2023-2024學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)兩種解題模型（學(xué)生版）

專題09旋轉(zhuǎn)兩種解題模型

目錄

解題知識必備.................................

壓軸題型講練............................................................2

題型一：奔馳模型................................................................2

題型二：費馬點模型.............................................................15

壓軸能力測評...........................................................21

“解題知識必備”

模型一：奔馳模型

旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類

題型，提升利用旋轉(zhuǎn)解決問題的能力，更重要的是要明白一點：旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而

解決問題

模型二：費馬點模型

如圖，以AABC的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外

面的三個頂點與原三角形的相對頂點相連，交于點P,點

P就是原三角形的費馬點.

最值問題是中考?？碱}型，費馬點屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而

來，所以應(yīng)熟練掌握費馬點等此類最值經(jīng)典題。

X壓軸題型講練2

題型一：奔馳模型

選擇題（共1小題）

1.（2020秋?順平縣期中）如圖，尸是等邊三角形48c內(nèi)的一點，且力=3,PB=4,PC=5,將A4Ap

繞點2順時針旋轉(zhuǎn)60。到AC80位置.連接尸Q,則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.NQPB=60。B.APQC=90°C.AAPB=\50°D.N/PC=135°

二.填空題（共4小題）

2.（2023秋?北屯市校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A4O5是等邊三角形，點工的坐標(biāo)是

（0,6）,點8在第一象限，NO4B的平分線交x軸于點尸，把A40P繞著點/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊

與N3重合，得到A42D,連接。尸.則DP=,。點坐標(biāo)為.

3.（2023秋?長寧區(qū)校級期中）已知在A42C中，AACB=90°,AB=2Q,sinB=—（如圖），把A4BC繞

5

著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)"°（0<1<360）,將點/、8的對應(yīng)點分別記為點4、B',如果△/4C為直角

三角形，那么點/與點9的距離為.

4.（2022秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，正方形42CA中，將邊繞著點/旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點8落在邊C￡）的垂直平分

線上的點E處時，ABED的度數(shù)為.

5.（2021秋?盤龍區(qū)校級期中）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點，且尸4=3,尸8=4,PC=5,以BC

為邊在AABC外作ABQC=ABPA,連接PQ,則以下結(jié)論中正確有（填序號）

①A&PQ是等邊三角形②APCQ是直角三角形③N4P8=150。@//2。=135。

0

三.解答題（共6小題）

6.（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，一塊等腰直角的三角板N2C,在水平桌面上繞點C按順時針方向旋

轉(zhuǎn)到ACDE的位置，使/,C,。三點在同一直線上，連接求/￡>￡/的度數(shù).

7.（2021秋?長樂區(qū)期中）在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,將A43c繞點3順時針旋

轉(zhuǎn)一定的角度得到AZ）3￡,點/,C的對應(yīng)點分別是。，E,連接4D.

（1）如圖1,當(dāng)點E恰好在邊N5上時，求/4DE的大小；

（2）如圖2,若尸為4D中點，求C尸的最大值.

圖2

8.（2022秋?東勝區(qū)校級期中）（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1,P

是正方形內(nèi)一點，連結(jié)尸/,PB,PC現(xiàn)將AP48繞點2順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的△PC3,連接

PP'.若PA=C,PB=3,NAPB=135。,則尸C的長為,正方形的邊長為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點尸是等邊A4BC內(nèi)的一點，且R4=3,PB=4,PC=5,請猜想N/P5的

度數(shù)，并說明理由.

（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：

如圖3,在四邊形4BCL（中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,則AD的長度為.

9.（2023秋?梁山縣期中）如圖，尸是正三角形4BC內(nèi)的一點，且尸/=6,PB=8,PC=10.若將APNC

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB.

（1）求點尸與點P之間的距離；

（2）求N/P3的度數(shù).

10.（2020秋?黃石期中）下面是一道例題及其解答過程，請補充完整.

（1）如圖1,在等邊三角形48C內(nèi)部有一點尸，PA=3,PB=4,PC=5,求44網(wǎng)的度數(shù).

解：將A4PC繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到連接尸P,則A4Pp為等邊三角形.

PP'=PA=3,PB=4,P'B=PC=5,

P'P2+PB2=P'B1.

:.MPP為三角形.

ZAPB的度數(shù)為.

（2）類比延伸

如圖2,在正方形4BCL（內(nèi)部有一點尸，若N4PZ>=135。，試判斷線段尸/、PB、之間的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

11.（2023秋?羅山縣期中）閱讀與理解：如圖1,等邊NBDE（邊長為°）按如圖所示方式設(shè)置.

操作與證明：

（1）操作：固定等邊A45c（邊長為6）,將A5DE繞點2按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。，連接ND,CE,如圖

2；在圖2中，請直接寫出線段CE與之間具有怎樣的大小關(guān)系.

