2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題36最值模型之逆等線模型解讀與提分精練（全國版）

專題36最值模型之逆等線模型最值問題在各類考試中常以壓軸題的形式考查，逆等線模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的逆等線問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線） 1模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線） 6模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線） 9模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線） 11模型5.最值模型-加權(quán)逆等線模型 14 19模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）逆等線：△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線。逆等線模型特點：動線段長度相等，并且位置錯開。條件：如圖，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，點D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，求CD+BE的最小值。證明思路：①AD在△ADC中，以CE為一邊構(gòu)造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；②即過點C作CF//AB，且CF=AC。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△ADC≌△CEF(SAS)；證出EF=CD；④CD+BE=EF+BE，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求，此時，B、E、F三點共線；⑤求BF。構(gòu)造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。例1．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）在等邊三角形中，邊上的點從頂點出發(fā)，向頂點運動，同時，邊上的點從頂點出發(fā)，向頂點運動，兩點運動速度的大小相等，設(shè)，，y與x的函數(shù)圖象如圖，圖象過點，則圖象最低點的縱坐標是（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D、E分別是AB、AC上兩動點，且AD=CE，連接CD、BE，CD+BE最小值為．

例3．（23-24九年級下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．例4．（24-25八年級上·四川成都·期中）如圖，在中，，，，點E與點D分別在射線與射線上，且，則的最小值為，的最小值為．模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）條件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD為高，CE=BF，求AF+BE的最小值。證明思路：①CE在△BEC中，以BF為一邊構(gòu)造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；②即過點B作BG//CE，且BG=BC=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△BEC≌△GFB(SAS)；證出EB=FG；④AF+BE=AF+FG，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AG，則AG即為所求，此時，A、F、G三點共線；⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。例1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，當BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°例2．（2023·四川成都·一模）如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動點，，當最小時，．例3．（2024·四川樂山·二模）如圖，等腰中，，平分，點N為上一點，點M為上一點，且，若當?shù)淖钚≈禐?時，的長度是．模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）條件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，點E、D是線段AB上的動點，且滿足AD=BE，求CD+CE的最小值。證明思路：①BE在△BEC中，以AD為一邊構(gòu)造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；②即過點A作AF//BC，且AF=BC=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△BEC≌△ADF(SAS)；證出CE=FD；④CD+CE=CD+FD，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接CF，則CF即為所求，此時，F(xiàn)、D、C三點共線；⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等證明FC=AB也可。例1．（23-24八年級上·北京朝陽·期末）如圖，中，，，D，E為邊上的兩個動點，且，連接，，若，則的最小值為．

例2．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在矩形中，對角線上有兩動點E和F，連接和，若，，，則的最小值是．模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線）特殊的平行四邊形的逆等線模型我們就以矩形為例來研究即可。條件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，點E、F是邊BC、BD上的動點，且滿足BE=DF，求AF+AE的最小值。證明思路：①BE在△ABE中，以DF為一邊構(gòu)造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；②即過點A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△ABE≌△GDF(SAS)；證出AE=FG；④AF+AE=AF+FG，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AG，則AG即為所求，此時，A、F、G三點共線；⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四邊形為正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出兩條線段的長度），再利用勾股定理求出AG即可。例1．（2023·山東德州·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，，，分別是邊和對角線上的動點，且，則的最小值為______．例2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點、分別是邊和對角線上的例2．動點，且，則的最小值是．例3．（2024·福建南平·一模）如圖，在菱形中，，，點E，F(xiàn)分別在，上，且，連接，，則的最小值為．模型5.最值模型-加權(quán)逆等線模型條件：已知在中，∠ACB=，AB=a，AC=b，點E、D是線段AB、BC上的動點，且滿足BE=kAD，求AE+kCD的最小值。證明思路：①AD在△ADC中，以BE為一邊構(gòu)造另一個三角形與之相似，這個也叫做一邊一角造相似；②即過點B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=kAC=kb。（構(gòu)造一邊一角，得相似）；③構(gòu)造出△EBF≌△DAC(SAS)；證出EF=kDC；④AE+kCD=AE+EF，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AF，則AF即為所求，此時，A、F、E三點共線；⑤求AF。先確定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函數(shù)求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。例1．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在等邊中，，E，F(xiàn)分別是邊、上的動點，且滿足，則的最小值為；例2．（24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、分別為、上的動點，且，則的最小值為．例3．（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD，，，，點E、F為對角線BD上的動點，，連接AE、CF，則的最小值為．例4．（2024·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點E，F(xiàn)分別是，上的點，若，則的最小值是．1．（23-24九年級上·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，對角線上有兩動點和，連接和，若，，則的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．202．（2024·河南商丘·八年級期中）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當BM+BN最小時，∠MBN的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°3．（23-24八年級下·安徽安慶·期末）如圖，正方形的邊長為4，點，分別是，邊上的動點，且．（1）若，則；（2）的最小值為．

