2025年滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第06講 冪的運(yùn)算

第06講冪的運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．掌握同底數(shù)冪、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則和公式；2．會(huì)借助冪的運(yùn)算公式進(jìn)行逆運(yùn)算；知識(shí)點(diǎn)1同底數(shù)冪的乘法1.，即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意：(1)法則對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)相乘仍然適用，即.(2)不要忽略指數(shù)是1的因數(shù)，如。(3)底數(shù)可以是數(shù)也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。(4)注意法則的逆用：。知識(shí)點(diǎn)2冪的乘方，即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘?！狙a(bǔ)充和拓展】(1)法則推廣：；(2)法則逆用：。知識(shí)點(diǎn)3積的乘方，即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘?！狙a(bǔ)充和拓展】(1)法則可以推廣到三個(gè)或三個(gè)以上因式的積的乘方，如。(2)法則逆用：。知識(shí)點(diǎn)4同底數(shù)冪的除法與0指數(shù)冪1.同底數(shù)冪的除法(都是正整數(shù)，并且)；即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。注意：(1)同底數(shù)冪的除法和同底數(shù)冪的乘法互為逆運(yùn)算。(2)被除式、除式底數(shù)相同，被除式指數(shù)大于除式指數(shù)。(3)底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。(4)當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，如(是正整數(shù)，且).2.零指數(shù)冪的性質(zhì)：即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。(1)底數(shù)可以為單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式，但是不能為0,否則，式子沒(méi)有意義。(2)任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積，因此常數(shù)項(xiàng)可以看作是0次單項(xiàng)式?？键c(diǎn)01:同底數(shù)冪相乘例題1．（24-25七年級(jí)上·上海黃浦·期中）計(jì)算：．【變式1-1】計(jì)算：（結(jié)果用冪的形式表示）．【變式1-2】計(jì)算：．（結(jié)果用冪的形式示）【變式1-3】計(jì)算：考點(diǎn)02：同底數(shù)冪乘法的逆用例題2．計(jì)算：，，則．【變式2-1】計(jì)算：的值是（

）A． B． C． D．【變式2-2】計(jì)算：．【變式2-3】若，則．考點(diǎn)03：冪的乘方運(yùn)算例題3.若，則的值為．【變式3-1】計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【變式3-2】下列計(jì)算中正確的是（

）A． B．C． D．【變式3-3】已知，，為自然數(shù)，且滿(mǎn)足，則的取值不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8考點(diǎn)04：冪的乘方的逆用例題4.（1）已知，則代數(shù)式的值為．（2）若均為正整數(shù)，且，則的值為．【變式4-1】已知：，，則【變式4-2】已知，，則．【變式4-3】已知，求的值．考點(diǎn)05：積的乘方運(yùn)算例題5.若，則．【變式5-1】【變式5-2】（24-25七年級(jí)上·重慶開(kāi)州·期中）＝，＝．【變式5-3】計(jì)算：．考點(diǎn)06：積的乘方的逆用例題6.已知，試用含的式子表示．【變式6-1】（23-24七年級(jí)上·福建三明·期中）已知，則．【變式6-2】計(jì)算：．【變式6-3】（24-25七年級(jí)上·山東德州·期中）計(jì)算的結(jié)果是．考點(diǎn)07：同底數(shù)冪的除法例題7.計(jì)算：．【變式7-1】（22-23七年級(jí)下·福建寧德·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式7-2】計(jì)算：．【變式7-3】已知，，求的值是．考點(diǎn)08：同底數(shù)冪的除法的逆用例題8.已知，求的值．【變式8-1】已知，，那么的值為．【變式8-2】若，，則的值為．【變式8-3】若，，則．考點(diǎn)09：冪的混合運(yùn)算例題9.（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．【變式9-1】計(jì)算的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【變式9-2】（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）計(jì)算：．【變式9-3】（23-24八年級(jí)上·江西南昌·期末）已知，，.(1)求證：；(2)求的值.考點(diǎn)10：零指數(shù)冪例題10．（22-23七年級(jí)上·河北邯鄲·期末）若實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足，則．【變式10-1】若無(wú)意義，則整式的值為．【變式10-2】若，則大小關(guān)系是．（按從小到大順序排列）【變式10-3】閱讀材料：①1的任何次冪都等于1；②的奇數(shù)次冪都等于；③的偶數(shù)次冪都等于1；④任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1．試根據(jù)以上材料探索使等式成立的的值．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·期末）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．2．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級(jí)下·安徽蚌埠·期末）“無(wú)風(fēng)才到地，有風(fēng)還滿(mǎn)空．緣渠偏似雪，莫近鬢毛生”是唐朝詩(shī)人雍裕之描寫(xiě)每年四月許多地方楊絮、柳絮如雪花般漫天飛舞的詩(shī)句，柳絮帶給人們春天的訊息外也讓人們不堪其擾，據(jù)測(cè)定，楊絮纖維的直徑約為0.00000105m，該數(shù)值用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．4．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）若，則（

