數(shù)列，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)＞1C．a(chǎn)＞2D．a(chǎn)＞33n＋k8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為()2nA．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)專題02 數(shù)列中的最值問題考點一 數(shù)列的最大(小)項【基本方法】求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進而求出數(shù)列的最大(小)項；(2)通過通項公式an研究數(shù)列的單調(diào)性，若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞an＋10或an＞0時，＞1，則an＋1＞an，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項為a1anan＋1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0或an＞0時，＜1，則an＋1＜an，則數(shù)列{an}是an遞減數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最大項為a1＝f(1)．若不單調(diào)利用an≥an－1，(n≥2)確定最大項，an≥an＋1利用an≤an－1，(n≥2)確定最小項；an≤an＋1【基本題型】[例1](1)數(shù)列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，則此數(shù)列最大項的值是____________．n(2)數(shù)列{an}的通項an＝，則數(shù)列{an}中的最大項是()n2＋90A．3B．19C．1D．10106019n2＋12(3)若數(shù)列{an}中，an＝，n∈N*，則數(shù)列{an}中的項的最小值為________．n＋22(4)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n3n，則數(shù)列{an}中的最大項為()A．8B．2C．64D．1259381243(5)若數(shù)列{n(n＋4)(2)n}中的最大項是第k項，則k＝________．3(6)數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1，n≤4，(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，則－n2＋(a－1)n，n≥5的取值范圍是________．a(chǎn)n＋1－anan(7)已知數(shù)列{an}滿足a1＝28，＝2，則的最小值為()nn294827A．B．47－1C．D．354[例2]已知數(shù)列{an}中，an＝1＋1(n∈N*，a∈R，且a≠0)．a(chǎn)＋2(n－1)(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．1 1(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝2an－5an，求數(shù)列{bn}中最小的項．【對點精練】1．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是( )A．第2項B．第3項C．第4項D．第5項2．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝n(n∈N*)，則這個數(shù)列中的最大項是()n2＋196A．第12項B．第13項C．第14項D．第15項3．已知數(shù)列的通項為an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項是第________項．3n－164．已知數(shù)列{an}滿足a1>0，且an＋1＝nan，則數(shù)列{an}的最大項是()n＋1A．a(chǎn)1B．a(chǎn)9C．a(chǎn)10D．不存在95．?dāng)?shù)列{an}的通項公式是an＝(n＋2)10n，那么在此數(shù)列中()A．a(chǎn)7＝a8最大B．a(chǎn)8＝a9最大C．有唯一項a8最大D．有唯一項a7最大76．在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1)8n，則數(shù)列{an}的最大項是第________項．a(chǎn)7．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－11n＋n，a5是數(shù)列{an}的最小項，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．[－40，－25]

B．[－40，0]

C．[－25，25]

