2025年北師版七年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第02講 整式的乘法（3個知識點+4大考點舉一反三+過關(guān)測試）

第02講整式的乘法模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握單項式乘單項式，多項式乘單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；

2．掌握整式乘法中在實際的應(yīng)用；知識點1：單項式乘單項式單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．知識點2：單項式乘多項式單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加

知識點3：多項式乘多項式多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加

考點一：單項式乘單項式例1.計算：2xn+1y(3)?3xy【變式1-1】計算(1)25a【變式1-2】計算(1)4y??2xy(3)3m2【變式1-3】計算(1)?3ab??2a?考點二：單項式乘多項式例2.計算：(1)2mn5mn2(3)?2ab2a2【變式2-1】計算：2a【變式2-2】計算：4ab+5a【變式2-3】計算：?3ab?2a考點三：多項式乘多項式例3計算：x+2yx?2y；(2)?2x+3(3)a?ba2+ab+【變式3-1】計算：3a+24a?1；(2)3m?2n+2(3)y?2y【變式3-2】計算：(1)3x?4yx+2y；(2)x?1【變式3-3】計算下列各式：3x?2y6x?4y；(2)a+b(3)y+2y?2?y?1

考點四：整式乘法的實際應(yīng)用例4.如圖，某中學(xué)校園內(nèi)有一塊長為3a+2b米，寬為2a+b米的長方形地塊，學(xué)校計劃在中間留一塊長為2a+b米、寬為2b米的小長方形地塊修建一座雕像，然后將陰影部分進行綠化．(1)求長方形地塊的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）(2)求修建雕像的小長方形地塊的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)a=4,b=1時，求綠化部分的面積．【變式4-1】為了更好地開展勞動教育，某學(xué)校暑期對學(xué)校閑置的地塊進行規(guī)劃改造，已知該地塊如下圖是長為a+4b米，寬為a+3b米的長方形地塊，學(xué)校準(zhǔn)備在該地塊內(nèi)修一條平行四邊形小路，小路的底邊寬為a米，并計劃將陰影部分改造為種植區(qū)．(1)用含有a、b的式子分別表示出小路面積S1和種植區(qū)的總面積S(2)若a=2，b=4，求出此時種植區(qū)的總面積S2【變式4-2】已知有若干張正方形卡片和長方形卡片，其中A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長為a，寬為b的長方形，(1)若要用這三種卡片緊密拼接成一個長為2a+b，寬為a+b的長方形，求需要A，B，C各型號卡片各多少張？(2)用一張A型卡片，一張B型卡片，一張C型卡片緊密拼接成如下圖所示的圖形，若陰影部分的面積為18，C型卡片的面積為24，求a，b的值．【變式4-3】在高鐵站廣場前有一塊長為2a+b米，寬為a+b米的長方形空地（如圖）計劃在中間留兩個長方形噴泉（圖中陰影部分），兩噴泉間及周邊留有寬度為b米的人行通道．

(1)請用代數(shù)式表示兩個長方形噴泉（圖中陰影部分）的面積并化簡．(2)請用代數(shù)式表示廣場上人行通道的面積并化簡．1．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）化簡?a2??bA．a(chǎn)2b B．?a2b 2．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期中）若y+2y?3=y2+my?6A．?1 B．?5 C．1 D．53．（23-24八年級下·廣東江門·開學(xué)考試）通過計算，比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗證的算式是（

）A．a(chǎn)(b?x)=ab?ax B．(a?x)(b?x)=ab?ax?bx+C．(a?x)(b?x)=ab?ax?bx D．b(a?x)=ab?bx4．（23-24七年級下·廣西桂林·期中）計算aa+1的結(jié)果正確地是（A．a(chǎn)3+a B．a(chǎn)2+1 5．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）若多項式x+a與x?1乘積的結(jié)果中不含x的一次項，則常數(shù)a的值是（

）A．?1 B．1 C．?2 D．26．（23-24七年級下·廣西崇左·期中）設(shè)M=x+3x?7，N=x+1x?5，則M與A．M<N B．M>N C．M=N D．不能確定7．（23-24七年級下·福建三明·期中）計算：3x?56x8．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）計算ab?3a的結(jié)果為9．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知x+y=3，xy=?1，則1+x1+y的值為10．（23-24七年級下·廣西貴港·期中）楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，比法國數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律要早約400年．觀察下列各式及其展開式，請猜想x+15展開式中含x4項的系數(shù)是11．（23-24七年級下·陜西渭南·期中）如圖，有正方形卡片A類，B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個長為3a+2b，寬為2a+b的大長方形，則需要C類卡片張．12．（23-24七年級下·江蘇徐州·期中）計算：(1)?12?313．（23-24七年級下·湖南張家界·期中）計算：(1)?a2b14．（23-24七年級下·廣東河源·期中）綜合與實踐如圖，某校內(nèi)有一塊長為2a+3bm、寬為2a?bm的長方形空地，該校計劃將其規(guī)劃為勞動基地，為此舉行了“勞動基地”方案征集活動，其中陽光小組的設(shè)計方案是4塊邊長均為(1)用含a，b的代數(shù)式表示鋪設(shè)的草坪的面積；（結(jié)果化為最簡形式）(2)若a=10，b=5，預(yù)計每平方米鋪設(shè)草坪的費用為30元，請預(yù)計鋪設(shè)草坪所需要的費用．

