【全程復(fù)習(xí)方略】2020年數(shù)學(xué)文(廣西用)課時作業(yè)：第九章-第五節(jié)空間的距離

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(四十七)一、選擇題1.ABCD是邊長為2的正方形,以BD為棱把它折成直二面角A-BD-C,E是CD的中點(diǎn),則異面直線AE,BC的距離為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)12.在△ABC中,AB=15,∠BCA=120°,若△ABC所在平面α外一點(diǎn)P到A,B,C的距離都是14,則P到α的距離是()(A)13 (B)11 (C)9 (D)73.在一個棱長為5QUOTEcm的正四周體內(nèi)有一點(diǎn)P,它到三個面的距離分別是1cm,2cm,3cm,則它到第四個面的距離為()(A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,假如AB=BC=a,A1A=2a,那么點(diǎn)A到直線A1C的距離等于(A)QUOTEa (B)QUOTEa(C)QUOTEa (D)QUOTEa5.已知空間四邊形ABCD中,BC=CD=QUOTE,AB=BD=AD=2,AC=QUOTE,延長BC到E使CE=BC,F是BD中點(diǎn),則異面直線AF與DE的距離和所成的角分別為()(A)1,60°(B)QUOTE,60°(C)1,45° (D)QUOTE,45°6.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1,AB1與底面ABCD成60°角,則A1C1(A)QUOTE (B)1(C)QUOTE (D)QUOTE7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M為A1B1(A)QUOTEa(B)QUOTEa(C)QUOTEa(D)QUOTEa8.設(shè)P是60°的二面角α-l-β內(nèi)的一點(diǎn),PA⊥α于A,PB⊥β于B,PA=4,PB=2,則AB的長為()(A)2QUOTE (B)2QUOTE (C)2QUOTE (D)4QUOTE9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,設(shè)平面A1BC1與平面ABC的交線為l,則A1C1與(A)QUOTE (B)QUOTE (C)2.6 (D)2.410.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側(cè)棱與底面邊長均為2a,且∠A1AD=∠A1AB=60°,則側(cè)棱AA1和截面B1D1(A)a (B)QUOTEa (C)QUOTEa (D)QUOTEa二、填空題11.邊長為a的正三角形ABC在平面α內(nèi),P?α,且PA與AB,AC均成45°角,則PA與BC間的距離是.12.邊長為1的等邊三角形ABC,沿BC邊上高線AD折起,使得折后二面角B-AD-C為60°,則點(diǎn)A到BC的距離為,點(diǎn)D到平面ABC的距離為.13.(力氣挑戰(zhàn)題)如圖,空間四點(diǎn)A,B,C,D中,每兩點(diǎn)所連線段的長都等于a,動點(diǎn)P在線段AB上,動點(diǎn)Q在線段CD上,則P與Q的最短距離為.14.如圖,ABCD與ABEF均是邊長為a的正方形,假如二面角E-AB-C的度數(shù)為30°,那么EF與平面ABCD的距離為.三、解答題15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AA1=2QUOTE,∠ACB=90°,M是AA1的中點(diǎn),N是BC1的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面A1B1C1.(2)求點(diǎn)C1到平面BMC的距離.(3)求二面角B-C1M-A1答案解析1.【解析】選D.如圖,取BD中點(diǎn)F,連結(jié)CF,AF,EF,由正方形ABCD知AF⊥BD,則AF⊥平面BCD.又CD?平面BCD,∴CD⊥AF.又EF∥BC,則CD⊥EF.∵AF∩EF=F,∴CD⊥平面AEF.∵AE?平面AEF,∴CD⊥AE,即CE⊥AE.