高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間幾何體的表面積與體積》專項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間幾何體的表面積與體積》專項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1、（2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．2、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．33、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．4、【2022年新高考1卷】南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140．0km2；水位為海拔157．5A．1.0×109m3 B．1.2×1095、【2022年新高考2卷】已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和4A．100π B．128π C．144π D．192π6、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）（多選題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為7、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）（多選題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體8、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．9、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）．底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．

10、（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.題組一、空間幾何體的表面積1-1、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m，底面直徑和球的直徑都是0.6m，現(xiàn)對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（

）克（精確到個(gè)位數(shù)）A．176 B．207 C．239 D．2701-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．1-3、（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知底面半徑為r的圓錐SO，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．1-4、（2021·山東日照市·高三二模）球面幾何是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．如圖，A，B，C是球面上不在同一大圓上的三點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧組成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點(diǎn)N，P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)．若P，Q在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)和東經(jīng)，則球面的面積為_(kāi)_________．題組二、空間幾何體的體積2-1、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖所示是一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪下來(lái)，并將其拼接成一個(gè)無(wú)上蓋的容器（鋁片厚度不計(jì)），則該容器的容積為（

）A． B． C． D．2-2、（2023·云南·統(tǒng)考一模）三棱錐中，平面，．若，，則該三棱錐體積的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．.2-3、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A． B． C． D．2-4、（2022·江蘇如東·高三期末）已知三棱錐P－ABC的外接球半徑為4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，則三棱錐P－ABC體積的最大值是（）A． B． C．24π D．2-5、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以圓形攢尖為例.如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊邊長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A． B． C． D．題組三、球的切接問(wèn)題3-1、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，球的表面積為，四面體內(nèi)接于球，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，則該四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．3-2、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）（多選題）三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．球心O在三棱錐的外部C．球心O到底面ABC的距離為2 D．球O的體積為3-3、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）三棱錐中，PA⊥平面ABC，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________.題組四、計(jì)算的綜合性問(wèn)題4-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）（多選題）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，與交于點(diǎn)，則（

）A．平面B．平面C．與平面所成的角為D．三棱錐的體積為4-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）（多選題）在平行六面體中，已知，，則（

）A．直線與所成的角為B．線段的長(zhǎng)度為C．直線與所成的角為D．直線與平面所成角的正弦值為4-3、（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）（多選題）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為，高為．若P，Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三角形面積的最大值為B．三棱錐體積的最大值C．四面體外接球表面積的最小值為11D．直線SP與平面所成角的余弦值的最小值為1、【2022·廣州市荔灣區(qū)上學(xué)期調(diào)研】若圓臺(tái)的下底面半徑為4，上底面半徑為1，母線長(zhǎng)為5，則其體積為（）A. B. C. D.2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，到容器底部的距離分別是12和18，則容器內(nèi)液體的體積是（

）A． B． C． D．3、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┠硤A錐母線長(zhǎng)為2，底面半徑為，則過(guò)該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）A．2 B． C． D．14、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為2，則此正八面體的表面積與體積之比為（

）A． B． C． D．5、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選題）折扇在我國(guó)已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國(guó)文化的方方面面，是運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺(tái)（

）A．高為 B．表面積為C．體積為 D．上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多選題）正方體的棱長(zhǎng)為2，且（），過(guò)P作垂直于平面的直線l，分別交正方體的表面于M，N兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．平面B．四邊形的面積的最大值為C．若四邊形的面積為，則D．若，則四棱錐的體積為7、（2023·安徽·校聯(lián)考三模）已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，外接圓的圓心為．若四面體的體積最大時(shí)，，則球的半徑為_(kāi)_____；若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，則球的表面積為_(kāi)_____．參考答案1、（2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，，而，取中點(diǎn)，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B2、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A3、（2023年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.4、【2022年新高考1卷】南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140．0km2；水位為海拔157．5A．1.0×109m3 B．1.2×109【答案】C【解析】依題意可知棱臺(tái)的高為MN=157.5?148.5=9(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積V．棱臺(tái)上底面積S=140.0km2=140×∴V==3×320+60故選：C．5、【2022年新高考2卷】已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和4A．100π B．128π C．144π D．192π【答案】A【解析】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑r1,r2，所以2r1=33sin60°,2r2=43sin60°，即r故選：A6、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）（多選題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

7、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）（多選題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過(guò)的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.8、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．【答案】/【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，

因?yàn)?，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.9、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）．底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．【答案】【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法二：棱臺(tái)的體積為.故答案為：.

