高考數(shù)學總復習《計數(shù)原理與二項式定理》專項測試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學總復習《計數(shù)原理與二項式定理》專項測試卷（含答案）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1、（2023年新課標全國Ⅰ卷）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．2、（2023年新課標全國Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種 B．種3、（2023年全國乙卷數(shù)學(理)）3．甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種4、（2023年全國甲卷數(shù)學（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為（

）A．120 B．60 C．40 D．305、（2023年新高考天津卷）在的展開式中，項的系數(shù)為_________．6、【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種

7、【2021年乙卷理科】將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種8、（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種9、（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．10、【2020山東卷3】6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去個場館，甲場館安排名，乙場館安排名，丙場館安排名，則不同的安排方法共有 （）A．種B．種 C．種 D．種11、【2020上海卷9】從6個人選4個人去值班，每人值班一天，第一天安排1個人，第二天安排1個人，第三天安排2個人，則共有種安排情況．12、【2020全國Ⅱ理】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有______種．．13、【2020全國Ⅲ理14】的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．題組一、排列、組合問題1-1、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學?？家荒＃?名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種1-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）為慶祝中國共產黨第二十次全國代表大會勝利閉幕，某高中舉行“獻禮二十大”活動，高三年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名學生代表參加，活動結束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有（

）種．A．40 B．24 C．20 D．121-3、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）若有4名女生和2名男生去兩家企業(yè)參加實習活動，兩家企業(yè)均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案有（

）種A．20 B．28 C．32 D．641-4、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有6個同學站成一排照相，如果甲?乙兩人必須相鄰，而丙?丁兩人不能相鄰，那么不同的站法共有（

）種.A．144 B．72 C．36 D．241-5、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）（多選題）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，下列說法正確的是（

）A．若4人中男生女生各選2人，則有18種選法B．若男生甲和女生乙必須在內，則有12種選法C．若男生甲和女生乙至少有1人在內，則有15種選法D．若4人中既有男生又有女生，則有34種選法題組二、二項式定理展開式項與系數(shù)的問題2-1、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）二項式的展開式中常數(shù)項為（

）A．80 B． C． D．402-2、（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）在二項式的展開式中，把所有的項進行排列，有理項都互不相鄰，則不同的排列方案為（

）A．種 B．種 C．種 D．種2-3、（2023·江蘇南京·校考一模）在二項式的展開式中，若所有項的系數(shù)之和等于64，那么在這個展開式中，項的系數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）2-4、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)之比是，則______，展開式的常數(shù)項為______．（用數(shù)字作答）題組三、二項式定理展開式的綜合性問題3-1、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知展開式中x的系數(shù)為q，空間有q個點，其中任何四點不共面，這q個點可以確定的直線條數(shù)為m，以這q個點中的某些點為頂點可以確定的三角形個數(shù)為n，以這q個點中的某些點為頂點可以確定的四面體個數(shù)為p，則（

）A．2022 B．2023 C．40 D．503-2、（2023·江蘇南通·三模）已知，則__________.3-3、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）的展開式中的系數(shù)是______.3-4、（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）展開式的常數(shù)項為___________.（用最簡分數(shù)表示）3-5、（2022·山東青島·高三期末（多選題））的展開式中各項系數(shù)之和為2，則其中正確的是（）A．a=1B．展開式中含項的系數(shù)是C．展開式中含項D．展開式中常數(shù)項為403-6、（2022·山東德州·高三期末）（多選題）已知，則下列結論正確的是（）A．的展開式中常數(shù)項是15 B．的展開式中各項系數(shù)之和是0C．的展開式中的二項式系數(shù)最大值是15 D．的展開式中不含的項1、（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）從0，1，2，?，9這10個數(shù)字中任取三個數(shù)，使這三個數(shù)的和是3的倍數(shù)，則不同的取法有_________種．（用數(shù)字作答）2、（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）在國際自然災害中，中國救援力量為挽救生命做出了重要貢獻，完美地展示了國家形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得榮譽．某國際救援團隊擁有6個醫(yī)療小組和8個搶險小組，現(xiàn)分別去兩個受災點執(zhí)行救援任務，每個救援點至少需要2個醫(yī)療小組和4個搶險小組，則不同的分配方式一共有________種．（用數(shù)字作答）3、（2023·安徽·校聯(lián)考三模）某企業(yè)五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，則不同的安排種數(shù)為______．4、（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A．430 B．435 C．245 D．2405、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）二項式展開式的第r項系數(shù)與第r＋1項系數(shù)之比為（

