電磁學3培訓講學

第三章穩(wěn)恒電流

（1）掌握電流的穩(wěn)恒條件和導電規(guī)律。掌握電流的連續(xù)性方程，了解歐姆定律、焦耳定律的微分形式及意義；

（2）了解金屬導電的微觀機制。（3）掌握電源電動勢的概念和含源電路的歐姆定律，能夠熟練計算簡單和復雜電路的電流分布及有關問題；（4）清楚電橋、電位差計的工作原理，了解溫差電現(xiàn)象及應用。研究問題：導體中穩(wěn)恒電流的形成、規(guī)律以及直流電路的計算。教學要求：第三章穩(wěn)恒電流§3.1穩(wěn)恒電流的閉合性§3.2歐姆定律§3.3固體導電機理§3.4電動勢和全電路歐姆定律§3.5電路定理§3.1穩(wěn)恒電流的閉合性電流的形成電流和電流密度電流的連續(xù)性方程穩(wěn)恒電流的閉合性思考題和習題電流和電流密度

電流強度：

定義：（1A=1C/s）

意義：描述導線中電流強弱的物理量。標量。

電流密度矢量：定義：

意義：細致描述電流分布的物理量。矢量。

微觀量表示：

電流和電流密度電流密度和電流強度的關系：一個矢量場和它的通量的關系。通過任意曲面的電流反映的是單位時間內(nèi)通過某一曲面的總電量，而電流密度則反映了空間各點電流的分布情況。

電流線：形象地描述空間各點電流密度的分布情況。電流線上每一點的切線方向與該點電流密度的方向相同，電流線的疏密程度代表電流密度的大小。電流的連續(xù)性方程

表達式：

意義：（1）流出閉合面S的電流I等于S面內(nèi)部總電荷量的變化率的負值?！姾墒睾愣傻臄?shù)學表述。（2）電流場是有源場。電流線是發(fā)出或終止于電荷密度發(fā)生變化的地方。電流的連續(xù)性方程穩(wěn)恒電流——空間電流分布不隨時間變化的電流。

穩(wěn)恒電流的基本性質(zhì)——（1）

空間各點的電荷分布不隨時間變化。（2）

電流線閉合。（3）

空間各處電場不隨時間變化，電場能量也不隨時間變化。(4）穩(wěn)恒電流電場必須由電源的非靜電力維持，電源向電場提供能量，電場對電流作功消耗能量，電場在能量轉(zhuǎn)換過程中起了媒介作用。電流的連續(xù)性方程

穩(wěn)恒電場與靜電場的比較——（1）場源：靜電場由靜止電荷所激發(fā)，穩(wěn)恒電場由空間分布不隨時間變化的電荷激發(fā)；（2）場的基本性質(zhì)：穩(wěn)恒電流電場仍為有源無旋場，遵守靜電場的兩個基本方程（3）區(qū)別：對于穩(wěn)恒電流電場，導體不再一定是等勢體。（金屬導體內(nèi)部的場強與電流密度有關），而在靜電平衡時，導體內(nèi)部電場為零，導體為等勢體。思考題：若導體內(nèi)部有電流，即導體內(nèi)部電流密度不為零，問導體內(nèi)部電荷體密度是否一定也不等于零？在電中性的導體中能否有電流？通過某一截面的電流強度為零，截面上的電流密度是否必為零？反之如何？在電解液中，正負離子均可運動導電，此時的電流密度將如何描寫？設通過銅導線的電流密度j=2.4A/mm2,銅的自由電子密度為8.4×1028/m3,電子的定向運動速度u有多大？若電源到用電器的距離為1km，則一個給定的電子從電源運動到用電器要經(jīng)歷多少時間？計算題：有一真空二極管，其內(nèi)陰極和陽極為一對平行導體板，面積都是2.0cm2,它們之間的電流I完全是由電子從陰極飛向陽極構(gòu)成的。若電流I=50mA，電子到達陽極時的速率是1.2×107m·s-1,電子電荷e=-1.6×10-19C,求陽極表面外每立方毫米內(nèi)的電子數(shù)n.(1.3×105個）在范德格拉夫靜電起電機里，一寬為30cm的橡皮帶以20m/s的速度運動，在下邊的滾軸處給橡皮帶表面輸電，橡皮帶上的面電荷密度可以產(chǎn)生40V/cm的靜電場，問運動的橡皮帶所產(chǎn)生的相應電流是多少mA?（4.2×104mA)§3.2歐姆定律歐姆定律電阻率歐姆定律的微分形式電流的功率焦耳定律思考題和計算題歐姆定律內(nèi)容：在溫度不變時，一段金屬導線中的電流I與導線兩端的電勢差成正比。（1826年）導體電阻的定義：導體上任意兩個等勢面間的電壓與通過導體的電流之比是一個與電流和電壓都無關的量，反映了導體本身的性質(zhì)。導體電阻與導體開頭及電流流動方式有關。即使同一導體，當電流流動的方式不同時，對應的電阻也不同。