又BC⊥CD,即CE⊥BC,所以CE為AE,BC的公垂線段.易證CE=1.2.【解析】選B.作PO⊥α于點(diǎn)O,連結(jié)OA,OB,OC,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心.∴OA=QUOTE=QUOTE=5QUOTE.∴PO=QUOTE=11為所求.3.【解析】選D.棱長為5QUOTEcm的正四周體的高為h=QUOTE=10,將P點(diǎn)與各頂點(diǎn)連結(jié)起來,則將正四周體分成了四個三棱錐,其中底面是全等的三角形,高分別為1,2,3,h1,設(shè)S為正四周體一個面的面積,則QUOTES×10=QUOTES(1+2+3+h1)解得h1=4.4.【解析】選C.在Rt△A1AC中,A1A=2a,AC=QUOTEa,A1C=QUOTEa,由面積關(guān)系QUOTE=QUOTEA1C·h=QUOTE·A1A·AC,得斜邊A1C上的高為h=QUOTE=QUOTEa.5.【解析】選A.連結(jié)FC.∵AB=AD,BF=FD,∴AF⊥BD.∵BC=CD,BF=FD,∴CF⊥BD.∵BC=CE,BF=FD,∴FCQUOTEDE.∴DE⊥BD,∴FD是異面直線AF與DE之間的距離,FD=QUOTEBD=QUOTE×2=1.∵FC∥DE,∴∠AFC或其補(bǔ)角是AF與DE所成的角.在△AFC中,AF=QUOTEBD=QUOTE×2=QUOTE,FC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又AC=QUOTE,∴cosAFC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴∠AFC=60°,即AF與DE所成的角為60°.6.【解析】選D.由A1AB1BC1C知四邊形A1C1CA為平行四邊形,則A1C1∥AC,因此A1C1∥平面ABCD,則正四棱柱的側(cè)棱長即為A1C1到底面ABCD的距離.又B1B⊥底面ABCD,則∠B1AB為直線AB1與底面ABCD所成的角,即∠B1AB=60°,在Rt△ABB1中,BB1=AB·tanB1AB=QUOTE.7.【思路點(diǎn)撥】由BC在底面內(nèi),由正三棱柱的特性,先找出M在底面的射影D,過D作BC的垂線,由三垂線定理,解直角三角形求解.【解析】選A.如圖,過M點(diǎn)作MD⊥AB,垂足為D,作DE⊥BC,垂足為E,連結(jié)ME,由三垂線定理知ME⊥BC.在Rt△MDE中,MD=a,可求出DE=QUOTEa,∴ME=QUOTE=QUOTEa.8.【解析】選C.如圖,設(shè)過P,A,B的平面交直線l于P'點(diǎn),連結(jié)P'A,P'B,∵PA⊥α,PB⊥β,AP'?α,BP'?β,∴PA⊥AP',PB⊥BP'.在四邊形PAP'B中,∠AP'B=60°,則∠APB=180°-60°=120°,所以在△APB中,由余弦定理得AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos∠APB=42+22-2×4×2×(-QUOTE)=28.則AB=2QUOTE.9.【解析】選C.交線l過B且與AC平行,作CD⊥l于D,連結(jié)C1D,則C1D為A1C1與l的距離.而CD等于AC上的高,即CD=QUOTE,Rt△C1CD中易求得C1D=QUOTE=2.6.10.【解析】選A.分別連結(jié)AC,A1C1交BD,B1D1于O,O1,連結(jié)OO1,A1O,A1B,A1D,則B1D1⊥A1O1.∵BD∥B1D1,∴BD⊥A1O1.又∵四棱柱的底面邊長與側(cè)棱均為2a,且∠A1AD=∠A1AB=60°,∴A1A=A1B=A1D.∴A1在底面ABD上的射影為△ABD的外心.∵△ABD為等腰直角三角形,∴O為A1在平面ABD上的射影,即A1O⊥平面ABD,∴A1O⊥BD.∴BD⊥平面A1OO1,∴平面B1D1DB⊥平面A1OO1.過A1作A1E⊥OO1,則A1E⊥平面B1D1DB.即A1E為所求的距離,易求得A1E=a.11.【解析】如圖所示,∵∠PAB=∠PAC,∴PA在α上的射影是∠BAC的平分線AD.∵△ABC為正三角形,∴BC⊥AD,∴BC⊥PA,∵AD∩AP=A,∴BC⊥平面PAD.作DE⊥PA交PA于E,∵DE?平面PAD,∴BC⊥DE,則DE為BC,PA的公垂線段,∴cos∠PAB=cos∠PADcos∠DAB=QUOTEcos∠PAD.