第02講整式的乘法模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握單項式乘單項式，多項式乘單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；

2．掌握整式乘法中在實際的應(yīng)用；知識點1：單項式乘單項式單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．知識點2：單項式乘多項式單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加

知識點3：多項式乘多項式多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加

考點一：單項式乘單項式例1.計算：(1)2x(2)?6m(3)?3xy【答案】(1)3(2)?2(3)?【分析】本題主要考查了單項式乘法綜合．熟練掌握單項式乘以單項式法則，同底數(shù)冪乘法的運算法則，冪的乘方的運算法則，積的乘方的運算法則，是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)單項式乘以單項式運算法則得出即可；（2）應(yīng)把x?y與y?x分別看成一個整體，那么此題也屬于單項式的乘法，可以根據(jù)單項式乘以單項式運算法則以及同底數(shù)冪的乘法運算法則得出即可；（3）先根據(jù)積的乘方的法則與冪的乘方的法則計算，再根據(jù)單項式乘以單項式運算法則和同底數(shù)冪的乘法運算法則運算得出即可．【詳解】（1）解：2==3x（2）?6=?6=?6×=?2m（3）?3xy==9×=?9【變式1-1】計算(1)2(2)(?4【答案】(1)1(2)2【分析】本題考查了單項式乘以單項式、積的乘方：（1）按單項式乘以單項式法則計算；（2）先算乘方，再算乘法，進而即可求解【詳解】（1）原式==1（2）原式=(?4=2x【變式1-2】計算(1)4y??2xy(3)3m2【答案】(1)?8x(2)10(3)12(4)?【分析】（1）直接利用單項式乘以單項式運算法則計算得出答案；（2）直接利用單項式乘以單項式運算法則計算得出答案；（3）直接利用積的乘方運算法則以及單項式乘以單項式運算法則計算得出答案；（4）直接利用積的乘方運算法則以及單項式乘以單項式運算法則計算得出答案；【詳解】（1）解：4y?=?8x（2）?=10（3）3==12m（4）(?a==?a【點睛】此題主要考查了冪的乘方運算以及積的乘方運算、同底數(shù)冪的乘法運算，單項式乘以單項式，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【變式1-3】計算(1)?3ab??2a?【答案】(1)?6(2)1【分析】（1）根據(jù)單項式乘以單項式的計算法則求解即可；（2）先計算積的乘方，然后根據(jù)單項式乘以單項式的計算法則求解即可．【詳解】（1）解：原式=6=?6a（2）解：原式==2=1【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．考點二：單項式乘多項式例2.計算：(1)2mn5mn2(3)?2ab2a2【答案】(1)10(2)x(3)?4(4)?8【分析】本題考查單項式與多項式相乘的運算法則：熟練掌握“單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加”．單項式與多項式相乘時，應(yīng)注意以下幾個問題：①單項式與多項式相乘實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．【詳解】（1）解：2mn5m（2）解：3x（3）解：?2ab2（4）解：?42x+x【變式2-1】計算：2a【答案】18【分析】本題考查了多項式和單項式之間的乘除運算法則，掌握該法則是解答本題的關(guān)鍵．原式利用單項式乘以多項式法則計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：2=2=18a【變式2-2】計算：4ab+5a【答案】?12【解析】略【變式2-3】計算：?3ab?2a【答案】6【分析】根據(jù)單項式乘以多項式可進行求解．【詳解】解：原式=6a【點睛】本題主要考查單項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．考點三：多項式乘多項式例3計算：(1)x+2yx?2y；(2)?2x+3(3)a?ba2+ab+【答案】(1)x(2)6(3)a(4)x+y?【分析】本題考查了多項式與多項式的乘法運算，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（1）（2）（3）（4）根據(jù)多項式與多項式的乘法法則計算即可．【詳解】（1）x+2y=x（2）?2x+3=?2x×=6x（3）a?b=a?=a（4）1?x+y=x+y?x【變式3-1】計算：(1)3a+24a?1；(2)3m?2n+2(3)y?2y【答案】(1)12(2)9(3)y【分析】利用多項式乘多項式，進行計算求解即可．【詳解】（1）解：原式=12a（2）解：原式=9=9m（3）解：原式===y【點睛】本題考查了多項式乘多項式．解題的關(guān)鍵在于正確的運算．【變式3-2】計算：(1)3x?4yx+2y；(2)x?1【答案】(1)3(2)x【分析】（1）根據(jù)多項式與多項式的乘法法則計算；（2）根據(jù)多項式與多項式的乘法法則計算．【詳解】（1）3x?4y=3=3（2）x?1==【點睛】本題考查了多項式與多項式的乘法運算，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．【變式3-3】計算下列各式：(1)3x?2y6x?4y；(2)a+b(3)y+2y?2?y?1【答案】(1)18(2)3(3)?4y+1(4)a【分析】（1）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案．（2）直接利用多項式乘以多項式運算法則、單項式乘多項式運算法則計算得出答案．（3）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案．（4）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案．【詳解】（1）解：3x?2y=2=2=18（2）解：a+b=3=3（3）解：y+2===?4y+1（4）解：a?b==【點睛】本題考查了整式的乘法，掌握其計算法則是解題的關(guān)鍵．