歐姆定律廣延導體的電阻（1）

對大塊導體，對確定的兩接線柱，導體的電阻定義為兩接線柱間的電壓與流過接線柱的電流之比。（2）

對于幾何形狀簡單的廣延導體，（3）

已知場強分布時，可以利用靜電學的結(jié)果，求電阻.兩接線柱間的電壓選擇包圍接線柱的等勢面，通過該等勢面的電流則導體的電阻為歐姆定律應用范圍：（1）

對于金屬導體，歐姆定律是十分準確的。只當電流大到每cm2幾百萬A時，，才發(fā)現(xiàn)有1%的差異。（2）

遵守歐姆定律的電學元件稱為線性元件，其電阻稱為線性電阻或歐姆電阻。非線性元件不服從歐姆定律，伏安特性曲線不是直線。對于非線性元件，歐姆定律雖不適用，但仍可以定義其電阻。電阻率導體電阻的大小與導體的材料及幾何形狀有關。電阻率：與導體的形狀與大小無關，只與導體材料及溫度有關。電導率：電阻率的倒數(shù)稱為電導率室溫下，金屬電阻率在10-8—10-6Ωm之間；絕緣體電阻率為108—1018Ωm，比金屬大1014倍以上。半導體材料的電阻率約在10-5—108Ωm范圍。電阻率是選用金屬材料的重要物理量。電阻率電阻率與溫度的關系：（1）

多數(shù)純金屬的電阻率隨溫度的升高而增加。金屬導體的電阻隨溫度變化的性質(zhì)可以用來制作電阻溫度計。（2）

絕緣體和半導體的電阻率隨溫度升高而急劇減小。（3）

在極低溫度下，有些導體的電阻率突然減小到零——超導現(xiàn)象。（1911年，荷蘭物理學家昂納斯發(fā)現(xiàn)。1987年，超導轉(zhuǎn)變溫度已達到90K，超過液氮溫度）歐姆定律的微分形式微分形式：意義：（1）

反映導體中某點的電流密度與該點的電場強度之間的關系，表示了物質(zhì)的性質(zhì)。（2）

電流密度與該點的電場強度成正比表明，電子的定向運動速率與該點的電場強度成正比，電子在金屬中作定向運動時除受到電場的作用力外，還受到來自金屬內(nèi)部的某種阻力的作用，而且這種阻力與電子的定向速度成正比。對于線性介質(zhì)，γ是與電場強度及電流密度無關的常數(shù)。歐姆定律的微分形式對頻率不是非常高的非穩(wěn)恒電流亦成立。電流的功率焦耳定律電流的功率：（1）

單位時間內(nèi)電場做功的功率即電流的功率為P=IU（2）

意義：任一用電器，若其兩端電壓為U，進入用電器的電流為I，則用電器吸收的功率與用電器的性質(zhì)無關。至于吸收的能量轉(zhuǎn)變?yōu)楹畏N形式的其他能量，則取決于用電器的性質(zhì)。電路是電動機——機械能、電路是電池或電解槽——化學能純電阻電路——熱能電流的功率焦耳定律焦耳定律：