）A． B． C． D．6、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┑恼归_式中二項式系數(shù)最大的項是________.7、（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？既＃┰诘恼归_式中x的系數(shù)為______．8、（2022·廣東揭陽·高三期末）（多選題）已知二項式的展開式中各項的系數(shù)和為64，則下列說法正確的是（）A．展開式中的常數(shù)項為1B．C．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項D．展開式中的指數(shù)均為偶數(shù)9、（2020·江蘇省南京師大附中高二）已知，．記．（1）求的值；（2）化簡的表達式，并證明：對任意的，都能被整除．參考答案1、（2023年新課標全國Ⅰ卷）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．【答案】64【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.2、（2023年新課標全國Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結果共有種.故選：D.3、（2023年全國乙卷數(shù)學(理)）3．甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.4、（2023年全國甲卷數(shù)學（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為（

）A．120 B．60 C．40 D．30【答案】B【詳解】不妨記五名志愿者為，假設連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務的選擇種數(shù)有種.故選：B.5、（2023年新高考天津卷）在的展開式中，項的系數(shù)為_________．【答案】【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：60.6、【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【解析】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有3!種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：3!×2×2=24種不同的排列方式，故選：B

7、【2021年乙卷理科】將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【解析】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.8、（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【解析】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.9、（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.10、【2020山東卷3】6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去個場館，甲場館安排名，乙場館安排名，丙場館安排名，則不同的安排方法共有 （）A．種B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去并場館，故不同的安排方法共有種，故選C．11、【2020上海卷9】從6個人選4個人去值班，每人值班一天，第一天安排1個人，第二天安排1個人，第三天安排2個人，則共有種安排情況．【答案】180【解析】按照先選再排的方法可知共有種方法．故答案為：18012、【2020全國Ⅱ理】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有______種．．【答案】【解析】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，先取2名同學看作一組，選法有：，現(xiàn)在可看成是3組同學分配到3個小區(qū)，分法有：，根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種，故答案為：．13、【2020全國Ⅲ理14】的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】，其二項式展開通項：，當，解得，的展開式中常數(shù)項是：．故答案為：．題組一、排列、組合問題1-1、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考一模）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.1-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）為慶祝中國共產黨第二十次全國代表大會勝利閉幕，某高中舉行“獻禮二十大”活動，高三年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名學生代表參加，活動結束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有（

）種．A．40 B．24 C．20 D．12【答案】B【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解．【詳解】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有種，故選：．1-3、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）若有4名女生和2名男生去兩家企業(yè)參加實習活動，兩家企業(yè)均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案有（

）種A．20 B．28 C．32 D．64【答案】B【詳解】先安排2名男生，保證每個小組都有男生，共有種分配方案；再安排4名女生，若將每個女生隨機安排，共有種分配方案，若女生都在同一小組，共有種分配方案，故保證每個小組都有女生，共有種分配方案；所以共有種分配方案.故選：B.1-4、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有6個同學站成一排照相，如果甲?乙兩人必須相鄰，而丙?丁兩人不能相鄰，那么不同的站法共有（

）種.A．144 B．72 C．36 D．24【答案】A【詳解】由題意可將甲?乙兩人看作一個整體，和除甲乙丙丁外的其余兩人全排列，有種排法，再從這3人（甲乙看作一個人）排好后形成的4個空中選2個排丙?丁，故共有種站法，故選：A1-5、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）（多選題）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，下列說法正確的是（

）A．若4人中男生女生各選2人，則有18種選法B．若男生甲和女生乙必須在內，則有12種選法C．若男生甲和女生乙至少有1人在內，則有15種選法D．若4人中既有男生又有女生，則有34種選法【答案】AD【詳解】對選項A,依題意，根據(jù)組合及分步計數(shù)原理，可知一共有種．所以該選項正確；對選項B,依題意，要從7名同學中選取4人，而甲乙必須在內，則相當于從5名同學中選取2人，一共有種．所以該選項不正確；對選項C,依題意，要從7名同學中選取4人，一共有種，而甲乙都不在內一共有種，甲與乙至少要有1人在內有種．所以該選項錯誤；對選項D,依題意，假設全是男生一共有種，全是女生的情況沒有，既有男生又有女生一共有種．所以該選項正確.故選：AD題組二、二項式定理展開式項與系數(shù)的問題2-1、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）二項式的展開式中常數(shù)項為（

