【名師一號】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修1-1雙基限時練10(第二章)

雙基限時練(十)1．雙曲線C的實軸長和虛軸長之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一個頂點的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)－eq\f(x2,4)＝1答案B2．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線相互垂直，那么該雙曲線的離心率為()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)答案C3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，m＞b＞0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形肯定是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形解析由題意知eq\f(a2＋b2,a2)·eq\f(m2－b2,m2)＝1，化簡得a2＋b2＝m2∴以a，b，m為邊長的三角形為直角三角形．答案B4．若0<k<a2，則雙曲線eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1與eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有()A．相同的實軸 B．相同的虛軸C．相同的焦點 D．相同的漸近線答案C5．雙曲線與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1有相同的焦點，且離心率為eq\r(2)，則雙曲線方程為()A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24答案D6．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(4,3)x，則雙曲線的離心率為()A.eq\f(5,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(5,4) D.eq\f(3,2)答案A7．以橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點為焦點，離心率為2的雙曲線方程為________．答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝18．雙曲線的漸近線方程為2x±y＝0，兩頂點間的距離為4，則雙曲線的方程為________．解析由題意知a＝2，當(dāng)焦點在x軸上時，有eq\f(b,a)＝2∴b＝4，雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1；當(dāng)焦點在y軸上時，有eq\f(a,b)＝2∴b＝1，雙曲線方程為eq\f(y2,4)－x2＝1.答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,4)－x2＝19．若雙曲線eq\f(x2,k＋4)＋eq\f(y2,9)＝1的離心率為2，則k的值為________．解析∵eq\f(x2,k＋4)＋eq\f(y2,9)＝1是雙曲線，∴k＋4＜0，k＜－4.∴a2＝9，b2＝－(k＋4)．∴c2＝a2＋b2＝5－k.∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5－k),3)＝2.∴5－k＝36，k＝－31.答案－3110．求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)虛軸長為12，離心率為eq\f(5,4)；(2)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x.解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由題知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1，或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.(2)當(dāng)焦點在x軸上時，由eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，且a＝3，∴b＝eq\f(9,2).∴所求雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(4y2,81)＝1；當(dāng)焦點在y軸上時，由eq\f(a,b)＝eq\f(3,2)，且a＝3，∴b＝2.∴所求雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.11．已知雙曲線的一條漸近線為x＋eq\r(3)y＝0，且與橢圓x2＋4y2＝64有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解橢圓方程可化為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1，可知橢圓的焦距2c＝8eq\r(3).①當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(b,a)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝12.))∴雙曲線方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1.②當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(a,b)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝36.))∴雙曲線方程為eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.由①②知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.12．如圖所示，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，且△PF1F2的面積為2eq\r(3)，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)．在△PF1F2得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·coseq\f(π,3)＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF又∵S△PF1F2＝2eq\r(3)，