（1）

對于電阻為R的歐姆介質(zhì)，（2）

意義：電流通過歐姆介質(zhì)時，電能將以發(fā)熱的形式釋放出來。通過一歐姆介質(zhì)的電流為I時，單位時間內(nèi)電阻上發(fā)出的焦耳熱。（3）

用電器吸收的功率僅在純電阻電路中等于焦耳熱功率。電流的功率焦耳定律焦耳定律的微分形式（1）

電功率密度：單位時間內(nèi)導體內(nèi)的電功率（2）

焦耳定律的微分形式：考察點僅存在歐姆介質(zhì)時，（熱功率密度）。意義：電流通過歐姆介質(zhì)時，單位體積的導體中產(chǎn)生的焦耳熱。

例題例題1：金屬球埋入地下為接地電極，由一聯(lián)線將電流導入，求接地電阻。例題2：同軸圓柱形導體，中間充以電阻率一定的介質(zhì)，求沿徑向的電阻。思考題：一長方體銅塊，其長、寬、高均已知，此銅塊的電阻是唯一確定的嗎？舉例說明P=IU與P=I2R兩式意義的異同。斷絲后的白熾燈泡，若設法將燈絲重新搭上后，通常燈泡總要比原來亮，但壽命一般不長。試解釋此現(xiàn)象。把一恒定不變的電勢差加于一導線兩端，使導線中產(chǎn)生一穩(wěn)恒電流。若突然改變導線的形狀（如折屈導線），在此瞬間會發(fā)生什么現(xiàn)象？是什么因素保持電流穩(wěn)恒？計算題：大地可看成是均勻的導電介質(zhì)，設其電阻率為，用一半徑為a的球形電極與大地表面相接，半個球體埋在地下，電極本身的電阻可以忽略，求此電極的接地電阻。兩個同心的導體薄球殼，半徑分別為a和b，其間充滿電阻率為的均勻介質(zhì)，（1）求兩球殼之間的電阻；（2）若兩球殼之間的電壓是U，求電流密度。

電子直線加速器產(chǎn)生電子脈沖，脈沖電流為0.50A,脈沖寬度為0.10微秒，（1）每一脈沖有多少電子被加速？（2）機器工作于500脈沖/s，其平均電流是多少？（3）如電子被加速到能量為50MeV，問加速器輸出的平均功率是多大？§3.3固體導電機理金屬導電的微觀解釋電子氣的熱運動歐姆定律的微觀解釋焦耳定律的微觀解釋金屬導電的微觀解釋金屬的微觀模型位于晶格點陣上帶正電的原子實和脫離了原子的自由電子的集合。各種金屬的自由電子數(shù)密度的數(shù)量級為1022cm-3.電流的形成自由電子無場作用時，作無規(guī)則的熱運動；存在外場時，除固有的無規(guī)則運動外，在電場力的作用下作定向運動形成電流。電子氣的熱運動金屬的經(jīng)典電子論

（1）金屬導電的載流子是自由電子；

（2）假設自由電子像理想氣體一樣，它的運動遵守牛頓運動定律，并且忽略自由電子間的相互作用，而自由電子與正離子間的相互作用，則僅在碰撞時才考慮；（3）電子氣遵守理想氣體的規(guī)律。

電子氣的熱運動均方根速率：（1）

根據(jù)能量按自由度均分定理，

每個電子具有的平均熱運動能量為（2）均方根速率（3）

室溫下，自由電子熱運動的均方根速率約為110km/s.自由電子熱運動的平均速率與這一數(shù)值相近（），但由于運動的無規(guī)則，平均速度接近于零。因此無外加電場時，金屬中無定向電子流。歐姆定律的微觀解釋

自由電子在電場力作用下兩次碰撞之間經(jīng)歷的位移對大量電子求平均位移載流子的定向速度（τ為平均自由時間，〈t2>=2τ2〉）導體中的電流密度電導率為歐姆定律的微觀解釋成立條件：對隨時間變化的電流，歐姆定成立的條件為——