（2）操作：若將圖1中的A5OE,繞點8按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個角度a（6（F<a<180。），連接4D,

CE,4。與CE相交于點連BM,如圖3；在圖3中線段CE與之間具有怎樣的大小關(guān)系？AEMD

的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論.

猜想與發(fā)現(xiàn)：

（3）根據(jù)上面的操作過程，請你猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)a為多少度時，線段的長度最大，最大是多少?

當(dāng)e為多少度時，線段的長度最小，最小是多少？

D

圖1圖2圖3

題型二：費馬點模型

選擇題（共1小題）

1.（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知/B/C=60。，AB=4,/C=6,點尸在A48c內(nèi)，將A4PC繞著點

/逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到AXE1尸.則ZE+P2+尸C的最小值為（）

A.10B.2MC.5百D.2vH

二.解答題（共2小題）

2.（臺州期中）（1）知識儲備

①如圖1,已知點尸為等邊A48c外接圓的3c上任意一點.求證：PB+PC=PA.

②定義：在A42c所在平面上存在一點尸，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點尸為A45C的費

馬點，此時尸N+P8+PC的值為AA8C的費馬距離.

（2）知識遷移

①我們有如下探尋AA8C（其中ZB,NC均小于120。）的費馬點和費馬距離的方法：

如圖2,在AA8C的外部以5c為邊長作等邊ABC。及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段_4D_的

長度即為A43C的費馬距離.

②在圖3中，用不同于圖2的方法作出A45c的費馬點尸（要求尺規(guī)作圖）.

（3）知識應(yīng)用

①判斷題（正確的打4,錯誤的打x）:

i.任意三角形的費馬點有且只有一個—；

ii.任意三角形的費馬點一定在三角形的內(nèi)部.

②已知正方形48cD,尸是正方形內(nèi)部一點，且尸工+尸8+尸C的最小值為6+、Q,求正方形N8CZ）的

邊長.

3.（宿豫區(qū)校級期中）探究問題：

（1）閱讀理解：

①如圖（A）,在已知A45c所在平面上存在一點尸，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點尸為A45c

的費馬點，此時P/+P8+PC的值為A42C的費馬距離；

②如圖（B）,若四邊形/8CA的四個頂點在同一圓上，貝1|有+=.此為托勒密定理；

（2）知識遷移：

①請你利用托勒密定理，解決如下問題：

如圖（C）,己知點尸為等邊A4BC外接圓的數(shù)上任意一點.求證：PB+PC=PA；

②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋A42c（其中//、NB、NC均小于120。）的費馬點和費馬距離的

方法：

第一步：如圖（D）,在A48c的外部以3c為邊長作等邊ABC。及其外接圓；

第二步：在前1上任取一點P,連接P/、PB、PC、P'D.易知

P'A+P'B+P'C=P'A+（P'B+PC）=P'A+；

第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出A42C的費馬點尸，并請指出線段的長度即為A43c

的費馬距離.

2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓

的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水.

己知三村莊/、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的AABC（其中乙4、/B、NC均小于120。），現(xiàn)選取一點尸

打水井，使從水井尸到三村莊N、8、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值.

(?E)

“壓軸能力測評”

1.（連城縣期中）（1）如圖1,點尸是等邊A42C內(nèi)一點，已知P4=3,PB=4,PC=5,求N/P8的度

數(shù).

要直接求44的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集

中到一個三角形內(nèi)，如圖2,作NP4D=60。使=連接PD,CD,則AP/D是等邊三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°

AABC是等邊三角形

/.AC=AB,ABAC=60°

NBAP=

,AABP^AACD

??,BP=CD=4,=ZADC

???在APCD中，PD=3,PC=5,CQ=4,PD2+CD2=PC2

ZPDC=°

AAPB=ZADC=/ADP+ZPDC=60°+90。=150°

（2）如圖3,在A4BC中，AB=BC,/ABC=9。。,點尸是A45C內(nèi)一點，PA=1,PB=2,PC=3,求

44班的度數(shù).

2.（西城區(qū)校級期中）如圖，尸是等邊A43c內(nèi)的一點，且尸4=5,PB=4,PC=3,將A4尸8繞點2逆

時針旋轉(zhuǎn)，得至IJACQ2.求：

（1）點尸與點。之間的距離；

（2）求NAPC的度數(shù).

3.（漢陽區(qū)期中）如圖，尸是等腰AABC內(nèi)一點，AB=BC,連接尸/,PB,PC.

（1）如圖1,當(dāng)//8C=90。時，將AP48繞3點順時針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;

（2）在（1）中，若尸/=2,PB=4,PC=6,求N/P2的大??；

（3）當(dāng)乙1BC=6O。時，且PZ=3,PB=4,PC=5,則A4PC的面積是（直接填答案）

4.（漢陽區(qū)期中）（1）閱讀證明

①如圖1,在A42c所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點尸為A