D．[－25，0]8．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4．(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；(2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實數(shù)k的取值范圍．考點二 等差數(shù)列中與前n項和Sn相關(guān)的最值【基本方法】等差數(shù)列前n項和Sn的最值的常用方法在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)的最值．(2)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，進而求Sn的最值．a(chǎn)m≥0，①當(dāng)a1>0，d<0時，滿足am＋1≤0的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm(當(dāng)am＋1＝0時，Sm＋也為最大值)；am≤0，②當(dāng)a1<0，d>0時，滿足am＋1≥0的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm(當(dāng)am＋1＝0時，Sm＋也為最小值)．【基本題型】[例4](1)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15，求Sn取得最小值n的值為________．(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于()A．6B．7C．8D．9(3)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S7＝S11，且a1>0，則Sn中最大的是()A．S7B．S8C．S9D．S10(4)等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n的值為()A．6B．7C．8D．9(5)(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時，{an}的前n項和最大．(6)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝2，對任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，則f(n)＝Sn＋60(n∈N*)的最小值為________．n＋1(7)(2020·北京)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－9，a5＝－1．記Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，則數(shù)列{Tn}( )A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項(8)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，設(shè)Sn為{bn}的前n項和．若a12＝38a5＞0，則當(dāng)Sn取得最大值時n的值為________．(9)(2013·全國Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．(10)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a11＜－1，且它們的前n項和Sn有最大值，則使Sn＞0a10n的最大值為________．(11)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S2022＜S2020，S2021＜S2022，則Sn＜0時n的最大值是()A．2021B．2022C．4041D．4042因為即所以所以可知時的最大值是故選(10)、(11)(12)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1010＞0，a1009＋a1010＜0，則滿足SnSn＋1＜0的正整數(shù)為()A．2017B．2018C．2019D．2020[例5] (2019·北京)設(shè){an}是等差數(shù)列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值．[例6] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1≠0，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對一切正整數(shù)都成立．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)a1>0，λ＝100，當(dāng)n為何值時，數(shù)列l(wèi)g1an的前n項和最大？【對點精練】1．已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為________．2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，S9－S5＝－4，則Sn取最大值時的n為()95A．4B．5C．6D．4或53．(2019·北京)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn的最小值為________．4．在等差數(shù)列{an}中，若a1＜0，Sn為其前n項之和，且S7＝S17，則Sn為最小時n的值為________．5．等差數(shù)列{an}中，a1＞0，S5＝S12，則當(dāng)Sn有最大值時，n的值為__________．6．等差數(shù)列{an}的公差d＜0且a21＝a213，則數(shù)列{an}的前n項和Sn有最大值，當(dāng)Sn取得最大值時的項數(shù)n是()A．6B．7C．5或6D．6或77．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若a8a7＜－1，則()A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S78．在等差數(shù)列{an}中，首項a1＞0，公差d≠0，前n項和為Sn(n∈N*)，有以下命題：①若S3＝S11，則必有S14＝0；②若S3＝S11，則必有S7是Sn中的最大項；③若S7＞S8，則必有S8＞S9；④若S7＞S8，則必有S6＞S9．其中正確命題的個數(shù)是( )A．1 B．2 C．3 D．49．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，則這個最小值為________．10．等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比數(shù)列，若a5＝5，Sn為數(shù)列{an}的前nSn項和，則數(shù)列n的前n項和取最小值時的n為()A．3B．3或4C．4或5D．511．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，則S1，S2，…，S9中最小的是______．12．若{an}是等差數(shù)列，首項a1>0，a2020＋a2021>0，a2020·a2021<0，則使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是()A．2038B．