10、（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.【解析】(1)如圖所示，連結(jié)AF，由題意可得：，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，而平面，故，從而有，從而，則，為等腰直角三角形，，.(2)由(1)的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，正方形中，為中點(diǎn)，則，又，故平面，而平面，從而.題組一、空間幾何體的表面積1-1、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m，底面直徑和球的直徑都是0.6m，現(xiàn)對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（

）克（精確到個(gè)位數(shù)）A．176 B．207 C．239 D．270【答案】B【分析】求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由臺(tái)燈是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成可求得臺(tái)燈表面積的值，進(jìn)而求得涂膠的克數(shù).【詳解】由已知得圓錐的母線長(zhǎng)，所以臺(tái)燈表面積為，需要涂膠的重量為（克），故選：B.1-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】由，得，所以的外接圓半徑，由于底面，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積.故選：B.1-3、（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知底面半徑為r的圓錐SO，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓錐的高為，如圖，由可得：，∴，∴,圓柱側(cè)面積，圓錐側(cè)面積，.故選：D．1-4、（2021·山東日照市·高三二模）球面幾何是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．如圖，A，B，C是球面上不在同一大圓上的三點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧組成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點(diǎn)N，P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)．若P，Q在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)和東經(jīng)，則球面的面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)镻Q在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)和東經(jīng)，上半球面面積為，球面的面積為；故答案為：題組二、空間幾何體的體積2-1、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖所示是一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪下來(lái)，并將其拼接成一個(gè)無(wú)上蓋的容器（鋁片厚度不計(jì)），則該容器的容積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出正四棱臺(tái)，作出輔助線，得到各邊長(zhǎng)，求出四棱臺(tái)的高，從而利用臺(tái)體體積公式求出體積.【詳解】由題知，該容器的容積就是正四棱臺(tái)的體積，如圖，連接正四棱臺(tái)上下底面的中心，，取上底面正方形一邊中點(diǎn)，對(duì)應(yīng)下底面正方形一邊中點(diǎn)，連接，，，則，故四點(diǎn)共面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形為矩形，故，因?yàn)樵撜睦馀_(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，6，等腰梯形的斜高為4，所以，故，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該容器的容積是．故選：B.2-2、（2023·云南·統(tǒng)考一模）三棱錐中，平面，．若，，則該三棱錐體積的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理依次證得平面、與，從而利用基本不等式求得，進(jìn)而得到，由此得解.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在中，，，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，不妨設(shè)，則由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以該三棱錐體積的最大值為.故選：D..2-3、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，求出OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OA的長(zhǎng)，可知，從而可求出羨除外接球體積，由等體積法可求出羨除體積，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，則平面.取BC的中點(diǎn)G，連接FG，作，垂足為H，如圖所示，由題意得，，，，，∴，∴，又∵，∴，∴，即：這個(gè)羨除的外接球的球心為O，半徑為2，∴這個(gè)羨除的外接球體積為.∵，面，面，∴面，即：點(diǎn)A到面的距離等于點(diǎn)B到面的距離，又∵，∴，∴這個(gè)羨除的體積為，∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為.故選：A.2-4、（2022·江蘇如東·高三期末）已知三棱錐P－ABC的外接球半徑為4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，則三棱錐P－ABC體積的最大值是（）A． B． C．24π D．【答案】A【解析】由已知可得，的外接圓的半徑，且由余弦定理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以,又外接球的球心到平面的距離為，所以點(diǎn)P到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為.故選：A2-5、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以圓形攢尖為例.如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊邊長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)檩S截面的頂角為，所以底角，在中，依題意，該圓形攢尖的底面圓半徑，高，則()，所以該屋頂?shù)捏w積約為.故選：B.題組三、球的切接問(wèn)題3-1、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，球的表面積為，四面體內(nèi)接于球，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，則該四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，由題意知底面三角形的面積為定值，要使四面體體積的最大，只須頂點(diǎn)到底面的距離最大即可，又因?yàn)槠矫嫫矫?，可知?dāng)時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，外接圓的半徑，則到面的距離為，且到面的距離為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，此時(shí)體積最大值為.故選：B.3-2、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．球心O在三棱錐的外部C．球心O到底面ABC的距離為2 D．球O的體積為【答案】ABD【分析】對(duì)A，由余弦定理直接判斷；對(duì)B，設(shè)△ABC外接圓的圓心為，說(shuō)明，圓心在△ABC外部，故球心O在三棱錐的外部；對(duì)C，取線段PA的中點(diǎn)Q，連接OQ，說(shuō)明，則四邊形為矩形，球心O到底面ABC的距離為；對(duì)D，由正弦定理求得設(shè)△ABC外接圓半徑，從而求得球半徑，由體積公式可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)A，在△ABC中，由余弦定理得，即，故A正確；對(duì)B，如圖，設(shè)△ABC外接圓的圓心為，連接，則底面ABC，又PA⊥底面ABC，所以，由，得圓心在△ABC外部，故球心O在三棱錐的外部，故B正確；對(duì)C，取線段PA的中點(diǎn)Q，連接OQ，因?yàn)镻A是球O的一條弦，所以，所以四邊形為矩形，故，即球心O到底面ABC的距離為1，故C不正確；對(duì)D，設(shè)球O的半徑為R，圓的半徑為r，由正弦定理得，所以，進(jìn)而，球的體積為，故D正確，故選：ABD．3-3、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）三棱錐中，PA⊥平面ABC，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由PA⊥平面ABC，面，則，又，所以兩兩垂直，故可將三棱錐補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，故三棱錐外接球，即為長(zhǎng)方體外接球，令三棱錐外接球半徑為，則滿足，所以外接球表面積為.故答案為：題組四、計(jì)算的綜合性問(wèn)題4-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）（多選題）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，與交于點(diǎn)，則（

