【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教A版)基礎(chǔ)鞏固：第1章-第1節(jié)-集合

第一章第一節(jié)一、選擇題1．(文)集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cosx，x∈A}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{－1,0,1}[答案]B[解析]∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B＝{1，cos1}，∴A∩B＝{1}．(理)(2021·江蘇南通一模)集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{－1,0,1}[答案]B[解析]∵x∈A，∴B＝{eq\f(1,e)，1，e}，∴A∩B＝{1}．故選B．2．(文)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，則?U(A∪B)＝()A．{6,8} B．{5,7}C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}[答案]A[解析]∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴?U(A∪B)＝{6,8}．(理)(2022·烏魯木齊地區(qū)三診)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，則(?UA)∪B為()A．{2,4,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}[答案]A[解析]?UA＝{2,5}，∴(?UA)∪B＝{2,4,5}．3．設(shè)集合A＝{x|y＝eq\r(3x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>1}，則A∩B為()A．[0,3] B．(2,3]C．[3，＋∞) D．[1,3][答案]B[解析]由3x－x2≥0得，0≤x≤3，∴A＝[0,3]，∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∩B＝(2,3]．4．已知集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，則P∪Q等于A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}[答案]B[解析]依據(jù)題意P∩Q＝{0}，所以log2a解得a＝1從而b＝0，可得P∪Q＝{3,0,1}，故選B．5．(2022·山西高校附中月考)設(shè)A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B?A，則x的值為()A．0 B．－2C．0或－2 D．0或±2[答案]C[解析]當(dāng)x2＝4時，x＝±2，若x＝2，則不滿足集合中的元素的互異性，∴x≠2；若x＝－2，則A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，滿足題意，當(dāng)x2＝2x時，x＝0或2(舍去)，x＝0滿足題意，∴x＝0或－2.6．(文)(2021·山東濰坊一模)已知R為全集，A＝{x|(1－x)·(x＋2)≤0}，則?RA＝()A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|x≤－2，或x≥1}C．{x|－2<x<1} D．{x|－2≤x≤1}[答案]C[解析]∵(1－x)(x＋2)≤0，即(x－1)(x＋2)≥0，∴x≤－2或x≥1.∴A＝{x|x≤－2，或x≥1}．∴?RA＝{x|－2<x<1}，故選C．(理)(2021·遼寧大連一模)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝B，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)[答案]B[解析]易知A＝{x|0≤x≤2}．∵A∪B＝B，∴A?B，∴a∈(－∞，0]，故選B．二、填空題7．(文)已知集合A＝{(x，y)|x、y為實數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x、y為實數(shù)，且y＝－x＋1}，則A∩B的元素個數(shù)為________．[答案]2[解析]集合A表示圓x2＋y2＝1上的全部的點，集合B表示直線y＝－x＋1上的全部的點，故A∩B表示圓與直線的交點．由于直線與圓相交，故這樣的點有兩個．(理)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝________.[答案]{(0,1)，(－1,2)}[解析]A、B都表示點集，A∩B即是由集合A中落在直線x＋y－1＝0上的全部點組成的集合，將A中點的坐標(biāo)代入直線方程檢驗知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．8．(2022·長春市調(diào)研)設(shè)集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中有________個元素．[答案]6[解析]∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6個元素．9．(文)若A＝{x|22x－1≤eq\f(1,4)}，B＝{x|logeq\f(1,16)x≥eq\f(1,2)}，實數(shù)集R為全集，則(?RA)∩B＝________.[答案]{x|0<x≤eq\f(1,4)}[解析]由22x－1≤eq\f(1,4)得，x≤－eq\f(1,2)，由logeq\f(1,16)x≥eq\f(1,2)得，0<x≤eq\f(1,4)，∴(?RA)∩B＝{x|x>－eq\f(1,2)}∩{x|0<x≤eq\f(1,4)}＝{x|0<x≤eq\f(1,4)}．(理)已知全集U＝R，函數(shù)y＝eq\f(1,\r(x2－4))的定義域為M，N＝{x|log2(x－1)<1}，則如圖所示陰影部分所表示的集合是________．[答案](－∞，－2)∪[3，＋∞)[分析]將陰影部分用已知集合表示是關(guān)鍵．[解析]∵M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，N＝(1,3)．陰影部分為(?UN)∩M.∴?UN＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．(?UN)∩M＝(－∞，－2)∪[3，＋∞)．三、解答題10．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來；(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．[解析]集合A是方程ax2－3x＋2＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解組成的集合．(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0無解，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝－32－8a<0，))∴a>eq\f(9,8)，即實數(shù)a的取值范圍是(eq\f(9,8)，＋∞)．(2)當(dāng)a＝0時，方程只有一解eq\f(2,3)，此時A中只有一個元素eq\f(2,3)；當(dāng)a≠0時，應(yīng)有Δ＝0，∴a＝eq\f(9,8)，此時方程有兩個相等的實數(shù)根，A中只有一個元素eq\f(4,3)，∴當(dāng)a＝0或a＝eq\f(9,8)時，A中只有一個元素，分別是eq\f(2,3)和eq\f(4,3).(3)A中至多有一個元素，包括A是空集和A中只有一個元素兩種狀況，依據(jù)(1)，(2)的結(jié)果，得a＝0或a≥eq\f(9,8)，即a的取值范圍是{a|a＝0或a≥eq\f(9,8)}．一、選擇題11．(文)已知A、B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}[答案]D[解析]由題意知，A中有3和9，若A中有7或5，則?UB中無7和5，即B中有7或5，則與A∩B＝{3}沖突，故選D．