2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（八大考點(diǎn)） 含解析

二在直

4<02函數(shù)的林念S基本初等函數(shù)I

富鋁若磺。麴軀僧

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)

2023年全國(guó)n卷

2023年全國(guó)乙卷（理）

考點(diǎn)1:已知奇偶性求參數(shù)2024年上海卷

2022年全國(guó)乙卷（文）

2023年全國(guó)甲卷（理）

2022年天津卷

2023年天津卷

2024年全國(guó)甲卷（理）

考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別

2024年全國(guó)I卷

2022年全國(guó)乙卷（文）

2022年全國(guó)甲卷（理）

2022年北京卷從近三年高考命題來看，本節(jié)

考點(diǎn)3：函數(shù)模型及應(yīng)用2024年北京卷

是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單

2023年全國(guó)I卷

2023年全國(guó)乙卷（理）調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期

2022年北京卷

性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)

考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性2023年北京卷

質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性2024年全國(guó)I卷注周期性、對(duì)稱性、奇偶性結(jié)

2024年天津卷

合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)

2023年全國(guó)I卷

零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考

2022年浙江卷

考點(diǎn)5：分段函數(shù)問題

2024年上海夏季查.

考點(diǎn)6：函數(shù)的定義域、值2022年北京卷

域、最值問題2022年北京卷

2023年全國(guó)I卷

考點(diǎn)7：函數(shù)性質(zhì)（對(duì)稱性、

2022年全國(guó)I卷

周期性、奇偶性）的綜合運(yùn)

2024年全國(guó)I卷

用

2022年全國(guó)n卷

2022年天津卷

2022年浙江卷

考點(diǎn)8：指對(duì)幕運(yùn)算

2024年全國(guó)甲卷（理）

2023年北京卷

甯窗給綠。固滔送溫

考點(diǎn)1:已知奇偶性求參數(shù)

1.(2023年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題)若〃x)=(x+a)ln1^為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【解析】因?yàn)?CO為偶函數(shù)，貝!|/(I)=/(-I),(1+a)In1=(-1+a)In3,解得a=0,

當(dāng)a=0時(shí)，〃x)=xln|^,(2x-l)(2x+l)>0,解得或x<-g,

則其定義域?yàn)閤〉g或x<-g1,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

故此時(shí)/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

2.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知=是偶函數(shù)，則。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

x/\一|x(a-l)x

【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則空二=乜二一1=0，

、/e一]J')J'7eax-1e~ax_1eax-1

又因?yàn)閄不恒為0,可得e，-e("T)x=0，即e'=e(T*，

貝!Jx=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

3.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知/(無)=—+。，xeR,且/(無)是奇函數(shù)，貝！]。=

【答案】0

【解析】因?yàn)椤▁)是奇函數(shù)，故〃r)+/(x)=0即/+。+(_幻3+。=0,

故。=0,

故答案為：o.

4.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)若/(x)=lna+J-+6是奇函數(shù)，則。=，b=

【答案】ln2.

【解析】［方法一］:奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性

若。=0,則/(X)的定義域?yàn)閧x|xwl},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

〃w0

若奇函數(shù)的了。)=如。+』1+6有意義，貝Uxwl且。+」一片0

11-X

二.XW1且XW1+L

a

???函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

1H—=-1,解得。=—，

a2

由/(。)=。得，＞g+b=0,

b=ln2,

故答案為：-;；ln2.

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

、71I7j\a-ax+1\7ax-a-i

f(x)=lna+----\+b=li\--------\+b=lrf--------+tz

1—x1—x1—X

:函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

ax-a-l\ax+a+1”「

f(x)+/(-x)=In--------+l7n[--------+26=C

1-x11+x

.。2%2—伍+])2

:.ln----?！?26=0

x2-l

2

a(Q+1)2.,.1

——=---------=>2a+1=0na=—

112

—2b=ln—=—2ln2=>b=ln2

4

/.a=——1,b7=I7nZr

2

[方法三]:

因?yàn)楹瘮?shù)/'(xjulna+rL+b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

[―X

由a+JwO可得，(l-x)(?+l-flx)^O,所以x=W=T,解得：。=-!，即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1-xa2

11+ln2=ln|^1|,在定義域

(-a),-l)u(-l,l)u(l,+a>),再由/(0)=0可得,b=\n2即/(x)=ln―一十------

21-x

內(nèi)滿足〃-x)=_/(%),符合題意.

