《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)-第十章-第2講-用樣本估計總體-輕松闖關(guān)

1．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，則在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：選D.由題知，在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.2．(2022·高考廣東卷)已知某地區(qū)中學(xué)校生人數(shù)和近視狀況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中學(xué)校生的近視形成緣由，用分層抽樣的方法抽取2%的同學(xué)進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．200，20 B．100，20C．200，10 D．100，10解析：選A.該地區(qū)中學(xué)校生總?cè)藬?shù)為3500＋2000＋4500＝10000，則樣本容量為10000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2000×2%×50%＝20，故選A.3.某同學(xué)進入高三后，4次月考的數(shù)學(xué)成果的莖葉圖如圖，則該同學(xué)數(shù)學(xué)成果的方差是()A．125 B．5eq\r(5)C．45 D．3eq\r(5)解析：選C.由莖葉圖知平均值為eq\f(114＋126＋128＋132,4)＝125，∴s2＝eq\f(1,4)[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.4．某廠10名工人在一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析：選D.把該組數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排列為10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均數(shù)a＝eq\f(1,10)×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位數(shù)b＝eq\f(15＋15,2)＝15，眾數(shù)c＝17，則a<b<c.5．某地區(qū)為了解中同學(xué)的日平均睡眠時間(單位：h)，隨機選擇了n位中同學(xué)進行調(diào)查，依據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，且從左到右的第1個、第4個、第2個、第3個小長方形的面積依次構(gòu)成公差為0.1的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是10，則n等于()A．80 B．90C．100 D．110解析：選C.設(shè)第1個小長方形的面積為S，則4個小長方形的面積之和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4S＋\f(4×3,2)×0.1))，由題意知，4S＋eq\f(4×3,2)×0.1＝1，故S＝0.1，又由于eq\f(10,n)＝0.1，所以n＝100.6．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m＋n＝________．解析：依據(jù)莖葉圖，可得甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為eq\f(20＋22,2)＝21，依據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為21＝20＋n，解得n＝1.又甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(10＋m＋20＋22＋28,4)＝eq\f(80＋m,4)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(19＋21＋26,3)＝22，所以eq\f(80＋m,4)＝22，解得m＝8，所以m＋n＝9.答案：97．(2021·湖北八校聯(lián)考)對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)[25，30)年齡組對應(yīng)小矩形的高度為________；(2)據(jù)此估量該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)為________．解析：(1)設(shè)[25，30)年齡組對應(yīng)小矩形的高度為h，則5(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h＝0.04.(2)志愿者年齡在[25，35)的頻率為5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)的人數(shù)約為0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4408．(2022·高考江蘇卷)為了了解一片經(jīng)濟林的生長狀況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.解析：底部周長在[80，90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90，100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24.答案：249．(2021·西安模擬)某校從參與高三模擬考試的同學(xué)中隨機抽取60名同學(xué)，將其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))分成六組[90，100)，[100，110)，…，[140，150]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀看圖形的信息，回答下列問題：(1)求分數(shù)在[120，130)內(nèi)的頻率；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點值(如：區(qū)間[100，110)的中點值為eq\f(100＋110,2)＝105)作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估量本次考試的平均分；(3)用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110，130)的同學(xué)中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數(shù)段[120，130)內(nèi)的概率．解：(1)分數(shù)在[120，130)內(nèi)的頻率為1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估量平均分為x＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，[110，120)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)．在[120，130)分數(shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)．∵用分層抽樣的方法在分數(shù)段為[110，130)的同學(xué)中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110，120)分數(shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m，n；在[120，130)分數(shù)段內(nèi)抽取4人，并分別記為a，b，c，d；設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段[120，130)內(nèi)”為大事A，則基本大事共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15個．