2039C．4040D．404113．若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為( )A．10B．11C．12D．1314．(多選題)等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則()A．公差d<0B．a(chǎn)16<0C．Sn≤S15D．當(dāng)且僅當(dāng)Sn<0時n≥3215．(多選題)設(shè)正項等差數(shù)列{an}滿足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，則()A．a(chǎn)2a9的最大值為10B．a(chǎn)2＋a9的最大值為210C．1＋1的最大值為1D．a(chǎn)24＋a94的最小值為2005a22a9216．(2018·全國Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通項公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．17．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：a1an＝S1＋Sn．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；log2an(2)若an>0，數(shù)列 32的前n項和為Tn，試問當(dāng)n為何值時，Tn最??？并求出最小值．考點三 等比數(shù)列中的最值【基本題型】[例7](1)各項均為正數(shù)且公比q＞1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1a5＝4，a2＋5Sn＋2a4＝5，則2的最小值為________．2an(2)等比數(shù)列{an}的首項為3，公比為－1，前n項和為Sn，則當(dāng)n∈N*時，Sn－1的最大22Sn值與最小值之和為()A．－2B．－7C．1D．512346(3)(2016·全國Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2·…·an的最大值為________．【對點精練】1．正項等比數(shù)列{an}中，存在兩項am，an，使得aman＝4a1，且a6＝a5＋2a4，則m1＋4n的最小值是()3725A．B．2C．D．2362．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為Tn，且a2a4＝a3，則使得T1>1的n的最小值為()A．4B．5C．6D．73．設(shè)Tn為等比數(shù)列{an}的前n項之積，且a1＝－6，a4＝－3，則當(dāng)Tn最大時，n的值為4()A．4B．6C．8D．10４．已知數(shù)列{an}滿足遞推公式an＋1＝2an＋1，a1＝1．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則4n＋7－n－Sn的最an＋1小值是________．專題03用an與Sn的關(guān)系求通項公式【基本知識】Sn與an的關(guān)系已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝S1，n＝1，這個關(guān)系式對任意數(shù)列均成Sn－Sn－1，n≥2，立．注意：Sn與an關(guān)系的二重性，即用Sn與an關(guān)系可消去an，也可消去Sn．(1)正用an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去an轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式．(2)逆用Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去Sn轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．提醒：利用an＝Sn－Sn－1求通項時，應(yīng)注意n≥2這一前提條件，易忽視驗證n＝1致誤．考點一由Sn＝f(n)求an型【基本方法】已知Sn＝f(n)求an的方法已知Sn＝f(n)求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，主要分三個步驟完成：Sn－Sn－1，n≥2．(1)當(dāng)n＝1時，在Sn＝f(n)中，令n＝1，求得a1＝f(1)；(2)當(dāng)n≥2時，再利用an＝Sn－Sn－1＝f(n)－f(n－1)(n≥2)，求出an＝f(n)－f(n－1)．即當(dāng)n≥2，n∈N*時的通項公式；(3)檢查a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫成an＝f(n)－f(n－1)；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝f(1)，n＝1，f(n)－f(n－1)，n≥2．【基本題型】[例1](1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則an＝________．(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________；(3)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則an＝________．【對點精練】1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，則an＝________．2．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________．3．若Sn＝3n＋2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________________．4．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________________．5．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn．(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn＝a2n·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn＋1＜cn．考點二 由a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an型【基本方法】已知Sn求an的方法S1，n＝1，已知a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an的常用方法是利用an＝Sn－Sn－1，n≥2． 主要分三個步驟完成：(1)當(dāng)n＝1時，求得a1＝f(1)；(2)當(dāng)n≥2時，在a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)中用n－1替換n得到一個新的關(guān)系式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝f(n－1)，兩式相減得到an＝f(n)－f(n－1)(n≥2)，便可求出當(dāng)n≥2，n∈N*時的通項公式；(3)檢查a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫成an＝f(n)－f(n－1)；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝f(1)，n＝1，f(n)－f(n－1)，n≥2．