故答案為：-5；In2.

5.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)若/(x)=(x-iy+ax+sin[x+?為偶函數(shù)，貝ija=

【答案】2

【解析】因?yàn)椋?/(x)=(xTy+ax+sin，+,-1]+辦+cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

所以/(-x)-(-x)2+1+COS(-X)=X2+1+COSX=f(x),

又定義域?yàn)镽,故f(x)為偶函數(shù)，

所以“=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別

6.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)=的圖像為()

【答案】D

【解析】函數(shù)/（x）=EH的定義域?yàn)閧x|xwo},

且小上包二1-二Tk），

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又當(dāng)x＜0時(shí)，/⑺#71V0,c選項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)尤＞1時(shí)，/（》）=卜一"=士1=工一」函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

XXX

故選：D.

7.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（x）的部分圖象如下圖所示，則;'（X）的解析式可能為（）

5sinx

B.

x2+1

5ex+5e-x5cosx

D.

*f+2x2+l

【答案】D

【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,其為偶函數(shù)，且〃-2）=〃2）＜0,

由f=-K且定義域?yàn)镽,即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除;

當(dāng)"。時(shí)/X。、即A、C中電+8）上函數(shù)值為正’排除;

故選：D

8.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)〃必=--+k，-「卜山在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（）

［解析］/(-x)=-x2+(e^-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e^Jsinx=/(x),

又函數(shù)定義域?yàn)閇-2.8,2.8],故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

sinl>-l+［e--.兀e1IIl八

又/⑴=T+sm—=——l----->———>0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

9.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)尤1[0,2刈時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)）=sinx的的最小正周期為7=2兀，

函數(shù)y=2sin，x-：|的最小正周期為7=整，

所以在xe[0,2兀]上函數(shù)y=2sin（3x-1|有三個(gè)周期的圖象,

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示:

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).

故選：C

10.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間”3,3]的大致圖像,

則該函數(shù)是（）

y

2sinx

D.

y=x2+1

【答案】A

【解析】設(shè)〃尤）=七三，則/⑴=0,故排除B;

7X+1

設(shè)〃（x）=三署f當(dāng)工￡（03）時(shí)’0<

cosx<\,

所以〃（上筆苧（品，故排除c；

設(shè)g（x）=：M，則g（3）=爺或>0,故排除D.

故選：A.

TTTT

11.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)y=（3，一3-1COSX在區(qū)間-5，耳的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】令/'（x）=（3yr）C0S尤”-j,j,

則〃一X）=（3--3'）cos（_尤）=一（3,一3-'）cosx=-/（x）,

所以/（X）為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)xe（0，m時(shí)，3x-3-r>0,cosx>0,所以/'（x）>0,排除C.

故選：A.

考點(diǎn)3：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

12.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和IgP的

關(guān)系，其中7表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)7=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,尸=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】當(dāng)7=220,P=1026時(shí)，1g尸>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)T=270,P=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，1g尸與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)

誤.

當(dāng)7=360,P=729時(shí)，因2<lgP<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

13.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)1=土」是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表

InN

示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)“越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)s沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由M變?yōu)橥?，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3N[=2N\B.2N2=3N}

C.N：=N；D.N；=N：

【答案】D

S_]S—1

【解析】由題意得而『=2.1,記獷=3.15,貝l]2.HnM=3.151nN2，即21nM=3小生，所以M=N；.

故選：D.