）A．8 B．12 C．16 D．24二、填空題5．（23-24七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期末）的結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為．6．（23-24七年級(jí)下·安徽亳州·期末）計(jì)算．7．（23-24七年級(jí)下·安徽亳州·期末）已知，則的值為．三、解答題8．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·期末）計(jì)算：．9．（23-24七年級(jí)下·安徽亳州·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．10．（23-24七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）若（且，、是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：(1)如果，則___________；(2)如果，求的值．(3)如果，求的值．

第06講冪的運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．掌握同底數(shù)冪、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則和公式；2．會(huì)借助冪的運(yùn)算公式進(jìn)行逆運(yùn)算；知識(shí)點(diǎn)1同底數(shù)冪的乘法1.，即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意：(1)法則對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)相乘仍然適用，即.(2)不要忽略指數(shù)是1的因數(shù)，如。(3)底數(shù)可以是數(shù)也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。(4)注意法則的逆用：。知識(shí)點(diǎn)2冪的乘方，即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘?！狙a(bǔ)充和拓展】(1)法則推廣：；(2)法則逆用：。知識(shí)點(diǎn)3積的乘方，即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘?！狙a(bǔ)充和拓展】(1)法則可以推廣到三個(gè)或三個(gè)以上因式的積的乘方，如。(2)法則逆用：。知識(shí)點(diǎn)4同底數(shù)冪的除法與0指數(shù)冪1.同底數(shù)冪的除法(都是正整數(shù)，并且)；即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。注意：(1)同底數(shù)冪的除法和同底數(shù)冪的乘法互為逆運(yùn)算。(2)被除式、除式底數(shù)相同，被除式指數(shù)大于除式指數(shù)。(3)底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。(4)當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，如(是正整數(shù)，且).2.零指數(shù)冪的性質(zhì)：即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。(1)底數(shù)可以為單項(xiàng)式也可以是多項(xiàng)式，但是不能為0,否則，式子沒(méi)有意義。(2)任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積，因此常數(shù)項(xiàng)可以看作是0次單項(xiàng)式?？键c(diǎn)01:同底數(shù)冪相乘例題1．（24-25七年級(jí)上·上海黃浦·期中）計(jì)算：．【答案】【解析】解：；故答案為：．【變式1-1】計(jì)算：（結(jié)果用冪的形式表示）．【答案】【解析】解：，故答案為：．【變式1-2】計(jì)算：．（結(jié)果用冪的形式示）【答案】【解析】解：原式．故答案為：．【變式1-3】計(jì)算：【答案】【解析】解：．故答案為：．考點(diǎn)02：同底數(shù)冪乘法的逆用例題2．計(jì)算：，，則．【答案】128【解析】解：∵，，∴，故答案為：128．【變式2-1】計(jì)算：的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，故選：．【變式2-2】計(jì)算：．【答案】【解析】解：．故答案為：．【變式2-3】若，則．【答案】【解析】解：∵∴，解得：，故答案為：．考點(diǎn)03：冪的乘方運(yùn)算例題3.若，則的值為．【答案】16【解析】解：，，故答案為：16．【變式3-1】計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，故選：B．【變式3-2】下列計(jì)算中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C．，原計(jì)算正確，符合題意；D．