《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)-第十章-第2講-用樣本估計(jì)總體-輕松闖關(guān)

1．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，則在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：選D.由題知，在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.2．(2022·高考廣東卷)已知某地區(qū)中學(xué)校生人數(shù)和近視狀況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中學(xué)校生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取2%的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．200，20 B．100，20C．200，10 D．100，10解析：選A.該地區(qū)中學(xué)校生總?cè)藬?shù)為3500＋2000＋4500＝10000，則樣本容量為10000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2000×2%×50%＝20，故選A.3.某同學(xué)進(jìn)入高三后，4次月考的數(shù)學(xué)成果的莖葉圖如圖，則該同學(xué)數(shù)學(xué)成果的方差是()A．125 B．5eq\r(5)C．45 D．3eq\r(5)解析：選C.由莖葉圖知平均值為eq\f(114＋126＋128＋132,4)＝125，∴s2＝eq\f(1,4)[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.4．某廠10名工人在一小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析：選D.把該組數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均數(shù)a＝eq\f(1,10)×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位數(shù)b＝eq\f(15＋15,2)＝15，眾數(shù)c＝17，則a<b<c.5．某地區(qū)為了解中同學(xué)的日平均睡眠時(shí)間(單位：h)，隨機(jī)選擇了n位中同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，依據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，且從左到右的第1個(gè)、第4個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)小長(zhǎng)方形的面積依次構(gòu)成公差為0.1的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是10，則n等于()A．80 B．90C．100 D．110解析：選C.設(shè)第1個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為S，則4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4S＋\f(4×3,2)×0.1))，由題意知，4S＋eq\f(4×3,2)×0.1＝1，故S＝0.1，又由于eq\f(10,n)＝0.1，所以n＝100.6．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m＋n＝________．解析：依據(jù)莖葉圖，可得甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為eq\f(20＋22,2)＝21，依據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為21＝20＋n，解得n＝1.又甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(10＋m＋20＋22＋28,4)＝eq\f(80＋m,4)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(19＋21＋26,3)＝22，所以eq\f(80＋m,4)＝22，解得m＝8，所以m＋n＝9.答案：97．(2021·湖北八校聯(lián)考)對(duì)某市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)[25，30)年齡組對(duì)應(yīng)小矩形的高度為________；(2)據(jù)此估量該市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)為________．解析：(1)設(shè)[25，30)年齡組對(duì)應(yīng)小矩形的高度為h，則5(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h＝0.04.(2)志愿者年齡在[25，35)的頻率為5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)約為0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4408．(2022·高考江蘇卷)為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)狀況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹木的底部周長(zhǎng)(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的60株樹木中，有________株樹木的底部周長(zhǎng)小于100cm.解析：底部周長(zhǎng)在[80，90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長(zhǎng)在[90，100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長(zhǎng)小于100cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24.答案：249．(2021·西安模擬)某校從參與高三模擬考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取60名同學(xué)，將其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))分成六組[90，100)，[100，110)，…，[140，150]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀看圖形的信息，回答下列問(wèn)題：(1)求分?jǐn)?shù)在[120，130)內(nèi)的頻率；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值(如：區(qū)間[100，110)的中點(diǎn)值為eq\f(100＋110,2)＝105)作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估量本次考試的平均分；(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130)的同學(xué)中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120，130)內(nèi)的概率．解：(1)分?jǐn)?shù)在[120，130)內(nèi)的頻率為1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估量平均分為x＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，[110，120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)．在[120，130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)．∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130)的同學(xué)中抽取一個(gè)容量為6的樣本，∴需在[110，120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m，n；在[120，130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人，并分別記為a，b，c，d；設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120，130)內(nèi)”為大事A，則基本大事共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15個(gè)．