【基本題型】[例2](1)已知正項數(shù)列{an}中，a1＋ a2＋…＋an＝n(n＋1)，則數(shù)列{an}的通項公式為2()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n2C．a(chǎn)n＝nD．a(chǎn)n＝n222(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________．[例3] 記m＝d1a1＋d2a2＋…＋dnan，若{dn}是等差數(shù)列，則稱m為數(shù)列{an}的“dn等差n均值”；若{dn}是等比數(shù)列，則稱m為數(shù)列{an}的“dn等比均值”．已知數(shù)列{an}的“2n－1等差均值”為2，數(shù)列{bn}的“3n－1等比均值”為3．記cn＝2＋klog3bn，數(shù)列{cn}的前n項和為anSn，若對任意的正整數(shù)n都有Sn≤S6，求實數(shù)k的取值范圍．【對點精練】1．已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________________．2．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝________．3．已知數(shù)列{an}滿足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，則{an}的通項公式是________．考點三 由f(an，Sn)＝0消去Sn型【基本方法】已知Sn求an的方法S1，n＝1，已知f(an，Sn)＝0求an，如果能消去Sn，則利用an＝Sn－Sn－1，n≥2. 消去Sn，主要分四個步驟完成：(1)當(dāng)n＝1時，先利用a1＝S1，求得a1；(2)當(dāng)n≥2時，用n－1替換f(an，Sn)＝0中的n得到一個新的關(guān)系式f(an－1，Sn－1)＝0，兩式相減，再逆用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可得到當(dāng)n≥2，n∈N*時數(shù)列{an}的一個遞推公式；(3)借助各類遞推公式求通項公式的方法求出當(dāng)n≥2，n∈N*時的通項公式；(4)看a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式．【基本題型】[例4](1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項an＝________．(2)(2013·全國Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝23an＋13，則{an}的通項公式是an＝________．(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，則通項公式an＝____________．(4)已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝________．(5)若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且2Sn＝an＋1an，a1＝4，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝____．[例5]設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*．(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【對點精練】1．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則an＝________．2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4，(n∈N*)，則an________．3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝________．4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，2Sn＝anan＋1(n∈N*)，則an＝________．5．(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝n，求an；(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an>0，Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，求an．1 1(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．7．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12．1(1)求證：Sn成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．8．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1＝32，前n項和為Sn，且滿足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)．(1)求a2及an；(2)求證：anSn的最大值為94．考點四 由f(an，Sn)＝0消去an型【基本方法】已知Sn求an的方法S1，n＝1，已知f(an，Sn)＝0求an，如果不能消去Sn，則利用an＝Sn－Sn－1，n≥2.消去an，先求出Sn，再求an，主要分五個步驟完成：(1)當(dāng)n＝1時，先利用a1＝S1，求得a1；(2)當(dāng)n≥2時，用an＝S1，n＝1，消去an，便可得到當(dāng)n≥2，n∈N*時數(shù)列{Sn}的Sn－Sn－1，n≥2.一個遞推公式；(3)借助各類遞推公式求通項公式的方法求出當(dāng)n≥2，n∈N*時數(shù)列{Sn}的通項公式；(4)此時問題轉(zhuǎn)化為由Sn＝f(n)求an型，求出當(dāng)n≥2，n∈N*時數(shù)列{an}的通項公式；(5)看a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式．【基本題型】[例6](1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝3且當(dāng)n≥2時，2an＝Sn·Sn－1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________．(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結(jié)論正確的是________．＝1－1，n＝1，＝－11＝1①②③④數(shù)列Sn是等差數(shù)ananSnnn－1列【對點精練】1．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前________．2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列an＝________．

