【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式一、選擇題1．已知cos2θ＝eq\f(\r(2),3)，則sin4θ＋cos4θ的值為()A.eq\f(13,18)B.eq\f(11,18)C.eq\f(7,9) D．－12．若α∈(0，eq\f(π,2))，且sin2α＋cos2α＝eq\f(1,4)，則tanα的值等于()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(2) D.eq\r(3)3．已知α＋β＝eq\f(π,4)，則(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是()A．－1 B．1C．2 D．44．若eq\f(sinα－\f(π,4),cos2α)＝－eq\r(2)，則sinα＋cosα的值為()A．－eq\f(\r(7),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(7),2)5．已知tanα＝eq\f(1,4)，tan(α－β)＝eq\f(1,3)，則tanβ＝()A.eq\f(7,11) B．－eq\f(11,7)C．－eq\f(1,13) D.eq\f(1,13)6．eq\f(sin－250°cos70°,cos2155°－sin225°)的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)二、填空題7．已知sinα＝eq\f(1,2)＋cosα，且α∈(0，eq\f(π,2))，則eq\f(cos2α,sinα－\f(π,4))的值為_(kāi)___．8．已知tan(x＋eq\f(π,4))＝2，則eq\f(tanx,tan2x)的值為_(kāi)_______．9．已知角α，β的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，α，β∈(0，π)，角β的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－eq\f(5,13)，角α＋β的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是eq\f(3,5)，則cosα＝________.三、解答題10．已知－eq\f(π,2)<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(3sin2\f(x,2)－2sin\f(x,2)cos\f(x,2)＋cos2\f(x,2),tanx＋\f(1,tanx))的值．11．已知tanα＝－eq\f(1,3)，cosβ＝eq\f(\r(5),5)，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．12．已知函數(shù)f(x)＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))，x∈R.(1)求f(eq\f(5π,4))的值；(2)設(shè)α，β∈[0，eq\f(π,2)]，f(3α＋eq\f(π,2))＝eq\f(10,13)，f(3β＋2π)＝eq\f(6,5)，求cos(α＋β)的值．

詳解答案：1．解析：∵cos2θ＝eq\f(\r(2),3)，∴sin22θ＝eq\f(7,9).∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－eq\f(1,2)(sin2θ)2＝eq\f(11,18).答案：B2．解析：由于sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＝eq\f(1,4)，sin2α＝1－cos2α＝eq\f(3,4)，∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(3).答案：D3．解析：∵α＋β＝eq\f(π,4)，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.答案：C4．解析：∵eq\f(\r(2),2)(sinα－cosα)＝－eq\r(2)(cos2α－sin2α)∴sinα＋cosα＝eq\f(1,2).答案：C5．解析：tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tanα－β,1＋tanαtanα－β)＝eq\f(\f(1,4)－\f(1,3),1＋\f(1,12))＝－eq\f(1,13).答案：C6．解析：eq\f(－sin270°－20°cos90°－20°,cos225°－sin225°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(sin40°,2cos50°)＝eq\f(sin90°－50°,2cos50°)＝eq\f(1,2).答案：C7．解析：依題意得sinα－cosα＝eq\f(1,2)，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋(eq\f(1,2))2＝2，故(sinα＋cosα)2＝eq\f(7,4)；又α∈(0，eq\f(π,2))，因此有sinα＋cosα＝eq\f(\r(7),2)，所以eq\f(cos2α,sinα－\f(π,4))＝eq\f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝－eq\r(2)(sinα＋cosα)＝－eq\f(\r(14),2).答案：－eq\f(\r(14),2)8．解析：由于tan(x＋eq\f(π,4))＝2，所以tanx＝eq\f(1,3)，tan2x＝eq\f(2×\f(1,3),1－\f(1,9))＝eq\f(\f(2,3),\f(8,9))＝eq\f(3,4)，即eq\f(tanx,tan2x)＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)9．解析：由題意知，cosβ＝－eq\f(5,13)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，又∵α，β∈(0，π)，∴sinβ＝eq\f(12,13)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－eq\f(4,5)×(－eq\f(5,13))＋eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,65)＋eq\f(36,65)＝eq\f(56,65).答案：eq\f(56,65)10．解：(1)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)兩邊平方得1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25)，所以2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).又∵－eq\f(π,2)<x<0，∴sinx<0，cosx>0，∴sinx－cosx<0.故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).(2)eq\f(3sin2\f(x,2)－2sin\f(x,2)cos\f(x,2)＋cos2\f(x,2),tanx＋\f(1,tanx))＝eq\f(2sin2\f(x,2)－sinx＋1,\f(sinx,cosx)＋\f(cosx,sinx))＝cosx(2－cosx－sinx)＝(－eq\f(12,25))×(2－eq\f(1,5))＝－eq\f(108,125).11．解：(1)由cosβ＝eq\f(\r(5),5)，β∈(0，π)，得sinβ＝eq\f(2\r(5),5)，即tanβ＝2.∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(1,3)＋2,1＋\f(2,3))＝1.(2)∵tanα＝－eq\f(1,3)，α∈(0，π)，∴sinα＝eq\f(1,\r(10))，cosα＝－eq\f(3,\r(10)).∴f(x)＝－eq\f(3\r(5),5)sinx－eq\f(\r(5),5)cosx＋eq\f(\r(5),5)cosx－eq\f(2\r(5),5)sinx＝－eq\r(5)sinx.∴f(x)的最大值為eq\r(5).12．解：(1)f(eq\f(5π,4))＝2sin(eq\f(1,3)×eq\f(5,4)π－eq\f(π,6))＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2).(2)∵eq\f(10,13)＝f(3α＋eq\f(π,2))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×3α＋\f(π,2)－\f(π,6)))＝2sinα，eq\f(6,5)＝f(3β＋2π)＝2sin[eq\f(1,3)×(3β＋2π)－eq\f(π,6)]＝2sin(β＋eq\f(π,2))＝2cosβ，∴sinα＝eq\f(5,13)，cosβ＝eq\f(3,5)，又∵α，β∈[0，eq