）A．平面B．平面C．與平面所成的角為D．三棱錐的體積為【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行判定定理判斷A，利用線面垂直判定定理判斷B，利用線面夾角的定義判斷C，根據(jù)等體積法判斷D.【詳解】∵平面平面平面，A對(duì)；因?yàn)橛制矫?，平面，所以平面平面，B對(duì)；因?yàn)槠矫媾c平面所成角為因?yàn)?，C錯(cuò)；因?yàn)椋珼對(duì).故選：.4-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）（多選題）在平行六面體中，已知，，則（

）A．直線與所成的角為B．線段的長(zhǎng)度為C．直線與所成的角為D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】AC【分析】設(shè)，將分別用表示，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷ABC；對(duì)于D，先證明平面平面，從而可得與平面所成的角為，再解即可.【詳解】設(shè)，則，且，對(duì)于A，，，所以直線與所成的角為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，又因平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，則與平面所成的角為，在中，，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.4-3、（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）（多選題）已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為，高為．若P，Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三角形面積的最大值為B．三棱錐體積的最大值C．四面體外接球表面積的最小值為11D．直線SP與平面所成角的余弦值的最小值為【答案】BD【分析】選項(xiàng)A，由已知計(jì)算出底面半徑的長(zhǎng)度，以及軸截面的頂角大小，利用三角形的面積公式可知，當(dāng)時(shí)，三角形面積最大，可判斷選項(xiàng)A；利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換，可得當(dāng)面時(shí)，三棱錐體積最大，可判斷選項(xiàng)B；因?yàn)榈酌鎴A，所以四面體外接球球心在的中垂面和過(guò)外接圓圓心的底面垂線的交點(diǎn)處，利用勾股定理和正弦定理可計(jì)算出最小值，判斷選項(xiàng)C；由線面角公式可得，當(dāng)面時(shí)，直線SP與平面所成角的余弦值最小，判斷出選項(xiàng)D．【詳解】選項(xiàng)A，由母線長(zhǎng)為，高為，可得底面半徑為，設(shè)是底面圓的一條直徑，則，即是鈍角，又，則存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，三角形面積的最大值為，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，當(dāng)面時(shí)，，故B正確；選項(xiàng)C，設(shè)的外接圓半徑為，底面圓，四面體外接球半徑滿足，若外接球表面積的最小，即外接球的半徑最小，又，即在底面圓中，的外接圓半徑最小，由正弦定理，則點(diǎn)經(jīng)過(guò)線段的中垂線時(shí)，最大，的外接圓半徑最小，此時(shí)，，，即四面體外接球表面積的最小值為，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，直線SP與平面所成角的正弦值為，則當(dāng)面時(shí)，，此時(shí)直線SP與平面所成角的余弦值最小，最小值為，故D正確；故選：BD.1、【2022·廣州市荔灣區(qū)上學(xué)期調(diào)研】若圓臺(tái)的下底面半徑為4，上底面半徑為1，母線長(zhǎng)為5，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】：圓臺(tái)的軸截面如圖所示：則圓臺(tái)的高，所以圓臺(tái)的體積，故選：C2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，到容器底部的距離分別是12和18，則容器內(nèi)液體的體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件通過(guò)作垂線，求得底面圓的半徑，將液體的體積看作等于一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱體積的一半，即可求解答案.【詳解】如圖為圓柱的軸截面圖，過(guò)M作容器壁的垂線，垂足為F,因?yàn)镸N平行于地面，故，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，到容器底部的距離分別是12和18，故,在中，，即圓柱的底面半徑為，所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱體積的一半，即為，故選：C.3、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┠硤A錐母線長(zhǎng)為2，底面半徑為，則過(guò)該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】如圖截面為，P為MN的中點(diǎn)，設(shè)，，進(jìn)而可得面積最大值.【詳解】如圖所示，截面為，P為MN的中點(diǎn)，設(shè),當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截面面積最大.故選：A4、（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為2，則此正八面體的表面積與體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，由邊長(zhǎng)為2，可得的高，，則其表面積為.體積為.此正八面體的表面積與體積之比為.故選：D.