4．（2024·四川綿陽·三模）在中，，，點D，E分別為，上的動點，且，．當?shù)闹底钚r，的長為．5．（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，邊長為2的菱形中，，E，F(xiàn)分別是，上的動點，，連，，則的最小值為．6．（23-24八年級上·四川成都·期末）在中，，，，，分別為射線與射線上的兩動點，且，連接，，則最小值為；的最大值為．7．（2024·陜西西安·二模）如圖，正方形的邊長為2，E、F分別是對角線和邊上的動點，滿足．當時，線段的長度為．8．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點，且．當?shù)闹底钚r，則．

9．（2024·湖北武漢·二模）如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點，E、F分別為BC、CD上的動點，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，則ME+2AF的最小值為．10．（23-24九年級上·福建福州·期末）如圖，在平行四邊形中，，，，點，分別在邊，上運動，且滿足，連接，，則的最小值是．11．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖：等邊三角形ABC中，，E、F分別是邊上的動點，且，則的最小值為．12．（2024·山東濟南·二模）如圖，在正方形中，、分別是、邊上的動點，且，若，則的最小值是．13．（23-24九年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，以點為直角頂點、為直角邊向下作直角，且，連接，則的最大值是．

14．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖所示，在矩形中，，，E，F(xiàn)分別是上的動點，且，連接，當E為中點時，則；在整個運動過程中，的最小值為．15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點E和點F分別在邊和邊上運動，且滿足，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．616．（23-24九年級上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，P，O分別為對角線邊上的兩點，且，的最小值為．17．（2024·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的__________倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；【操作實踐】（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系．小昕按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結(jié)合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點P為端點的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；【探究應(yīng)用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中存在最大值．若，，當最大時，求AD的長；（4）如圖6，在中，，點D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若，，求的最小值．18．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．點為第一象限拋物線上的點，連接，，，．(1)直接寫出結(jié)果：；；點的坐標為；；(2)如圖1，當時，求點的坐標；(3)如圖2，點在軸負半軸上，，點為拋物線上一點，．點，分別為的邊，上的動點，且，求的最小值．

專題36最值模型之逆等線模型最值問題在各類考試中常以壓軸題的形式考查，逆等線模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的逆等線問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線） 1模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線） 6模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線） 9模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線） 11模型5.最值模型-加權(quán)逆等線模型 14 19模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）逆等線：△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線。逆等線模型特點：動線段長度相等，并且位置錯開。條件：如圖，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，點D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，求CD+BE的最小值。證明思路：①AD在△ADC中，以CE為一邊構(gòu)造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；②即過點C作CF//AB，且CF=AC。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△ADC≌△CEF(SAS)；證出EF=CD；④CD+BE=EF+BE，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求，此時，B、E、F三點共線；⑤求BF。構(gòu)造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。例1．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）在等邊三角形中，邊上的點從頂點出發(fā)，向頂點運動，同時，邊上的點從頂點出發(fā)，向頂點運動，兩點運動速度的大小相等，設(shè)，，y與x的函數(shù)圖象如圖，圖象過點，則圖象最低點的縱坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)圖像，當時，，求得等邊三角形的邊長，證明，得出，當時，最小，勾股定理即可求解．【詳解】當時，，∵三角形是等邊三角形，∴,∵，∴，∴，當時，最小，最小值為，∴的最小值為，即圖象最低點的縱坐標是，故選：D．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，求得等邊三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D、E分別是AB、AC上兩動點，且AD=CE，連接CD、BE，CD+BE最小值為．

