線性變換的矩陣表示及相似矩陣

線性變換的矩陣表示及相似矩陣線性變換的矩陣表示及相似矩陣【例5-8】中，我們通過任意一個n階方陣A，可以定義n維向量空間Rn的一個線性變換σA.這一節(jié)，主要介紹一般的n維線性空間上的線性變換與n階矩陣之間的關系.線性變換的矩陣表示一、設V是數域F上的一個線性空間，α1,α2,…,αn是V的一組基，σ是V上的一個線性變換.那么，對于任意的α∈V，存在一組唯一確定的數k1,k2,…,kn，使得

α=k1α1+k2α2+…+knαn（5-4）也可以把上式寫成矩陣形式

其中(k1,k2,…,kn)T是α的坐標向量，(α1,α2,…,αn)是以V中向量為分量的向量表達式.（5-5）由上一節(jié)的性質5-2，用σ作用式（5-4）的左右兩端，得到σ(α)=k1σ(α1)+k2σ(α2)+…+knσ(αn)

這就說明，如果確定了V的一組基α1,α2,…,αn在σ下的像σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)，那么V中任意元素α的像σ(α)也就確定了，從而線性變換σ就確定了.下面，將證明一個線性變換完全被它在一組基上的作用所唯一確定，但基向量的像可以是任意的.定理5-2設V是數域F上的一個線性空間，向量α1,α2,…,αn是V的一組基.如果v1,v2,…,vn是V中任意的n個向量，那么存在V上唯一的線性變換σ，使得

σ(αi)=vi,i=1,2,…,n（5-6）證明首先證明線性變換σ的存在性.設任意的α∈V，則存在k1,k2,…,kn，使得式（5-4）成立，即α可以寫成因此于是σ是一個線性變換.又因為每個αi在基α1,α2,…,αn下的坐標向量為εi=(0,…,0,1,0,…,0)T，即αi=0α1+…+0αi－1+αi+0αi+1+…+0αn,i=1,2,…,n

那么σ(αi)=0v1+…+0vi－1+vi+0vi+1+…+0vn=vi,i=1,2,…,n

因此，σ滿足式（5-6）.其次證明滿足式（5-6）的σ是唯一的.假設還有一個線性變換τ也滿足式（5-6），即

τ(αi)=vi,i=1,2,…,n

那么對于任意的

，就有因此σ=τ，即滿足式（5-6）的線性變換是唯一的.下面就建立n維線性空間上的線性變換與n階矩陣之間的對應.定義5-9設V是數域F上的一個線性空間，α1,α2,…,αn是V的一組基，σ是V上的一個線性變換.如果基向量α1,α2,…,αn在σ下的像σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)∈V被基α1,α2,…,αn的線性表出關系為（5-7）記σ(α1,α2,…,αn)=［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］那么式（5-7）可以寫成矩陣形式σ(α1,α2,…,αn)=(α1,α2,…,αn)A（5-8）其中稱式（5-8）的矩陣A為σ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示.σ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示A是式（5-7）右端α1,α2,…,αn的系數矩陣的轉置；矩陣A的第j列(a1j,a2j,…,anj)T就是σ(αj)在基α1,α2,…,αn下的坐標向量，j=1,2,…,n.提示上一節(jié)中，定義了線性空間V上的單位變換ι和零變換0，即

ι(α)=α,0(α)=0,α∈V

顯然，單位變換ι在V的任意一組基下的矩陣表示均為單位矩陣E，而零變換0在V的任意一組基下的矩陣表示均為零矩陣O.設F3［x］={f(x)=a2x2+a1x+a0|a0,a1,a2∈F}是所有次數小于3的多項式的全體.在前面我們指出，按照多項式的加法和數量乘法，F3［x］是數域F上的一個3維線性空間，1,x,x2是這個空間的一組基.多項式的微商運算δ是線性空間F3［x］上的一個線性變換.由于δ(1)=0，δ(x)=1，δ(x2)=2x那么微商δ在基1,x,x2的矩陣表示為【例5-9】在上一節(jié)【例5-7】的平面解析幾何中，定義了將平面繞原點O逆時針旋轉θ角的線性變換Tθ.取定R2中的基ε1=(1,0)T,ε2=(0,1)T，則容易驗證Tθ在這組基下的矩陣即為【例5-10】在空間R3中，取定一個直角坐標系{O;e1,e2,e3}.對于R3中的任意一個向量xe1+ye2+ze3，令ρ(xe1+ye2+ze3)=xe1+ye2，顯然ρ是R3的一個線性變換.又e1,e2,e3是R3的一組基，直接驗證可得ρ關于這組基的矩陣表示為【例5-11】由于一個向量在一組固定的基下的坐標是唯一的，那么一個線性變換在一組固定的基下的矩陣表示也是唯一的.因此，取定線性空間V的一組基以后，就建立了V上所有線性變換的集合End(V)到數域F上所有n階方陣的集合Mn(F)之間的一個映射.定理5-3設V是數域F上的一個n維線性空間，α1,α2,…,αn是V取定的一組基.定義集合End(V)到Mn(F)的一個對應φ，對任意的σ∈End(V)滿足：φ(σ)=A，如果A是σ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示，那么φ是End