考點四：整式乘法的實際應(yīng)用例4.如圖，某中學(xué)校園內(nèi)有一塊長為3a+2b米，寬為2a+b米的長方形地塊，學(xué)校計劃在中間留一塊長為2a+b米、寬為2b米的小長方形地塊修建一座雕像，然后將陰影部分進行綠化．(1)求長方形地塊的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）(2)求修建雕像的小長方形地塊的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)a=4,b=1時，求綠化部分的面積．【答案】(1)6a(2)4ab+2b(3)108平方米．【分析】本題考查多項式乘多項式，單項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握多項式與多項式相乘的法則，單項式與多項式相乘的運算法則．（1）利用長方形面積公式直接計算即可；（2）利用長方形面積公式直接計算即可；（3）先將陰影部分面積計算出來，再代值進行計算即可求解．【詳解】（1）∵3a+2b∴長方形地塊的面積為6a（2）∵2a+b×2b=∴修建雕像的小長方形地塊的面積為4ab+2b（3）∵綠化部分的面積為6a∴當(dāng)a=4,b=1時，6a∴綠化部分的面積為108平方米．【變式4-1】為了更好地開展勞動教育，某學(xué)校暑期對學(xué)校閑置的地塊進行規(guī)劃改造，已知該地塊如下圖是長為a+4b米，寬為a+3b米的長方形地塊，學(xué)校準(zhǔn)備在該地塊內(nèi)修一條平行四邊形小路，小路的底邊寬為a米，并計劃將陰影部分改造為種植區(qū)．(1)用含有a、b的式子分別表示出小路面積S1和種植區(qū)的總面積S(2)若a=2，b=4，求出此時種植區(qū)的總面積S2【答案】(1)S1=a(2)216．【分析】本題考查的是多項式的乘法與圖形面積，列出正確的運算式是解本題的關(guān)鍵；（1）先利用底乘以高計算小路的面積，用長方形的面積減去小路的面積可得種植區(qū)的總面積，然后化簡求解即可；（2）將a=2,b=4代入（1）中代數(shù)式求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：S1S==3ab＋（2）解：當(dāng)a=2，b=4時，S=3×2×4+12×=24+192=216；【變式4-2】已知有若干張正方形卡片和長方形卡片，其中A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長為a，寬為b的長方形，(1)若要用這三種卡片緊密拼接成一個長為2a+b，寬為a+b的長方形，求需要A，B，C各型號卡片各多少張？(2)用一張A型卡片，一張B型卡片，一張C型卡片緊密拼接成如下圖所示的圖形，若陰影部分的面積為18，C型卡片的面積為24，求a，b的值．【答案】(1)需要A型號卡片2張，B型號卡片1張，C型號卡片3張(2)a=6，b=4【分析】本題考查了整式乘法的幾何應(yīng)用，三角形、正方形、長方形的面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握整式乘法的運算法則．（1）計算出拼成的長方形面積即可求解；（2）由C型卡片的面積為24，可得ab=24，根據(jù)S陰=a2+ab+【詳解】（1）解：拼成的長方形面積為：2a+ba+b∴需要A型號卡片2張，B型號卡片1張，C型號卡片3張；（2）∵C型卡片的面積為24，∴ab=24，S陰=a=1又陰影部分的面積為18，∴12解得：a=6（負(fù)值已舍去），又ab=24，∴b=24÷6=4，∴a=6，b=4．【變式4-3】在高鐵站廣場前有一塊長為2a+b米，寬為a+b米的長方形空地（如圖）計劃在中間留兩個長方形噴泉（圖中陰影部分），兩噴泉間及周邊留有寬度為b米的人行通道．

