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雙基限時(shí)練(十三)一、選擇題1.下列命題中正確的是()A.假如兩個(gè)平面相互垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都與另一個(gè)平面垂直B.假如兩個(gè)平面與某一條直線垂直,那么兩個(gè)平面垂直C.假如一個(gè)平面含有另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直D.假如兩個(gè)平面相互垂直,過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)做另一個(gè)平面的垂線,那么這條直線不肯定在這個(gè)平面內(nèi)答案C2.若兩條直線a與b異面,則過(guò)a且與b垂直的平面()A.有且只有一個(gè) B.至多一個(gè)C.有很多個(gè) D.肯定不存在解析若a⊥b,則存在一個(gè)過(guò)a與b垂直的平面,若a不垂直b,則不存在過(guò)a與b垂直的平面.答案B3.若m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列命題中的真命題是()A.若mβ,α⊥β,則m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥βC.若m⊥β,m∥α,則α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,則β⊥γ解析由m∥α可知α內(nèi)至少有一條直線m′∥m,又m⊥β,∴m′⊥β,又m′α,∴α⊥β,故選C.答案C4.以等腰直角三角形ABC的斜邊AB的中線CD為棱,將△ABC折疊,使平面ACD⊥面BCD,則AC與BC的夾角為()A.30° B.60°C.90° D.不確定解析∵CD⊥BD,CD⊥DA,又面ACD⊥面BCD,∴∠BDA=90°,設(shè)AD=x,則AC=BC=eq\r(2)x,AB=eq\r(2)x,∴△ABC為等邊三角形,∴∠BCA=60°.答案B5.如圖所示,α⊥β,CDβ,CD⊥AB,CE,CFα,∠FEC=90°,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為()①EF⊥面β;②EF⊥DE;③面EFD⊥面DEC;④面DEF⊥β.A.1 B.2C.3 D.4解析∵DC⊥AB,α⊥β,α∩β=AB,∴CD⊥α.又EFα,∴DC⊥EF.又∠FEC=90°,∴EF⊥EC,∴EF⊥面DCE.又DE面DEF,∴EF⊥DE;又EF面DEF.∴面DEF⊥面DCE.故②③正確,①④明顯不正確.答案B6.在正方體ABCD—A1B1C1D1A.A1C⊥面AB1D1 B.A1C⊥面AB1C.A1B⊥面AB1D1 D.A1B⊥AD1解析∵在正方體ABCD—A1B1C1D1中,∴A1C1⊥B1D1,B1D1⊥CC1,∴B1D1⊥面A1C1C,∴B1D1⊥A1C.同理可證A1C⊥AD1,又AD1∩∴A1C⊥面AB1D1答案A二、填空題7.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在平面,若PC⊥BD,AB與BC不垂直,則平行四邊形ABCD肯定是________.解析由PA⊥面ABCD,知PA⊥BD.又BD⊥PC,∴BD⊥面PAC,故BD⊥AC.又AB與BC不垂直,∴四邊形ABCD為菱形.答案菱形8.如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,圖中相互垂直的平面有________對(duì).解析面PAB⊥面ABCD,面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面PAD,面PBC⊥PAB,面PCD⊥面PAD.答案59.對(duì)于四周體ABCD,給出下列四個(gè)命題:①若AB=AC,BD=CD,則BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,則BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,則BC⊥AD;④若AB⊥CD,BD⊥AC,則BC⊥AD.其中真命題的序號(hào)是________.(寫(xiě)出全部真命題的序號(hào))解析對(duì)于①,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,則BC⊥面AED,故BC⊥AD,故①對(duì),②不肯定,③也不肯定.對(duì)于④,過(guò)A作面BCD的垂線,垂足為O,由AB⊥CD,BD⊥AC,可知O為△BCD的垂心,∴BC⊥DO,又BC⊥AO,∴BC⊥面AOD,即有BC⊥AD.故④正確,故正確的有①④.答案①④三、解答題10.如圖所示,三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體,截面為A1B1C1,∠BAC=90°,AA1⊥求證:面A1AD⊥面BCC1B1.證明∵AC=AB,D為BC的中點(diǎn),∴BC⊥AD.又AA1⊥面ABC,∴AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,∴BC⊥面A1AD.∵BC面BCC1B1,∴面A1AD⊥面BCC1B1.11.如圖所示,面PAB⊥面ABC,面PAC⊥面ABC,AE⊥面PBC,E為垂足.(1)求證:PA⊥面ABC;(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí),求證:△ABC為直角三角形.證明(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D,作DF⊥AC于F,作DG⊥AB于G,∵面PAC⊥面ABC,且面PAC∩面ABC=AC,∴DF⊥AP,同理可證DG⊥AP.又DG∩DF=D,DG面ABC,DF面ABC,∴PA⊥面ABC.(2)連接BE并延長(zhǎng)交PC于H,∵E為△PBC的垂心,∴PC⊥BE.AE⊥面PBC,∴PC⊥AE.∴PC⊥面ABE,∴PC⊥AB.又PA⊥面ABC,∴PA⊥AB.又PC∩PA,∴AB⊥面PAC.∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.12.某幾何體的三視圖,如圖所示,P是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),G是PB的中點(diǎn),(1)依據(jù)三視圖,畫(huà)出該幾何體的直觀圖;(2)在直觀圖中,①證明:PD∥面AGC;②證明:面PBD⊥面AGC.解(1)該幾何體的直觀圖如圖所示.(2)①證明:連接AC,BD交于O,連接OG.∵G為PB的中點(diǎn),O為BD的中點(diǎn),∴OG∥PD,又OG面GAC,PD?面AGC,∴PD∥面AGC.②由三視圖可知PO⊥面ABCD,又AO⊥BO,∴AO⊥面PBD.又AO面AGC,∴面PBD⊥面AGC.思維探究13.如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,線段AD⊥平面ABC,AH⊥平面DBC,H為垂足.求證:H不行能是△BCD的垂心.證明假設(shè)H是△BCD的垂心,則BH⊥CD,∵AH⊥平面DBC,DC平面DBC,∴AH⊥DC.∵AH∩BH=H,∴

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