(V)到Mn(F)的一個一一對應.證由前面的討論，φ是End

(V)到Mn(F)的一個映射.而對于任意的A∈Mn(F)，令(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A

其中vi(i=1,2,…,n)是V中任意的向量.根據定理5-2，則存在V上的一個線性變換σ，滿足σ(αi)=vi,i=1,2,…,n由于［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］=(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A

故矩陣A是σ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示.因此φ(σ)=A.這樣φ是一個滿射.另外，如果對于σ,τ∈End(V)，有φ(σ)=φ(τ)=A，即σ和τ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示均為A，那么［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］=［τ(α1),τ(α2),…,τ(αn)］=(α1,α2,…,αn)A

從而σ(αi)=τ(αi),i=1,2,…,n

根據定理5-2，于是σ=τ，即φ是一個單射.這樣φ就是End(V)到Mn(F)的一個一一對應.定理說明，在給定的一組基下，n維線性空間上的線性變換和n階方陣是一一對應的.提示

下面討論，當固定線性空間V的一組基以后，如何利用線性變換σ的矩陣表示A來求一個向量α的像σ(α).定理5-4設V是數域F上的一個線性空間，線性變換σ在V的一組基α1,α2,…,αn下的矩陣表示為A.如果向量α∈V在α1,α2,…,αn下的坐標向量為(k1,k2,…,kn)T，那么σ(α)在α1,α2,…,αn下的坐標向量證由于α∈V在α1,α2,…,αn下的坐標向量為(k1,k2,…,kn)T，那么由于一個向量在一組基下的坐標向量是唯一的，因此σ(α)在α1,α2,…,αn下的坐標向量(l1,l2,…,ln)T即為在定理5-3中，映射φ建立了集合End(V)到Mn(F)的一一對應，更重要的，這個映射φ還保持End(V)中的運算.定理5-5設V是數域F上的一個n維線性空間，α1,α2,…,αn是V中取定的一組基，φ是定理5-3中定義的End(V)到Mn(F)的一一對應.那么，對于任意σ,τ∈End(V)，k∈F，有（1）φ(σ+τ)=φ(σ)+φ(τ).（2）φ(στ)=φ(σ)φ(τ).（3）φ(kσ)=kφ(σ).（4）如果σ是可逆的線性變換，那么φ(σ)為可逆矩陣，且φ(σ)－1=φ(σ－1).證設φ(σ)=A，φ(τ)=B，即σ,τ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示分別為矩陣A,B，且σ(α1,α2,…,αn)=［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］=(α1,α2,…,αn)Aτ(α1,α2,…,αn)=［τ(α1),τ(α2),…,τ(αn)］=(α1,α2,…,αn)B（1）因為(σ+τ)(α1,α2,…,αn)=［(σ+τ)(α1),(σ+τ)(α2),…,(σ+τ)(αn)］=［σ(α1)+τ(α1),σ(α2)+τ(α2),…,σ(αn)+τ(αn)］=［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］+［τ(α1),τ(α2),…,τ(αn)］=(α1,α2,…,αn)A+(α1,α2,…,αn)B=(α1,α2,…,αn)(A+B)所以，由線性變換在固定的一組基下的矩陣表示是唯一的，σ+τ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示為矩陣A+B，即

