2025高考數學一輪復習-第3講-等式性質與不等式性質-專項訓練【含答案】

2025高考數學一輪復習-第3講-等式性質與不等式性質-專項訓練【A級基礎鞏固】1．下列是“a＞b”的充分不必要條件的是()A.a＞b＋1 B．eq\f(a,b)＞1C.a2＞b2 D．a3＞b32．已知m＜n，則下列結論正確的是()A.m2＜n2 B．eq\f(1,n)＜eq\f(1,m)C.2m＜2n D．lgm＜lgn3．設0＜α＜eq\f(π,2)，0≤β≤eq\f(π,2)，則2α－eq\f(β,3)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))C.(0，π) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))4．把下列各題中的“＝”全部改成“＜”，結論仍然成立的是()A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－dB.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bdC.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,d)D.如果a＝b，那么a3＝b35．(多選)設a>b>1，c<0，則下列結論正確的是()A.eq\f(c,a)>eq\f(c,b) B．ac<bcC.a(b－c)>b(a－c) D．eq\f(a,c)>eq\f(b,c)6．(多選)a，b∈R，則下列命題中，正確的有()A.若a＞b，則eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)B.若ab＝4，則a2＋b2≥8C.若a＞b，則ab＜a2D.若a＞b，c＞d，則a－d＞b－c7．(多選)(2024·河北衡水模擬)已知eq\f(c5,b)＜eq\f(c5,a)＜0，則下列不等式一定成立的有()A.eq\f(b,a)＞1 B．eq\f(a－b,c)＜0C.eq\f(a,b)＜eq\f(a＋c2,b＋c2) D．bc＜ba8．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，則M________N．(填“>”“<”或“＝”)9．能夠說明“設a，b，c是任意實數，若a＜b＜c，則ac＜bc”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為________．10．已知角α，β滿足－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，則3α－β的取值范圍是________．11．對于實數a，b，c，有下列命題：①若ac2＞bc2，則a＞b；②若ab＞c，則a＞eq\f(c,b)；③若a＞b＞0，且n為正數，則an＞bn.其中，真命題的序號為________．(寫出所有滿足要求的命題序號)INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．若實數a，b滿足a2＞b2＞0，則下列不等式中成立的是()A.a＞b B．2a＞2bC.a＞|b| D．log2a2＞log2b22．手機屏幕面積與整機面積的比值叫做手機的“屏占比”，它是手機外觀設計中的一個重要參數，其值通常在0～1(不含0，1)內．設計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量，升級為一款新手機，則該手機的“屏占比”和升級前相比()A.“屏占比”不變B.“屏占比”變小C.“屏占比”變大D.變化不確定3．已知非零實數m，n滿足em＞en，則下列關系式一定成立的是()A.eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)B.ln(m2＋1)＞ln(n2＋1)C.m＋eq\f(1,m)＞n＋eq\f(1,n)D.m|m|＞n|n|4．某市一個經濟開發(fā)區(qū)的公路路線圖如圖所示，粗線是大公路，細線是小公路，七個公司A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7分布在大公路兩側，有一些小公路與大公路相連．現(xiàn)要在大公路上設一快遞中轉站，中轉站到各公司(沿公路走)的距離總和越小越好，則這個中轉站最好設在()A.路口C B．路口DC.路口E D．路口F5．(多選)已知實數x，y滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)，則下列關系式中不恒成立的是()A.tanx>tanyB.ln(x2＋2)>ln(y2＋2)C.eq\f(1,x)>eq\f(1,y)D.x3>y36．(多選)已知a＞b＞0，則下列結論正確的是()A.eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)B.a－eq\f(1,b)＞b－eq\f(1,a)C.a3－b3＞2(a2b－ab2)D.eq\r(a＋1)－eq\r(b＋1)＞eq\r(a)－eq\r(b)7．