則大事A包含的基本大事有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9個(gè)．∴P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).10．(2021·昆明市高三上學(xué)期調(diào)研)在數(shù)學(xué)趣味學(xué)問(wèn)培訓(xùn)活動(dòng)中，甲、乙兩名同學(xué)的6次培訓(xùn)成果如莖葉圖所示：(1)從甲、乙兩人中選擇一人參與數(shù)學(xué)趣味學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，你會(huì)選哪位？請(qǐng)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)問(wèn)說(shuō)明理由；(2)從乙的6次成果中隨機(jī)選擇2個(gè)成果，求選到123分的概率．解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(99＋107＋108＋115＋119＋124,6)＝112，eq\x\to(x)乙＝eq\f(102＋105＋112＋113＋117＋123,6)＝112，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－112)2＋(107－112)2＋(108－112)2＋(115－112)2＋(119－112)2＋(124－112)2]＝eq\f(206,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(102－112)2＋(105－112)2＋(112－112)2＋(113－112)2＋(117－112)2＋(123－112)2]＝eq\f(148,3)，∴eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，說(shuō)明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故選擇乙同學(xué)．(2)從6個(gè)成果中隨機(jī)選擇2個(gè)，共有15個(gè)基本大事，分別是：{102，105}，{102，112}，{102，113}，{102，117}，{102，123}，{105，112}，{105，113}，{105，117}，{105，123}，{112，113}，{112，117}，{112，123}，{113，117}，{113，123}，{117，123}，其中滿足條件的基本大事有5個(gè)，故所求概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).1．一個(gè)樣本a，3，5，7的平均數(shù)是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個(gè)樣本的方差是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C.由x2－5x＋4＝0的兩根分別為1，4，∴有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝1)).又a，3，5，7的平均數(shù)是b.即eq\f(a＋3＋5＋7,4)＝b，eq\f(a＋15,4)＝b，a＋15＝4b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝4))符合題意，則方差s2＝5.2．(2021·安徽省名校模擬)一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是()A．13，12 B．13，13C．12，13 D．13，14解析：選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8，2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故樣本數(shù)據(jù)為：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均數(shù)為eq\f(S10,10)＝eq\f(（4＋22）×5,10)＝13，中位數(shù)為eq\f(12＋14,2)＝13.3．某班有48名同學(xué)，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70，方差為75，后來(lái)發(fā)覺有2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)登記錯(cuò)了，甲實(shí)際得80分卻記成了50分，乙實(shí)際得70分卻記成了100分，更正后平均分為________，方差為________．解析：因甲少記了30分，乙多記了30分，故平均分不變，設(shè)更正后的方差為s2，則由題意可得s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化簡(jiǎn)整理得s2＝50.答案：70504．為了解本市的交通狀況，某校高一班級(jí)的同學(xué)分成了甲、乙、丙三組，從13點(diǎn)到18點(diǎn)，分別對(duì)三個(gè)路口的機(jī)動(dòng)車通過(guò)狀況進(jìn)行了實(shí)際調(diào)查，并繪制了頻率分布直方圖(如圖)．若定義“總體平均數(shù)的估量值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和”，則甲、乙、丙三組所調(diào)查數(shù)據(jù)的總體平均數(shù)的估量值eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，eq\x\to(x)3的大小關(guān)系為________．解析：依據(jù)題中總體平均數(shù)的估量值的定義可得，eq\x\to(x)1＝0.3×13.5＋0.2×14.5＋0.1×15.5＋0.1×16.5＋0.3×17.5＝15.4，eq\x\to(x)2＝0.2×13.5＋0.2×14.5＋0.3×15.5＋0.2×16.5＋0.1×17.5＝15.3，x3＝0.1×13.5＋0.3×14.5＋0.3×15.5＋0.2×16.5＋0.1×17.5＝15.4，故eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)3>eq\x\to(x)2.答案：eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)3>eq\x\to(x)25．(2021·寧波模擬)甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)依據(jù)計(jì)算結(jié)果，估量一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰(shuí)更好一些．解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－x)2]可求得seq\o\al(2,甲)＝3.0，seq\o\al(2,乙)＝1.2.(3)由eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，說(shuō)明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng)；又∵seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，說(shuō)明甲戰(zhàn)士射擊狀況波動(dòng)大，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊狀況穩(wěn)定．6．(選做題)某高三班級(jí)有500名同學(xué)，為了了解數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)狀況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名同學(xué)在一次測(cè)試中的數(shù)學(xué)成果，制成如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[85，95)①②[95，105)0.050[105，115)0.200[115，125)120.300[125，135)0.275[135，145)4③[145，155]0.050合計(jì)④(1)依據(jù)上面圖表，求出①②③④處應(yīng)填的數(shù)值；(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出[85，155]的頻率分布直方圖及折線圖；(3)依據(jù)題中信息估量總體平均數(shù)，并估量總體落在[129，155]中的頻率．解：(1)由題意和表中數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的人數(shù)為eq\f(12,0.300)＝40.由統(tǒng)計(jì)