(理)已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，則M∩N＝()A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}C．[0,1] D．[0，eq\r(2)][答案]D[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－eq\r(2)，eq\r(2)]，∴M∩N＝[0，eq\r(2)]，故選D．[點評]本題特殊易錯的地方是將數(shù)集誤認為點集．12．(文)設(shè)全集為U，集合A、B是U的子集，定義集合A與B的運算：A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x?(A∩B)}，則(A*B)*A等于()A．A B．BC．(?UA)∩B D．A∩(?UB)[答案]B[分析]本題考查對集合新運算的理解，在韋恩圖中，先畫出A*B所表示的部分，再畫出(A*B)*A表示的部分．[解析]畫一個一般狀況的Venn圖，如圖所示，由題目的規(guī)定，可知(A*B)*A表示集合B．(理)(2021·青島一模)設(shè)A，B是兩個非空集合，定義運算A×B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}，已知A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，則A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2][答案]A[解析]由2x－x2≥0解得0≤x≤2，則A＝[0,2]．又B＝{y|y＝2x，x>0}＝(1，＋∞)，∴A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)，故選A．13．(2022·巢湖質(zhì)檢)設(shè)集合A＝{x|eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,4)＝1}，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝()A．[－2,2] B．[0,2]C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}[答案]B[解析]A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．14．(文)(2022·湖北八校其次次聯(lián)考)設(shè)集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋3a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中全部元素之和為8，則實數(shù)a的取值集合為A．{0} B．{0,3}C．{1,3,4} D．{0,1,3,4}[答案]D[解析]由題意，若a≠3，則A＝{3，a}，B＝{1,4}．∵1＋3＋4＝8，∴a＝0,1或4.若a＝3，則A＝{3}滿足題意，故a的取值集合為{0,1,3,4}．(理)(2022·北京順義第一次統(tǒng)考)設(shè)數(shù)集M同時滿足條件：①M中不含元素－1,0,1；②若a∈M，則eq\f(1＋a,1－a)∈M.則下列結(jié)論正確的是()A．集合M中至多有2個元素B．集合M中至多有3個元素C．集合M中有且僅有4個元素D．集合M中有無窮多個元素[答案]C[解析]由條件②可知，若a∈M，則eq\f(1＋a,1－a)∈M，則eq\f(1＋\f(1＋a,1－a),1－\f(1＋a,1－a))＝－eq\f(1,a)∈M，eq\f(1－\f(1,a),1＋\f(1,a))＝eq\f(a－1,a＋1)∈M，則eq\f(1＋\f(a－1,a＋1),1－\f(a－1,a＋1))＝eq\f(2a,2)＝a∈M；由條件①可知a、eq\f(1＋a,1－a)、－eq\f(1,a)、eq\f(1－a,1＋a)互不相等，故集合M＝{a，eq\f(1＋a,1－a)，－eq\f(1,a)，eq\f(1－a,1＋a)}，有且僅有4個元素．二、填空題15．(文)(2021·湘潭模擬)設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數(shù)a＝________.[答案]1[解析]∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.(理)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，則實數(shù)a的值為________．[答案]2[解析]∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，則a2＝16，但16?A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2?A∪B，∴a＝2.16．(文)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，則實數(shù)a的取值范圍是________．[答案][2，＋∞)[解析]∵?RB＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(?RB)＝R，∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.(理)(2022·蘭州模擬)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，則實數(shù)m的值為________．[答案]0或2或3[解析]當(dāng)m＝0時，B＝??A；當(dāng)m≠0時，由B＝{eq\f(6,m)}?{2,3}可得eq\f(6,m)＝2或eq\f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2，綜上可得實數(shù)m＝0或2或3.三、解答題17．(文)(2022·南昌模擬)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．[分析]由A∪B＝B，可以得出A?B，而A?B中含有特例A＝?，應(yīng)留意．[解析]由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，(1)若A＝?，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.(2)若A≠?，則0∈A或－4∈A，當(dāng)0∈A時，得a＝±1；當(dāng)－4∈A，得a＝1或a＝7；但當(dāng)a＝7時A＝{－4，－12}，此時不合題意．故由(1)(2)得實數(shù)a的取值范圍是：a≤－1或a＝1.(理)(2022·臨川模擬)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}(1)若A?B，求a的取值范圍；(2)若A∩B＝?，求a的取值范圍；(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范圍．[解析]∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，∴A＝{x|2<x<4}．(1)當(dāng)a>0時，B＝{x|a<x<3a}，要使A?B應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2,3a≥4))?eq\f(4,3)≤a≤2，當(dāng)a<0時，B＝{x|3a<x<a}．要使A?B應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≤2,a≥4))不等式組無解，即不存在符合條件的a，∴綜上可知，當(dāng)A?B時，a的取值范圍是eq\f(4,3)≤a≤2.(2)要滿足A∩B＝?，當(dāng)a>0時，B＝{x|a<x<3a若A∩B＝?，則a≥4或3a≤∴0<a≤eq\f(2,3)或a≥4；當(dāng)a<0時，B＝{x|3a<x<a若A∩B＝?，則a≤2或a≥eq\f(4,3)，∴a<0；驗證知當(dāng)a＝0時也成立．綜上所述，a≤eq\f(2,3)或a≥4時，A∩B＝?.(3)要滿足A∩B＝{x|3<x<4}，明顯a>0且a＝3時成立，∵此時B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，故所求a的值為3.18．(文)(2021·衡水模擬)設(shè)全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6