第五章測(cè)量誤差基本知識(shí)

第五章測(cè)量誤差基本知識(shí)第五章測(cè)量誤差基本知識(shí)

學(xué)習(xí)要點(diǎn)◆測(cè)量誤差的概念◆偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律◆偶然誤差的分布◆衡量精度的數(shù)字指標(biāo)◆精度數(shù)字指標(biāo)的實(shí)際計(jì)算方法◆誤差傳播定律

◆誤差傳播定律應(yīng)用

5-1測(cè)量誤差的概念一、什么是測(cè)量誤差

1.真誤差-----真值、觀測(cè)值

2.精度：反映誤差密集程度的指標(biāo)。

二、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因2、測(cè)量設(shè)備的因素1、觀測(cè)者的因素3、觀測(cè)環(huán)境的因素觀測(cè)條件不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)三、測(cè)量誤差的分類(lèi)1.系統(tǒng)誤差——若觀測(cè)過(guò)程中，觀測(cè)誤差在符號(hào)或大小上表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，在相同觀測(cè)條件下，該規(guī)律保持不變或變化可預(yù)測(cè)，則具有這種性質(zhì)的誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。處理方法：（1）、模型改正法----加改正數(shù)（2）、觀測(cè)程序法----采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法（3）、檢校儀器2.偶然誤差——在相同觀測(cè)條件下，取得一系列等精度觀測(cè)值，若誤差的大小、符號(hào)沒(méi)有任何規(guī)律，即在一定限度內(nèi)，不能對(duì)可能出現(xiàn)的誤差作任何預(yù)測(cè)，則這一類(lèi)的誤差就稱(chēng)為偶然誤差，又稱(chēng)隨機(jī)誤差。3.粗差——特別大的誤差（錯(cuò)誤）四、測(cè)量誤差的處理原則粗差——細(xì)心，多余觀測(cè)系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測(cè)，制定限差5-2、偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性例如：對(duì)同一量觀測(cè)了n次觀測(cè)值為l1,l2,l3,….ln如何取值？如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的精度？例如：對(duì)358個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差i為i=i+i+i-180其結(jié)果如表5-1，圖5-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差I(lǐng)的規(guī)律。誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表2-1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)

誤差分布特點(diǎn)：參見(jiàn)課本P100（3點(diǎn)）5-3偶然誤差的分布-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d頻率直方圖偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測(cè)中，偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。5-4衡量精度的數(shù)字指標(biāo)一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（中誤差）2.標(biāo)準(zhǔn)差：3.實(shí)際意義：參見(jiàn)課本P114

4.方差：1.正態(tài)分布概率密度函數(shù)：

二、相對(duì)中誤差（補(bǔ)充內(nèi)容）

某些觀測(cè)值的誤差與其本身大小有關(guān)用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的形式描述觀測(cè)的質(zhì)量，稱(chēng)為相對(duì)誤差（全稱(chēng)“相對(duì)中誤差”）

例，用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的前者的相對(duì)中誤差為0．02／200＝1／10000

而后者則為0．02／40＝l／2000

前者的量距精度高于后者。三、容許誤差（補(bǔ)充內(nèi)容）標(biāo)準(zhǔn)差常用m表示，在測(cè)繪界稱(chēng)為中誤差。5-5、精度數(shù)字指標(biāo)的實(shí)際計(jì)算方法中誤差：

注意：是一個(gè)定義式，難以實(shí)際應(yīng)用，所以測(cè)量工作中是采用觀測(cè)值改正數(shù)來(lái)估算中誤差。按觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差

二、多余觀測(cè)數(shù)：設(shè)必要觀測(cè)數(shù)為t，實(shí)際觀測(cè)數(shù)為n，則稱(chēng)r＝n－t為多余觀測(cè)數(shù)。

三、不符值：測(cè)量上將由于誤差導(dǎo)致觀測(cè)值不滿足函數(shù)關(guān)系，而產(chǎn)生的與理論值的差值，稱(chēng)之為不符值，也稱(chēng)為閉合差，通常用表示。四、觀測(cè)值改正數(shù)：觀測(cè)值經(jīng)平差方法處理后，能得到符合最優(yōu)估值條件的平差值，設(shè)觀測(cè)值為，平差值為，則稱(chēng)為觀測(cè)值改正數(shù)。