項和為Sn，若S1＝2，3S2n－2an＋1Sn＝a2n＋1，則an＝2an{an}的前n項和，且當(dāng)n≥2時，有anSn－Sn2＝1成立，專題04 用累加法與累乘法求通項公式考點一 由an＋1－an＝f(n)求an型【基本方法】已知an＋1－an＝f(n)求an的方法累加法：已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，則an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．所有等式左右兩邊分別相加，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1(n≥2)．代入a1得an．【基本題型】[例1](1)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．(2)若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，則數(shù)列的通項公式為an＝________．(3)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1－1，則an等于()n＋1nA．1B．2n－1C．n－1D．1nnn2n(4)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1)n，則an等于(A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn(5)在數(shù)列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)·(an＋1－an)＝1(n∈N*)，則通項公式an＝________．[例2](2018·浙江)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中項．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝1，數(shù)列{(bn＋1－bn)an}的前n項和為2n2＋n．(1)求q的值；(2)求數(shù)列{b

n}的通項公式．【對點精練】1．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝____________．2．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，則an＝________．3．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，則an等于( )A．2n＋n－2

B．2n－1＋n－1

C．2n＋1＋n－4

D．2n＋1＋2n－24．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋n(n11)，則通項公式an＝________．＋5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋n＋1－n(n≥2)，則an＝________．16．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1an＋ln1＋，則an＝________．＝nn＋1n7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an(1－nan＋1)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)證明：an＝3n－21．9．已知a1＝2，a2＝4，數(shù)列{bn}滿足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn．(1)求證：數(shù)列{bn＋2}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．考點二由an＋1＝f(n)求an型an【基本方法】已知an＋1＝f(n)求an的方法an累乘法：已知a1且an＝f(n)(n≥2)，則an＝f(n)，an－1＝f(n－1)，…，a3＝f(3)，a2＝f(2)，an－1an－1an－2a2a1所有等式左右兩邊分別相乘，即an＝an·an－1·…·a3·a2·a1(n≥2)．代入a1得an．a(chǎn)n－1an－2a2a1【基本題型】[例3](1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝nan(n∈N*)，則an等于()n＋1A．n＋1B．nC．1D．1n＋1n(2)在數(shù)列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，則數(shù)列的通項公式為an＝________．(3)已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________．(4)設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，則它的通項公an＝________．(5)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，則數(shù)列{an}的通項公式為()A．(2n＋1)2－1B．(2n＋1)2C．8n2D．(n＋1)3【對點精練】1．已知在數(shù)列{an}中，an＋1＝nan(n∈N*)，且a1＝4，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________．n＋22．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________________．1＋13．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2nan，則通項公式an為________．4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，前nn＋2an，則{an}的通項公式為____________．項和Sn＝35．已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，則它的通項公式為( )A．a(chǎn)n＝1B．a(chǎn)n＝2C．a(chǎn)n＝n＋2D．a(chǎn)n＝nn＋1n＋126．若{an}滿足2(n＋1)·a2n＋(n＋2)·an·an＋1－n·a2n＋1＝0，且an>0，a1＝1，則an＝____________．7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋a222＋a332＋…＋ann2＝an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________．8．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝n＋32an．(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式．專題5用構(gòu)造輔助數(shù)列通項公式考點一由an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)求an型【基本方法】已知an＋1＝Aan＋B求an的方法1遞推關(guān)系形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0，A，B為常數(shù))可化為an＋1＋B＝A－1an＋Ban＋BAA－1(p≠1)的形式，利用A－1是以A為公比的等比數(shù)列求解．已知an＋1＝Aan＋B求an的方法2對于一個函數(shù)f(x)，我們把滿足f(m)＝m的值x＝m稱為函數(shù)f(x)的“不動點”．利用“不動點法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．若f(x)＝Ax＋B(A≠0，1)，p是f(x)的不動點．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，則an＋1－p＝A(an－p)，即{an－p}是公比為A的等比數(shù)列．【基本題型】[例1](1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線3x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項公式為________．[例2](1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝12an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________．(2)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝－13an－2，a1＝4，則數(shù)列{an}的通項公式為________．【對點精練】1．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項公式an＝________．2．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項公式an＝________．3．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項公式為________．考點二 由an＋1＝pan＋f(n)求an型【基本方法】已知an＋1＝pan＋f(n)求an的方法遞推關(guān)系形如an＋1＝pan＋f(n)(p是非零常數(shù))的數(shù)列{an}的通項公式，可先在兩邊同除以f(n)后再用累加法求得．【基本題型】[例3](1)在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，則通項公式an＝________．1(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝13an＋3n＋1(n∈N*)，則通項公式an＝________．(3)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，則an＝________．【對點精練】1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________．2．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝12an－21n，則其通項公式an＝________．1，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}3．已知各項均不為0的數(shù)列{an}滿足a1＝2的通項公式an＝________．考點三由an＋2＝pan＋1＋qan求an型【基本方法】已知an＋2＝pan＋1＋qan求an的方法q遞推關(guān)系形如an＋2＝pan＋1＋qan型，可化為an＋2＋xan＋1＝(p＋x)an＋1＋an，令x＝qp＋x，p＋x求得x來解決．【基本題型】[例4]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項公an＝________．【對點精練】1．若a1＝5，a2＝2，an＋2＝2an＋1＋3an，則an＝________．考點四 由an1＝ Aan 求an型＋ Ban＋C【基本方法】已知an1＝ Aan 求an的方法1＋ Ban＋C遞推關(guān)系形如an＋1＝ Aan 型可取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列求解．Ban＋C已知an1＝ Aan 求an的方法2＋ Ban＋C對于一個函數(shù)f(x)，我們把滿足f(m)＝m的值x＝m稱為函數(shù)f(x)的“不動點”．利用“不動點法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．f(x)＝Ax＋B(c≠0，AD－BC≠0)，數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有兩個相Cx＋Dk a－pc異的不動點p，q，則an＋1－p＝k·an－p此處 ＝a－qc．a(chǎn)n＋1－q an－q【基本題型】[例5](1)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝a2an2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝n＋________．(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝aan3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．n＋[例6](1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝7an－2，則數(shù)列{an}的通項公式為________．a(chǎn)n＋4(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．2an－1＋1(3)設(shè)數(shù)列{an}滿足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，記bn＝11(n≥1)．則數(shù)列{bn}的通項公式為________．a(chǎn)n－2【對點精練】1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝a2an2(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．n＋2．若a1＝1，an＋1＝3aan1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________．n＋3．若a1＝5，an＋1＝3an－4，則an＝________．a(chǎn)n－1考點五 由其他形式的遞推公式求an型【基本方法】已知其他形式的遞推公式求an的方法對遞推公式進行合理的變形，然后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列【基本題型】[例7](1)數(shù)列A．10n－2

