對面積的曲面積分

對面積的曲面積分一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)引例設(shè)有一曲面狀物體所占的位置是一給定的光滑曲面Σ（所謂光滑曲面，是指曲面上每一點(diǎn)都有切平面，且切平面的法向量隨著曲面上的點(diǎn)連續(xù)變動而連續(xù)變化），它的質(zhì)量分布不均勻，其面密度為ρ(x,y,z)，試求該物體的質(zhì)量.分析如果該物體的面密度為常量，那么這物體的質(zhì)量可用公式質(zhì)量=面密度×面積來計(jì)算.由于該物體上各點(diǎn)處的面密度是變量，所以不能用上述方法來計(jì)算.下面采用以下幾個步驟來解決這個問題.一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)

(1)分割將Σ任意分成n小塊，相應(yīng)地，曲面狀物體也分成n小塊ΔSi(i=1,2,…,n)，同時ΔSi也代表第i個小塊的面積，取其中一小塊ΔSi來考慮.設(shè)小塊ΔSi的質(zhì)量為ΔMi，則整個曲面形物體的質(zhì)量(2)近似當(dāng)這小塊ΔSi的直徑很短時，其上的面密度可以近似看成是不變的常數(shù)，它近似等于該小塊上任一點(diǎn)ξi,ηi,ζi處的面密度ρ(ξi,ηi,ζi)，于是，該小塊的質(zhì)量ΔMi可近似表示為ΔMi≈ρ(ξi,ηi,ζi)ΔSi（i=1,2,…,n）.一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)

(3)求和于是整個曲面形物體的質(zhì)量為(4)取極限如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值λ→0時，該和式的極限存在，則此極限值就是曲面Σ的質(zhì)量這樣的極限在其他問題中還會遇到，因此可得出第一類曲面積分的概念.一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)定義設(shè)曲面Σ是光滑的，函數(shù)fx,y,z在Σ上有界.把Σ任意分成n小塊ΔSi（i=1,2,…,n），同時ΔSi也代表第i個小塊的面積，在ΔSi上任取一點(diǎn)ξi,ηi,ζi，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)fx,y,z在曲面Σ上的第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分，記為即一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)其中λ表示各小塊曲面直徑的最大值，fx,y,z稱為被積函數(shù)，Σ稱為積分曲面，dS稱為曲面面積元素.函數(shù)f(x,y,z)在閉正面Σ上的積分記為注意一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)可以證明，當(dāng)f(x,y,z)在光滑曲面Σ上連續(xù)時，f(x,y,z)在Σ上的第一類曲面積分總是存在的.今后總假定f(x,y,z)在Σ上連續(xù).由此可知，引例中曲面形物體的質(zhì)量當(dāng)面密度ρ(x,y,z)為光滑曲面Σ上的連續(xù)函數(shù)時，就等于ρ(x,y,z)在Σ上的第一類曲面積分曲面Σ的質(zhì)心的坐標(biāo)為一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)

轉(zhuǎn)動慣量為一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)第一類曲面積分與第一類曲線積分具有相似的性質(zhì).例如：（1）設(shè)α，β為常數(shù)，則（2）設(shè)曲面Σ可分成兩片光滑曲面Σ1及Σ2(記為Σ=Σ1+Σ2),則其他性質(zhì)，讀者可仿照本章第一節(jié)第一類曲線積分的性質(zhì)寫出.二、第一類曲面積分的計(jì)算

第一類曲面積分可化為二重積分來計(jì)算.二、第一類曲面積分的計(jì)算設(shè)光滑曲面Σ的方程由z=zx,y給出，Σ在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy（它的面積也記為Dxy），函數(shù)z=zx,y在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)fx,y,z在Σ上連續(xù)，則定理二、第一類曲面積分的計(jì)算證明由第一類曲面積分的定義知其中(Δσi)xy（它的面積也記為(Δσi)xy）表示ΔSi在xOy面上的投影區(qū)域.由二重積分的中值定理，上式可寫成其中(ξ′i,η′i)是(Δσi)xy上的一點(diǎn).又因(ξi,ηi,ζi)是Σ上的一點(diǎn),故ζi=z(ξi,ηi),這里(ξi,ηi,0)也是小閉區(qū)域(Δσi)xy上的點(diǎn)，于是二、第一類曲面積分的計(jì)算令二、第一類曲面積分的計(jì)算由于函數(shù)fx,y,z（

x,y

）在閉區(qū)域Dxy上連續(xù)，所以該函數(shù)在Dxy上有界，即M>0,對

有這里有又函數(shù)在閉區(qū)域Dxy上連續(xù)，所以該函數(shù)在Dxy上一致連續(xù)，即當(dāng)

時，有二、第一類曲面積分的計(jì)算這里有從而于是因此如果積分曲面Σ的方程為x=xy,z或y=yx,z，也可類似地把第一類曲面積分化為相應(yīng)的二重積分.二、第一類曲面積分的計(jì)算求其中Σ為錐面在柱體x2+y2≤2x內(nèi)的部分.

解

Σ在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?/p>

又于是【例1】二、第一類曲面積分的計(jì)算將投影到zOx面上，得投影域所以二、第一類曲面積分的計(jì)算求其中Σ是圓柱面x2+y2=1,平面z=x+2及z=0所圍成的空間立體的表面.

解設(shè)Σ1為z=0,Σ2為z=2+x,Σ3為x2+y2=1，則

于是在xOy面上得投影域?yàn)橛谑恰纠?】二、第一類曲面積分的計(jì)算一顆地球同步軌道通信衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道.通信衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同，即人們看到它在天空不動.若衛(wèi)星距地面的高度為h=36000km.試計(jì)算該通信衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R=6400km).【例3】二、第一類曲面積分的計(jì)算

解取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，地心到通信衛(wèi)星重心的連線為z軸，建立坐標(biāo)系，如圖10-17所示（為簡明，僅畫出了zOx面）.圖10-17二、第一類曲面積分的計(jì)算衛(wèi)星覆蓋的曲面Σ是上半球面被半頂角為β的圓錐面所截得的部分.Σ的方程為它在xOy面上的投影區(qū)域于是，通信衛(wèi)星