一、必要觀測(cè)數(shù):根據(jù)每確定一個(gè)待定量，需要一個(gè)觀測(cè)值的原則，要解算出全部的待定量，必須有數(shù)量足夠，函數(shù)獨(dú)立的觀測(cè)值，稱(chēng)為必要觀測(cè)值。其個(gè)數(shù)叫必要觀測(cè)數(shù)。如：γ=180o-（α+β）五、等精度觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算中誤差其證明見(jiàn)下8張PPT(一)集中趨勢(shì)的測(cè)度（最優(yōu)值）1.中位數(shù)：設(shè)把n個(gè)觀測(cè)值按大小排列，這時(shí)位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。2.眾數(shù)：在n個(gè)數(shù)中，重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。3.切尾平均數(shù)：去掉lmax,lmin以后的平均數(shù)。4.調(diào)和平均數(shù)：5.算術(shù)平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解證明中誤差的公式證明（x是最或然值）nnlXlXlX-=D-=D-=D2211將上列等式相加，并除以n,得到證明中誤差的公式（二）觀測(cè)值的改正值若被觀測(cè)對(duì)象的真值不知，則取平均數(shù)為最優(yōu)解x改正值的特性：定義改正值：證明中誤差的公式標(biāo)準(zhǔn)差可按下式計(jì)算：中誤差：證明中誤差的公式下面開(kāi)始證明：證明：將上列左右兩式方便相減，得證明中誤差的公式取和證明中誤差的公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差例子證明中誤差的公式小結(jié)一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差證明中誤差的公式5-6誤差傳播定律

誤差傳播定律：測(cè)量學(xué)中闡述觀測(cè)值中誤差與其函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律稱(chēng)為中誤差傳播定律。已知：mx1,mx2,---mxn求：my=?式中f′有正有負(fù)全微分：

my2m12m22

mn2中誤差關(guān)系式：小結(jié)：第一步：寫(xiě)出函數(shù)式第二步：寫(xiě)出全微分式第三步：寫(xiě)出中誤差關(guān)系式注意：只有自變量微分之間相互獨(dú)立才可以進(jìn)一步寫(xiě)出中誤差關(guān)系式。一、線性函數(shù)

二、非線性函數(shù)由觀測(cè)值中誤差求其函數(shù)的中誤差的步驟如下：（1）、按問(wèn)題的要求，寫(xiě)出觀測(cè)值與其函數(shù)的關(guān)系式：（2）、若函數(shù)是非線性的，則對(duì)其求全微分以觀測(cè)量近似值（j=1,2,…,n）代入全微分式，得到常系數(shù)（3）、應(yīng)用誤差傳播定律（5－12），由觀測(cè)值中誤差求其函數(shù)中誤差：5.7、誤差傳播定律應(yīng)用一、距離測(cè)量的中誤差結(jié)論：距離丈量結(jié)果的中誤差與所用尺段數(shù)的平方根成正比。二、水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差結(jié)論：在假設(shè)每站觀測(cè)高差精度相等的前提下，水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差等于一站觀測(cè)高差中誤差的倍，即與測(cè)站數(shù)的平方根成正比三、算術(shù)平均值及其中誤差算術(shù)平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx誤差傳播定律

補(bǔ)充舉例1觀測(cè)值：斜距S和豎直角v待定值：高差hSvhD誤差傳播定律

補(bǔ)充舉例2觀測(cè)值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離DSvhD例1:在1：500比例尺地形圖上，量得A、B兩點(diǎn)間的距離S=163.6mm，其中誤差ms=0.2mm。求A、B兩點(diǎn)實(shí)地距離D及其中誤差mD。解：D=MS=500×163.6(mm)=81.8(m)(M為比例尺分母)∴D=81.1±0.1(m)mD=MmS=500×0.2(mm)=±0.1(m)例2

某水準(zhǔn)路線各測(cè)段高差的觀測(cè)值中誤差分別為h1=18.316m±5mm,h2=-8.171m±4mm，h3=6.625m±3mm，試求該水準(zhǔn)路線高差及其中誤差?！鄅=16.882m±7.1mm解h=h1+h2+h3=16.862(ｍ)

m2h=m21+m22＋m23=52+42+32

mh=±7.1(mm)例3：用三角形內(nèi)角和求測(cè)角中誤差

例4：在O點(diǎn)觀測(cè)了3個(gè)方向，測(cè)得方向值l1、l2、l3，設(shè)各方向的中誤差均為m，求、和。

例5：一個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形，若測(cè)量一邊中誤差為ml＝±1cm，求周長(zhǎng)的中誤差？若四邊都測(cè)量，且測(cè)量精度相同，均為ml，則周長(zhǎng)中誤差是多少？

誤差傳播定律應(yīng)用舉例

1、測(cè)回法觀測(cè)水平角時(shí)盤(pán)左、盤(pán)右的限差不超過(guò)40秒；2、用DJ6經(jīng)緯儀對(duì)三角形各內(nèi)角觀測(cè)一測(cè)回的限差；3、兩次儀器高法的高差限差。

用DJ6經(jīng)緯儀進(jìn)行測(cè)回法觀測(cè)水平角，那么用盤(pán)左盤(pán)右觀測(cè)同一方向的中誤差為±6”。注意，6秒級(jí)經(jīng)緯儀是指一個(gè)測(cè)回方向觀測(cè)的平均值中誤差，不是指讀數(shù)的時(shí)候估讀到6”。

即

假設(shè)盤(pán)左瞄準(zhǔn)A點(diǎn)時(shí)讀數(shù)為，盤(pán)右瞄準(zhǔn)A點(diǎn)時(shí)讀數(shù)為，那么瞄準(zhǔn)A方向一個(gè)測(cè)回的平均讀數(shù)應(yīng)為