【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修二單元質(zhì)量評(píng)估1-第一章

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評(píng)估(一)第一章（120分鐘150分）一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在下面敘述中，正確的有()①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②斜三棱柱的側(cè)面確定都不是矩形；③底面為矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；④側(cè)面是正方形的正四棱柱是正方體.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選A.由棱柱、直棱柱的概念可得只有④正確.2.(2022·淮北高一檢測(cè))如圖所示，觀看四個(gè)幾何體，其中推斷正確的是()A.①是棱臺(tái) B.②是圓臺(tái)C.③是棱錐 D.④不是棱柱【解析】選C.圖①不是由棱錐截來(lái)的，所以①不是棱臺(tái)；圖②上、下兩個(gè)面不平行，所以②不是圓臺(tái)；圖④前、后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱；很明顯③是棱錐.3.直線l1∥l2，在l1上取3個(gè)點(diǎn)，l2取2個(gè)點(diǎn)，由這5個(gè)點(diǎn)所確定的平面?zhèn)€數(shù)為()A.9個(gè) B.6個(gè) C.3個(gè) D.1個(gè)【解析】選D.由于l1∥l2，所以l1，l2確定惟一平面，所以5個(gè)點(diǎn)均在該面內(nèi).4.已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么原△ABC的面積為()A.32a2 B.34a2 C.62a2 【解析】選C.如圖，由底邊長(zhǎng)A′B′=a，C′O=32a，那么原來(lái)的高線為2a×62=6S=12×a×6a=62a5.正方體內(nèi)切球與外接球體積之比為()A.1∶3 B.1∶3 C.1∶33 D.1∶【解析】選C.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，內(nèi)切球半徑為R1，外接球半徑為R2.則R1=a2，R2=32a，V內(nèi)∶V外=a23∶326.(2021·廣東高考)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是()A.4 B.143 C.163【解題指南】本題考查空間想象力氣與臺(tái)體體積公式，應(yīng)首先還原出臺(tái)體外形再計(jì)算.【解析】選B.四棱臺(tái)的上下底面均為正方形，兩底面邊長(zhǎng)和高分別為1，2，2，V棱臺(tái)=13(S上+S下+S上S下)h=13(1+4+17.如圖(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是邊G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體(如圖(2))，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)GA.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF【解析】選A.在圖(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F在圖(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG.8.(2021·湖南高考)已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的主視圖的面積不行能等于()A.1 B.2 C.2-12 【解題指南】由俯視圖可知該正方體是水平放置的，則主視圖有很多種可能，但最小面應(yīng)是一個(gè)側(cè)面，最大面應(yīng)是一個(gè)垂直于水平面的對(duì)角面.【解析】選C.由于俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，所以正方體是平放在水平面上，所以主視圖最小面積是一個(gè)側(cè)面的面積為1，最大面積為一個(gè)對(duì)角面的面積為2，而2-19.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)覺.我們來(lái)重溫這個(gè)宏大發(fā)覺.圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為()A.32，1 B.23，1 C.32，32 【解析】選C.設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以V圓柱=πR2×2R=2πR3，V球=43πR3.所以V圓柱V球=S圓柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2，S球=4πR2.所以S圓柱S球=6【變式訓(xùn)練】(2022·濟(jì)源高一檢測(cè))已知正方體的外接球的體積是4π3，A.23 B.33 C.22【解析】選D.設(shè)正方體的外接球半徑為r，正方體棱長(zhǎng)為a，則43πr3=43π，所以r=1，所以3a=2r=2，得a=10.(2021·浙江高考)在空間中，過(guò)點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ(A).設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ(fα(P))，Q2=fα(fβ(P))，恒有PQ1=PQ2，則()A.平面α與平面β垂直B.平面α與平面β所成的(銳)二面角為45°C.平面α與平面β平行D.平面α與平面β所成的(銳)二面角為60°【解題指南】充分理解題意，依據(jù)立體幾何中的面面之間的位置關(guān)系推斷.【解析】選A.由于P是空間任意一點(diǎn)，不妨設(shè)P∈α，如圖所示，則Q1=fβ(fα(P))=fβ(P)，Q2=fα(fβ(P))=fα(Q1)，又PQ1=PQ2，明顯B，C，D不滿足，故選A.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)11.(2021·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為________.【解題指南】由三視圖可推斷出此幾何體是底面為正方形，高為1的四棱錐，再代入體積公式求體積.【解析】此棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高為1，所以體積為13×32×答案：312.(2022·贛州高一檢測(cè))在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC=BD=2，且AC⊥BD，則四邊形EFGH的面積為________.【解析】如圖，由條件，易推斷EHFG12BD，所以EH=FG=1，同樣有EFGH12AC，EF=GH=1，又BD⊥AC，所以EF⊥EH，所以四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為1的正方形，其面積S=12=1.答案：113.(2022·九江高一檢測(cè))一塊正方形薄鐵片的邊長(zhǎng)為4cm，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長(zhǎng)為半徑畫弧，沿弧剪下一個(gè)扇形(如圖)，用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的容積等于________cm3.【解析】據(jù)已知可得圓錐的母線長(zhǎng)為4，設(shè)底面半徑為r，則2πr=π2·故圓錐的高為h=42-1=故其體積V=13π·12·15=15π3答案：1514.(2022·漢中高一檢測(cè))一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為98，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為________【解析】設(shè)球的半徑為R，六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，明顯有a2且V六棱柱=6×所以R=1，則V球=43πR3=43答案：4315.(2022·合肥高二檢測(cè))已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的全部?jī)?nèi)接圓柱中，全面積的最大值是________.