φ(σ+τ)=φ(σ)+φ(τ).（2）因為(στ)(α1,α2,…,αn)=［(στ)(α1),(στ)(α2),…,(στ)(αn)］={σ［τ(α1)］,σ［τ(α2)］,…,σ［τ(αn)］}=σ［τ(α1),τ(α2),…,τ(αn)］=σ［τ(α1,α2,…,αn)］=σ［(α1,α2,…,αn)B］=［σ(α1,α2,…,αn)］B=［(α1,α2,…,αn)A］B=(α1,α2,…,αn)AB因此，στ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示為矩陣AB，即φ(στ)=φ(σ)φ(τ).（3）另外，由于(kσ)(α1,α2,…,αn)=［(kσ)(α1),(kσ)(α2),…,(kσ)(αn)］=［kσ(α1),kσ(α2),…,kσ(αn)］=kσ(α1,α2,…,αn)=k(α1,α2,…,αn)A=(α1,α2,…,αn)kA故kσ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示為矩陣kA，即φ(kσ)=kφ(σ).（4）如果σ是可逆的線性變換，不妨設τ就是σ的逆變換，即τ=σ－1，且

στ=τσ=ι那么，根據（2）知，φ(στ)=φ(σ)φ(τ)=φ(ι)，φ(τσ)=φ(τ)φ(σ)=φ(ι)又因為A，B是σ,τ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示，單位矩陣E是單位變換ι的矩陣表示.因此，矩陣A,B滿足AB=BA=E

即A是可逆矩陣，且B=A－1.于是φ(σ)為可逆矩陣，且φ(σ)

－1=φ(σ－1).相似矩陣二、一個線性變換的矩陣表示是與線性空間的一組基聯系在一起的.但是，一個線性空間的基一般不是唯一的.那么，同一個線性變換在不同的基下的矩陣表示是不是相同呢？這個問題的回答是否定的.對于數域F上的線性空間F3［x］，我們直接驗證可得1,x+1,(x－1)2也是F3［x］的一組基.事實上，由k1+k2(x+1)+k3(x－1)2=0

即(k1+k2+k3)+(k2－2k3)x+k3x2=0，有k1=k2=k3=0.因此1,x+1,(x－1)2線性無關.另外，對于任意的f(x)=a2x2+a1x+a0∈F3［x］，顯然有f(x)=a2(x－1)2+(a1+2a2)(x+1)+(a0－a1－3a2)【例5-12】即F3［x］中的任意向量均可由1,x+1,(x－1)2線性表出.因此1,x+1,(x－1)2是線性空間F3［x］的一組基.那么，F3［x］上的線性變換δ（多項式的微商運算）對這組基1,x+1,(x－1)2的作用為δ(1)=0，δ(x+1)=1，δ［(x－1)2］=2x－2

因此，δ在基1,x+1,(x－1)2的矩陣表示為【例5-9】和【例5-12】表明，F3［x］上的線性變換δ在兩組不同的基下的矩陣是不同.那么，同一個線性變換在不同基下的矩陣表示會有什么聯系呢？首先給出關于矩陣的如下定義.定義5-10設A，B是兩個n階方陣.如果存在一個n階可逆矩陣P，使得P－1AP=B

則稱A與B相似，或者說B是A的相似矩陣.通常將A與B相似記作A～B.矩陣之間的相似關系滿足如下性質：（1）自反性：A～A.（2）對稱性：如果A～B，那么B～A.（3）傳遞性：如果A～B，B～C，那么A～C.其中A，B,C均為n階方陣.證留給讀者證明.有了矩陣之間的相似概念之后，我們給出同一個線性變換在不同基下的矩陣表示的關系.定理5-6設V是數域F上的一個線性空間，α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是V的兩組基，σ是V上的一個線性變換.如果基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的過渡矩陣為P，σ在這兩組基下的矩陣表示分別為A，B，那么P－1AP=B

即A～B.換句話說，同一個線性變換在不同基下的矩陣表示是相似的.證由于基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的過渡矩陣為P，σ在這兩組基下的矩陣表示分別為A，B，則有(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Pσ(α1,α2,…,αn)=(α1,α2,…,αn)Aσ(β1,β2,…,βn)=(β1,β2,…,βn)B

于是(β1,β2,…,βn)B=σ(β1,β2,…,βn)=σ［(α1,α2,…,αn)P］=σ(α1,α2,…,αn)P=［(α1,α2,…,αn)A］P=(α1,α2,…,αn)AP=［(β1,β2,…,βn)P－1］AP=(β1,β2,…,βn)P－1AP由于在同一組基下的矩陣表示是唯一的，所以P－1AP=B反過來，如果A和B是兩個相似的n階方陣，即存在可逆矩陣P，使得P－1AP=B

那么，根據定理5-3，存在數域F上的n維線性空間V的一個線性變換σ，滿足σ關于V的基α1,α2,…,αn的矩陣表示為A，即σ(α1,α2,…,αn)=［σ(α1),σ(α2),…,