）A．80 B． C． D．40【答案】B【分析】求出展開式的通項，再令的指數(shù)等于0，即可得出答案.【詳解】解：二項式的展開式的通項為，令，則，所以常數(shù)項為.故選：B.2-2、（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）在二項式的展開式中，把所有的項進行排列，有理項都互不相鄰，則不同的排列方案為（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【詳解】解：因為二項展開式的通項為，又因為，所以當或時，為有理項，所以有理項共有2項，其余5項為無理項，先排5項為無理項，共有種排法，再排2項有理項，共有種排法，所以有理項互不相鄰的排法總數(shù)為：種.故選：A.2-3、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰诙検降恼归_式中，若所有項的系數(shù)之和等于64，那么在這個展開式中，項的系數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）【答案】135【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法求出n值，再求出二項式展開式的通項即可求解作答.【詳解】在中，令得所有項的系數(shù)之和為，依題意，，解得，因此的展開式的通項為，令得：，所以項的系數(shù)是135.故答案為：135.2-4、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)之比是，則______，展開式的常數(shù)項為______．（用數(shù)字作答）【答案】

9；【分析】空1：根據(jù)二項式系數(shù)的性質得，解出即可；空2：由題化簡得其展開式的通項為，令，解出值，代回即可得到其常數(shù)項.【詳解】由題意得，即，解得．展開式的通項為．令，解得，故展開式中的常數(shù)項為．故答案為：9；題組三、二項式定理展開式的綜合性問題3-1、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知展開式中x的系數(shù)為q，空間有q個點，其中任何四點不共面，這q個點可以確定的直線條數(shù)為m，以這q個點中的某些點為頂點可以確定的三角形個數(shù)為n，以這q個點中的某些點為頂點可以確定的四面體個數(shù)為p，則（

）A．2022 B．2023 C．40 D．50【答案】D【分析】根據(jù)條件可得展開式中含x的項為6x，則．進而可求得答案.【詳解】的展開式中含x的項為：，的展開式中含x的項為：，所以，的展開式中含x的項為6x，其系數(shù)．依題意得，故選：D．3-2、（2023·江蘇南通·三模）已知，則__________.【答案】【詳解】解：因為，所以，令，得，又，即，令，兩邊相加得：，故答案為：3-3、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）的展開式中的系數(shù)是______.【答案】672【詳解】展開式通項公式為，當時，，當時，，故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：6723-4、（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）展開式的常數(shù)項為___________.（用最簡分數(shù)表示）【答案】【詳解】展開式通項公式，令，解得，則，所以展開式的常數(shù)項是.故答案為：3-5、（2022·山東青島·高三期末（多選題））的展開式中各項系數(shù)之和為2，則其中正確的是（）A．a=1B．展開式中含項的系數(shù)是C．展開式中含項D．展開式中常數(shù)項為40【答案】AC【解析】令，，故A正確；的展開式中含項的系數(shù)為，故B錯誤；的展開式中為項，故C正確；的展開式中常數(shù)項為，故D錯誤.故選：AC.3-6、（2022·山東德州·高三期末）（多選題）已知，則下列結論正確的是（）A．的展開式中常數(shù)項是15 B．的展開式中各項系數(shù)之和是0C．的展開式中的二項式系數(shù)最大值是15 D．的展開式中不含的項【答案】ABD【解析】的通項為，令,常數(shù)項為，A正確;中令可得展開式中各項系數(shù)之和是0，B正確;二項式系數(shù)最大值為中間項的二項式系數(shù)，C不正確;令，不是整數(shù)，即不含的項，D正確.故選：ABD.1、（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）從0，1，2，?，9這10個數(shù)字中任取三個數(shù)，使這三個數(shù)的和是3的倍數(shù)，則不同的取法有_________種．（用數(shù)字作答）【答案】42【詳解】將這些數(shù)字分組，記，，，從而和為3的倍數(shù)的情況共有種．故答案為：422、（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）在國際自然災害中，中國救援力量為挽救生命做出了重要貢獻，完美地展示了國家形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得榮譽．某國際救援團隊擁有6個醫(yī)療小組和8個搶險小組，現(xiàn)分別去兩個受災點執(zhí)行救援任務，每個救援點至少需要2個醫(yī)療小組和4個搶險小組，則不同的分配方式一共有________種