【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為3R-3r，全面積S=2πr2+2πr(3R-3r)=6πRr-4πr2=-4π(r-34R)2+94πR故當(dāng)r=34R時(shí)全面積有最大值94πR答案：94πR三、解答題(本大題共6小題，共75分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16.(12分)(2022·宜春高一檢測(cè))圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392，母線與軸的夾角為45°，求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和底面半徑.【解析】作出圓臺(tái)的軸截面如圖.設(shè)O′A′=r，由于一底面周長(zhǎng)是另一底面周長(zhǎng)的3倍，所以O(shè)A=3r，SA′=2r，SA=32r，OO′=2r.由軸截面的面積為12(2r+6r)·2r=392，得r=7.故上底面半徑為7，下底面半徑為21，高為14，母線長(zhǎng)為14217.(12分)(2021·江蘇高考)如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，過(guò)A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.【解題指南】(1)利用面面平行的判定定理證明.(2)先證線面垂直再證線線垂直.【證明】(1)由于AS=AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn).又由于E是SA的中點(diǎn)，所以EF∥AB.由于EF?平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又由于EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)由于平面SAB⊥平面SBC，且交線為SB，又由于AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，由于BC平面SBC，所以AF⊥BC.又由于AB⊥BC，AF∩AB=A，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.又由于SA平面SAB，所以BC⊥SA.18.(12分)(2021·山東高考)如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn).(1)求證：CE∥平面PAD.(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.【解題指南】(1)本題考查線面平行的證法，可利用線線平行，也可利用面面平行，來(lái)證明線面平行.(2)本題考查了面面垂直的判定，在平面EMN中找一條直線垂直平面EFG即可.【證明】(1)方法一：取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.由于E為PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB，EH=12又AB∥CD，CD=12AB，所以EH∥因此四邊形DCEH是平行四邊形.所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE?平面PAD，因此CE∥平面PAD.方法二：連接CF.由于F為AB的中點(diǎn)，所以AF=12AB.又CD=1又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF∥AD.又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD.由于E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.由于CF∩EF=F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)由于E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又AB⊥PA.所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG=F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，因此AB⊥平面EFG，又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG，又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.【變式訓(xùn)練】如圖，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2.(1)求證：平面AEF⊥平面PBC.(2)求三棱錐P-AEF的體積.【解析】(1)由于PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，而AE平面PAB，所以BC⊥AE.又AE⊥PB，PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC.而AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，所以AE就是三棱錐A-PEF的高.由于AE⊥平面PBC，所以AE⊥PC，又AF⊥PC，AE∩AF=A，所以PC⊥平面AEF，所以PC⊥EF.又PA=AB=BC=2，所以AE=2，AF=PA·ACPC=2×2所以PF=PA2-AF2所以EF=PE2-PF2所以VP-AEF=VA-PEF=13×AE×S△PEF=13×2×12×23319.(12分)(2021·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn).(1)證明：BC1∥平面A1CD.(2)設(shè)AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱錐C-A1DE的體積.【解題指南】(1)連接AC1，構(gòu)造中位線，利用線線平行證線面平行.(2)QUOTEVCA1DE=13S△【解析】(1)連接AC1，交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn).又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF.由于DF平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1由AA1=AC=CB=2，AB=22得∠ACB=90°，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D所以VCA1DE=13×1220.(13分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A1C1∩(1)D，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.(2)若A1C交平面BDEF于R點(diǎn)，則P，Q，【證明】如圖所示.(1)連接B1D1.由于E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1所以EF∥B1D1.又由于B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF與BD共面，所以E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面.(2)由于AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1同理，Q∈平面AA1C1由于A1C∩所以R∈平面AA1C1所以P，Q，R三點(diǎn)共線.【拓展延長(zhǎng)】四點(diǎn)共面與三點(diǎn)共線的證明方法(1)證明四點(diǎn)共面的常用方法①證明兩點(diǎn)所在的直線與另外兩點(diǎn)所在直線平行或相交；②證明其中一點(diǎn)在另外三點(diǎn)所確定的平面上.(2)證明三點(diǎn)共線的常用方法①證明三點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)平面內(nèi)，則三點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上；②證明其中一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)所確定的直線上.21.(14分)已知正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面相互垂直，M為AC上一點(diǎn)，N為BF上一點(diǎn)，且AM=FN=x，設(shè)AB=a.(1)求證：MN∥平面CBE.(2)求證：MN⊥AB.(3)當(dāng)x為何值時(shí)，MN取最小值？并求出這個(gè)最小值.【解析】(1)在平面ABC中，作MG∥A