{a

n}滿足a1＝2，an＋1＝a2n(an＞0，n∈N*)，則an＝(B．10n－1 C．102n－1

)

D．22n－1(2)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，則數(shù)列an的通項公式為________．(3)已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，則an＝________[例8] (2016·全國Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式．【對點精練】1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1，且an＋1＞an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝(

)A．2n

B．n2

C．n＋2 D．3n－22．已知數(shù)列{an}滿足an≠0，2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝1，則數(shù)3列{an}的通項公式an＝________．a(chǎn)n＋1(an＋an＋2)13．各項均不為0的數(shù)列{an}滿足＝an＋2an(n∈N*)，且a3＝2a8＝，則數(shù)列{an}25的通項公式為________．4．(2013·安徽)如圖，互不相同的點A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設(shè)OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項公式是________．專題06 等差數(shù)列基本量的計算1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達(dá)式an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)．(2)等差中項若三個數(shù)，a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝a＋2b．2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)前n項和公式：Sn＝na1＋nn－1d或Sn＝na1＋an．2 2【基本方法】解決等差數(shù)列基本量計算問題的方法(1)在等差數(shù)列{an}中，a1與d是最基本的兩個量，一般可設(shè)出a1和d，利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程(組)求解即可．(2)與等差數(shù)列有關(guān)的基本運算問題，主要圍繞著通項公式an＝a1＋(n－1)d和前n項和公式Sn＝n(a1＋an)＝na1＋n(n－1)d，在這兩個公式中共涉及五個量：a1，d，n，an，Sn，已22知其中三個量，選用恰當(dāng)?shù)墓剑梅匠?組)可求出剩余的兩個量．【基本題型】[例1](1)(2017·全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A．1B．2C．4D．8(2)(2018·全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝()A．－12B．－10C．10D．12(3)(2014·福建)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于()A．8B．10C．12D．14(4)(2016·全國Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝()A．100B．99C．98D．97(5)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，則a18＝( )A．25B．26C．3D．28999(6)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3＝6，S4＝12，則S6＝________．(2020·全國Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝________．(2020·新高考Ⅰ)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．(9)(2013·全國Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于()A．3B．4C．5D．6(10)數(shù)列{an}不是常數(shù)列，滿足a1＝14，a5＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1對任何的正整數(shù)n都成立，則1＋1＋…＋1的值為()a1a2a50A．1475B．1425C．1325D．1275[例2] 在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝(2a2＋2)2．(1)求d，an；(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|．[例3] 已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)·(an＋n)(n∈N*)．a(chǎn)n(1)求證數(shù)列n是等差數(shù)列，并求其通項公式；(2)設(shè)bn＝2an－15，求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn．【對點精練】1．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝1，前5項和S5＝－15，則數(shù)列{an}的公差為()A．－3B．－5C．－2D．－42S3S22．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足3－2＝1，則數(shù)列{an}的公差是()A．1B．1C．2D．323．設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和，若S10＝S11，則a1等于()A．18B．20C．22D．244．若等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝25，且a2＝3，則a7等于()A．12B．13C．14D．155．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4＝4，S13＝104，則a10＝()A．10B．12C．16D．206．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，則a10＝(