已知四個條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)的是________．(填序號)8．實數a，b，c，d滿足下列三個條件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小關系是________．9．已知函數f(x)＝x2－2ax＋b的兩個零點一個大于2，一個小于2，且0≤b－2a≤2，則3b－8a的取值范圍是________．10．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|，則滿足條件eq\f(b＋c,(a－c)2)<所求式<eq\f(a＋d,(b－d)2)的一個代數式為________(只要寫出一個即可).參考答案【A級基礎鞏固】1．解析：A中，當a＝2，b＝1時，a＞b但a＝b＋1，必要性不成立，因為a＞b＋1，所以a＞b，故充分性成立；B中，當a＝－2，b＝－1時，滿足eq\f(a,b)＞1，但a＜b，故充分性不成立；C中，當a＝－2，b＝－1時，滿足a2＞b2，但a＜b，故充分性不成立；D中，當a＞b時，由不等式的基本性質得a3＞b3，故必要性成立，反之也成立．答案：A2．解析：根據題意可知，不妨取m＝－1，n＝1，則m2＝1，n2＝1，此時不滿足m2＜n2，即A錯誤；易得eq\f(1,n)＝1，eq\f(1,m)＝－1，此時eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)，所以B錯誤；對于D，lgm無意義，所以D錯誤，由指數函數的單調性可得，當m＜n時，2m＜2n，即C正確．答案：C3．解析：由已知，得0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，由同向不等式相加得到－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.答案：D4．解析：A不一定正確，如5＜6，4＜9，但5－4＞6－9；B不一定正確，如－2＜－1，1＜4，此時ac＞bd；C不一定正確，如1＜2，1＜8，此時eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)；易知D正確．答案：D5．解析：對于A，因為a>b>1，c<0，所以eq\f(c,a)－eq\f(c,b)＝eq\f(c(b－a),ab)>0，所以eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，故A正確；對于B，因為－c>0，所以a·(－c)>b·(－c)，所以－ac>－bc，所以ac<bc，故B正確；對于C，因為a>b>1，所以a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，所以a(b－c)>b(a－c)，故C正確；對于D，因為eq\f(1,c)<0，a>b>1，所以eq\f(a,c)<eq\f(b,c)，故D錯誤．答案：ABC6．解析：對于A：若c＝0，則eq\f(a,c2)，eq\f(b,c2)無意義，故A錯誤；對于B：若ab＝4，則a2＋b2≥2ab＝8，當且僅當a＝b＝±2時，等號成立，故B正確；對于C：由于不確定a的符號，故無法判斷，例如a＝0，b＝－1，則ab＝a2＝0，故C錯誤；對于D：若a＞b，c＞d，則－d＞－c，所以a－d＞b－c，故D正確．答案：BD7．解析：由eq\f(c5,b)＜eq\f(c5,a)＜0，得c≠0，當c＞0時，得0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，即a＜b＜0；當c＜0時，得0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，即a＞b＞0，綜上a＜b＜0＜c或a＞b＞0＞c，上述兩種情況均可得0＜eq\f(b,a)＜1，故A選項錯誤；當a＜b＜0＜c時，得eq\f(a－b,c)＜0，當a＞b＞0＞c時，得eq\f(a－b,c)＜0，故B選項正確；令a＝－1，b＝－eq\f(1,2)，c＝1，則eq\f(a,b)＝2，eq\f(a＋c2,b＋c2)＝0，從而得eq\f(a,b)＞eq\f(a＋c2,b＋c2)，故C選項錯誤；由上述論證可知bc＜0＜ba恒成立，故D正確．答案：BD8．解析：M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.答案：>9．解析：若a＜b，當c＞0時，ac＜bc；當c＝0時，ac＝bc；當c＜0時，ac＞bc；“設a，b，c是任意實數，若a＜b＜c，則ac＜bc”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為－2，－1，0.答案：－2，－1，0(答案不唯一)10．