，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【變式3-3】已知，，為自然數(shù)，且滿(mǎn)足，則的取值不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解：∵，∴，∴，∴，，∵，，為自然數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上所述，的取值不可能是8，故選：D．考點(diǎn)04：冪的乘方的逆用例題4.（1）已知，則代數(shù)式的值為．（2）若均為正整數(shù)，且，則的值為．【答案】44或5【解析】解：（1），．．故答案為：4．（2），．．均為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以或．故答案為：4或5【變式4-1】已知：，，則【答案】【解析】解：∵，，∴．故答案為：．【變式4-2】已知，，則．【答案】【解析】解：根據(jù)題意可得，∴，，∴，整理得，，解得，，∴，故答案為：．【變式4-3】已知，求的值．【答案】128【解析】解：因?yàn)?，所以，所以．考點(diǎn)05：積的乘方運(yùn)算例題5.若，則．【答案】48【解析】解：，故答案為：48．【變式5-1】【答案】【解析】解：；故答案為：．【變式5-2】（24-25七年級(jí)上·重慶開(kāi)州·期中）＝，＝．【答案】【解析】解：，故答案為：，．【變式5-3】計(jì)算：．【答案】【解析】解：原式．考點(diǎn)06：積的乘方的逆用例題6.已知，試用含的式子表示．【答案】【解析】解：∵，∴．【變式6-1】（23-24七年級(jí)上·福建三明·期中）已知，則．【答案】【解析】解：∵，∴，即，解得，故答案為：．【變式6-2】計(jì)算：．【答案】【解析】解：；故答案為：【變式6-3】（24-25七年級(jí)上·山東德州·期中）計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【解析】解：，故答案為：．考點(diǎn)07：同底數(shù)冪的除法例題7.計(jì)算：．【答案】【解析】解：．【變式7-1】（22-23七年級(jí)下·福建寧德·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.，故選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D【變式7-2】計(jì)算：．【答案】【解析】解：，故答案為：．【變式7-3】已知，，求的值是．【答案】【解析】解：∵，∴，即，∵，∴，故答案為：．考點(diǎn)08：同底數(shù)冪的除法的逆用例題8.已知，求的值．【答案】【解析】解：，，即，，解得，．【變式8-1】已知，，那么的值為．【答案】【解析】解：∵，，∴，故答案為：．【變式8-2】若，，則的值為．【答案】【解析】解：，，，，．故答案為：．【變式8-3】若，，則．【答案】【解析】解：∵，，∴，故答案為：．考點(diǎn)09：冪的混合運(yùn)算例題9.（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1），把代入得：原式．（2）∵，∴，∴．【變式9-1】計(jì)算的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故選A．【變式9-2】（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）計(jì)算：．【答案】0【解析】解：原式．【變式9-3】（23-24八年級(jí)上·江西南昌·期末）已知，，.(1)求證：；(2)求的值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：，.即.（2）解：．考點(diǎn)10：零指數(shù)冪例題10．（22-23七年級(jí)上·河北邯鄲·期末）若實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足，則．【答案】【解析】解：∵，，，解得：，，，故答案為：．【變式10-1】若無(wú)意義，則整式的值為．【答案】【解析】解：∵無(wú)意義，∴，∴，∴，故答案為：．【變式10-2】若，則大小關(guān)系是．（按從小到大順序排列）【答案】【解析】解：，，，，．故答案為：．【變式10-3】閱讀材料：①1的任何次冪都等于1；②的奇數(shù)次冪都等于；③的偶數(shù)次冪都等于1；④任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1．試根據(jù)以上材料探索使等式成立的的值．【答案】的值為1或0或【解析】①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，指數(shù)為偶數(shù)，所以符合題意；③當(dāng)時(shí)，，且，所以符合題意；綜上所述：的值為1或0或．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·期末）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A．與不是同類(lèi)項(xiàng)，所以不能合并，故本選項(xiàng)不合題意；B．，故本選項(xiàng)不合題意；C．，正確，符合題意；D．，故本選項(xiàng)不合題意．故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.與不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．3．（23-24七年級(jí)下·安徽蚌埠·期末）“無(wú)風(fēng)才到地，有