場強變化的周期T應遠大于τ。

即：T>>τ。τ的值約為10-14s，故要求場強的周期T>>10-14s，或頻率v<<1014Hz。即直到頻率超過微波段v<<1014Hz時，歐姆定律仍然成立。而頻率再高（紅外或紅外以上），定律不再成立。焦耳定律的微觀解釋電流通過導體時放出焦耳熱，是由于金屬中的電子在外電場作用下獲得額外的動能，而在與離子碰撞時，這動能轉(zhuǎn)化為無規(guī)則運動動能引起的。一次碰撞過程中，傳遞給離子的能量為碰撞一次的過程中轉(zhuǎn)化為熱運動的能量為單位時間內(nèi)平均碰撞次數(shù)為單位時間內(nèi)，單位體積中電子傳遞給離子的總能量為

§3.4電動勢和全電路歐姆定律電源的作用電動勢穩(wěn)恒電場在穩(wěn)恒電路中的作用接觸電勢差溫差電動勢思考題和計算題電源的作用維持穩(wěn)恒電流必須存在非靜電力的作用。電源的作用就是提供非靜電的外加力，迫使正電荷從低電勢處逆著靜電力經(jīng)過內(nèi)電路移到高電勢處。非靜電場的場強：作用于單位正電荷的非靜電力不同的電源中非靜電力的起源不同——（1）

化學電源——化學力；（2）

范德格拉夫起電機——機械力；（3）

一般發(fā)電機——電磁感應。電動勢存在非靜電場時，歐姆定律的微分形式修正為電源電動勢的定義：?

意義：繞閉合路徑一周，非靜電力對單位正電荷所作的功。標量，在數(shù)值上等于電源開路時的路端電壓。全電路歐姆定律

?=I(R+r)電動勢能量關系：電源電動勢在數(shù)值上等于放電電流為1A時，非靜電力所作的功率。（1）

放電時，電源對外電路提供的功率為

（2）

充電時，外電路對電源提供的功率為穩(wěn)恒電場在穩(wěn)恒電路中的作用在穩(wěn)恒電路中，穩(wěn)恒電場和非靜電場共同作用維持閉合電流。能量轉(zhuǎn)換過程中，穩(wěn)恒電場起著能量中轉(zhuǎn)作用——自外界不斷吸收能量同時又不斷向外界放出能量——將電源內(nèi)的非靜電能轉(zhuǎn)送到外電路上。接觸電勢差溫差電動勢帕耳帖電動勢：現(xiàn)象：兩種緊密接觸的金屬，自由電子的數(shù)密度不同，在接觸處存在著源于自由電子數(shù)密度梯度的力，驅(qū)使電子由密度大的金屬擴散遷移到密度小的金屬。

電動勢：（溫度的函數(shù)）

帕耳帖電動勢的數(shù)量級：對于任何實際的金屬，電子的數(shù)密度相差很小，因而珀耳帖電動勢通常只有百分之幾伏。（在單一溫度下僅依靠珀耳帖電動勢不能在閉合回路中建立穩(wěn)恒電流）接觸電勢差溫差電動勢湯姆孫電動勢

現(xiàn)象：同一塊金屬中有溫度梯度存在時，金屬中就同時有電勢梯度存在，所相當?shù)碾妱觿莘Q為湯姆孫電動勢。此時如果有電流通過，會產(chǎn)生附加的吸熱或放熱效應（湯姆孫效應）。

電動勢湯姆孫電動勢的數(shù)量級：

σA為金屬的湯姆孫系數(shù)，數(shù)值很小，如室溫下鉍的σA數(shù)量級為10-5V/0C。

（用同一種金屬，只依靠湯姆孫電動勢，不能在閉合回路中產(chǎn)生穩(wěn)恒電流。）接觸電勢差溫差電動勢溫差電動勢：現(xiàn)象：構(gòu)成回路的兩種不同金屬A、B的連接點處于不同溫度時，回路中存在不為零的電動勢——珀耳帖電動勢和湯姆孫電動勢之和。