【答案】【分析】過點A作AH∥BC，且AH=BC，連接DH，由題意易得∠HAD=∠BCE，進而可證△HAD≌△BCE，則有CD+BE=CD+HD，當CD+BE為最小時，即CD+HD為最小，當點C、D、H三點共線時即為最小，連接CH，交AB于點M，過點M作MN⊥BC于點N，點A分別作AF⊥BC于點F，如圖所示，即CH的長度為CD+BE的最小值，然后可得，則有，，然后問題可求解．【詳解】解：由題意可得如圖所示：

過點A作AH∥BC，且AH=BC，連接DH，如圖所示，∴∠HAD=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE，∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD，∴當CD+BE為最小時，即CD+HD為最小，∴當點C、D、H三點共線時即為最小，連接CH，交AB于點M，過點M作MN⊥BC于點N，點A分別作AF⊥BC于點F，如圖所示，即CH的長度為CD+BE的最小值，∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴，∵，∴，∵，∴（AAS），∴，，∵AF∥MN，點M是AB的中點，∴，∴，∴在Rt△MNC中，，∴，∴CD+BE的最小值為；故答案為．【點睛】本題主要考查勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造三角形全等把問題轉(zhuǎn)為兩點之間線段最短進行求解即可．例3．（23-24九年級下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了正方形和矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，過作，使，連接，，作交延長線于點，證明四邊形是正方形，由勾股定理得，然后證明，當，，三點共線時，有最小值，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】過作，使，連接，，作交延長線于點，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，當，，三點共線時，有最小值，故答案為：．例4．（24-25八年級上·四川成都·期中）如圖，在中，，，，點E與點D分別在射線與射線上，且，則的最小值為，的最小值為．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件求得各邊數(shù)據(jù)，然后根據(jù)已知一邊一角，構(gòu)造全等三角形，當在上時，取得最小值，如圖所示，過點作交的延長線于點，進而勾股定理即可求解；對于，構(gòu)造等邊三角形，進而即可求解．【詳解】如圖所示，過作交的于，∵，，∴∴，，∵，∴，∴如圖所示，作且，連接，，∵∴∴∴，當在上時，取得最小值，如圖所示，過點作交的延長線于點，∵，∴，∵∴∵在中，，∴∴，即的最小值為；如圖所示，作關(guān)于的對稱點，連接,則∵則∴，∵對稱，∴∴都是等邊三角形，連接，∵，∴，則，又∵∴∴，∴∴是等邊三角形，∴∴當在上時，，如圖所示此時取得最小值，最小值故答案為：，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段最值問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）條件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD為高，CE=BF，求AF+BE的最小值。證明思路：①CE在△BEC中，以BF為一邊構(gòu)造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；②即過點B作BG//CE，且BG=BC=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△BEC≌△GFB(SAS)；證出EB=FG；④AF+BE=AF+FG，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AG，則AG即為所求，此時，A、F、G三點共線；⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。例1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，當BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°【答案】B【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個三角形中，根據(jù)兩點之間線段最短，確定點F的位置，即F為AC與BH的交點時，BF+CE的值最小，求出此時∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴當F為AC與BH的交點時，如圖2，BF+CE的值最小，此時∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故選B．【點睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當BF+CE取得最小值時確定點F的位置，有難度．例2．（2023·四川成都·一模）如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動點，，當最小時，．【答案】【分析】在下方作，使，連接，則最小值為，此時A、N、三點在同一直線上，推出，所以，即可得到．【詳解】解：在下方作，使，連接．則，．∴，即最小值為，此時A、N、三點在同一直線上．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了最短路線問題以及等腰三角形的性質(zhì)的運用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．例3．（2024·四川樂山·二模）如圖，等腰中，，平分，點N為上一點，點M為上一點，且，若當?shù)淖钚≈禐?時，的長度是．【答案】4【分析】由等腰中，，可得，由平分，可得，如圖，作，使，連接，則，證明，則，，，可知當三點共線時，最小，即，證明是等邊三角形，則，進而可求．【詳解】解：∵等腰中，，∴，∵平分，∴，如圖，作，使，連接，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴當三點共線時，最小，即，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）條件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，點E、D是線段AB上的動點，且滿足AD=BE，求CD+CE的最小值。證明思路：①BE在△BEC中，以AD為一邊構(gòu)造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；②即過點A作AF//BC，且AF=BC=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△BEC≌△ADF(SAS)；證出CE=FD；④CD+CE=CD+FD，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接CF，則CF即為所求，此時，F(xiàn)、D、C三點共線；⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等證明FC=AB也可。例1．（23-24八年級上·北京朝陽·期末）如圖，中，，，D，E為邊上的兩個動點，且，連接，，若，則的最小值為．【答案】【分析】過點，分別作的垂線和的垂線交于點，連接，，先證，得，再證，得，進而得出，當，，三點不共線時，；當，，三點共線時，，然后根據(jù)直角三角形中，的角所對的直角邊等于斜邊的一半求出的值，從而得出結(jié)果．【詳解】過點，分別作的垂線和的垂線交于點，連接，，，，，，，，，，，，，，，，當，，三點不共線時，；當，，三點共線時，．的最小值是的長，，，，，，，的最小值是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線找出恰當?shù)娜热切问墙獗绢}的關(guān)鍵．例2．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在矩形中，對角線上有兩動點E和F，連接和，若，，，則的最小值是．