)A．18 B．16 C．14 D．127．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，則a2022的值為( )A．2026B．4038C．5044D．30208．(2019·全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則()A．a(chǎn)n＝2n－5B．a(chǎn)n＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝1n2－2n29．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8等于()A．18B．12C．9D．610．等差數(shù)列l(wèi)og3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四項等于()A．3B．4C．log318D．log32411．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，則a6＝________．12．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＝3，a5＝9，則S6等于()A．36B．32C．28D．2413．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S4＝20，則S6等于()2A．16B．24C．36D．4814．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－3，2a4＋3a7＝9，則S7的值等于()A．21B．1C．－42D．0S1015．若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a1≠0，a2＝3a1，則S5＝________．16．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝()A．9B．10C．11D．1517．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，給出下列結(jié)論：①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0．其中一定正確的結(jié)論是(

)A．①②

B．①③④

C．①③

D．①②④18．設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．19．在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項的和為()A．2B．10C．5D．52420．若數(shù)列{an}是正項數(shù)列，且a1＋a2＋…＋ana1＋a2＋…＋an＝n2＋3n(n∈N*)，則＝23n＋1________．21．(多選)等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則()A．d<0B．a(chǎn)16<0C．Sn≤S15D．當(dāng)且僅當(dāng)n≥32時，Sn<022．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，且對于任意n>1，n∈N*，滿足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，則( )A．a(chǎn)9＝17B．a(chǎn)10＝19C．S9＝81D．S10＝9123．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝(－1)n－1an，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n．24．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，滿足a1＋a2＝10，S5＝40．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝|13－an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．25．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．(1)求通項公式an；(2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和．26．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．27．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝(－1)n－1anan＋1，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n．專題07 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【基本知識】等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝ann－－mam(n≠m)．(2)等距性：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq．特別地，若m＋n?＝2p(m，n，p∈N*)，則有a?m＋an＝2ap． ?(3)單調(diào)性：d＞0 {an}為遞增數(shù)列，若d＜0 {an}為遞減數(shù)列．d＝0 {an}為常數(shù)列；(4)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(5)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．SnSmSn(6)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列n也為等差數(shù)列，d＝m－n(n≠m)．m－n(7)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，公差為nd．(8)若項數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，S奇＝an；S偶an＋1(9)若項數(shù)為2n－1(n≥2)，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，S奇＝n．S偶n－1(10)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn之間的關(guān)系為an＝S2n－1．bnT2n－1考點一性質(zhì)(1)的應(yīng)用【基本題型】[例1](1)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d等于()A．3B．－6C．4D．－3(2)在等差數(shù)列{an}(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，則a20的值是________．(3)已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________．(4)已知{bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________．(5)已知{an}為等差數(shù)列，且a100＝304，a300＝904，則a1000＝________．(6)已知等差數(shù)列

{an}的前n項和為Sn，a3＝3，a5＝5，則S7的值是(

)A．30

B．29

C．28

D．27考點二

性質(zhì)(2)的應(yīng)用【基本題型】[例2](1)在等差數(shù)列

{a

n}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，則a12的值是(

)A．15B．30C．31D．9(2)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．(3)等差數(shù)列an中，若a2，a2020為方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a1＋a1011＋a2021等于()A．10B．15C．20D．40(4)數(shù)列{an}滿足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－1C．2D．122(5)在等差數(shù)列{an}中，若a22＋2a2a8＋a6a10＝16，則a4a6＝________．(6)等差數(shù)列{an}，{bn}滿足對任意n∈N*都有an＝2n＋3，則a7＋a5＝________．bnb3＋b9b4＋b84n－9[例3](1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的兩根，則S13＝()A．58B．54C．56D．52(2)等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則數(shù)列{an}的前9項和S9等于()A．99B．66C．144D．297(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn＝324(n＞6)，則數(shù)列{an}的項數(shù)為________．(4)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________．(5)已知函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a4)＝f(a18)，則{an}的前21項和為()A．0B．25C．21D．422(6)等差數(shù)列{a}的各項均不為零，其前n項和為S．若a21＝a 2＋a，則S2 1＝________．n n n＋ n＋ n n＋(7)在數(shù)列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0．若an－1－a2n＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，則n＝()A．38B．20C．10D．9(8)設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為