電動勢

應用：溫差電偶溫度計。熱容量小，測溫范圍大、靈敏度與準確度高。接觸電勢差溫差電動勢脫出功與外接觸電勢差：

脫出功：自由電子脫離金屬時克服阻力所作的功。多數(shù)金屬的脫出功在1—6eV之間。常溫下，只有少數(shù)動能較大的電子能夠脫離金屬；隨著溫度的升高，動能大于脫出功因而能夠飛離金屬的電子逐漸增多。溫度達到10000C以上時，熱電子發(fā)射。

外接觸電勢差：在相互緊鄰的金屬A、B外側(cè)靠近接觸面處的兩點間存在著電勢差（數(shù)值約為10-1V至1V）。思考題：在全電路中，電流的方向是否總是沿著電勢降落的方向？在任何情況下，電流密度與電場強度是否總是同方向？一個電池內(nèi)的電流是否會超過其短路電流？電池的路端電壓是否可以超過電源電動勢？試證明：在A、B兩種金屬構(gòu)成的溫差電偶回路中串接金屬C，只要C兩端溫度相同，就不會影響回路的溫差電動勢。計算題：蓄電池在充電時通過的電流為3A，此時其端電壓為4.25V。當這蓄電池放電時，流出的電流為4A，此時端電壓為3.9V，求此蓄電池的電動勢和內(nèi)電阻。有電動勢和內(nèi)電阻相同的兩個電池組，既可以串聯(lián)也可以并聯(lián)，用來在電阻器R中產(chǎn)生電流，試導出兩種連接法R中電流的表達式，問（1）如果R>r，怎樣連接產(chǎn)生的電流較大？（2）如果R<r，又如何？由一對銅—康銅線所組成的熱電偶，其溫差電動勢為0.04mV/0C,在測量溫度差時，熱電偶與一電流計G相聯(lián)。試從下列數(shù)據(jù)求熱電偶兩接頭處的溫度差：熱電偶及導線電阻R1=40，電流計的電阻R2=2000，電流計中的電流I=7.8×10-8A..§3.5電路定理含源電路的歐姆定律基爾霍夫定律基爾霍夫定律的應用疊加原理電壓源和戴維寧定理電流源和諾爾頓定理含源電路的歐姆定律表達式意義：電路上任意兩點a、b之間的電壓等于從a到b的路徑上，各電阻上電勢降落的代數(shù)和減去各電源的電動勢所產(chǎn)生的電勢升高的代數(shù)和。符號法則：沿觀察方向，“降正升負”?；鶢柣舴蚨捎嘘P電路的基本概念：（1）

支路：兩點之間由多個元件串聯(lián)而成的組合。一個支路中的各個元件中通有相同的電流。（2）

節(jié)點（分支點）：幾個支路的聯(lián)接點。（3）

回路：電路中任意一個閉合路徑。電路至少要有一個回路?；鶢柣舴蚨苫鶢柣舴虻谝环匠蹋ü?jié)點電流方程）（1）內(nèi)容：對每一分支點，流入的電流等于流出的電流。（2）表達式：（3）實質(zhì)：穩(wěn)恒電流條件下的電荷守恒定律。

基爾霍夫第二方程（回路電壓方程）

（1）內(nèi)容：沿任意閉合回路繞行一周，回路中各電阻上電勢降落的代數(shù)和等于各電源的電動勢造成的電勢升高的代數(shù)和。（2）表達式：（3）基礎：穩(wěn)恒電流場的環(huán)路定理。沿回路環(huán)繞一周回到出發(fā)點，電勢的數(shù)值不變?；鶢柣舴蚨傻膽糜嬎汶娐穯栴}，歸根結(jié)底是要計算在電流的作用下，電路中有多大的電流，各部分又有多大的電壓。（1）

在各條支路上，標出各支路中電流的方向；（2）

n個分支點，列出n-1個節(jié)點電流方程；（3）

選定獨立的閉合回路，列出回路電壓方程；（4）

求解方程，得到未知量。疊加原理內(nèi)容