【答案】17【分析】如圖，連接，，由全等三角形判定（）可以證得，得到，進而得到，再根據(jù)題意及勾股定理求出的值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，又，為矩形的對角線，，是直角三角形，，，，移項得，配方得，，解得，或，，，故答案為：17．

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理的應(yīng)用及解一元二次方程，熟知相關(guān)的判定與性質(zhì)及解一元二次方程方法是解題關(guān)鍵．模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線）特殊的平行四邊形的逆等線模型我們就以矩形為例來研究即可。條件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，點E、F是邊BC、BD上的動點，且滿足BE=DF，求AF+AE的最小值。證明思路：①BE在△ABE中，以DF為一邊構(gòu)造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；②即過點A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△ABE≌△GDF(SAS)；證出AE=FG；④AF+AE=AF+FG，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AG，則AG即為所求，此時，A、F、G三點共線；⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四邊形為正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出兩條線段的長度），再利用勾股定理求出AG即可。例1．（2023·山東德州·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，，，分別是邊和對角線上的動點，且，則的最小值為______．【答案】【分析】在的下方作，截取，使得，連接，．證明，推出，，根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，的下方作，截取，使得，連接，．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．例2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點、分別是邊和對角線上的例2．動點，且，則的最小值是．【答案】【分析】設(shè)點D關(guān)于的對稱點為G，在上截取，連接，可證，從而，那么，A、H都是固定點，過點H作于點M，結(jié)合相似三角形和勾股定理即可求得，【詳解】如圖，設(shè)點D關(guān)于的對稱點為G，在上截取，連接，過點H作于點M，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∵，∴∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．這里根據(jù)把的最小值轉(zhuǎn)化為是關(guān)鍵．例3．（2024·福建南平·一模）如圖，在菱形中，，，點E，F(xiàn)分別在，上，且，連接，，則的最小值為．【答案】4【分析】如圖，連接，作關(guān)于直線的對稱點，連接，，，，可得，，，證明四邊形為平行四邊形，可得，則，當三點共線時，此時取等于號，最小，證明當三點共線時，重合，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，作關(guān)于直線的對稱點，連接，，，，∴，，，∵菱形，∴，，，∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，當三點共線時，此時取等于號，最小，∵菱形，，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴三點共線，∴當三點共線時，重合，∵，∴，即最小值為4．故答案為4【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．模型5.最值模型-加權(quán)逆等線模型條件：已知在中，∠ACB=，AB=a，AC=b，點E、D是線段AB、BC上的動點，且滿足BE=kAD，求AE+kCD的最小值。證明思路：①AD在△ADC中，以BE為一邊構(gòu)造另一個三角形與之相似，這個也叫做一邊一角造相似；②即過點B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=kAC=kb。（構(gòu)造一邊一角，得相似）；③構(gòu)造出△EBF≌△DAC(SAS)；證出EF=kDC；④AE+kCD=AE+EF，根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AF，則AF即為所求，此時，A、F、E三點共線；⑤求AF。先確定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函數(shù)求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。例1．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在等邊中，，E，F(xiàn)分別是邊、上的動點，且滿足，則的最小值為；【答案】【分析】取、的中點、，連接、，則可得，，因此轉(zhuǎn)而求的最小值；過作，且，連接、，可證明，則有，進而轉(zhuǎn)化為求的最小值，當點在線段上時，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，從而求得的最小值．