則大事A包含的基本大事有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9個．∴P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).10．(2021·昆明市高三上學(xué)期調(diào)研)在數(shù)學(xué)趣味學(xué)問培訓(xùn)活動中，甲、乙兩名同學(xué)的6次培訓(xùn)成果如莖葉圖所示：(1)從甲、乙兩人中選擇一人參與數(shù)學(xué)趣味學(xué)問競賽，你會選哪位？請運用統(tǒng)計學(xué)的學(xué)問說明理由；(2)從乙的6次成果中隨機選擇2個成果，求選到123分的概率．解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(99＋107＋108＋115＋119＋124,6)＝112，eq\x\to(x)乙＝eq\f(102＋105＋112＋113＋117＋123,6)＝112，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－112)2＋(107－112)2＋(108－112)2＋(115－112)2＋(119－112)2＋(124－112)2]＝eq\f(206,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(102－112)2＋(105－112)2＋(112－112)2＋(113－112)2＋(117－112)2＋(123－112)2]＝eq\f(148,3)，∴eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故選擇乙同學(xué)．(2)從6個成果中隨機選擇2個，共有15個基本大事，分別是：{102，105}，{102，112}，{102，113}，{102，117}，{102，123}，{105，112}，{105，113}，{105，117}，{105，123}，{112，113}，{112，117}，{112，123}，{113，117}，{113，123}，{117，123}，其中滿足條件的基本大事有5個，故所求概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).1．一個樣本a，3，5，7的平均數(shù)是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個樣本的方差是()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C.由x2－5x＋4＝0的兩根分別為1，4，∴有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝1)).又a，3，5，7的平均數(shù)是b.即eq\f(a＋3＋5＋7,4)＝b，eq\f(a＋15,4)＝b，a＋15＝4b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝4))符合題意，則方差s2＝5.2．(2021·安徽省名校模擬)一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是()A．13，12 B．13，13C．12，13 D．13，14解析：選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8，2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故樣本數(shù)據(jù)為：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均數(shù)為eq\f(S10,10)＝eq\f(（4＋22）×5,10)＝13，中位數(shù)為eq\f(12＋14,2)＝13.3．某班有48名同學(xué)，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70，方差為75，后來發(fā)覺有2名同學(xué)的分數(shù)登記錯了，甲實際得80分卻記成了50分，乙實際得70分卻記成了100分，更正后平均分為________，方差為________．解析：因甲少記了30分，乙多記了30分，故平均分不變，設(shè)更正后的方差為s2，則由題意可得s2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化簡整理得s2＝50.答案：70504．為了解本市的交通狀況，某校高一班級的同學(xué)分成了甲、乙、丙三組，從13點到18點，分別對三個路口的機動車通過狀況進行了實際調(diào)查，并繪制了頻率分布直方圖(如圖)．若定義“總體平均數(shù)的估量值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和”，則甲、乙、丙三組所調(diào)查數(shù)據(jù)的總體平均數(shù)的估量值eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，eq\x\to(x)3的大小關(guān)系為________．解析：依據(jù)題中總體平均數(shù)的估量值的定義可得，eq\x\to(x)1＝0.3×13.5＋0.2×14.5＋0.1×15.5＋0.1×16.5＋0.3×17.5＝15.4，eq\x\to(x)2＝0.2×13.5＋0.2×14.5＋0.3×15.5＋0.2×16.5＋0.1×17.5＝15.3，x3＝0.1×13.5＋0.3×14.5＋0.3×15.5＋0.2×16.5＋0.1×17.5＝15.4，故eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)3>eq\x\to(x)2.答案：eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)3>eq\x\to(x)25．(2021·寧波模擬)甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)依據(jù)計算結(jié)果，估量一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些．解：(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－x)2]可求得seq\o\al(2,甲)＝3.0，seq\o\al(2,乙)＝1.2.(3)由eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng)；又∵seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，說明甲戰(zhàn)士射擊狀況波動大，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊狀況穩(wěn)定．6．(選做題)某高三班級有500名同學(xué)，為了了解數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)狀況，現(xiàn)從中隨機抽出若干名同學(xué)在一次測試中的數(shù)學(xué)成果，制成如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[85，95)①②[95，105)0.050[105，115)0.200[115，125)120.300[125，135)0.275[135，145)4③[145，155]0.050合計④(1)依據(jù)上面圖表，求出①②③④處應(yīng)填的數(shù)值；(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出[85，155]的頻率分布直方圖及折線圖；(3)依據(jù)題中信息估量總體平均數(shù)，并估量總體落在[129，155]中的頻率．解：(1)由題意和表中數(shù)據(jù)可知，隨機抽取的人數(shù)為eq\f(12,0.300)＝40.由統(tǒng)計