(1)請用代數(shù)式表示兩個長方形噴泉（圖中陰影部分）的面積并化簡．(2)請用代數(shù)式表示廣場上人行通道的面積并化簡．【答案】(1)2(2)7ab?【分析】本題考查的是多項式乘多項式，能根據(jù)圖形列出代數(shù)式是解此題的關(guān)鍵．（1）分別用a和b表示出兩個噴泉組成長方形的長與寬列出算式計算即可；（2）根據(jù)人行通道面積等于廣場面積減去噴泉面積列出算式，再進行化簡即可．【詳解】（1）兩個長方形噴泉（圖中陰影部分）的面積為：(a+b?2b)(2a+b?3b)=(a?b)(2a?2b)=2a（2）廣場上人行通道的面積：(a+b)(2a+b)?(2=2=7ab?b

1．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）化簡?a2??bA．a(chǎn)2b B．?a2b 【答案】B【分析】本題考查了整式的運算，利用冪的乘方、單項式乘以單項式法則計算即可．【詳解】解∶原式==?a故選：B．2．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期中）若y+2y?3=y2+my?6A．?1 B．?5 C．1 D．5【答案】A【分析】本題主要考查多項式乘以多項式的法則：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．注意不要漏項，漏字母，有同類項的合并同類項．先根據(jù)多項式乘以多項式的法則計算y+2y?3，再根據(jù)多項式相等的條件即可求出m【詳解】解：∵(y+2)(y?3)=y∵(y+2)(y?3)=y∴m=?1．故選：A3．（23-24八年級下·廣東江門·開學(xué)考試）通過計算，比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗證的算式是（

）A．a(chǎn)(b?x)=ab?ax B．(a?x)(b?x)=ab?ax?bx+C．(a?x)(b?x)=ab?ax?bx D．b(a?x)=ab?bx【答案】B【分析】本題考查多項式乘多項式，單項式乘多項式，整式運算．要求陰影部分面積，若不規(guī)則圖形可考慮利用大圖形的面積減去小圖形的面積進行計算，若規(guī)則圖形可以直接利用公式進行求解．【詳解】解：圖1中，陰影部分=長(a?x)寬(a?2b)長方形面積，∴陰影部分的面積=(a?x)(b?x)，圖2中，陰影部分=大長方形面積?長a寬x長方形面積?長b寬x長方形面積+邊長x的正方形面積，∴陰影部分的面積=ab?ax?bx+x∴(a?x)(b?x)=ab?ax?bx+x故選：B．4．（23-24七年級下·廣西桂林·期中）計算aa+1的結(jié)果正確地是（A．a(chǎn)3+a B．a(chǎn)2+1 【答案】C【分析】本題考查了單項式乘多項式，根據(jù)法則計算即可．【詳解】解：a故選C．5．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）若多項式x+a與x?1乘積的結(jié)果中不含x的一次項，則常數(shù)a的值是（

）A．?1 B．1 C．?2 D．2【答案】B【分析】本題考查多項式乘以多項式，解題的關(guān)鍵是熟練運用多項式乘多項式法則，根據(jù)法則即可求出答案．【詳解】原式===由題意可知：a?1=0，∴a=1，故選：B6．（23-24七年級下·廣西崇左·期中）設(shè)M=x+3x?7，N=x+1x?5，則M與A．M<N B．M>N C．M=N D．不能確定【答案】A【分析】本題考查了多項式乘以多項式，整式的加減，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先根據(jù)多項式乘以多項式的法則將M和N展開，然后作差得到M?N<0，即可得到答案．【詳解】解：∵M=x+3x?7=∴M?N=x2?4x?21∴M<N，故選：A．7．（23-24七年級下·福建三明·期中）計算：3x?56x【答案】5【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，熟知單項式乘以單項式的計算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：3x?5故答案為：528．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）計算ab?3a的結(jié)果為【答案】ab?3【分析】本題考查了單項式乘多項式，根據(jù)單項式乘多項式的運算法則進行計算即可．【詳解】解：ab?3a故答案為：ab?3a9．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知x+y=3，xy=?1，則1+x1+y的值為【答案】3【分析】本題考查多項式乘以多項式，代數(shù)式求值，根據(jù)多項式乘以多項式先化簡，再整體代入即可得出答案，熟練掌握運算法則，正確計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵x+y=3，xy=?1，∴1+x=1+y+x+xy=1+3?1=3，故答案為：3．10．（23-24七年級下·廣西貴港·期中）楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，比法國數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律要早約400年．觀察下列各式及其展開式，請猜想x+15展開式中含x4項的系數(shù)是【答案】5【分析】本題考查數(shù)字變化規(guī)律題．根據(jù)題意先計算a+b5的展開式，再令a=x，b=1【詳解】解：∵a+ba+ba+ba+b4∴a+b5令a=x，b=1，∴5a∴x