【詳解】解：如圖，取、的中點、，連接、，∵是等邊三角形，，，根據(jù)三角形中位線可得，∴，的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，在等邊三角形中，，∴，，，，，，；過作，且，連接、，則，，，，當點在線段上時，取得最小值，且最小值為線段的長，，在中，由勾股定理得：，的最小值．故答案為：．【點睛】本題考查了求線段和的最小值問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，進而轉(zhuǎn)化為求的最小值，是本題的難點與關(guān)鍵所在．例2．（24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、分別為、上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，延長到H，使得，連接，證明，得到，則，故當三點共線時，最小，即此時最小，最小值即為的長，據(jù)此利用勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長到H，使得，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當三點共線時，最小，即此時最小，最小值即為的長，在中，，∴，∴的最小值為，故答案為：．例3．（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD，，，，點E、F為對角線BD上的動點，，連接AE、CF，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，在直線DB的上方作，且使得．過點T作交AD的延長線于H．首先利用相似三角形的性質(zhì)證明，解直角三角形求出AT，根據(jù)，推出，即可解決問題．【詳解】解：如圖，在直線DB的上方作，且使得．過點T作交AD的延長線于H，連接ET、AT．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題屬四邊形綜合題目，考查平行四邊形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2024·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點E，F(xiàn)分別是，上的點，若，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理，會構(gòu)造相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意構(gòu)造相似三角形，作，取，連接，，得到，進而得出，當三點共線時，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理即可解出．【詳解】作，取，連接，，如圖所示，在菱形中，，，，，，當三點共線時，的值最小，即的值最小，在菱形中，，，是等腰三角形，，，，在中，，，故答案為：．1．（23-24九年級上·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，對角線上有兩動點和，連接和，若，，則的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．20【答案】B【分析】如圖，連接，，由全等三角形判定可以證得，得到，進而得到，再根據(jù)題意及勾股定理求出的值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，

四邊形是矩形，，，，，，，，，，又，為矩形的對角線，，是直角三角形，，，移項得，解得，或，則不符合題意，，，故選B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理的應(yīng)用及解一元二次方程，熟知相關(guān)的判定與性質(zhì)及解一元二次方程的方法是解題關(guān)鍵．2．（2024·河南商丘·八年級期中）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當BM+BN最小時，∠MBN的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°【答案】C【分析】如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．證明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共線時，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此時∠MBN即可解決問題．【詳解】解：如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共線時，BM+BN＝NH+BN的值最小，如圖2中，當B，N，H共線時，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴當BM+BN的值最小時，∠MBN＝30°，故選：C．【點睛】本題考查軸對稱，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．（23-24八年級下·安徽安慶·期末）如圖，正方形的邊長為4，點，分別是，邊上的動點，且．（1）若，則；（2）的最小值為．