14.（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的

強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)4=20x1g且，其中常數(shù)”,（4>（））是聽覺下限閾值，。是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源

C.23=1°°70D.A<100p2

【答案】ACD

【解析】由題意可知:4―[60,90],4武50,60],4=40,

對(duì)于選項(xiàng)A：可得4-42=20x1g旦-20x1g上=20x1g旦,

PoPoPi

因?yàn)槿丝?則為_4=20xlg-NO,BplgA>0,

PiPi

所以且21且R，2>0,可得pgP2,故A正確；

Pl

對(duì)于選項(xiàng)B：可得凡-4=20xlg匹-20xlg-=20xlg-,

PoPo夕3

因?yàn)?2-43=4「40210,則20x吟210,即吟,，

所以，質(zhì)且私P3>0,可得22而2，

當(dāng)且僅當(dāng)4z=5°時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槿?20xlg叢=40,即1g正=2,

PoPo

可得乙二100,即23=100為，故C正確；

Po

對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：4-4=20xlg.,

Pi

-Ln<90-50=40,貝!!20xlg包V40,

-12Pi

即1g242,可得且4100,且0,0>0,所以0410。2，故D正確;

PlP1

故選：ACD.

考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性

15.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)ae（O,l）,若函數(shù)/（x）=優(yōu)+（1+4在（0,+向上單調(diào)遞增,

則a的取值范圍是.

「石-11

【答案】與

【解析】由函數(shù)的解析式可得/。）=優(yōu)1110+（1+4111（1+0”0在區(qū)間（0,+8）上恒成立,

則（l+a）*ln（l+a）"a1na,即（詈］3一幕%在區(qū)間（。,+⑹上恒成立,

故（曰…,而…（/），故皿"）>°，

ln(〃+l)2-Ino故?

故即1I)<(2<1,

0<a<10<6Z<l

16.（2。22年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)/（，）=恐,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有（）

A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0

D./(-x)-/(x)=1

C.〃一x)+〃x)=l

【答案】C

【解析】/(-x)+/(x)=—1—+—=—+—

=1,故A錯(cuò)誤，C正確;

')')\+Txl+2x1+2X1+2X

]__2

不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤;

A)-〃加/-￡=總1+2"-2"+1-一2"+1

故選：C.

17.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

〃

A./(x)=-lnxB.x)=?

C./?=--D./（x）=3|t-11

X

【答案】c

【解析】對(duì)于A,因?yàn)榱?lnx在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=-x在（o,+e）上單調(diào)遞減,

所以/（x）=-lnx在（0,+s）上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=2、在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=:在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以“無）=?在（0,+8）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閥=:在（0,+e）上單調(diào)遞減，>=-x在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以〃力=-：在（0,+“）上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?（￡|=3切=3；=6，/（1）=3H=3°=1,/（2）=3M=3,

顯然/（X）=3，T在（0,+s）上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

一—2ax—aX<0

18.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（%）=XI,八’八在R上單調(diào)遞增，則。的取值

[e+ln（x+l）,x>0

范圍是（）

A.（f,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+s）

【答案】B

【解析】因?yàn)?卜）在R上單調(diào)遞增，且xNO時(shí)，/（x）=e，+ln（x+l）單調(diào)遞增，

——型―>0

則需滿足2x（-1）,解得-vavo,

-a<e°+In1

即。的范圍是[TO].

故選：B.

19.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

ex-x2cosx+x2sinx+4x

AB.c.歹二土二D-—

-昨"”FTx+1

【答案】B

「X—V2

【解析】對(duì)A,設(shè)/（無）=三~,函數(shù)定義域?yàn)镽,但/（-1）=?，"1)=7,貝丫(-1)*41),故

A錯(cuò)誤;

對(duì)B,設(shè)g（x）=c。；：；：,函數(shù)定義域?yàn)镽,

且g(-x)=cos!?：(x)=cos：+：=g(x),則g(尤)為偶函數(shù)，故B正確;