從而在Rt△ADE中可求得DE=QUOTE.答案:QUOTE12.【解析】折后如圖,∠BDC=60°,設(shè)E為BC的中點(diǎn),連結(jié)AE,DE,則在Rt△ADE中,AE即為點(diǎn)A到BC的距離,AD=QUOTE,DE=QUOTE,所以由勾股定理得AE=QUOTE=QUOTE.設(shè)D到平面ABC的距離為h,由VA-BDC=VD-ABC得QUOTE×(QUOTE)3×sin60°×QUOTE=QUOTE×(QUOTE)2×QUOTE×h,求得h=QUOTE,即點(diǎn)D到平面ABC的距離為QUOTE.答案:QUOTEQUOTE13.【思路點(diǎn)撥】由題意知幾何體為正四周體,依據(jù)正四周體的特殊性,把P與Q的最短距離轉(zhuǎn)化為相對棱中點(diǎn)的距離.【解析】以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形,且為正四周體,知當(dāng)P,Q分別為AB,CD的中點(diǎn)時,P,Q兩點(diǎn)間的距離最短,∴AQ=BQ=QUOTEa,∴PQ⊥AB.在Rt△APQ中,PQ=QUOTE=QUOTE=QUOTEa.答案:QUOTEa14.【解析】明顯∠FAD是二面角E-AB-C的平面角,∠FAD=30°,過F作FG⊥平面ABCD于G,則G必在AD上,由EF∥平面ABCD,∴FG為EF與平面ABCD的距離,即FG=QUOTE.答案:QUOTE15.【解析】(1)如圖所示,取B1C1的中點(diǎn)D,連結(jié)ND,A1D,∴DN∥BB1∥AA1.又∵DN=QUOTEBB1=QUOTEAA1=A1M,∴四邊形A1MND為平行四邊形.∴MN∥A1D.又∵M(jìn)N?平面A1B1C1,A1D?平面A1B1C1,∴MN∥平面A1B1C1.(2)因三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴C1C⊥BC.又∵∠ACB=90°,C1C∩AC于C,∴BC⊥平面ACC1A1.在平面ACC1A1中,過C1作C1H⊥CM,又∵BC⊥C1H,CM∩BC于C,故C1H為點(diǎn)C1到平面BMC的距離.在等腰三角形CMC1中,C1C=2QUOTE,CM=C1M=QUOTE,∴C1H=QUOTE=QUOTE.即點(diǎn)C1到平面BMC的距離為QUOTE.(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于點(diǎn)E,交A1C1于點(diǎn)F,連接BE,則CE為BE在平面ACC1A1上的射影,∴BE⊥C1M,∴∠BEF為二面角B-C1M-A1的平面角.在等腰三角形CMC1中,CE=C1H=QUOTE,∴tan∠BEC=QUOTE=QUOTE,∴cos∠BEC=QUOTE.∵二面角B-C1M-A1的平面角與∠BEC互補(bǔ),∴二面角B-C1M-A1的余弦值為-QUOTE.【變式備選】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,∠B1A1C1=90°,D,E分別為CC1和A1B1的中點(diǎn),且A1A=AC=2AB=2.(1)求證:C1E∥平面A1BD.(2)求點(diǎn)C1到平面A1BD的距離.【解析】(1)取A1B中點(diǎn)F,連結(jié)EF,FD.∴EFQUOTEB1B.又B1B∥C1C,C1D=QUOTEC1C,∴EFC1D,∴C1EFD為平行四邊形,∴C1E∥DF.又DF?平面A1DB,∴C1E∥平面A1DB.(2)A1B=A1D=QUOTE,BD=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE×QUOTE×2×1×1=QUOTE,QUOTE=QUOTE,即QUOTE·QUOTEd=QUOTE,∴d=QUOTE.∴點(diǎn)C1到平面A1BD的距離為QUOTE.【方法技巧】點(diǎn)到平面的距離的求解方法求點(diǎn)到平面的距離是立體幾何在高考中?？疾榈膬?nèi)容,而直線與平面的距離、兩個平行平面的距離通常要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離求解,所以把握點(diǎn)面距離的求法是格外必要的,通常的方法有:(1)直接法:由點(diǎn)到平面的距離的