【答案】/【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，從而得到，由勾股定理計算出的長，即可得到答案；（2）連接，通過證明可得，作點關(guān)于的對稱點，連接，則，從而得到，當在同一直線時，最小，利用勾股定理進行計算即可得到答案．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，且邊長為4，，，，，，，故答案為：；（2）連接，

，四邊形是正方形，且邊長為4，，，，，在和中，，，，作點關(guān)于的對稱點，連接，則，，當在同一直線時，最小，，在中，，的最小值為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、最短距離問題、勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．4．（2024·四川綿陽·三模）在中，，，點D，E分別為，上的動點，且，．當?shù)闹底钚r，的長為．【答案】【分析】過點B作，且，連接，交于點，過點A作，交的延長線于點H，證明，得出，則，即的最小值即為的長，此時點E與點重合，由勾股定理及相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】過點B作，且，連接，交BC于點，過點A作，交的延長線于點H，如圖所示：則，在等腰直角中，，，在和中，，∴，∴，∴，即的最小值即為的長，此時點E與點重合，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理得，∴，∴或（舍去），∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴取得最小值時，的長度為．故答案為：．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，邊長為2的菱形中，，E，F(xiàn)分別是，上的動點，，連，，則的最小值為．【答案】【分析】過點作，使，連接，，得到，．根據(jù)菱形的邊長為2，得到．證明．得到．得到．推出．得到．得到．即得的最小值為．【詳解】解：如圖，過點作，使，連接，，則，．∵菱形的邊長為2，∴．，∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．∴．即．∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形，全等三角形．熟練掌握菱形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間，線段最短，是解決問題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級上·四川成都·期末）在中，，，，，分別為射線與射線上的兩動點，且，連接，，則最小值為；的最大值為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；過點作，使得，過點作于點，連接，證明得出，則當在線段上時，取的最小值，最小值為的長，延長至使得，連接，則進而勾股定理，即可求解；【詳解】解：如圖，過點作，使得，過點作于點，連接，在中，，∴，∴，∴，則當在線段上時，取的最小值，最小值為的長，∵，，，∴∵，∴，在中，，∴，∴，如圖所示，延長至使得，連接，則，，∴，故答案為：，．7．（2024·陜西西安·二模）如圖，正方形的邊長為2，E、F分別是對角線和邊上的動點，滿足．當時，線段的長度為．【答案】【分析】本題考點是正方形的性質(zhì)，難點是構(gòu)建三角形全等轉(zhuǎn)化線段和最小值的計算，特別需要注意的知識點是兩點之間直線最短，同時需要熟練運用相似比求線段的長度．連接，作，且，連接，，與交于點，作交于點，首先證明得到，再計算出的長度，推導(dǎo)出當，，三點共線時滿足，然后證明，利用相似比計算出的長度最后計算出和的長度．【詳解】解：連接，作，且，連接，，與交于點，作交于點，如圖：正方形的邊長為2，，，，，，，；在與中，，，，，，又，即，且，當，，三點共線時最短，即，重合時滿足，設(shè)，，，，，，，，，，即，，故答案為：．8．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點，且．當?shù)闹底钚r，則．

【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．延長，截取，連接，，證明，得出，說明當最小時，最小，根據(jù)兩點之間線段最短，得出當A、E、G三點共線時，最小，即最小，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長，截取，連接，，如圖所示：

∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當最小時，最小，∵兩點之間線段最短，∴當A、E、G三點共線時，最小，即最小，且最小值為的長，

∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．9．（2024·湖北武漢·二模）如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點，E、F分別為BC、CD上的動點，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，則ME+2AF的最小值為．【答案】【分析】如圖，過點作于．設(shè)，則．由勾股定理得到，欲求的最小值，相當于在軸上找一點，使得點到，和的距離之和最?。ㄈ缦聢D），作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，連接，此時的值最小，最小值．【詳解】解：如圖，過點作于．設(shè)，則．

四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，，欲求的最小值，相當于在軸上找一點，使得點到，和的距離之和最?。ㄈ缦聢D），作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，連接，此時的值最小，最小值，，，，的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．10．（23-24九年級上·福建福州·期末）如圖，在平行四邊形中，，，，點，分別在邊，上運動，且滿足，連接，，則的最小值是．【答案】【分析】連接，可得且∠，證明△，得出結(jié)論，從而可得求的最小值，即求的最小值，求出的最小值即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，且∠∴∠，連接，如圖，∵∴∴且∠∴△∴∴∴∴求的最小值，即求的最小值，∴作B關(guān)于AD的對稱點，連接，交AD于M，此時與的交點為點E，這時最小∴的最小值∵∠∴∠，∠∴∴∴∴∴的最小值即的最小值故答案為：【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱把問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短．11．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖：等邊三角形ABC中，，E、F分別是邊上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了求線段和最小值問題，勾股定理解三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線，角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造中位線和全等三角形，將進行轉(zhuǎn)化．取中點G，中點H，，在的外側(cè)作，的長度即為所求．【詳解】取中點G，中點H，作，使，作，交延長線于點J，連接，是的中位線，是等邊三角形又當I，E，C三點共線時，取得最小值，即取得最小值在中，取得最小值為故答案為：12．（2024·山東濟南·二模）如圖，在正方形中，、分別是、邊上的動點，且，若，則的最小值是．【答案】【分析】延長到點，使得，繼續(xù)延長到點，使得，取的中點，連接、、，判定是的中位線，根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理，推出，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)，推出，根據(jù)“兩點之間線段最短”、勾股定理，得出的最小值計算出答案即可．【詳解】解：如圖，延長到點，使得，繼續(xù)延長到點，使得，取的中點，連接、、，∵，點是的中點，∴，∵四邊形是正方形，，∴，，∴點是的中點，，，，∴是的中位線，，∴，∴，∴的最小值的最小值，∵當、、在同一直線上時，取得最小值，∴的最小值，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短，熟練掌握知識點、作輔助線推理證明、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．13．（23-24九年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，以點為直角頂點、為直角邊向下作直角，且，連接，則的最大值是．

【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系．作，使，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，得出，由三角形的三邊關(guān)系可得的最大值．【詳解】解：如圖，作，使，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴當點C，點A，點E共線時，有最大值，∴的最大值為．故答案為：．14．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖所示，在矩形中，，，E，F(xiàn)分別是上的動點，且，連接，當E為中點時，則；在整個運動過程中，的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理可得的長，從而得到，再由，可得，然后根據(jù)勾股定理可求出，即可；在右側(cè)構(gòu)造，并截取，使，連接，可證明，可得∴，從而得到，當且僅當B、F、G三點共線時，取得最小值，最小值為，過點G作交延長線于點H，可證明，可得，從而得到，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：在矩形中，，，∴，∴，∵E為中點，∴，∵，∴，∴，∴；在右側(cè)構(gòu)造，并截取，使，連接，如圖，在矩形中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，當且僅當B、F、G三點共線時，取得最小值，最小值為，如圖，過點G作交延長線于點H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：；【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點E和點F分別在邊和邊上運動，且滿足，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．6【答案】A【分析】連接，作點A關(guān)于的對稱點H，連接，交于N，連接，根據(jù)題意證明出，得出，得到當點F，點D，點H三點共線時，的最小值為的長，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，作點A關(guān)于的對稱點H，連接，交于N，連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，∴，∵，∴∴，∴是等邊三角形，∵點A，點H關(guān)于對稱，∴