(-X)+1X+1

對(duì)C,設(shè)=函數(shù)定義域?yàn)閧x|xw-l},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則Mx）不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

j—、門/\sinx+4x?皿^,、、，e、1/八sin1+4/n-sinl-4

對(duì)D,設(shè)3（尤）=-——，函數(shù)定義域?yàn)镽,因?yàn)?⑴二一--,0（T）=——-——，

則以1）#9（-1）,則°（x）不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

20.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)/（x）=2'（…）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（-oo,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+s）

【答案】D

【解析】函數(shù)y=2'在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/（x）=2、（r）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)＞=式》"）=5-92一?在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此|卻，解得。22,

所以。的取值范圍是[2,內(nèi)）.

故選：D

考點(diǎn)5：分段函數(shù)問題

—x2+2,xW1,/

21.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)/（%）=，;若當(dāng)

XH---1,X>1,I

X

不￡[〃,切時(shí)，1?/0）?3,則6—4的最大值是1

37

【答案】3+V3/V3+3

28

【解析】由已知/(；)=-出2+2+心=：+口=||，

所以小(撲:

當(dāng)x41時(shí)，由l4/(x)V3可得14一,+243,所以-14x41,

當(dāng)x>l時(shí)，由1V/(X)W3可得14X+L—1V3,所以1<XV2+VL

X

14人>)43等價(jià)于_1?》42+6，所以[見切[[-1,2+6],

所以b-a的最大值為3+也.

故答案為：—,3+^3.

2o

22.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知/(x)=[4貝!|/(3)=_____.

[l,x<0

【答案】V3

【解析】因?yàn)?(x)=[4'X>°,故〃3)=6,

故答案為：行.

考點(diǎn)6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題

23.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)的定義域是.

X

【答案】(-8,0)5。川

1/---11—x20

【解析】因?yàn)?(x)=：+Vi。，所以x/0，解得E且XW0,

故函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)。(0』；

故答案為：(F,O)u(O,l]

-ax+1,x<a,

24.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=若〃x)存在最小值，則a的一個(gè)取

(x-2),x>a.

值為;a的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

1,x<0

【解析】若Q=0時(shí)，/(%)={'A/?=0；

(x-2),x>0in

若a〈0時(shí)，當(dāng)時(shí)，/(%)=-ax+1單調(diào)遞增，當(dāng)x->YO時(shí)，f(x)—oo,故/(x)沒有最小值，不符合題

目要求；

若Q>0時(shí)，

當(dāng)X<Q時(shí)，/(x)=—ax+l單調(diào)遞減，/(x)>f(a)=-a2+1,

八0(0<〃<2)

當(dāng)x>q時(shí)，/(x)血”{2(>6

(〃-2)(a>2)

??一a2+120或i-/+1?(Q-2>,

解得0<(2<1,

綜上可得m；

故答案為：o(答案不唯一)，1

考點(diǎn)7：函數(shù)性質(zhì)(對(duì)稱性、周期性、奇偶性)的綜合運(yùn)用

25.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(xj)=//(x)+x2/(j),

則()?

A./(0)=0B./(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)D.x=0為f(x)的極小值點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】方法一：

因?yàn)閒(xy)=y2f(x)+x2f(y),

對(duì)于A,令》=>=0,/(0)-0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令無=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則于(1)=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(一1)=0,

令N=TJ(-x)=/(x)+x"(-l)=/(x),

又函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,不妨令/。)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)/&)無極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)?⑸)=y2f(x)+x2f(y),

對(duì)于A,令》=>=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則〃-1)=0,

令y=TJ(-x)=/(%)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,所以/(工)為偶函數(shù)，故c正確，

