【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修2雙基限時(shí)練13

雙基限時(shí)練(十三)一、選擇題1．下列命題中正確的是()A．假如兩個(gè)平面相互垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都與另一個(gè)平面垂直B．假如兩個(gè)平面與某一條直線垂直，那么兩個(gè)平面垂直C．假如一個(gè)平面含有另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直D．假如兩個(gè)平面相互垂直，過其中一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)做另一個(gè)平面的垂線，那么這條直線不肯定在這個(gè)平面內(nèi)答案C2．若兩條直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面()A．有且只有一個(gè) B．至多一個(gè)C．有很多個(gè) D．肯定不存在解析若a⊥b，則存在一個(gè)過a與b垂直的平面，若a不垂直b，則不存在過a與b垂直的平面．答案B3．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是()A．若mβ，α⊥β，則m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC．若m⊥β，m∥α，則α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ解析由m∥α可知α內(nèi)至少有一條直線m′∥m，又m⊥β，∴m′⊥β，又m′α，∴α⊥β，故選C.答案C4.以等腰直角三角形ABC的斜邊AB的中線CD為棱，將△ABC折疊，使平面ACD⊥面BCD，則AC與BC的夾角為()A．30° B．60°C．90° D．不確定解析∵CD⊥BD，CD⊥DA，又面ACD⊥面BCD，∴∠BDA＝90°，設(shè)AD＝x，則AC＝BC＝eq\r(2)x，AB＝eq\r(2)x，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BCA＝60°.答案B5.如圖所示，α⊥β，CDβ，CD⊥AB，CE，CFα，∠FEC＝90°，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)為()①EF⊥面β；②EF⊥DE；③面EFD⊥面DEC；④面DEF⊥β.A．1 B．2C．3 D．4解析∵DC⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又EFα，∴DC⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC，∴EF⊥面DCE.又DE面DEF，∴EF⊥DE；又EF面DEF.∴面DEF⊥面DCE.故②③正確，①④明顯不正確．答案B6．在正方體ABCD—A1B1C1D1A．A1C⊥面AB1D1 B．A1C⊥面AB1C．A1B⊥面AB1D1 D．A1B⊥AD1解析∵在正方體ABCD—A1B1C1D1中，∴A1C1⊥B1D1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.同理可證A1C⊥AD1，又AD1∩∴A1C⊥面AB1D1答案A二、填空題7．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在平面，若PC⊥BD，AB與BC不垂直，則平行四邊形ABCD肯定是________．解析由PA⊥面ABCD，知PA⊥BD.又BD⊥PC，∴BD⊥面PAC，故BD⊥AC.又AB與BC不垂直，∴四邊形ABCD為菱形．答案菱形8.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，圖中相互垂直的平面有________對(duì)．解析面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面PAD，面PBC⊥PAB，面PCD⊥面PAD.答案59．對(duì)于四周體ABCD，給出下列四個(gè)命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD.其中真命題的序號(hào)是________．(寫出全部真命題的序號(hào))解析對(duì)于①，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則BC⊥面AED，故BC⊥AD，故①對(duì)，②不肯定，③也不肯定．對(duì)于④，過A作面BCD的垂線，垂足為O，由AB⊥CD，BD⊥AC，可知O為△BCD的垂心，∴BC⊥DO，又BC⊥AO，∴BC⊥面AOD，即有BC⊥AD.故④正確，故正確的有①④.答案①④三、解答題10．如圖所示，三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，AA1⊥求證：面A1AD⊥面BCC1B1.證明∵AC＝AB，D為BC的中點(diǎn)，∴BC⊥AD.又AA1⊥面ABC，∴AA1⊥BC.又AA1∩AD＝A，∴BC⊥面A1AD.∵BC面BCC1B1，∴面A1AD⊥面BCC1B1.11．如圖所示，面PAB⊥面ABC，面PAC⊥面ABC，AE⊥面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC為直角三角形．證明(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于F，作DG⊥AB于G，∵面PAC⊥面ABC，且面PAC∩面ABC＝AC，∴DF⊥AP，同理可證DG⊥AP.又DG∩DF＝D，DG面ABC，DF面ABC，∴PA⊥面ABC.(2)連接BE并延長(zhǎng)交PC于H，∵E為△PBC的垂心，∴PC⊥BE.AE⊥面PBC，∴PC⊥AE.∴PC⊥面ABE，∴PC⊥AB.又PA⊥面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA，∴AB⊥面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．12．某幾何體的三視圖，如圖所示，P是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，G是PB的中點(diǎn)，(1)依據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；(2)在直觀圖中，①證明：PD∥面AGC；②證明：面PBD⊥面AGC.解(1)該幾何體的直觀圖如圖所示．(2)①證明：連接AC，BD交于O，連接OG.∵G為PB的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，∴OG∥PD，又OG面GAC，PD?面AGC，∴PD∥面AGC.②由三視圖可知PO⊥面ABCD，又AO⊥BO，∴AO⊥面PBD.又AO面AGC，∴面PBD⊥面AGC.思維探究13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，線段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H為垂足．求證：H不行能是△BCD的垂心．證明假設(shè)H是△BCD的垂心，則BH⊥CD，∵AH⊥平面DBC，DC平面DBC，∴AH⊥DC.∵AH∩BH＝H，∴