解析：結合題意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，∴(3α－β)∈(－π，2π).答案：(－π，2π)11．解析：對于①，由ac2＞bc2，則c2＞0，根據不等式的性質，可得a＞b，故①正確；對于②，由ab＞c，當b＝0時，不等式a＞eq\f(c,b)無意義，當b＜0時，可得a＜eq\f(c,b)，故②錯誤；對于③，由a＞b＞0，且n為正數，根據不等式的性質，可得③正確．答案：①③INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．解析：由題意，a2＞b2＞0，所以log2a2＞log2b2，故D正確；當a＝－2，b＝－1時，a2＞b2＞0，但a＜b，2a＜2b，a＜|b|，故A，B，C錯誤．答案：D2．解析：根據題意，不妨設升級前該手機的手機屏幕面積為a，整機面積為b，b>a，則升級前的“屏占比”為eq\f(a,b)，升級后的“屏占比”為eq\f(a＋m,b＋m)，其中m(m>0)為升級后增加的面積，由分數性質知eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)，所以升級后“屏占比”變大．答案：C3．解析：因為em＞en，所以m＞n.取m＝1，n＝－2，得eq\f(1,m)＞eq\f(1,n)，故A不正確；取m＝1，n＝－2，得m2＋1＜n2＋1，所以ln(m2＋1)＜ln(n2＋1)，故B不正確；取m＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,3)，得m＋eq\f(1,m)＜n＋eq\f(1,n)，故C不正確；當m＞n＞0時，m2＞n2，所以m|m|－n|n|＝m2－n2＞0；當n＜m＜0時，m2＜n2，m|m|－n|n|＝－m2－(－n2)＝n2－m2＞0；當m＞0＞n時，m|m|＞0＞n|n|，所以m|m|＞n|n|，D正確．答案：D4．解析：觀察圖形知，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7七個公司要到中轉站，都先必須沿小公路走到小公路與大公路的連接點，令A1到B、A2到C、A3到D、A4到D、A5到E、A6到E、A7到F的小公路距離總和為d，BC＝d1，CD＝d2，DE＝d3，EF＝d4，路口C為中轉站時，距離總和SC＝d＋d1＋d2＋d2＋(d3＋d2)＋(d3＋d2)＋(d4＋d3＋d2)＝d＋d1＋5d2＋3d3＋d4，路口D為中轉站時，距離總和SD＝d＋(d1＋d2)＋d2＋d3＋d3＋(d4＋d3)＝d＋d1＋2d2＋3d3＋d4，路口E為中轉站時，距離總和SE＝d＋(d1＋d2＋d3)＋(d2＋d3)＋d3＋d3＋d4＝d＋d1＋2d2＋4d3＋d4，路口F為中轉站時，距離總和SF＝d＋(d1＋d2＋d3＋d4)＋(d2＋d3＋d4)＋2(d3＋d4)＋2d4＝d＋d1＋2d2＋4d3＋6d4，顯然SC>SD，SF＞SE＞SD，所以這個中轉站最好設在路口D.答案：B5．解析：因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)，所以x>y，由于y1＝tanx在R上不是單調函數，所以選項A不正確；又x2－y2＝(x－y)(x＋y)的正負不確定，所以x2和y2的關系不確定，所以選項B不正確；又eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝eq\f(y－x,xy)的正負不確定，所以eq\f(1,x)和eq\f(1,y)的關系不確定，所以選項C不正確；由于f(x)＝x3是R上的單調遞增函數，所以x3>y3，所以選項D正確．答案：ABC6．解析：對于A，因為函數y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調遞減，a＞b＞0，所以eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故A正確．對于B，當a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)時，a－eq\f(1,b)＝－eq\f(5,2)，b－eq\f(1,a)＝－eq\f(5,3)，則a－eq\f(1,b)＜b－eq\f(1,a)，故B不正確．對于C，由a3－b3＞2(a2b－ab2)，得(a－b)(a2－ab＋b2)＞0.因為a－b＞0，所以a2＋b2－ab＞0，即(a－b)2＋ab＞0，該不等式恒成立，故C正確．對于D，由eq\r(a＋1)－eq\r(b＋1)＞eq\r(a)－eq\r(b)，得eq\r(a＋1)－eq\r(a)＞eq\r(b＋1)－eq\r(b)，即eq\f(1,\r(a＋1)＋\r(a))＞eq\f(1,\r(b＋1)＋\r(b))，所以eq\r(b＋1)＋eq\r(b)＞eq\r(a＋1)＋eq\r(a)，該不等式不成立，故D不正確．答案：AC7．解析：由倒數性質知a>b