高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法2課件新人教版A

第三章不等式§3.2

一元二次不等式及其解法(二)1.會(huì)解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式.2.能夠從實(shí)際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決.3.掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考

知識(shí)點(diǎn)一分式不等式的解法等價(jià)；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式.>0與(x－3)(x＋2)>0等價(jià)嗎？將>0變形為(x－3)(x＋2)>0，有什么好處？答案梳理

一般的分式不等式的同解變形法則：(1)>0?

；(2)≤0?(3)

；

；f(x)·g(x)>0f(x)·g(x)≤0g(x)≠0知識(shí)點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問題思考

x－1>0在區(qū)間[2,3]上恒成立的幾何意義是函數(shù)y＝x－1在區(qū)間[2,3]上的圖象恒在x軸上方.區(qū)間[2,3]內(nèi)的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故區(qū)間[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集.x－1>0在區(qū)間[2,3]上恒成立的幾何意義是什么？區(qū)間[2,3]與不等式x－1>0的解集有什么關(guān)系？答案梳理

一般地，“不等式f(x)>0在區(qū)間[a，b]上恒成立”的幾何意義是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象全部在x軸

方.區(qū)間[a，b]

是不等式f(x)>0的解集的

.恒成立的不等式問題通常轉(zhuǎn)化為求最值問題，即：k≥f(x)恒成立?k≥

；k≤f(x)恒成立?k≤

.上子集f(x)maxf(x)min題型探究類型一分式不等式的解法例1解下列不等式：

<0?(x－3)(x＋2)<0?－2<x<3，∴原不等式的解集為{x|－2<x<3}.解答解答反思與感悟分式不等式的解法：先通過移項(xiàng)、通分整理成標(biāo)準(zhǔn)型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式來解.如果能判斷出分母的正負(fù)，直接去分母也可.跟蹤訓(xùn)練1解下列不等式.解答解答方法一原不等式可化為方法二原不等式可化為類型二不等式恒成立問題例2設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；解答要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0，滿足題意；若m≠0，則

?－4<m<0.∴－4<m≤0.(2)對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍.解答方法一要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立.當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0<m<；當(dāng)m＝0時(shí)，－6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.綜上所述，m的取值范圍是.方法二當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，f(x)<－m＋5恒成立，即當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.引申探究把例2(2)改為：對(duì)于任意m∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解答f(x)＜－m＋5，即mx2－mx－1＜－m＋5，m(x2－x＋1)－6＜0.設(shè)g(m)＝m(x2－x＋1)－6.∴g(m)在[1,3]上為增函數(shù)，要使g(m)＜0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)＜0，即3(x2－x＋1)－6＜0，x2－x－1＜0，反思與感悟有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，通常處理方法有兩種：(1)考慮能否進(jìn)行參變量分離，若能，則構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值，從而建立參變量的不等式；(2)若參變量不能分離，則應(yīng)構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，并結(jié)合圖象建立參變量的不等式求解.跟蹤訓(xùn)練2當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是___________.構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，則f(x)在[1,2]上的最大值為f(1)或f(2).由于當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立.答案解析(－∞，－5]類型三一元二次不等式的應(yīng)用例3某種汽車在水泥路面上的剎車距離(剎車距離是指汽車剎車后由于慣性往前滑行的距離)sm和汽車車速xkm/h有如下關(guān)系：s＝ .在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m，那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少？(精確到1km/h，

≈168.882)解答移項(xiàng)整理，得x2＋9x－7110>0.顯然Δ>0，x2＋9x－7110＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.根據(jù)二次函數(shù)y＝x2＋9x－7110的圖象，得不等式的解集為{x|x<－88.94或x>79.94}.在這個(gè)實(shí)際問題中，x>0，所以這輛汽車剎車前的車速至少為80km/h.反思與感悟一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型，解題時(shí)要弄清題意，準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系，再利用一元二次不等式求解，確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”.跟蹤訓(xùn)練3在一個(gè)限速40km/h的彎道上，甲，乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離Sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.問超速行駛誰應(yīng)負(fù)主要責(zé)任.解答由題意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01>12，S乙＝0.05x乙＋0.005

>10.分別求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40.由于x>0，從而得x甲>30km/h，x乙>40km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任.當(dāng)堂訓(xùn)練由題意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.m≥2 B.m≤－2C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2123√4答案解析2.若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是A.100臺(tái) B.120臺(tái) C.150臺(tái) D.180臺(tái)√1234y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生產(chǎn)者不虧本的最低產(chǎn)量是150臺(tái).答案解析由題意知Δ<0，即1－4k<0，得k>，即k∈ .3.不等式x2＋x＋k>0恒成立時(shí)，k的取值范圍為________.1234答案解析原不等式等價(jià)于12344.解下列不等式：解答解得x≤1或x>2，∴原不等式的解集為{x|x≤1或x>2}.原不等式可改寫為1234解答規(guī)律與方法1.解分式不等式時(shí)，一定要等價(jià)變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解.當(dāng)不等式含有等號(hào)時(shí)，分母不為零.2.對(duì)于有的恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法.這是因?yàn)閷?shù)予以分離后，問題往往會(huì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而得以迅速解決.當(dāng)然這必須以參數(shù)容易分離作為前提.分離參數(shù)時(shí)，經(jīng)常要用到下述簡單結(jié)論：(