對(duì)于D,當(dāng)/夕2片0時(shí)，對(duì)/(盯)=產(chǎn)/(工)+工2/3)兩邊同時(shí)除以了2)?,得至I")="2+"J),

xyxy

故可以設(shè)^^=1中2°),則/(無)=<：?jiǎn)釓V/0,

x10,x=0

當(dāng)％>0肘，/(x)=x2lnx,則fr(x)=2x\nx+x2?—=x(21nx+l),

令/'(x)<0,得令〃(')>0,Wx>e-b

故了(%)在0,e.5上單調(diào)遞減，在屋"+8上單調(diào)遞增,

\7\7

因?yàn)?X)為偶函數(shù)，所以/(X)在一屋5,0上單調(diào)遞增，在-s,e「5上單調(diào)遞減,

\\)

顯然，此時(shí)尤=0是/(x)的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

26.(多選題)(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)己知函數(shù)Ax)及其導(dǎo)函數(shù)/(X)的定義域均為R,記

g(x)=7'(x),若/||-2x],g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g]-￡|=°C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于"X),因?yàn)?||-2xj為偶函數(shù)，所以/[T-2x]=/1|+2xj即/=+①，所以

3

/(3-x)=/(x),所以/⑸關(guān)于x=a對(duì)稱，則/(-1)=〃4),故C正確;

對(duì)于g(x)，因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，由①求

導(dǎo)，和g(x)=/'(X),得LT+xj/g+x)o—gg—x)=gg+X'所

以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)關(guān)于§,0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g[￡|=0,結(jié)合g(x)關(guān)于X=2對(duì)

稱，從而周期T=4X12-，=2,所以g1；j=g(I=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)Ax)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定"X)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于X=2對(duì)稱，故可設(shè)g(x)=cos(7tr),則/(x)=Lsin(nx)+c,顯然A,D錯(cuò)

7t

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因?yàn)間(2+x)均為偶函數(shù)，

所以=+即/11|?一x］=/1T+xJ,g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),則〃-1)="4),故C正確;

3

函數(shù)"X),g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=J/=2對(duì)稱，

又g(x)=/'(x),且函數(shù)/(x)可導(dǎo)，

所以g||J=0，g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(A：),

所以gU=g10=°，g(T)=g6=-g⑵，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)"X)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定Ax)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的

通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

27.(2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3

時(shí)/(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)/Xx)=x,所以/⑴=1J(2)=2,

又因?yàn)?aA/a-D+Ax-z),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/⑺+/(6)>34/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(Il)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,7(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知420)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

28.(2022年新高考全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,且

22

/■(X+JO+Z■(尤==則￡/(左)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】［方法一］:賦值加性質(zhì)

因?yàn)椤▁+y)+〃x-y)=/(x)〃y),令x=l,y=o可得,2/(l)=/(l)/(O),所以"0)=2,令x=o可得,

/(v)+/(-y)=2/(y),即/(力=/(十),所以函數(shù)/(無)為偶函數(shù)，令”1得,

/-(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(尤+2)+/(力=/(尤+1),從而可知/(尤+2)=—/(x—1),

/■(x-l)=-/(尤一4),故〃x+2)=/(x-4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃x)的一個(gè)周期為6.因?yàn)?/p>

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=.-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/(1)+/(2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,

22

所以㈤=*1)+〃2)+〃3)+/(4)=1-1-2-1=-3.故選：A.

k=l

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由1(x+y)+/(x-y)=〃耳15)，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x++cos(x-=2cosxcosy,可設(shè)/(x)=QCOSGX,則由方法一中/(0)=2,/(l)=l知Q=2,QCOSG=1,

171

解得COS。=一，取G==，

23

所以/(x)=2cosgx,則

(7in71\.71

f(x+y)+f［x-y)=2cosA+2cos-x—y\=4cos—定。8。y=/}/所以/(無)=2cosg尤

『7J133)3

7=2=6

符合條件，因此Ax)的周期三一，1(0)=2,[(1)=1,且

3

/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,所以/⑴+”2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以㈤=/■⑴+〃2)+八3)+八4)=1一1一2-1=-3.故選：A.

左=1

【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；

29.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(X-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線X=2對(duì)稱，g(2)=4,則后)=()