經(jīng)濟數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：矩陣的初等變換_第1頁
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文檔簡介

矩陣的初等變換引例：用消元法求解方程組解：于是解得

上述過程中始終把方程組看作一個整體變形，用到了如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）用不等于零的某一個數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍。

上述三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的。故這三種變換是同解變換。

實際上，從解方程的過程可看出，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算。若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換。（B）定義2.4.1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換而不是記作

矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換。

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同。

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)。

如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作A~B。等價關(guān)系的性質(zhì)：定義2.4.2矩陣的初等變換解方程組（1）如下：（1）對應(yīng)的方程組為即矩陣和都稱為行階梯形矩陣。

每一行的第一個非零元的下方的元素全是零的矩陣稱為行階梯形矩陣。定義2.4.3其中，的每一行的第一個非零元都是1，并且它所在的這一列中其余元素都是零,稱這樣的矩陣為行最簡形矩陣。定義2.4.4練習(xí)：下列四個矩陣中，哪些是行最簡矩陣？例1把矩陣利用初等行變換化為行最簡形矩陣。解：再把進行初等列變換

所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形F是這個等價類中最簡單的矩陣.的左上角是一個單位矩陣，其余的元素全為零,稱為的標準形。注意：可逆矩陣只須經(jīng)過有限次初等行變換后就可以化成標準形，其標準形就是同階的單位矩陣。可逆矩陣與同階的單位矩陣等價。二、用初等變換求逆陣定理2.4.1

設(shè)

與

為矩陣，那么：（1）的充要條件是存在

階可逆矩陣,使（2）的充要條件是存在

階可逆矩陣,使(3)

矩陣的充分必要條件是：存在階可逆方陣及階可逆方陣，使利用初等變換求逆陣的方法：若A可逆，則

解例2例3

解例4.設(shè)的行最簡形矩陣為，求，并求一個可逆矩陣，使。分析

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